2019年中考数学专题针对训练《阅读理解题》
阅读理解是指先给出阅读材料，通过阅读领会其中的数学内容、方法要点，并能加以运用，然后解）决后面提出的问题的一类题型.该类题的篇幅一般较长，试题结构分两大部分，一部分是阅读材料，另一部分是需解决的有关问题，阅读材料既有选用与教材知识相关的内容，也有选用课外并不熟悉的知识.除了考查初中数学的基础知识外，更注重考查二阅读理解、迁移转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力解决该类问题的关键是读懂并理解试题阅读材料中提供的新情景、新方法与新知识等，能熟练地进行知识的迁移、转化与应用。
类型一 新定义、新运算型问题
【典例1】（2018·菏泽）规定:在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为:OP ＝（m ，n ）.已知OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），如果x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，那么OA 与OB 互相垂直，下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A.OC ＝（3，2），OD ＝（-2，3）
B.OE ＝（2-1，1），OF ＝（2＋1，1）
C.OG ＝（3，2018°），OH ＝（-
31，-1） D.OM ＝（38，-2
1
），ON ＝（(2)2，4） 【思路导引】通过计算所给四组向量的坐标，只要符合x 1·x 2＋y 1·y 2＝0的向量，即为互相垂直。 【自主解答】
【规律方法】新定义运算型试题，要抓住新定义运算的法则或者顺序，并将此定义作为解题的依据，通常照套法则即可，需要注意两点:（1）有括号时应当先算括号里面的.（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用运算律解题，总之，新定义型问题是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原知识点。 针对训练
1.（2018·日照）定义一种对正整数n 的“F ”运算:①当n 是奇数时，F （n ）＝3n ＋1；当n 为偶数时，F （n ）＝
k
n
2（其中k 是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行例如，取n ＝24，则: 若n ＝13，则第2018次“F 运算”的结果是（ ）
A.1
B.4
C.2018
D.42018
2.（2018·济南）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”。例如:P （1，0），Q （2，-2）都是“整点”。抛物线y ＝2442
-+-m mx mx （m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包含边界）恰有7个“整点”，则m 的取值范围
是（ ） A.
21≤m ＜1 B.2
1
＜m ≤1 C.1＜m ≤2 D.1≤m ＜2 3.（2018·常德）阅读理解:a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号
c a
d
b 称为2×2行列式，并且规定:
c a
d
b ＝a
×d - b ×c ，例如
13
-
2
2
-＝3×（-2）- 2×（-1）＝ - 6＋2＝ - 4.二元一次方程组??
?=+=+2
221
11c y b x a c y b x a 的解可以
利用利用2×2阶行列式表示为????
??
?==D
D y D
D x y x
：其中D ＝21a a 21b b ，D x =21c c 21b b ，D y =21a a 21c c 。 问题:对于用上面的方法解二元一次方程组??
?=-=+12
231
2y x y x 时，下面说法错误的是（ ）
A.3
2=
D
2
-1=－7 B.D x =－14 C. D y =27 D.方程组的解为?
?
?-==32
y x
4.（2018·聊城）若x 为实数，则［x ］表示不大于x 的最大整数，例如［1.6］＝1，［π］＝3，［-2.82］＝-3等.［x ］＋1是大于x 的最小整数，对任意的实数x 都满足不等式［x ］≤x ＜［x ］＋1①.利用这个不等式①，求出满足［x ］＝2x-1的所有解，其所有解为____________。
5.（2018·永州）对于任意大于0的实数x ，y ，满足log 2（x ·y ）＝log 2 x ＋log 2 y ，若log 22＝1，则 log 2 16 ＝_________。
6.（2018·日照）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数x
m
y =
（m ＜0）与42
-=x y 在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m 的取值范围为_____________。
7（2018·扬州）对于任意实数a ，b ，定义关于“?”的一种运算如下:a ?b ＝2a ＋b.例如3?4＝2×3＋4＝10.
（1）求2?（-5）的值；
（2）若x ?（-y ）＝2，且2y ?x ＝-1求x ＋y 的值.
