线性代数中矩阵乘法的本质
一、线性空间
1.1线性的含义
线性代数里面的“线性”意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义。中学里，函数f(x)=kx+b称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数。
在线性代数中，为了线性函数的进一步推广，把一元线性函数f (x)= kx + b中的b去掉，即只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数，这是因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。
线性函数的“线性”二字，体现在几何意义和代数意义2个方面：几何意义，线性就是指几何上是一条线，称为线性；而代数意义上，线性体现在①可加性（对加法封闭）②比例性（对数乘封闭）。
1.2、空间
空间的概念比较抽象，简单来说，能装东西的就是空间。数学上定义，里面装了可以运算的东西就是空间。从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。就好像从水果这个泛型概念开始，一步步往上加定义，可以形成很多更加具体化的概念，如热带水果，甜的热带水果，苹果，红苹果等等。线形空间算是还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间；赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间；内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间；如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。
空间有一些具体特征，就好像水果这个泛指的概念也有一些属性来描述一样，空间具有以下属性特征：
①由很多（实际上是无穷多个）位置点组成
②这些点之间存在相对的关系
③可以在空间中定义长度、角度
④这个空间可以容纳运动
上面的这些性质中，③比较特殊，其他的空间不需要具备，因此不是关键的性质，或者说一种泛有的性质，而④则是空间的本质，即容纳运动是空间的本质特征。
事实上，无论是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合该空间规则的运动（或者叫做变换）。可以发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是一个容纳可以运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
1.3、线性空间
既然空间是一个容纳可以运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。那么线性空间中的对象集合和线性空间中的运动（线性变换）是如何表示的呢？
线性空间中的任何一个对象，通过选取坐标系(基)的办法，都可以表达为向量的形式。只要找到合适的坐标轴（也就是基），建立了一个坐标系，就可以用坐标（表示成向量的形式）表示线性空间里任何一个对象。
换句话说，给你一个空间，你就能用基和坐标来描述这个空间中的对象！
这是因为向量表面上只是一列数，但是由于向量的有序性，除了这些数本身携带的信息之外，还在对应位置上携带信息。即向量携带的信息同时包含了位置信息以及这个位置上对应的数的本身的信息。
这就是为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。
那么，线性空间中的运动（线性变换）是如何表示的呢？
二、矩阵的乘法
2.1、线性空间中的“运动”
线性空间中的运动，也就是为线性变换。
根据第一章的定义可知，从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。
那么，线性变换如何表示呢？在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵乘法来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
即，在线性空间中选定基之后，向量（坐标）刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
因此，矩阵乘法的本质是线性空间中“运动”的施加。
2.2 “运动”的含义
在人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了微积分中的连续性的概念。而连续这个概念，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。
不过此处的“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。但事实上，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们无法观察到。
但是无论如何，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵乘法是线性空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个数学术语——变换，来描述之。
所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。
附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线
段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。
2.3、矩阵乘法的定义
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵乘法就变成：“矩阵乘法是线性空间里的变换的描述。”到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。
