1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ，坐标为()c b a ,,，写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。
解：画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,，则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,?
，由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量
为 ()()()[]
2
3
2
2204c z b y a x a
x Q E x -+-+--?=πε
()()()
[]2
3
2
2
2
04c z b y a x b
y Q E y -+-+--?
=
πε
()
()()
[]
2
3
2
2
2
4c z b y a x c
z Q E z -+-+--?
=
πε
该场强的方向沿r ?
方向：()()()k c z j b y i a x r )))?-+-+-=。
在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。
2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ?
?=，P 点到偶极子中心的距离为r ，
r ?与l ?
的夹角为θ，在l r >>时，求P 点的电场强度E ?在P O r ρ?=方
向的分量r E 和垂直于r ?
方向的分量θE 。
解：在极坐标系下，设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ?，-r ?，它们与r ?的夹角分别为α和β，由点电荷的场强公式有
2041
++?=r q E πε，2041-
-?=r q E πε， -++=E E E ?
??
在极坐标下，E ?
可以分解为：
βαcos cos -+-=E E E r ， βαθsin sin -++=E E E
其中，+-=r l r θαcos 2cos ，-+=r l r θβcos 2cos ，
+=r l
θ
αsin 2sin ， -=r l θβsin 2sin
又因为l r >>，在此近似下有
2r r r ≈?-+，r r r 2≈+-+，θcos l r r ≈-+-，
带入以上各式，化简得
3
0cos 241
r P E r θπε?=，30sin 41r P E θ
πεθ?=。
此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。
以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,，由点电荷的电势叠加可得：
()????
?
?
?
??????
?
++??? ??+-+
++??? ??-?=+=-+222
2
220
2241z y l x q z y l x q
U U P U πε
考虑到l r >>的条件，有2222z y x r ++=，
2
1
222
22
11121
-??
?
??-=-≈++??? ?
?-r xl r xl r z
y l x
上式右边经过二项展开，并略去l 的高阶项（二阶及以上），得
???
??+≈++??? ?
?-22
22
21121
r xl r z
y l x
则 ??? ??+≈
+20214r xl r q
U πε，??
? ??-≈-20214r xl r q U πε 则P 点的偶极子势为
()2
030
cos 4141r P l q r x U U P U θ
πεπε?=???
=
+=-+ 可写成矢量表达形式：
()30
204141r r
P r r P P U ?
?)???=??=πεπε （*）
下面求电偶极子的电场强度：
由()()P U P E -?=?
,将上式带入,有
()()??
??????? ????+??=?33
011
41r r P r P r U ????πε 其中，()P r P ???=??，54333311r
r
r
r r
r r dr d r ??-=?-=???
? ??=??
? ???，
则
()()??
????-?=350341r P r r r P P E ?
????πε （#）。
以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算式。可以在具体的坐标系中直接带入计算。
变换到球坐标系()?θ,,r 中,由于轴对称性可知，U 与?无关，则
E ?
的分量为：
3
0cos 241r P r U E r θπε?
=??-=，
30sin 411r P U r E θπεθθ?=??-
=
0sin 1=??-
=?
θ?U
r E 。
1. 计算3r r
?的散度：
解：03311325333=+-=??+??=??r
r r r r r r r r ?
??。
2. 如图所示，无限大带电层，且电荷密度()x ρρ=，试求其产生的场强。
解：此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标OX 。
（1）a x ≤，取'x 到'
'dx x +之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为σ，则()'
'dx x ρσ=，则该平面在x 处形成的电场强度为：
()()0
'
'
22ερεσ
dx x x dE =
=
，
()()''0
21
dx x x E b
a
?
-
=?ρε（负号代表取坐标负向。）
若()常数αρ=，则
()02εαl
x E -=；
（2）b x ≥，同理可得
()()''0
21
dx x x E b
a
?
=
ρε（负号代表取坐标正向。）
若()常数αρ=，则 ()02εαl
x E =；
（3）b x a <<，对于带电层中间的区域，要注意x x <'和x x >'
的
情况不一样，故要进行分段积分：
()()
()''0
'
'
21
21
dx x dx x x E b
x
x
a
?
?-
=
ρερε
若()常数αρ=，则 ()()αε0
22b a x x E +-=。
3. 求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为λ，圆柱底面半径为R 。
解：取半径为r 、高为l 的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑：
（1）R r ≤时，由高斯定理，有
2επq rlE s d E S
==?????
而
22
2
R
lr l r q λρπ==，则 2022R lr rlE ελπ= 得
202R r E πελ=
（2）当R r ≥时，l q λ=，同理得到 r E 02πελ
=。
4. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为q ，半径为R 。
解：以无穷远处作为电位零点，即()0=∞U , 由真空中带电球壳的场强分布：
??
?
??<>?=R r R r r q E ,0,41
20πε
根据电位的定义求解：
对于R r >时，()r q
dr r q l d E r U r r
02
0414πεπε=?=?-=??∞∞??；
对于R r <时，
()R q dr r q l d E l d E r U R R r R 020414πεπε=
?=???????+?-=???∞∞????。
5. 求无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电势分布。 解：确立原点在平面上的坐标OX ，设空间任一点P 位于r 处。 取)(00r P 为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有
???????<->=0,20,20
r r E εσ
ε
σ
下面以0>r 的情况来讨论：
由电位定义有：()()()r r l d E l d E P U P U P A A
P
-=
?+?=
-??