8.（2018·深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这
个菱形称为这个三角形的亲密菱形如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作弧AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于2
1
AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB ∥CD 。
（1）求证:四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形； （2）求四边形ACDB 的面积。
9.（2018·咸宁）定义:我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”。
理解:
（1）如图1，已知Rt △ABC ，在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝80°，∠ADC ＝140°，对角线BD 平分∠ABC.求证:BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用:
（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG ＝30°，连接EG ，若△EFG 的面积为23，求FH 的长。
10.（2018·宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形。 （1）已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长； （2）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADC 。 求证:△ABC 是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC ＝90°时，求
AC
BD
的值。
类型二 学习应用型问题
【典例2】（2018·张家界）阅读理解题
在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）的距离公式为:2
2
00B
A C By Ax d +++=
。
例如，求点P （1，3）到直线4x ＋3y －3＝0的距离。
解:由直线4x ＋3y －3＝0知:A ＝4，B ＝3，C ＝－3，所以P （1，3）到直线4x ＋3y －3＝0的距离为:23
43
33142
2
=+-?+?=
d 。
根据以上材料，解决下列问题:
（1）求点P 1（0，0）到直线3x －4y －5＝0的距离；
（2）若点P 2（1，0）到直线x ＋y ＋C ＝0的距离为2，求实数C 的。、
【思路导引】（1）根据点到直线的距离公式计算即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可求出实数C 的值。 【自主解答】 针对训练
11.（2018·怀化）根据下列材料，解答问题。 等比数列求和:
概念:对于一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即“
1
-k k
a a ＝q （常数），那么这一列数 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的
公比.
例:求等比数列1，3，32，33，…，3100的和 解:令S ＝1＋3＋32＋33＋…＋3100， 则3S ＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101，
因此，3S-S ＝3101-1，所以S ＝2
1
-3101。
即1＋3＋32＋33＋ (3100)
2
1
-3101。 仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为______________。 12.（2018·自贡）阅读下列材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（j · Napier ，1550年～1617年）。纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞数学家欧拉（Euler ，1707年～1783年），才发现指数和对数的联系，对数的定义:一般地，若a x ＝N （a ＞0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N.比如指数式24＝16可转化为对数式4＝log 2 16，对数式2＝log 5 25，可转化为52＝25. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
Log a （M ·N ）＝log a M ＋log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0），理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M ·N ＝a m ·a n ＝a m + n ， 由对数的定义得:m ＋n ＝log a （M ·N ）
又∵m ＋n ＝log a M ＋log a N ，∴log a （M ·N ）＝log a M ＋log a N . 解决以下问题:
（1）将指数式43＝64转化成对数式___________； （2）证明:N M N
M
a a a
log log log -=（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）
； （3）拓展应用:计算log 3 2＋log 3 6－log 3 4＝_____________。 13.（2018·济宁）知识背景
当a ＞0且x ＞0时，因为2
???
?
??-x a x ≥0，所以02≥+-x a a x ，从而x ＋x a ≥2a （当x ＝a 时x 取等号）. 设函数y ＝x ＋x
a
（a ＞0，x ＞0），由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2a 。 应用举例
已知函数y 1＝x （x ＞0）与函数y 2＝x 4（x ＞0），则当4=x ＝2时，y 1＋y 2＝x ＋x
4有最小值为＝42。 解决问题
（1）已知函数y 1＝x ＋3（x ＞-3）与函数y 2＝(x ＋3)2＋9（x ＞-3），当x 限何值时，1
2
y y 有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
14.（2018·荆州）阅读理解
在平面直角坐标系中，若两点P ，Q 的坐标分别是P （x 1，y 2），Q （x 2，y 2），则P ，Q 这两点间的距离为()()221221y y x x PQ -+-=
.如P （1，2），Q （3，4），则()()
2242312
2=-+-=PQ .
对于某种几何图形给出如下定义:符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。 解决问题
如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋2
1
，交y 轴于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，过点B 作直线l 平行于x 轴.