当然，教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就称T为线性变换。
变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间V的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个矩阵来描述。
最后把矩阵乘法定义完善如下：“矩阵乘法是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵乘法来加以描述。”
例如上图的1，在一个线性空间V里的一个线性变换T，选定好基地X1、X2、X3后，那么对于这种线性变换T，可以用矩阵A的乘法来描述，如对矩阵d实施这种变换，变换后，矩阵d这个线性空间中的对象变成了e这个对象，这个e是三维的，也就是图1中a、
b、c都是可以变化的，因此e的变化是三维的；而在图2中，e是二维的，始终处于a、c 所确定的平面中。
对于矩阵乘法，主要是考察一个矩阵对另一个矩阵所起的变换作用。其作用的矩阵看作是动作矩阵，被作用的矩阵可以看作是由行或列向量构成的几何图形。
同样，如果一连串的矩阵相乘，就是多次变换的叠加么。而矩阵左乘无非是把一个向量或一组向量（即另一个矩阵）进行伸缩或旋转。乘积的效果就是多个伸缩和旋转的叠加！比如S=ABCDEF会把所有的矩阵线性变化的作用力传递并积累下去，最终得到一个和作用力S。工业上的例子就是机器人的手臂，机械臂上的每个关节就是一个矩阵（比如可以是一个旋转矩阵），机械臂末端的位置或动作是所有关节运动的综合效果。这个综合效果可以用旋转矩阵的乘法得到。
三、另一种简单的理解方式
小明今天要做饭，消耗2斤肉，1斤蔬菜。肉每斤20元，蔬菜每斤5元，则一共需多少花费？这个问题的答案很简单：
用向量相乘的方法写出来：
如果小明第二天有另一种做饭的方法，需要消耗1斤肉，4斤蔬菜，那么这两种方法的花费各是多少呢？我们显然需要另算这第二种方法的花费。把这个做饭方式写在第二个矩阵（向量是宽度或长度为1的矩阵）里：
小明家附近还有另一个菜市场，那里肉每斤15元，蔬菜每斤10元。那么，小明如果去这个菜市场，花费又是多少呢（分别计算上述两种做饭方式）？我们把这另外的一种价格写进第一个矩阵里：
这样我们看到了一个矩阵乘法的例子。在左边的这个矩阵的每一行，都代表了一种价目表；在右边的矩阵的每一列，都代表了一种做饭方式。那么所有可能的组合所最终产生的花费，则在结果矩阵中表示出来了。
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
线性代数教学教案 第5章 矩阵的特征值与特征向量 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第5章 第1节 特征值与特征向量 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质以及矩阵的特征值和特征向量的求法 教学难点 矩阵的特征值和特征向量的求 法 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 教 学 基 本 内 容 一．特征值与特征向量的概念 1．设是n 阶方阵，如果存在数和n 维非零列向量x ，使关系式=成立，那么，称为方阵的特征值，非零列向量称为的对应于特征值的特征向量. 2．特征方程：称，即=为方阵A 的特征方程. 3．特征多项式与特征矩阵：是关于的n 次多项式，称为方阵的特征多项式，记作. 称为的特征矩阵. 二．特征值与特征向量的性质 1．设矩阵A 的特征值为，则 (1) ； (2) . 2．矩阵的迹：设矩阵,称为的迹，记为tr . A λAx x λλA x A λ0-=A E λ111212122212n n n n nn a a a a a a a a a λ λλ --- 0||λ-A E λA ()A f λλ-A E A ()n n ij a ?=n ,,λλλ 21121122n nn a a a λλλ+++=+++ 12n A λλλ= A ()n n ij a ?=1122nn a a a +++ A A
3．矩阵和有相同的特征值. 4．设是n 阶可逆矩阵，则 (1) 的特征值都不为零； (2) 若是的特征值，则是的特征值. 5．设是关于的多项式，是n 阶方阵，此时，若是的特征值，则是的特征值，此时称为的特征多项式. 6．定理：设是n 阶方阵的m 个特征值, 依次是与之对应的特征向量. 如果互不相等，则线性无关. 三．例题讲解 例1．求A 的特征值和特征向量. 例2．求矩阵A 的特征值和特征向量. 例3．求矩阵 的特征值和特征向量. 例4．设是n 阶方阵的特征值, 证明：的特征值. 例5．已知3阶方阵的特征值为，1，2，求. 例6．已知为n 阶方阵，是A 的两个不同的特征值，是的分别对应于的特征向量，证明：不是A 的特征向量. 例7．设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平. 分别为该地区t 年后的环境污染水平和经济发展水平，有关系式如下：，试预测该地区t 年后的环境污染水平和经济 发展水平之间的关系. A T A A A λA 1-λ1-A 10()m m f x a x a x a =+++ x A 10()m m f a a a =+++ A A A E λA ()f λ()f A ()f A A 12,,,m λλλ A 12,,,m x x x 12,,,m λλλ 12,,,m x x x ?? ????=2134???? ??????-=100031111211020413A -????=????-?? λA 22λ是A A 1-325A A -A 12,λλ12,x x A 12,λλ12+x x 00,x y ,t t x y ()-1-1-1-1=3+=1,2,,=2+2t t t t t t x x y t k y x y ?? ?
