二次函数与存在相似三角形
3、（红河）如图，抛物线24y x 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
点P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线BC 于点E ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标和直线BC 的解析式；
（2）求△ODE 面积的最大值及相应的点E 的坐标；
（3）是否存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点
P 的坐标，
若不存在，请说明理由．
解：（1）在y=﹣x 2+4中，当y=0时，即﹣x 2+4=0，解得x=±2．
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
∴点A 、B 、C 的坐标依次是A （﹣2，0）、B （2，0）、C （0，4）．
设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠0），则，解得．
所以直线BC 的解析式为y=﹣2x+4．
（2）∵点E 在直线BC 上，∴设点E 的坐标为（x ，﹣2x+4），
则△ODE 的面积S 可表示为：．
∴当x=1时，△ODE 的面积有最大值1．此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，
∴点E 的坐标为（1，2）．
（3）存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似，理由如下：
设点P 的坐标为（x ，﹣x 2+4），0＜x ＜2．
x
B
A O y
C
P
D E
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，，，
解得，（不符合题意，舍去）．
当时，．
此时，点P的坐标为．
②当△PDO∽△AOC时，，，
解得，（不符合题意，舍去）．
当时，=．
此时，点P的坐标为．
综上可得，满足条件的点P有两个：
，．
1. (2014?东营？T25)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，
使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．
当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），
∴解得，∴y=﹣x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，
∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；
（2）存在．
如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．
∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），∴OC=1．
∵B（0，2），∴OB=2．
当△BOC∽△MON时，∴，
∴，解得a1=1，a2=﹣2.
∴M（1，2）或（﹣2，﹣4）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．
又∵M在第一象限，∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；
（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．
∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
3.(2014?钦州？T26)如图，抛物线y=﹣4
3
x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，
四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），
已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？
若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴，解得，∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣x +4；
（2）∵E （m ，0），B （0，4），PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，
∴P （m ，﹣m 2﹣m +4），G （m ，4），
∴
PG =﹣m 2﹣m +4﹣4=﹣m 2﹣m ；（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似．
∵y=﹣x 2﹣x+4，∴当y=0时，﹣x 2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D （﹣3，0）．
当点P 在直线BC 上方时，﹣3＜m ＜0．
设直线BD 的解析式为y=kx+4，将D （﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，
∴直线BD 的解析式为y =x +4，∴H （m ，m +4）．
分两种情况：
①如果△BGP ∽△DEH ，那么=，即3m m
=，由﹣3＜m ＜0，解得m =﹣1；
②如果△PGB ∽△DEH ，那么=，即=，由﹣3＜m ＜0，解得m =﹣．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣．
4.（2014?成都？T28）如图，抛物线y=8k
（x+2）（x ﹣4）（k 为常数，且k ＞0）与x 轴
从左至右依次交于A ，B ，与x 轴交于C ，经过点B 的直线y=﹣
x+b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点
P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的
值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，
沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，
当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），
∴﹣×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=﹣x+．
当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．
（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．
∴D（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．