（1）到点A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是___________。
（2）若动点C （x ，y ）满足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达式； 问题拓展
（3）若（2）中的动点C 的轨迹与直线y ＝kx ＋2
1
交于E ，F 两点，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别是M ，N ，求证:①EF 是△AMN 外接圆的切线；②AF
AE 11+为定值。
15.（2018·郴州）参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝x
x 2
-（x ≠0）的图象与性质。 因为y ＝x x 2-＝x
2
1-，即y ＝x 2-＋1，所以我们对比函数y ＝x 2-来探究.
列表:
描点:在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y ＝x
x 2
-相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.
（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题:
①当x ＜0时，y 随x 的增大而___________；（填“增大”或“减少”） ②y ＝
x x 2-的图象是由y ＝x
2
-的图象向_______平移______个单位而得到； ③图象关于点_______中心对称（填点的坐标） （3）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数y ＝x
x 2
-的图象上的两点，且x 1＋x 2＝0，试求y 1＋y 2＋3的值.
16.（2018·东营）某学校“智慧方园”数学社团遇到只这样一个题目: 如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO ＝30°，∠OAC ＝
75
°，AO ＝33，BO:CO ＝1:3，求AB 的长。
经过社团成员讨论发现，过点D 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）。
请回答:（1）∠ADB ＝________°，AB ＝__________。 （2）请参考以上解题思路，解决问题:
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO ＝33，∠ABC ＝∠ACB ＝75°，BO:DO ＝1:3，求DC 的长.
x …
－4
－3 －2 －1
－
21
2
1 1
2
3
4 … y ＝x 2
-
… 21 32 1 2 4 －4 －2 －1 －32 －21 … y ＝x x 2- …
23 3
5 2
3
5
－3
－1
31 2
1 …
参考答案及解析
【典例1】
【自主解答】A 解析:选项A 中，3×（-2）＋2×3＝0，∴两向量互相垂直； 选项B 中，（2-1）·（2＋1）＋1×1＝2，∴两向量不垂直；
选项C 中，3×（3
1
-
）＋20180×（-1）＝-2，∴两向量不垂直； 选项D 中，38×（2）2＋（-2
1
）×4＝2，∴两向量不垂直。
【针对训练】1.A 解析:根据题意，得
第一次:当n ＝13时，F ①＝3×13＋1＝40，第二次:当n ＝40时，F ②＝3
240
＝5，第三次:当n ＝5时，F ①＝3×5＋1＝16，第四次:当n ＝16时，F ②＝42
16
=1，第五次:当n ＝1时，F ①＝3×1＋1＝4，第六次:当n ＝4时，F ②＝
12
4
2=，…… 从第四次开始，每2次循环运算一个循环，因为（2018－3）÷2＝1007……1，第2018次“F 运算”的结果是1.
2.B 解析:抛物线y ＝mx 2－4mx ＋4m －2＝m(x －2)2－2，其对称轴为x ＝2，顶点为（2，-2），则在对称轴上有（2，0），（2，－1），（2，－2）三个“整点”，∵边界上共有7个整点，∴整点（1，0），（1，－1），
（3，0），（3，－1）也在边界上或内部，则点（0，0）在外，从而()?????>---≤--0
2)20(1
2212
2
m m ，解得21＜m ≤1.
3. C 解析:因为??
?=-=+12
231
2y x y x ，所以D ＝21a a 21b b =32 2-1=2×(－2)－3×1=7.
2
1c c D x =
2
1b b =
12
1
2
-1=1×(－2)－1×12=－14，2
1a a D y =
2
1c c =
3
2
12
1=2×12－1×3=21。
因为???
????-=-===--==37212714D D y D D x y x ，所以方程组的解为???-==32y x ，所以说法错误的是C.
4.1或
2
1 5.4 解析:log
2 16＝log 2（2×8）＝log 22＋log 28＝1＋log 2（2×4）＝1＋log 22＋log 24 ＝1＋1＋log 2（2×2）＝1＋1＋log 22＋log 22＝1＋1＋1＋1＝4.