00
020εσ
????。 本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。
6. 一半径为R 的均匀带电圆面，电荷总量为q ，求轴线（OX ）上的电位分布，并画出x U -曲线。
解：在圆面上取dr r r +-的圆环，由于圆面的电荷面密度：
2R q
πσ=,故该圆环所带电量为：
rdr R
q rdr R q rdr dq 2
2222=?=
?=πππσ 而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上dl l l +-的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：
2
2
0'
0''44R
x dq r
dq dU +=
=
πεπε，得圆环在轴线上的电位分布为：
2
20'
2
2
0'
44'
R x q R
x dq U q +=
+?
πεπε＝环
现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令'
q dq =，
环U dU =，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：
()
x
R x
R q
R
x R qrdr R
x dq dU U R
R
R -+=
+=+=?
?
?22
20
2
2
02
2
2
00
2424επεππε＝。
7. 电量q 均匀分布在长为l 2的细直线上，求下列各处的电位：
（1） 中垂面上离带电线段中心O 为r 处，并用梯度求r E ； （2） 延长线上离中心O 为为z 处，并用梯度求z E ； （3） 通过一端的垂直面上离该点为r 处，并用梯度求r E 。 解：根据题意，以O 为原点中垂线所在直线作为x 轴、延长线所在直线作为y 轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。 （1） 求()0,r P 点的电位()P U 及r E ：
设直线上dy y y +-的一段所带的电量为dy l
q
dq 2=，由点电荷电位公式，它在()0,r P 点的电位为：
2
2
02
2
084y
r l qdy y
r dq dU +=
+=
πεπε
则整段直线在()0,r P 点的电位为：
r l r l l q
y
r l qdy dU U l
l l
l 2
20220ln 48++=+=??--πεπε＝ 则有 2204l r r q
r U E r +=??-=πε。
（2）求()z P ,0点的电位()P U 及z E ：
线元dy y y +-的电量仍然为dy l
q
dq 2=，由点电荷电位公式，它在()z P ,0点的电位为：
()()y z l qdz
y z dq dU -=
-=0084πεπε
则整段直线在()z P ,0点的电位为：
()()l z l z l
z l q y z l qdz dU U l
l l
l
>-+=-=?
?--ln
8800
πεπε＝ 则有 ()
2204l z q z U E z -±=??-=πε,（＋号对应
l z >，—号对应l z -<）。
（3）求()l r P ,点的电位()P U 及r E ： 同样取线元dy y y +-，其电量仍然为
dy l
q
dq 2=，由点电荷电位公式，
它在()l r P ,点的电位为：
2
2
02
2
084y
r l qdy y
r dq dU +=
+=
πεπε
则整段直线在()l r P ,点的电位为：
r l r l l q
y
r l qdy
dU U l
l 2
2020
22020
42ln 48++=+=?
?πεπε＝ 则有 22044l r r q
r U E r +=??-=πε。
1. （P44.8）如图所示一种电四极子，由两个相同的电偶极子l q P ?
?=组成，这两偶极子在一直线上，当方向相反，它们的负电荷重合在一起。求延长线上离中心（即负电荷）为r 处的电场及电位分布。
2l
x
y
P
-2q
+q
+q
解一：根据电场叠加原理，三个点的电荷在P 处的场强：
()()
???
???????? ??-+-??? ??+=-+-++=2
20202
020********r l r l q l r q
r q l r q E πεπεπεπε
由l r >>，上式可以用Tayler 公式展开：
利用公式
()()
......!
21!
1112+-+
+
=+x x x ααα
α
，并取二级近似，有
4
23643212321402
222
0222220r ql r l r q r l r l r l r l r q
E πεπεπε=?=??
????+++-+-≈ 则 ()()302
40
2
2123r ql dr r ql dr r E P U r
r πεπε=-
=-=??∞∞ 。
以上为一种常规方法——运用点电荷电场叠加原理。
下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题，直接运用电偶极子的电势求解：
解二：由偶极子专题的分析，偶极矩为l q P ?
?=的电偶极子在空间任意一点P 处的电位为： ()()
l r
r
r P P U >>??
=
'
3
''0
41?
?πε，
注意这里的'
r ?指的是l ?中点到P 点的位矢。
本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示：
()2
02
0241
241
?
?? ?
?-?
+
?
??
?
?+?
-
=l r ql
l r ql
P U πεπε，
现在同样用Tayler 公式展开： 利用公式()
()
......!
21!
1112+-+
+
=+x x x ααα
α
，并取二级近似，得
()3
02
2222202220243143142112114r ql r l r l r l r l r ql
r l r l r ql P U πεπεπε=?????????? ??+--???? ??++?≈??
????????????? ??+-?
?
? ??-?=
由 ()()()4
2302
r ql r P U P U P E πε=??-=-?= 即得P 点的场强。
2. 如图所示为另一种电四极子，设q 和l ?
都已知，P 点到正方形的中
心O 距离为x ，O P ρ
与正方形的一对边平行，求P 点的电场强度
及电位分布。
解一：利用偶极子在中垂面上的场强分布：30
41r P E ?
=
πε
将本题中的电四极子看作分别由①④和②③两个偶极子的组合，则有 偶极子①④在中垂线上P 点的电场强度为：
3
014241
?