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有 命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价： （1） （2） （3） （4） 三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组 若记 则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2) 其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵 则 ， 这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式 成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 四、矩阵的转置 定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或 ). 即若 则
认识一维数组和二维数组。理清概念很重要，不要混淆数组、数组公式。 第一，一维数组和二维数组的定义 单行或单列的数组，我们称为一维数组。 多行多列（含2行2列）的数组是二维数组。 第二，数组和数组公式的区别 数组，就是元素的集合，按行、列进行排列。 数组公式：就是包含有数组运算的公式。ctrl+shift+enter，三键结束，这个过程就是告诉excel请与数组运算的方式来处理本公式，反馈一个信息，就是在公式的外面添加一对花括号。 第三，一维数组和二维数组的运算规律 1、单值x与数组arry运算 执行x与arry中每一个元素分别运算并返回结果，也就是与arry本身行列、尺寸一样的结果。 比如：2*{1,2;3,4;5,6}，执行2*1、2*2、2*3……2*6运算，并返回3行2列的二维数组结果{2,4;6,8;10,12}，如下图所示： 数组中行和列分别用逗号、分号来间隔。逗号表示行，行之间的关系比较紧密，用逗号分割；列之间，关系相对比较疏远一点，用分号分割。 又比如："A"&{"B","C"}返回{"AB","AC"}。"A"={"B","A","C"}返回{FALSE,TRUE,FALSE} 2、同向一维数组运算 执行arry1与arry2对应位置的元素分别运算并返回结果。要求arry1与arry2尺寸必须相同，否则多余部分返回#N/A错误。 比如： {1;2;3}*{4;5;6}返回{4;10;18}； {1,2,3,4}*{4,5,6}返回{4,10,18,#N/A}，如下图所示： 3、异向一维数组运算 arry1的每一元素与arry2的每一元素分别运算并返回结果，得到两个数组的行数*列数个元素，也就是M行数组与N列数组运算结果为M*N的矩阵数组。 比如：{1;2;3}*{4,5,6,7,8}，执行1*4、1*5、……1*8、2*4、2*5……3*8，返回{4,5,6,7,8;8,10,12,14,16;12,15,18,21,24}
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1221222,1 1,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 00 000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------== =- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 00010002000199900 02000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!0199900 02000 000D ?---=-=--= 解法三：分块法 00010002000199900 02000000 002001 D = 利用分块行列式的结果可以得到
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
111 第5章 线性代数的基本运算 本章学习的主要目的： 1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识. 2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行列式 5.1.1 n 阶行列式定义 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号 D=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即
112 D= ∑ -n p p p n p p p 21n np 2 p 21 p 1) 21( a a a )1(τ, 其中 ∑n p p p 21表示对所有n 级排列求和, ) ,,,(21n p p p τ是排列 n p p p 21的逆序数. 5.1.2 行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等 于对应两个行列式之和.即 nn n n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21'2 1 '22221 '11211212 1 22221 112 1121'2 1 '222221'111211+ =+++ (7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.