6.-2≤m ＜-1 解析:当x ＝1时，y ＝x 2－4＝1－4＝－3.所以在第四象限内，在二次函数y ＝x 2－4的图象上和图象上方的整点有3个，坐标为（1，－1），（1，－2），（1，－3）。 当反比例函数y ＝
x
m
（m ＜0）的图象经过点（1，－2）， 即m ＝xy ＝-2时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2个，
当反比例函数y ＝m （m ＜0）的图象经过点（1，-1），即m ＝xy ＝－1时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为3个，
∵在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2， ∴m 的取值范围为-2≤m ＜-1.
7.解：（1）2?（-5）＝2×2＋（-5）＝4-5＝-1.
（2）由题意，得:???-=+=-1422x y y x ，解方程组，得:???
????
-==94
9
7y x ，则x ＋y ＝319497=-。
8.（1）证明:由已知得:AC ＝CD ，AB ＝DB ，由已知尺规作图痕迹得: BC 是∠FCE 的角平分线，则:∠ACB ＝∠DCB ，
又∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ，∴∠ACB ＝∠ABC ，∴AC ＝AB ， 又∵AC ＝CD ，AB ＝DB ，∴AC ＝CD ＝DB ＝AB ，∴四边形ACDB 是菱形。 ∵∠ACD 与△FCE 中∠FCE 重合，它的对角∠ABD 的顶点在EF 上， ∴四边形ACDB 为△FEC 的亲密菱形。
（2）解:设菱形ACDB 的边长为x ，可证:△FAB ∽△FCE ，则
CE AB FC FA =，即6
612x
x -=，解得:x ＝4，过
A 点作AH ⊥CD 于点H ，在Rt △ACH 中，∠ACH ＝45°，∴AH ＝
2
AC
＝22. ∴四边形ACDB 的面积为:4×22＝82.
9.（1）解:如图1所示。
（2）证明:∵∠ABC ＝80°，BD 平分∠
ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝40°，∴∠A ＋∠ADB ＝140o. ∵∠ADC ＝140°，∴∠BDC ＋∠ADB ＝140o。∴∠A ＝∠BDC ，
∵??
?
??C ＝∠ADB ∠BDC ＝∠A ∠DBC ＝∠ABD ∠，∴△ABD ∽△DBC 。∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”。 （3）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴△EFH 与△HFG 相似. 又∠EFH ＝∠HFG ，∴△FEH ∽△FHG ，∴
FG
FH
FH FE =
，∴FH 2＝FE ·FG. 过点E 作EQ ⊥FG ，垂足为点Q.则EQ ＝FE × sin60°＝
FE 2
3
。 ∵
21FG ×EQ ＝32，∴2
1
FG ×23FE ＝23，
∴FG ·FE ＝8，∴FH 2＝FE ·FG ＝8，∴FH ＝22. 10.（1）
34或2
9
或6. （2）证明:∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠CAD.又∵∠BAC ＝∠ADC ，∴△ABC ∽△DCA. ∴
AD
CA
CA BC =，即CA 2＝BC ·AD.∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD.∴∠ADB ＝∠ABD,∴AB ＝AD. ∴CA 2＝BC ·AB.∴△ABC 是比例三角形.
（3）解:如图，过点A 作AH ⊥BD 于点H.∵AB ＝AD ，∴BH ＝
2
1BD. ∵AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∴∠BCD ＝90°,∴∠BHA ＝∠BCD ＝90°， 又∵∠BHA ＝∠BCD,∠ABH ＝∠DBC,∴△ABH ∽△DBC.
∴BC BH DB AB =
∴AB ·BC ＝DB ·BH.∴AB ·BC ＝21
BD 2，又∵AB ·BC ＝AC 2， ∴2
1
BD 2＝AC 2，∴AC ＝2. 【典例2】
【自主解答】解:（1）d ＝2
2
3
45
0403+-?-?＝1.
√32＋42
（2）由题意，得2
01112C
+?+?=
,∴｜C ＋1｜＝2，
∴C ＋1＝±2，∴C 1＝1，C 2＝-3. 【针对训练】
11. 4
1-52019 解析:令S ＝1＋5＋52＋53＋ (52018)
则5S ＝5＋52＋53＋…＋52018＋52019，因此，5S-S ＝52019 -1，所以S ＝4
1
-52019，
即1＋5＋52＋53＋ (52018)
4
1
-52019. 12.（1）log 4 64＝3.