?? ?
?+?
=
l x P
E πε，方向向下，
①+q ③+q
④②- q l
l
l
偶极子②③在中垂线上P 点的电场强度为：
3023241
?
?? ?
?-?
=
l x P
E πε，方向向上， 则合场强：??????????????? ??
+-??? ?
?-?=-=330142321214l x l x P E E E πε 由l x >>，上式可以用Tayler 公式展开： 利用公式()
()
......!
21!
1112+-+
+
=+x x x ααα
α
，并取二级近似，有
()4
02
222230333043232312323142112114x ql x l x l x l x l x P
x l x l x P P E πεπεπε=?????????? ??+--???? ??++?≈??
????
????????? ??+-?
?
? ??-?=
于是有 ()()302
40
2
4143x ql dx x ql dx x E P U x
x πεπε=-
=-=??∞∞。
此题的扩展问题：考虑P 点不在中垂面上，求解如下：
①
③+q
④l
l
解二：如图所示，在极坐标下P 点的坐标()θ,r ，先考虑P 点的电位：
()()()32414321U U U U U U U U P U +++=+++=
由偶极子专题的分析，偶极矩为l q P ??=的电偶极子在空间任意一点P 处的电位为： ()()
l r
r
r P P U >>??
=
'
3
''0
41?
?πε，
同样这里的'
r ?指的是l ?中点到P 点的位矢。
设P 点相对于偶极子①④和②③的位矢分别为1r ，
2r 对应的与极轴的夹角为分别为1θ，2θ，则有：
311103111041sin 412cos 41r r P r r P U U θπεθππε??=???
??-??=+ 3
2
2
2032sin 41
r r P U U θπε??-=+ 故 ???
?
??-?=322231110sin sin 4r r r r P
U θθπε 又由几何关系有 2211sin sin sin θθθr r r ==，且
θcos 21l r r +=，θcos 2
2l
r r -=，化简略去二阶小量得
()
3
026023231
4cos sin 34cos 3sin Pr 114sin Pr r ql r lr r r U πεθ
θπεθθπεθ
-
=-=???? ??-?=
由 ()()()2
024cos sin 9r ql r P U P U P E πεθ
θ-=??-=-?= 即得P 点的场强。
3. 如图所示。两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为e η±，相距为a 2，求空间任一点()y x P ,的电位。 解： 取坐标原点O 点的电位为零， 即 ()0=O U
的电位分布公式，有：
e η+导线在P 点的电位为：
()00ln 221O U dr r U e r a
e πεηπεη=+-=?
+e η-导线在P 点的电位为：
()2
00ln 222r a
O U dr r U e r a
e πεηπεη-=+--=?
- 在直角坐标系中，()221y a x r +-=，()222y a x r ++=，
所以P 点的电位为：
()()()()()2
222
02
2220
1
2
0210ln
4ln 2ln 2ln ln 2y a x y a x y a x y a x r r r a r a U U P U e e
e e +-++=+-++==???? ??-=+=-+πεηπεηπεηπεη 本题要注意零电位的取法，对于无限的带电体，不能再取无限远处为零电位点。另外，几种典型模型（如无限大带电平面、无限长直导线、带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电位的分布要熟悉掌握，在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。） 8. 半径为a 的导体，带电量为Q ，球内有两个半径分别为b 、c 的球心空腔，中心处有电荷1q 、2q 。计算导体球内、球外空间的电位
和场强。
解：以无穷远处作为电位零点，即()0=∞U , （1） 导体球外：离球心距离a r >处的电位
r q q Q U 02
114πε++=
由此得场强： r r
q q Q U E ?42
02
111πε++=-?=?； （2） 导体球上：即a r =的电位为 a q q Q U 02
124πε++=
，
导体内部的场强 0=E ?
；
（3） 空腔1内：假设离空腔球心距离1r 处的电位为
11
01
3
4C r q U +=πε 由边界条件：b r =1时23U U =，得??
? ??-++=b q a q q Q C 12101
41πε
???
? ??-+++=???
??-+++=∴b q a q q Q r q b q a q q Q r q U 1211101210101
341
414πεπεπε由此得场强：r
r q U E ?42
1
0133πε=
-?=?
； （4） 空腔2内：同理假设离空腔球心距离2r 处的电位为 22
0244C r q U +=
πε
由边界条件：c r =2时24U U =，得??
?
??-++=c q a q q Q C 2210241πε
???? ??-+++=∴c q a q q Q r q U 221220441πε由此得场强：r
r q U E ?42
2
0244πε=
-?=?
。
9. 接地导体球（半径为R ），距球心为a ()a R >处有一点电荷q 。求空间电位分布。
解：此题参考上课时讲的例题。 10.
点电荷q 处在导体壳的中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ，
求场强的分布。并画出r E -和r U -曲线。
解：根据题意，导体达到静电平衡时，导体内的场强为零，导体为等势体，在1R r =的导体面上均匀分布电量为q -的感应电荷，2R r =的导体面上均匀分布电量为q 的感应电荷。
（1） 考虑2R r >的区域时，导体内部的电荷对外部电场没有影响， 该区域的电场只由导体外表面的电荷产生，则
r
r q E ?42
0πε=
?
故 202
0442
2
R q
dr r
q
r d E U R R πεπε==?=?
?