1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;
目录 一、行列式 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
矩阵的基本运算法则 1、矩阵的加法 矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ?矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）： （1）交换律：+=+A B B A （2）结合律：()()++++A B C =A B C 注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。 2、数与矩阵相乘 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ?矩阵，λ和μ为数）： （1）结合律：()λμλμ=A A （2）分配律：()λμλμ+=+A A A （3）分配律：()λλλ+=+A B A B 注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 3、矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）： （1）交换律：≠AB BA （不满足） （2）结合律：()()=AB C A BC （3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B （4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA 4、矩阵的转置 矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）： （1）()T T =A A
（2）()T T T +=+A B A B （3）()T T λλ=A A （4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式 由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）： （1）T =A A （2）n λλ=A A （3）=AB A B 6、共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）： （1）+=+A B A B （2）λλ=A A （3）=AB AB 7、逆矩阵 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A （2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111 λλ--=A A （3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A 参考文献： 【1】线性代数（第五版），同济大学
线性代数知识点总结（第5章） （一）矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义： 设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。 2、特征多项式、特征方程的定义： |λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。 |λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。 注:特征方程可以写为|A-λE|=0 3、重要结论： （1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量 （2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。 （3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。 △4、总结：特征值与特征向量的求法 （1）A为抽象的：由定义或性质凑 （2）A为数字的：由特征方程法求解 5、特征方程法： （1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn 注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略) （2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解） 6、性质： （1）不同特征值的特征向量线性无关 （2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1≤n-r（λi E-A）≤k i （3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii （4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0
（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则 A f（A）A T A-1A* P-1AP（相似） λf（λ）λλ-1|A|λ-1λ αα/ ααP-1α （二）相似矩阵 7、相似矩阵的定义： 设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B 8、相似矩阵的性质 （1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似 （2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似 （3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和） 【推广】 （4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似 （三）矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义： 如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。 注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件 （1）A有n个线性无关的特征向量 （2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件： （1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关） （2）A为实对称矩阵
矩阵基本运算及应用 201７0０0６0牛晨晖 在数学中,矩阵就是一个按照长方阵列排列得复数或实数集合、矩阵就是高等代数学中得常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中、在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学与量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵得运算就是数值分析领域得重要问题。将矩阵分解为简单矩阵得组合可以在理论与实际应用上简化矩阵得运算。在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入得应用,本文将在介绍矩阵基本运算与运算规则得基础上,简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面得应用情况,并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统得紧密结合。 1矩阵得运算及其运算规则 1。1矩阵得加法与减法 1、1、1运算规则 设矩阵,,?则 ?简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置得元素相加减！?注意:只有对于两个行数、列数分别相等得矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算就是可行得. 1。1、２运算性质 满足交换律与结合律
交换律;?结合律. １.2矩阵与数得乘法 ?１。2、１运算规则?数乘矩阵Ａ,就就是将数乘矩阵A中得每一个元素,记为或.?特别地,称称为得负矩阵。 1。2、2运算性质?满足结合律与分配律?结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)Ａ＝λA+μA.?分配律:λ(A＋B)＝λＡ+λＢ. 1、2、3典型举例?已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵、?解由已知条件知 1、３矩阵与矩阵得乘法 ?１。3.1运算规则?设,,则A与B得乘积就是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即. (2) C得第行第列得元素由A得第行元素与B得第列元素对应相乘,再取乘积之与、 1、3、2典型例题
矩阵乘积的运算法则的证明 矩阵乘积的运算法则 1 乘法结合律：若n m C A ?∈,p n C B ?∈ , q p C C ?∈，则C AB BC A )()(=. 2 乘法左分配律：若A 和B 是两个n m ?矩阵，且C 是一个p n ?矩阵，则BC AC C B A +=+)(. 3 乘法右分配律：若A 是一个n m ?矩阵，并且B 和C 是两个p n ?矩阵，则BC AC C B A +=+)(. 4 若α是一个标量，并且A 和B 是两个m n ?矩阵，则B A B A ααα+=+)(. 证明 1 ①先设n 阶矩阵为)(ij a A =,)(ij b B =, )(ij c C =,)(ij d AB =,)(ij e BC = )(ij f ABC =,)()(ij g BC A =,有矩阵的乘法得： 故对任意n j i 2,1,=有： =ij g 故)()(BC A C AB = ②再看 mn ik a A )(= ,np kj b B )(=,pq jt c C )(=, mp ij d AB )(= , nq kt e BC )(= , mq it g BC A )()(=, 有矩阵的乘法得： 故对任意的,2,1m i = ,2,1p j = ,2,1n k = q t 2,1=有： 6nt in t i t i e a e a e a +++= 2211 =ij g 故)()(BC A C AB = 证明 2 设ij A 表示矩阵A 的第i 行，第j 列上的元素，则有
=ij ij BC AC )()(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明 3 同理矩阵乘法左分配律可得 = []ij C B A )(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明 4 设????????????==mn m m n n mn ij a a a a a a a a a a A 2122221 11211)(，????????????==mn m m n n mn ij b b b b b b b b b b B 2 12222111211)(， 可得=+B A ????????????+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221 12222 2221211112 121111， =A α????????????mn m m n n a a a a a a a a a ααααααααα 212222111211，B α????????????=mn m m n n b b b b b b b b b ααααααααα 21 2222111211， B A αα+???? ??????? ?+++++++++=)()()()()()()()()(221122222221211112121111mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ααααααααα ， 所以)(B A +α=B A αα+.