（2）证明:设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，
∴n m n m a a a N M -==，由对数的定义得m －n ＝log a N
M . 又∵m-n ＝log a M －log a N ，∴ log a N M
＝log a M －log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）. （3）解: 1og 3 2－log 36－log 34＝log 34
2
6?＝log 33＝1.
13.解:（1）∵x ＞－3，∴x ＋3＞0，
∴12y y ＝39)3(239)3(39)3(2+?+≥+++=+++x x x x x x .即1
2y y
≥6.
∴
1
2
y y 的最小值6，此时x ＋3＝9＝3，解得x ＝0. （2）设该设备平均每天的租赁使用成本为w.
根据题意，得w ＝x
x x 2001.0200490++，∴200)490000(001.0++=x x w 。
∵x ＞0，∴w ≥0.001×2
x x
·490000
＋200.即w ≥201.4. ∴w 的最小值为201.4.此时x ＝490000＝700.
答:当x 取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元。 14.解:（1）以A 为圆心，AB 长为半径的圆；
（2）设点C 到直线l 的距离为d ，d ＝｜y ＋
2
1
｜。 ∵直线y ＝kx ＋21交y 轴于点A ，∴令x ＝0得y ＝21，即A （0，2
1
），
线段CA 的长度＝22
)2
1
()0(-+-y x ，d ＝2
2
)2
1(-+y x 。
∴将d ＝｜y ＋
21｜代入化简得:y ＝2
1
x 2。 即动点C 轨迹的函数表达式为y ＝2
1
x 2。
（3）①证明:如图，由（2）可知EA ＝EM ，FA ＝FN.又∵EM ⊥直线l ，FN ⊥直线l ，∴EM ∥FN ，
∴∠MEA ＋∠NFA ＝180°∴∠EAM ＝21（180°－∠MEA ），∠FAN ＝2
1（180°－∠NFA ）， 则∠EAM ＋∠FAN ＝21（180°－∠MEA ）＋2
1
（180° －∠NFA ）
＝180°－2
1
（∠MEA ＋∠NFA ）＝90°
∴∠MAN ＝90°，即△AMN 是直角三角形。
设点G 是△AMN 外接圆的圆心，则点G 是直径MN 的中点，连接AG ，EG.
∵??
?
??===EG EG MG AG EA EM ，∴△AEG ≌△MEG ，∴∠EAG ＝∠EMG ＝90° ∴GA ⊥EF ，∴EF 是△AMN 的外接圆的切线. ②证明:设点E ，F 的坐标分别为（x 1，kx 1＋
21），（x 2，kx 2＋2
1），则EM ＝kx 1＋1，FN ＝kx 2＋1. 联立抛物线与直线EF 的解析式???
????
+==21
2
12kx y x y ，得21212+=kx x 化简得：021212=--kx x 。
∴x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝-1， EM ＋FN_kxi ＋1＋kx2＋1∴AE
∴
()()()()()2
1
2
212)(112)(1111·111122
212122*********=++=+++++=++++=
+++++=
+=+=+k k x x k x x k x x k kx kx x x k kx kx kx kx FN EM FN EM FN EM AF AE
故
AF
AE 1
1+
的值为定值。 15.解:（1）连线如图
（2）①增大，②上，1，③（0，1） （3）y 1＋y 2＋3＝212
1212125112532121x x x x x x x x x
+?-=???
? ??+-=+-+-，因为x 1＋x 2＝0， 所以y 1＋y 2＋3＝5－2×0＝5。
16.解:（1）∵BD ∥AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∠C ＝∠CBD 。
∵??
?
??∠∠∠BOD ＝AOC ∠CBD ＝C ∠D
＝CAD ∠，∴△BOD ∽△COA ，∴DO:AO ＝BO:CO ，∴DO ：33＝1:3， ∴DO ＝3，∴AD ＝43；
∵∠ADB ＝∠OAC ＝75°，∠ABD ＝180°－∠BAC ＝180°－30°－75°＝75°， ∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AB ＝AD ＝43。
（2）过点B 作BE ∥AD ，交AC 于点E ，作∠BCF ＝∠CBF ，CF 交BE 于点F ， 类比（1）小题，由△BOE ∽△DOA ，可得OE ＝3，∴AE ＝43， ∵∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∴∠BAE ＝30°，
∵AD ∥BE ，∠DAE ＝90° ∴三角形ABE 是直角三角形。
∴BE ＝AE ·tan ∠BAE ＝43·tan30°＝4。∵△BOE ∽△DOA ，∴BE:AD ＝BO:DO ，4:AD ＝1:3，∴AD ＝12。∵∠CBF ＝∠ABC －∠ABE ＝75°－60°＝15°，∴∠BCF ＝∠CBF ＝15°， ∴∠CFE ＝∠BCF ＋∠CBF ＝30°，∴CE ＝
21CF ＝2
1
BF 。 设CE ＝x ，在Rt △CEF 中，由勾股定理得x 2＋(4－2x)2＝(2x)2，
解得:x 1＝8＋43（舍去），x 2＝8－43，∴AC ＝AE ＋CE ＝43＋8－43＝8，
∴CD ＝
13
41282222=+=+AD AC 。
（专题精选）初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB ∠不一定．．． 是直角的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】 解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角. 选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角. 选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】 本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．36ππ C ．312π D ．48336ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．
【详解】 连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C （﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C 上的一个动点，已知A （﹣1，0），B （1，0），连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P （x ，y ），表示出PA 2+PB 2的值，从而转化为求OP 的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可． 【详解】 设P （x ，y ）， ∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2， ∵OP 2＝x 2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2， 当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E
练习题（一） 1.计算： ( ) 1 02 1211381 21-?? ? ??+-+ ++ 2. 16的平方根是 3.分式1 12+-x x 的值为零，则=x 4.等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是 5.若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是 6.函数11 2 ++= x x y 的定义域是 ，若1 1 3)(-+=x x x f 则=)4(f 7.相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是 8.在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i 9.把抛物线32 -=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是 10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 1 1 11.方程3815162 2 =?? ? ??++??? ? ?+ x x x x 设y x x =+1 原方程可变形关于y 的整式方程是 12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是 A D B 13.若正多边形的中心角是0 36，则这个正多边形的边数是 14.分式方程 011 12=-+-x x x 的根是 15.分解因式=+--2 221a ax x 16.数据5，-3，0，4，2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是 21-x ＜3 x 18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。 19.已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20.两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.上海市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是 22.在边长为2的菱形ABCD 中，0 45=∠B AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E ， 那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23.已知222 =-x x 代简求值 24.解方程：3 10 66=+++x x x x ()()()()()133312 --+-++-x x x x x
欢迎来主页下载---精品文档 九年级数学第二十四章圆测试题（A） 一、选择题（每小题3分，共33分） ，最aO上的点的最大距离为·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙1．（2005 ），则此圆的半径为（小距离为b（a>b）b?baa?．A B．221 ——A图24ba?a?b ba?a?b或或 D ．C．22，则弦的长为3到弦AB的距离OM1A—，⊙O的直径为10，圆心O2．（2005·浙江）如图24—）AB的长是（ ．8 DC．7 B．6 A．4 ）°，则∠BOC的度数为（3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80120°D．80°C．160°A．40°B．）OBC的度数为（，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠4．如 图24—A—270°D．°C．50°A．20°B．40 4 —AA——3 图图24—A—242 图24—5 —A—图24 点钉OB在O—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、5．如图24—A个OE=8个单位，OF=6在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度）单位，则圆的直径为（B．10个单位A．12个单位 15个单位D．个单位C．1 ）等于（°，则∠A 为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60—6．如图24A—4，AB°D．30．50°C．40°A．80°B、PA 于点E，分别交A、B，CD切⊙O，—A—5P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于7．如图24 ）的周长为（、D，若PA=5，则△PCDPB于点C10 D．7 C．8 ．A．5 B，为防雨需在粮仓顶部铺上，母线长为3m8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ）油毡，则这块油毡的面积是（
圆所有经典难题 一，选择题 1.下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97° B ．104° C ．116° D ．142° 3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。 B 、一个三角形只有一个外接圆。 C 、和半径垂直的直线是圆的切线。 D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。 4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A 、60o或120o B. 30o或120o C. 60o D. 120o 5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５ 6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。 7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。 8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含 9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ）， A B P O
中考数学基础训练20 时刻:30分钟 你实际使用 分钟 班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1．如图1，在平面直角坐标系中，点E 的坐标是（ ） Ａ．(12)， Ｂ．(21)， Ｃ．(12)-， Ｄ．(12)-， 2．在ABC △中，90C ∠=，34AC BC ==，，则sin A 的值是（ ） Ａ． 4 3 Ｂ． 45 Ｃ． 34 Ｄ．35 3．如图2，Rt Rt ABC DEF △≌△，则E ∠的度数为（ ） Ａ．30 Ｂ．45 Ｃ．60 Ｄ．90 4．下列各式运算结果为8x 的是（ ） Ａ．44x x · Ｂ．44()x Ｃ．16 2 x x ÷ Ｄ．4 4 x x + 5．小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情形，则李老师最关注小伟数学成绩的（ ） Ａ．平均数 Ｂ．众数 Ｃ．中位数 Ｄ．方差 6．如图3，数轴上点N 表示的数可能是（ ） 7．如图4，点A B C D E F G H K ，，，，，，，，差不多上78?方格纸中的格点，为使DEM ABC △∽△，则 点M 应是F G H K ，，，四点中的（ ） Ａ．F Ｂ．G Ｃ．H Ｄ．K 8．图5能折叠成的长方体是（ ） 0 1 2 3 4 1- N 图3 C 60 图2 图4
二、细心填一填 9．2-的绝对值等于 ． 10．某水井水位最低时低于水平面5米，记为5-米，最高时低于水平面1米，则水井水位h 米中h 的取值范畴是 ． 11．已知两圆的圆心距12O O 为3，1O 的半径为1， 2O 的半径为2，则1O 与2O 的位置关系为 ． 12．如图6，点P 是O 外一点，PA 切O 于点A ， 60O ∠=，则P ∠度数为 ． 13．大连某小区预备在每两幢楼房之间，开创面积为300平方米的 一块长方形绿地，同时长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为 ． 14．如图7，双曲线k y x =与直线y mx =相交于A B ，两点， B 点坐标为(23)--，，则A 点坐标为 ． 15．图8是二次函数221y ax x a =-+-的图象， 则a 的值是 ． 三、解答题 16．已知方程 1 11 x =-的解是k ，求关于x 的方程20x kx +=的解． 答案： 一、选择题 1．Ａ； 2．Ｂ； 3．Ｃ； 4．Ａ； 5．Ｄ； 6．Ｂ； 7．Ｃ； 8．Ｄ． 二、填空题 A P O 图6 图8 y x O 图7 A y x O B 图5 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
九年级 圆的专题（含答案） 1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆，且此圆半径不大于2 R ． 解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆． 由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=．取到等号仅当P 为圆心时． 2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与 1O e 交于点D ， 且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △． 解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △． 设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=?，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠． 又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△， 求BC ． 解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角 形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==， 72 BC =． C F G P H D B E A (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；
（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?
圆的相关练习题（含答案） 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则 的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ， 的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求证：
600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ 答案：1.60度 2. 3 2 3. 1 3 4 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 9.略 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ， AE=ED B
基础知识反馈卡·1.1 时间：15分钟 满分：50分 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．－4的倒数是( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－1 4 2．下面四个数中，负数是( ) A ．－5 B ．0 C ．0.23 D ．6 3．计算－(－5)的结果是( ) A ．5 B ．－5 C.15 D ．－1 5 4．数轴上的点A 到原点的距离是3，则点A 表示的数为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．6或－6 5．据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为( ) A ．4.6×108 B ．46×108 C ．4.6×109 D ．0.46×1010 6．如果规定收入为正，支出为负．收入500元记作500元，那么支出237元应记作( ) A ．－500元 B ．－237元 C ．237元 D ．500元 二、填空题(每小题4分，共12分) 7．计算(－3)2＝________. 8.1 3 -＝______；－14的相反数是______． 9．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图J1－1－1，则a ______b (填“<”、“>”或“＝”)． 图J1－1－1 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7.__________ 9．__________ 三、解答题(共14分) 10．计算：︱－2︱＋(2＋1)0－-113?? ???.
时间：15分钟满分：50分 一、选择题(每小题4分，共12分) 1．化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为() A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3 2．衬衫每件的标价为150元，如果每件以8折(即按标价的80%)出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为() A．30元B．60元C．120元D．150元 3．下列运算不正确的是() A．－(a－b)＝－a＋b B．a2·a3＝a6 C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2D．3a－2a＝a 二、填空题(每小题4分，共24分) 4．当a＝2时，代数式3a－1的值是________． 5．“a的5倍与3的和”用代数式表示是____________． 6．当x＝1时，代数式x＋2的值是__________． 7．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男生人数是________．8．图J1－2－1是一个简单的运算程序，若输入x的值为－2，则输出的数值为 ____________． 输入x―→x2―→＋2―→输出 图J1－2－1 9．搭建如图J1－2－2(1)的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图J1－2－2(2)、(3)的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管. 图J1－2－2 答题卡 题号12 3 答案 4.____________ 7.____________8.____________9.____________ 三、解答题(共14分) 10．先化简下面代数式，再求值： (x＋2)(x－2)＋x(3－x)，其中x＝2＋1.
《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A
r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B
九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的 最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ．2b a + B ．2 b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 图24—A
5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切 于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆 组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下： 如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切．
（2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=．
初三数学中考训练题（五） 1.计算： ()102121138121-??? ??+-+++ 2. 16的平方根是 3.分式112+-x x 的值为零，则=x 4.等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是 5.若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是 6.函数112++=x x y 的定义域是 ，若1 13)(-+=x x x f 则=)4(f 7.相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是 8.在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i 9.把抛物线32 -=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是 10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 11 11.方程38151622=??? ??++??? ?? +x x x x 设y x x =+1原方程可变形关于y 的整式方程是 12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是 A D B 13.若正多边形的中心角是0 36，则这个正多边形的边数是 14.分式方程01112=-+-x x x 的根是 15.分解因式=+--2221a ax x 16.数据5，-3，0，4，2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是 21-x ＜3x 18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。 19.已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20.两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是 22.在边长为2的菱形ABCD 中，045=∠B AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折 后得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23.已知222=-x x 代简求值()()()()()133312 --+-++-x x x x x
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． (1)求证：AC 平分∠DAB ； (2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)若tan ∠ABC= 3 4，BE=72，求线段PC 的长． 4.
5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
第21章 一元二次方程（基础训练） 一、选择题（每题4分，共20分） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 02=++c bx ax B. 24)32)(12(2+=+-x x x C. 128)4(+=+x x x D. 04232=-+y x 2、一元二次方程012222=+-x x 的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3、用配方法将方程0142=--x x 变形为m x =-2)2(的过程中，其中m 的值正确的是（ ） A. 4B. 5 C. 6 D. 7 4、下列一元二次方程中两根之和等于6的是（ ） A.01562=-+x x B.01562=++x x C.01562=+-x x D.01562=--x x 5、参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加聚会，则根据题意所列方程正确的是（ ） A.10)1(21=-x x B.10)1(21 =+x x C.10)1(=-x x D.10)1(=+x x 二、填空题（每题5分，共20分） 6、将方程38)1)(23(-=+-x x x 化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是______________，一次项系数是____________，常数项是______________。 7、如果2是方程02=-c x 的一个根，那么常数c 的值是_______，该方程的另一个根是_________。 8、一元二次方程01322=--x x 的解是______________________。 9、一个矩形的长和宽相差3cm ，面积是4cm 2，则这个矩形的长是________，宽为_______。 三、简答题 10、选择合适的方法解下列方程：（每题5分，共30分） （1）0182=+-x x （2）0742=--x x （3）02632=--x x （4）016102=++x x （5）010522=++x x （6）x x x 8216812-=+-
初中数学“圆”专题复习（初三必备） 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1 ， S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米
九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4