∞
∞
??； （2）考虑21R r R <<的区域，0=E ，电位如下：
202
0442
2
2
R q
dr r
q r d E r d E U R R R r
πεπε==?+?=?
??
∞
∞????
（3）考虑1R r <的区域时，假设电位为
C r
q U +=
04πε 则由边界条件：1R r =时 201
044R q
C R q
U πεπε=
+=
可得 ???? ??-=120114R R q C πε 故 ???? ??-+=1201114R R r q U πε 由此可得 r
r
q U E ?42
0πε=
-?=?
。 11.
一球形电容器内外两壳的半径分别为1R 、4R ，现在两壳之间
放一个内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳。 （1） 给内壳1R 充以电量Q ，求1R 和4R 两壳的电位差； （2） 求电容（即以1R 和4R 为两极的电容）。
解：（1）当内壳充电Q 时，由于导体的静电感应作用，2R 、3R 、4R 各球面上分别均匀分布电量为Q -、Q 、Q -的感应电荷，故取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理可以算出不同区域的场强分布：
???
?
??
??
?
><
03
221201,,41,0,41,0R
r R r R r Q R r R R r R r Q
R r E πεπε
则1R 和4R 两壳的电位差：
???
?
??-+-=+?+=?=-?
??
?
432102
02
0411********
3
32
21
4
1
R R R R Q dr
r
Q dr dr r
Q l d E U U R R R R R R R R πεπεπε??；
(2) 由电势差和极板带电量可得电容：
?
??? ??-+-=
-=4321
4
111114R R R R U U Q C πε。 12.
（P 17114题）收音机里用的可变电容如13题图所示其中共有n
个金属片。每片形状如14题图所示；相邻两片间的距离都是d ，当动片转到两组片之间的夹角为θ时，证明：当θ较大时，略去边缘效应，它的电容为
()()d
r r n C 360121220θ
πε--=
（其中θ以度为单位）；
同时运用虚功原理求电容器极板绕轴旋转时的转矩。
解：将此可变电容器视为1-n 个平板电容器的并联组合，每个小电容器的电容为：d
S
C i 0ε=
,总的电容为 ()d
S
n C 01ε-=
。
若已知θ，则有 ()360
2122θ
πr r S -=
()()d
r r n C 360121220θ
πε--=
∴，得证；
现在求转矩：
由电容器的储能公式 C Q W 22
=,根据虚功原理设想极板转动角度为
一小量θ?时，能量变化??? ???=?C Q W 122,其中的??? ???C 1对应??
? ???θ1， ()()
??
?
????--=??? ???θπε11360121220r r n d C 设极板的转矩为τ，则有θτ?=?W ，由上式可得：
()()θ
θπετ????
????--?=1136022
12202
r r n d Q 。 13.
一平行板电容器两极板相距为2.0mm ，电位差为400伏，其间
充满了介电常数0.5=r ε的玻璃片。略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度'e σ。
解：由题意已知U ，则可以求出平板电容器中的场强：d
U E =， 而极化强度矢量 ()()d
U E P r r 0
011εεεε-=-=， 故极化电荷面密度 ()()()
2
63
120
'/01.7100.24001085.8151米
库---?≈??-=-==?=d
U P n P r e
εεσ??。 14.
平行板电容器两极极板3.0cm ，其间放有一层0.2=r ε的介质，
位置和厚度如图所示（P 202页习题8的图），已知极板上面电荷密度
为100109.8-?=e σ
2/米库，略去边缘效应，求：
（5） 极板间各处的P 、E 、D ； （6） 极板间各处的电位（设0=A U ）；
（7） 已知极板面积为0.11米2,求电容C ,并与不加介质时的电容
0C 比较。
解：（1）分区域讨论：
① 对于电介质外极板间的区域，即10< 场强 ()库仑牛顿/10010 85.8109.81210 00≈??==--εσe E 电位移 ()2 10 0/10 85.8米库仑-?=+=P E D ε； ② 对于电介质内部区域，即21< () 2100/109.8米库仑-?==e D σ 场强 ()库仑牛顿/5010 85.82109.812 10 00≈???==--εεσr e E () 21012100/1045.4501085.8109.8米库---?≈??-?=-=E D P ε （2）讨论x 取不同区域极板间的电位()x U ： ① ()cm x 10<<时，由于()库牛/100=E 是常数，故 ()伏＝＝101.01001?=?x E U ； ② ()cm x 21<<时，()库牛/50=E ，而 ()伏＝＋＝5.101.05001.010002.001.00 01 .00 002??+=?? dx dx U r e e εεσεσ ③ ()cm x 32<<时，()库牛/100=E ， ()伏＝＋＝5.21005010003 .002 .002 .001 .001 .00 3? ? ? +=dx dx dx U U B ； 大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1、如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势 为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小与电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ=. (C) 204r Q E επ=,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ=,R Q U 04επ=. ［ ］ 2、一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O + 2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. ［ ］ 3、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面 向外为正)为 (A) πr 2B . 、 (B) 2 πr 2B . (C) -πr 2B sin α. (D) -πr 2B cos α. ［ ］ 4、一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的 霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . ［ ］ 5、两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以 自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势就是 (A) 绕x 轴转动. (B) 沿x 方向平动. (C) 绕y 轴转动. (D) 无法判断. ［ ］ y z x I 1 I 2 第一章思考题 1． 1一个点电荷受到另一个点电荷的静电力是否会因其它电荷的移近而改变？当“另一个点电荷”被一个带电导体代替时，情况又如何？ 答：根据静电力的叠加原理，一个点电荷受到另一个点电荷的作用力，不论周围是否存在其它电荷，总是符合库仑定律的，如果这两个点电荷都是静止的固定的，则它们间距不发生变化，其相互作用力不会因其它电荷的移近而改变（反之若这两个点电荷是可动的，则当其它电荷移近，此二点电荷因受其它电荷作用而发生移动，其间距离变化，则相互作用力也变） 1． 2有一带电的导体，为测得其附近P 点的场强，在P 点放一试探电荷0q （0q >0），测得它所受的电场力为F 。如果0q 很大，F/0q 是 否等于P 点的场强E ？比E 大还是比E 小？ 答：若0q 很大，受它影响，带正电的导体的电荷分布，由于静电感应，导体上的正电荷受到排斥要远离P 点，因此在P 点放上0q 后，场强要比原来小，而测得的F/0q 是导体上电荷重新分布后测得的P 点的场强，故F/0q 要比P 点原来的场强E 小 1、 3场强的定义式为E=F/0q ，可否认为场强E 与F 成正比，与0q 成反比？当0 q →0时，场强是无限大还是为零？还是与0q 无关？ 答：不能，电场中某点的场强，它是由产生电场的电荷决定的，电场中某点的电场强度是客观存在的，是具有确定的值，当某点放上0q 后，所受的力F 与0q 成正比，比值F/0q 是个确定的值，其大小与F ，0q 均无关系，成以当0q →0时，其所受的力F →0，其比值→确定 值，与0q 无关 1． 4判断对错。（1）闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷；（2）闭合曲面内电量为零时，面上各点场强必为零；（3）闭合曲面 的电通量为零时，面上各点的场强必为零；（4）通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷；（5）闭合曲面上各点的场强是仅由面内电荷产生的；（6）应用高斯定理求场强的条件是电荷分布具有一定的对称性；（7）如果库仑定律中r 的幂不是-2，则高斯定理不成立 答：（1）（2）（3）（5）（6）不对；（4）（7）对‘ 1． 5一个点电荷放在球形高斯面的球心，试问下列情况下电通量是否改变（1）如果这球面被任意体积的立方体表面所代替，而点电荷仍 位于立方体中心；（2）如果此点电荷被移离原来的球心，但仍在球内；（3）如果此点电荷被放到高斯球面之外；（4）如果把第二个点电荷放到高斯球面外的某个地方；（5）如果把第二个电荷放在高斯球面内 答：（1）与曲面形状无关，所以电通量不改变；（2）与面内电荷所在位置无关，所以电通量不改变；（3）面内电荷改变（减少）所以电通量改变→0；（4）面内电荷不变，所以电通量不改变；（5）面内电荷改变（增加），所以电通量改变→增加 1． 6图中已知S 1面上的电通量为1 S Φ，问S 2面，S 3面及S 4面上的电通量2 S Φ，3 S Φ，4 S Φ各等于多少？ 答：S 1面与S 3面组成闭合曲面1 S Φ+3 S Φ= 1 εq ，3 S Φ= 1 εq -1 S Φ； S 4与S 3组成闭合曲面3 S Φ+4 S Φ=0，4 S Φ=-3 S Φ=1 S Φ-0 1 εq ； S 2与S 3组成闭合曲面2 S Φ+3 S Φ= 2 1εq q +；2 S Φ=-3 S Φ+ 2 1εq q +=1 S Φ-0 1 εq + 2 1εq q +=1 S Φ+ 2 εq 1． 7（1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电位高处运动，还是向电位低处运动？为什么？（2）说明 无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高的地方移向电位能低的地方。 答：（1）总是向高电位处运动，受力方向逆着电力线，在初速为零，逆着电力线方向运动，电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。（2）仅在电场力作用下移动时，电场力方向与正负电荷位移方向一致，电场力作正功，使电荷的电位能减小,所以电荷总是从电位能高处向低处移动 1． 8可否任意将地球的电位规定为100伏，而不规定为零？这样规定后，对测量电位，电位差的数值有什么影响？ 答：可以，对电位差的数值无影响，对电位的数值有影响，提高了 1． 9判断对错（1）场强大的地方，电位一定高。（2）电位高的地方，场强一定大。（3）带正电的物体的电位一定是正的。（4 ）电位等于 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为η，则离这带电线的距离分别为1r 和2r 的两点之间的电势差是（ ）。 2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷， 如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。 3、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。 4、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 AB U =( )。 在图（b ）中 AB U =( )。 在图（C ）中 AB U =( )。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、在磁感应强度为B 的水平方向均匀磁场中，一段质量为ｍ，长为Ｌ的载流直导线沿 竖直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与B 正交，且保持水平。则导线 下落的速度是（ ） 7、一金属细棒OA 长为L ，与竖直轴OZ 的夹角为θ，放在磁感 应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向如图所示，细棒以角速度ω 绕OZ 轴转动（与OZ 轴的夹角不变 ），O 、A 两端间的电势差 （ ）。 8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S 为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。 9、 B H r μμ= 01 只适用于（ ）介质。 10、三种理想元件电压电流关系的复数形式为（ ）， （ ）， （ ）。 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、在用试探电荷检测电场时，电场强度的定义为：0q F E = 则（ ） （A ）E 与q o 成反比 B ) (a A 2 R R r B ) (c A B r ()b R I O A 《电磁学》练习题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ 2. 一带有电荷q ＝3×10- 9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10- 5 J ，粒子动能的增量为4.5×10- 5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E 300200+= .试求穿过各面的电通量． E q L q P 一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 内没有电荷 B 、面S 内没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说法正确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ - P 3 I 制流电路与分压电路 实验接线的基本原则是什么？电学实验基本的操作规程是什么？按电流的流向逐个进行连接。 1. 规程先接线.后通电源.电线不能和电器并联. ZX21型电阻箱的示值为9563.5Ω，试计算它允许的基本误差，它的额定电流值。ZX21型电 阻箱各档对应的准确度a%为：9x10000~0.1%，9x1000~0.1%，9x100~0.5%，9x10~1%，9x1~2%，9x0.1~5%，最大允许绝度误差ΔR 为 ΔR=Rxa% 所以该题计算结果为9000x0.1%+500x0.5%+60x1%+3x2%+0.5x5%=12.185 (Ω) 当R=9563.5Ω时U B (R)=(9000×0.1%+500×0.1%+60×1.0%+3×2.0%+0.5×5.0%)/3=7.03Ω 静电场的描绘 1. 如果二电极间电压U 增强一倍，等位线，电力线的形状是否会变化？(正确) 2. 如果在描绘圆柱型电容器的等势线时，所用的电压表为1.5级(即ΔU/U m =0.015，U m 为量程电压值)， 若ΔR A 和ΔR B 很小，可以略去，求：各种电势等势的半径相对不确定度。 021.0015.0015.0)()()(2 22 002=+=??? ? ???+???? ???=U U U U U U r r U r r 用惠斯通电桥测电阻 1. 假如在测量过程中检流计指针始终偏到某一边，或总不偏转，无法调到平衡试找出其可能的原因(各回 答二个原因)。(正确) 2. 箱式电桥中比例臂的选取原则是什么？(正确) 3. 为什么要测量电桥的灵敏度？(正确，课本有答案) 4. 电桥的灵敏度与哪些因素有关？ (正确，课本有答案) 5. 怎样消除比例臂两只电阻不准确相等所造成的系统误差？(正确，课本有答案) 一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的； 一、选择题：（每题3分） 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2 r 2B ． (B) r 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 2、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) r 2B ． (B) 2 r 2B ． (C) - r 2B sin ． (D) - r 2B cos ． ［ D ］ 3、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 (A) 0.90． (B) 1.00． (C) 1.11． (D) 1.22． ［ C ］ 4、如图所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 (A) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内． (B) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外． (C) 方向在环形分路所在平面，且指向b ． (D) 方向在环形分路所在平面内，且指向a ． (E) 为零． ［ E ］ 5、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状， 则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． ［ D ］ 6、边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方 形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为 (A) 01 B ，02 B ． (B) 01 B ，l I B 0222 ． (C) l I B 0122 ，02 B ． a 1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ，坐标为()c b a ,,，写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。 解：画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,，则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,? ，由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量 为 ()()()[] 2 3 2 2204c z b y a x a x Q E x -+-+--?=πε ()()() []2 3 2 2 2 04c z b y a x b y Q E y -+-+--? = πε () ()() [] 2 3 2 2 2 4c z b y a x c z Q E z -+-+--? = πε 该场强的方向沿r ? 方向：()()()k c z j b y i a x r )))?-+-+-=。 在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。 2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ? ?=，P 点到偶极子中心的距离为r ， r ?与l ? 的夹角为θ，在l r >>时，求P 点的电场强度E ?在P O r ρ?=方 向的分量r E 和垂直于r ? 方向的分量θE 。 解：在极坐标系下，设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ?，-r ?，它们与r ?的夹角分别为α和β，由点电荷的场强公式有 2041 ++?=r q E πε，2041- -?=r q E πε， -++=E E E ? ?? 在极坐标下，E ? 可以分解为： βαcos cos -+-=E E E r ， βαθsin sin -++=E E E 其中，+-=r l r θαcos 2cos ，-+=r l r θβcos 2cos ， +=r l θ αsin 2sin ， -=r l θβsin 2sin 又因为l r >>，在此近似下有 2r r r ≈?-+，r r r 2≈+-+，θcos l r r ≈-+-， 带入以上各式，化简得 3 0cos 241 r P E r θπε?=，30sin 41r P E θ πεθ?=。 此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。 以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,，由点电荷的电势叠加可得： ()???? ? ? ? ?????? ? ++??? ??+-+ ++??? ??-?=+=-+222 2 220 2241z y l x q z y l x q U U P U πε 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 《电磁场理论》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 关于有限区域内的矢量场的亥姆霍兹定理，下列说法中正确的是 （ D ） （A ）任意矢量场可以由其散度和旋度唯一地确定； （B ）任意矢量场可以由其散度和边界条件唯一地确定； （C ）任意矢量场可以由其旋度和边界条件唯一地确定； （D ）任意矢量场可以由其散度、旋度和边界条件唯一地确定。 2. 谐变电磁场所满足的麦克斯韦方程组中，能反映“变化的电场产生磁场”和“变化的磁场产生电场”这一物理思想的两个方程是 （ B ） （A ）ε ρ=??=??E H ,0 （B ）H j E E j J H ωμωε-=??+=??, （C ）0,=??=??E J H （D ）ε ρ=??=??E H ,0 3．一圆极化电磁波从媒质参数为13==r r με的介质斜入射到空气中，要使电场的平行极化分量不产生反射，入射角应为 （ B ） （A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60° 4. 在电磁场与电磁波的理论中分析中，常引入矢量位函数A ，并令A B ??=，其依据是 （ C ） （ A ）0=?? B ； （B ）J B μ=??； （C ）0=??B ； （D ）J B μ=??。 5 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 （ C ） (A) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； (B) 如果高斯面上E 处处不为零，则该面内必有电荷； (C) 如果高斯面内有净电荷，则通过该面的电通量必不为零； (D) 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷。 6．若在某区域已知电位移矢量x y D xe ye =+，则该区域的电荷体密度为 （ B ） ( A) 2ρε=- （B ）2ρ= （C ）2ρε= （D ）2ρ=- 7.两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是 （ C ） （A ）线圈的尺寸 （B ） 两个线圈的相对位置 （C ）线圈上的电流 （D ）线圈中的介质 8 .以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是 （ B ） （A ）电场是无旋场 （B ）电场和磁场相互激发 （C ）电场和磁场无关 （D ）磁场是有源场 9. 两个相互平行的导体平板构成一个电容器，与电容无关的是 （ A ） （A ）导体板上的电荷 （B ）平板间的介质 （C ）导体板的几何形状 （D ）两个导体板的相对位置 10.用镜像法求解静电场边值问题时，判断镜像电荷设置是否正确的依据是 （ C ） （A ）镜像电荷的位置是否与原电荷对称 （B ）镜像电荷是否与原电荷等值异号 （C ）待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变 （D ）同时满足A 和B 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选 项正确. 1 ?如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近 验电器上部的金属板时，金属箔张开.在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化？从图3-1的①?④四个选项中选取一个正确的答案. [ ] 图3-1 A.图① E.图② C.图③ D.图④ 2.下列关于静电场的说法中正确的是[ ] A.在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 E.正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 C.场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 D.初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3 .在静电场中，带电量大小为q的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为d的a、b两点，动能增加了ΔE,则 [ ] A.a点的电势一定高于b点的电势 E.带电粒子的电势能一定减少 C.电场强度一定等于ΔE∕dq D.a、b两点间的电势差大小一定等于ΔE∕q 4. 将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光 滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中[ ] A.它们的相互作用力不断减少 E.它们的加速度之比不断减小 C.它们的动量之和不断增加 D.它们的动能之和不断增加 5. 如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上 的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说法正确的是[ ] 图3-2 A.它们所需要的向心力不相等 E.它们做圆周运动的角速度相等 C.它们的线速度与其质量成反比 D.它们的运动半径与电荷量成反比 6 ?如图3-3所示，水平固定的小圆盘A,带电量为Q,电势为零，从盘心处O由静止释放一质量为m,带电量为+q的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的C点，Oc = h ,又知道过竖直线上的b点时，小球速度最大，由此可知在Q所形成的电场中，可以确定的物理量是[ ] A.b点场强 B.c点场强 C.b点电势 D.c点电势 7. 如图3-4所示，带电体Q固定，带电体P的带电量为q,质量为m, 与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ,将P在A点由静止放开，贝U在Q的排斥下运动到B点停下，A、B相距为s,下列说法正确的是[ ] Q尸 宀鱼舖. ... R A H 图3-4 A.将P从B点由静止拉到A点，水平拉力最少做功2μmgs B.将P从B点由静止拉到A点，水平拉力做功μmgs C.P从A点运动到B点，电势能增加μmgs D.P从A点运动到B点，电势能减少μmgs 8. 如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为m、电量为q, 整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E. [ ] 图3-5 A.小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Eq/mg B.若剪断悬线，则小球做曲线运动 C.若剪断悬线，则小球做匀速运动 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 一、： 二、 填空题（每小题3分） 1、如图一边长为a 的等边三角形两顶点A ，B 上分别放电量为＋q 的两点电荷,问顶点C 处的电场强度大小为 2 043a q πε 。 2、如图边长为L 的等边三角形的三个顶点，若在A 、B 、C 三个顶点处分别放置带电量为q 的正点电荷，则A 、B 、C 三点电荷在等边三角形三条中线交点上产生的合场强的大小为 0 。 3、两无限大的带电平面，其电荷密度均为+σ，则两带电平面之间的场强为 0 。 4、均匀带电（电荷面密度为σ）无限大均匀带电平板，距平板距离为r 处一点平p 处的电场强度大小为 2εσ 。 5、一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，则带电平面外任一点的电场强度的大小为 2εσ 。 6、两无限大的带电平面，其电荷密度分别为+σ，－σ，则两带电平面之间的场强为 0 εσ 。 7、均匀带电圆环带电量q ，圆环半径为R ，则圆环中心点处的电场强度大小为 0 。 { 8、ABCD 是边长为L 的正方形的四个顶点，若在A 、B 、C 、D 四个顶点处分别放置带电量为q 的正点电荷，则A 、B 、C 、D 四点电荷在正方形对角线交点上产生的合场强的大小为 0 。 9、静电场力做功的特点：静电场力做功与路径 无关 （填“有关”或“无关” ） 10、如图所示，一点电荷q +位于立方体的中心，则通过abcd 面的E 的电通量φ大小为 6εq 。 11、静电平衡导体的表面电荷面密度为α，则表面处的电场强度E = εα 。 12、半径为R 的球壳均匀带电荷q ，电场中球面处的电势为 R q 04πε 。 13、半径为R 的球面均匀带电荷q ，在真空中球心处的电势为 R q 04πε 。 14、设点电荷q 的电场中的某一点距电荷q 的距离为处r 的电场强度的大小为 2 04r q πε ，该点的电势为 r q 04πε 。 15、通过磁场中某一曲面的磁场线叫做通过此曲面的磁通量，则通过任意闭合曲面的磁通量为 0 。 [ 16、真空中，半径为R 的圆形载流导线的电流为I ，则在圆心处的磁感应强度大小为 R I 20μ 。（真磁导率为0μ） 17、如图所示，电流元l Id 在A 处产生的磁感应强度大小为 2 04sin r Idl πθ μ 。 18．通有电流I 半径为R 圆形导线，放在均匀磁场B 中，磁场与导线平面垂直，则磁场作用在圆形导线上的最大力矩为 IB R 2π 。 19、一通有电流I 的无限长载流导线，距导线垂直距离R 处的一点P 处的磁感应强度B 大小为 R I πμ20 。 20、一无限长通电螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，通有电流为I ，则螺线管内部磁感应强度大小为 nI 0μ 。 21、一个直径为D 的线圈有N 匝，载有电流I ，将它置于磁感强度为B 的匀强磁场中，作用于线圈的最大力矩M= 4/2IB D N π 。 22、一面积为S 正方形线圈由外皮绝缘的细导线绕成，共有N 匝，放在磁感应强度为B 的外磁场中，当导线通有电流 . 电磁学试题库 试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、带电粒子受到加速电压作用后速度增大，把静止状态下的电子加速到光速需要电压是（ ）。 2、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为λ）与另一长为L ，线电荷密度为η的均匀带电直线AB 共面，且互相垂直，设A 端到无限长均匀带电线的距离为a ，带电线AB 所受的静电力为（ ）。 3、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ 4、两个同心的导体薄球壳，半径分别为b a r r 和,其间充满电阻率为ρ的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中，磁场方向与回路平 面垂直，如图所示，回路的一条边ab 可以在另外的两条边上滑 动，在滑动过程中，保持良好的电接触，若可动边的长度为L ， 滑动速度为V ，则回路中的感应电动势大小（ ），方向（ ）。 7、一个同轴圆柱形电容器，半径为a 和b ，长度为L ，假定两板间的电压 t U u m ω=sin ,且电场随半径的变化与静电的情况相同，则通过半径为r （a 大学电磁学习题1 一．选择题（每题3分） 1.如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： (A) E =0，R Q U 04επ= ． (B) E =0，r Q U 04επ= ． (C) 204r Q E επ= ，r Q U 04επ= ． (D) 204r Q E επ= ，R Q U 04επ=． ［ ］ 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍． (C) 4倍． (D) 42倍． ［ ］ 3.在磁感强度为B ?的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在 平面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． ［ ］ 4.一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示．现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于 (A) IB VDS ． (B) DS IBV ． (C) IBD VS ． (D) BD IVS ． (E) IB VD ． ［ ］ 5.两根无限长载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的趋势 ? y z x I 1 I 2 电磁学第二版 习题解答 电磁学第二版 习题解答1 第一章1 第二章15 第三章23 第四章32 第五章35 第六章42 第七章48 第一章 1．2．2两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答： 设一个点电荷的电荷量为1q q =，另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-，两者距离为r ，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零，即 2 0()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 即取122 Q q q ==时力F 为极值，而 22 2 02 204Q q d F dq r πε== < 故当122 Q q q ==时，F 取最大值。 1．2．3两个相距为L 的点电荷所带电荷量分别为2q 和q ，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零？ 解答： 要求第三个电荷Q 所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q 的距离为了x ，如图1.2.3所示。电荷Q 所受的两个电场力方向相反，但大小相等，即 22 00204()4qQ qQ L x x πεπε-=- 得22 20x Lx L +-= 舍去0x < 的解，得1)x L =- 1．3．8解答: A E 3 x ∞ (c) (b) (a) （1）先求竖直无限长段带电线在O 点产生的场强1E ，由习题1.3.7 （2）可知104x E R η πε= 仿习题1.3.7解答过程，得 12 223/2 1223/20sin ()0()4y y dl ldl dE k k r R l ldl E k R l R ηηαη ηπε==-+∞=-=- +? 故10??()4E i j R ηπε= - 同理，水平无限长段带电线在O 点产生的场强 20??()4E i j R ηπε= -+ 对于圆弧段带电线在O 点产生的场强3E ，参看图1.3.8（b ），得 32 30cos cos /2cos 04x x dl d dE k k R R k E d R R ηηα αα πηηααπε====? 同理得304y E R η πε= 故30??()4E i j R ηπε= + 解得 12330??()4E E E E E i j R ηπε=++== + （2）利用（1）中的结论，参看习题1.3.8图（b ），A -∞的带电直线在O 点的场强为 =0??()4A E i j R ηπε--大学物理电磁学考试试题及答案
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