矩阵得定义及其运算规则 1、矩阵得定义 一般而言,所谓矩阵就就是由一组数得全体,在括号内排列成m行n 列(横得称行,纵得称列)得一个数表,并称它为m×n阵。 矩阵通常就是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列得矩阵可以简记为:,或 。即: (23) 我们称(23)式中得为矩阵A得元素,a得第一个注脚字母,表示矩阵得行数,第二个注脚字母j(j＝1,2,…,n)表示矩阵得列数。 当m＝n时,则称为n阶方阵,并用表示。当矩阵(a ij)得元素仅有一行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵,有相同得行数与相同得列数,而且它们得对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j得元素组成得对角线为主对角线,构成这个主对角线得元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧得元素全为零,而另外一侧得元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵。例如,以下矩阵都就是三角形矩阵: , ,, 。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中,如果只有得元素不等于零,而其她元素全为零,如: 则称为对角矩阵,可记为。如果在对角矩阵中所有得彼此都相等且均为1,如: ,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示,即: 当矩阵中所有得元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示。 4、矩阵得加法 矩阵A＝(a ij)m×n与B＝(b ij)m×n相加时,必须要有相同得行数与列数。如以C＝(c ij)m ×n表示矩阵A及B得与,则有: 式中:。即矩阵C得元素等于矩阵A与B得对应元素之与。 由上述定义可知,矩阵得加法具有下列性质(设A、B、C都就是m×n矩阵): (1)交换律:A＋B＝B＋A (2)结合律:(A＋B)＋C＝A＋(B＋C) 5、数与矩阵得乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中得所有元素都乘上k之后所得得矩阵。如: 由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质:设A、B都就是m×n矩阵,k、h为任意常数,则: (1) k(A＋B)＝kA＋kB (2)(k＋h)A＝kA＋hA
第二节 行列式的性质与计算 § 行列式的性质 考虑111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 11212 1 2 12 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =
推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=1112111221 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式 2 324311112321311 (1)(2) 323 4 11310 4 25 1113 D --= -
矩阵的运算及其运算规则 一、矩阵的加法与减法 1、运算规则 ，，设矩阵则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！加减法运算才有意义，列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），注意：只有对于两个行数、即加减运算是可行的． 2、运算性质（假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律 ；交换律 ．结合律二、矩阵与数的乘法 运算规则、1 ．中的每一个元素，记为或数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A
的负矩阵．特别地，称称为 2、运算性质 满足结合律和分配律μA．)A =A)(μ； (λ+μλA+)A=结合律： (λμλ．λ分配律：λ (A+B)=λA+B 典型例题例6.5.1 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵．由已知条件知解 三、矩阵与矩阵的乘法 运算规则、1 是这样一个矩阵：A与B的乘积设，，则 相同，即BA相同，列数与（右矩阵）． (1) 行数与（左矩阵）
的第行元素与B列的元素由的第列元素对应相乘，再取 (2) C行第A的第乘积之和．典型例题 设矩阵例6.5.2 计算 解的矩阵．设它为是
，行矩阵，和：想一想设列矩阵的行数和列数分别 是多少呢 只有一个元素．的矩阵，即1 ×1是的矩阵，3×3是课堂练习
，求．1 、设，B左乘A道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为2 、在第1，运算还能进行吗？请BA在右边，即A右乘B或B右乘A．如果交换顺序，让在左边，算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运 算． ，比较两个计算结果， 3、设列矩阵，求和，行矩阵能得出什么结论吗？ ，设三阶方阵 4、，三阶单位阵为，和试求 A并将计算结果与比较，看有什么样的结论．解：题 1 第 ．题2第 对于
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 322212 31211133 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: