第五章 定积分
一、本章的教学目的
1．了解定积分的定义，函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件。 2．掌握定积分的性质，理解定积分中值定理。 3．掌握积分上限函数的求导方法及其应用。
4．熟练掌握微积分公式、定积分的换元积分法及分部积分法。 5．掌握用定积分计算平面图形的面积和求旋转体体积的计算公式。 主要内容
1．定积分的概念与性质
曲边梯形，曲边三角形；分割，黎曼和，黎曼和的极限；()f x 在[,]a b 上可积，()f x 在[,]a b ]上的定积分；定积分的几何意义；定积分的基本性质.
关于函数可积性的几个重要结论： （1）可积函数必有界；
（2）有限区间[,]a b 上的连续函数可积；
（3）在有限区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数可积. 2．微积分基本定理
变上限积分，变限积分的求导公式：
()
()()x
a
f t dt f x '
=?
微积分基本公式：
()()()()b
b
a
a
f x dx F x F b F a ==-?
，
其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数. 3．定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法；对称区间[,]a a -(0)a >上奇偶函数定积分的性质：
（()f x 是奇函数）；
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=?? （()f x 是偶函数）
； 周期函数定积分的性质：
()()a T T
a
f x dx f x dx +=?
? （T 为()f x 的周期）
； 定积分的分部积分公式：
()()()()()()b
b
b
a
a
a
u x v x dx u x v x v x u x dx ''=-?
?.
4．定积分的应用
由x a =，x b =，()y f x =，()y g x =所围成的平面图形的面积
()()b
a
S f x g x dx =-?；
微元法；由x a =，x b =，x 轴及()y f x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积
2[()]b
x a
V f x dx π=?；
由y c =，(0)y d d c =>≥，y 轴及()x y ?=所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积
2[()]d
y c
V y dy π?=?
二、本章教学的重点和难点
1．教学重点：定积分的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法定积分的应用。
2．教学难点：变上限积分函数的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用。 三、典型例题与习题分析
例1
利用定积分的几何意义计算定积分
2
1
(1dx ?
分析：先变换被积函数，写出曲线方程并画图，再根据几何图形求面积. 解
：由1y =22(1)(1)1y x -+-=，
这是圆心在（1，1）处的单位圆
.1y =12x ≤≤的图形是下半圆周（如图5-1）.所求定积分的值为图中阴影部分的面积，该面积等于边长为1的正方形面积减去1
4
个单位圆即
2
1
(114
dx π
-=-
?
.
例2 求下列变限积分的导数，其中()f x 连续. 1
()()x
F x xf t dt =
?
，求()F x '；
分析：注意到
1
()x xf t dt ?
中t 是积分变量，x 相对于t 来说是常数，因此
1
()x
xf t dt ?
是x 与1
()x
f t dt ?的乘积.
解：1
()()x
F x x
f t dt =?
，注意到
()
1
()()x
f t dt f x '
=?
.
因此
()
1
1
()()()x
x
F x f t dt x
f t dt ''=+??
1
()()x
f t dt f x =
+?
例3 求极限2
2
lim
(1)x
t
x x t e dt -→+∞+?
分析：求含有变限积分函数的极限，如果是
00型或∞
∞
型，一般用洛必达法则.该题被积函数中含有x ，应先移到积分号外才可以求导.
解：2
22
20
(1)lim
(1)lim
x
t x
t x x x x t e dt t e
dt e
-→+∞→+∞
++=??
()
()2
2
(1)()lim x
t x x
t e dt
e →+∞'
+∞
∞'
?
型
2
2
(1)lim
2x x x x e e x
→+∞
+=?
1
2
=
例4 求
3
1
|2|x dx --?
分析：先处理被积函数的绝对值，把()f x 化为分段函数
2,2
|2|2,2x x x x x -≤?-=?
->?
，再由定积分的区间可加性分段积分. 3
23
1
1
2
|2|(2)(2)x dx x dx x dx ---=-+-?
??
23
2212
11
(2)(2)22x x x x -=-+-
11422=+
5=
例5 求极限1
0lim 1n x
x
n x e dx e →∞+? 解：由于[0,1]x ∈时，01n x
n x
x e x e
≤≤+ 则 1
100100()11
n x n x x e x dx n e n ≤≤=→→∞++?? 由夹逼定理 1
0l i m 01n x
x
n x e dx e →∞=+?
例6 计算定积分
1
e
I d x
x
=?
分析：被积函数中含有
1x 和ln x ，自然应将1
dx x
凑微分，化成ln x 的函数. 解
：3
21
11
2
(1ln )(1ln )3e
I x x =
=+=+?
?
3222
(21)1)33
=-=.
注
：在
1
(1ln )x +?
中积分变量仍然是x ，所以积分区间是[1,]e .若
用1ln t x =+进行换元，则积分变为
1
(1ln )x +?
2321
1
2
3
t
==?
2
1)3
=
.
因此在凑微分时，积分变量不换，积分上下限不变；只要换了积分变量，积分上下限就要跟着变.
例7 1
,0,1()1,0,1x x x
f x x e ?≥??+=??
求20
(1)f x dx -?.
分析：被积函数是(1)f x -，应先通过变量替换化成()f x 的形式，然后再按被积函数的表达式分区间分段积分.
解：令1x t -=，当0x =时，1t =-，当2x =时，1t =.
2
1
1
1
1
(1)()()()f x d x f t d t
f t d t
f t d t
---==+?
?
?? 0
11011t dt
dt e t -=
+++??
1
10
ln(1)1t
t
e dt t e ---=+++? 01
ln(1)
ln 2ln(1)t
e e --=-++=+.
例8 设()f x ''在[0,1]上连续，(1)0f '=，(1)(0)2f f -=，则
1
()xf x dx ''=?
。
解：由定积分的分部积分法
1
1
()()xf x dx xdf x '''=?
?
1
1
00
()()x f x f x dx ''=-?
1
0()df x =-?
1
0()(1)(0)2f x f f =-=-=-
1
()2xf x dx ''=-?
例9 设0sin ()x
t
f x dt t π=
-?，求0()f x dx π?
解：0sin ()x t f x dt t π=-?，sin ()x
f x x
π'=- ()0f o =
0()()x f x dx π
π'=--?
sin 0()x
x dx x
π
ππ=--?
-?
sin dx π
=?
例10 求下列曲线所围成的平面图形的面积： （1）y x =，ln y x x =，0y =； （2）2
y x =
，
，22
2x y +=.
分析：求面积时，只需先画出曲线所围平面图形的草图，确定积分的上下限（往往是曲线的交点），然后再积分，但要注意，在不知道被积函数正负的情况下，被积函数取绝对值，这样的定积分才表示一个平面图形的面积.
解：（1）画草图5-2. 由ln x x x =，知两曲线的交点为(,)e e . 由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积2
12
e 减去定积分1
ln .e 所
以
21
(1)4
e =-. （2
x 轴、抛物线所围图形的面积.
解：画草图. 由图5-3可以看出阴影部分的面积为
120
22S x dx =+?
22232=+ 2112322423
πππ??=
+-+-=- ???. 例11 过原点作曲线的切线，求由切线、曲线及轴所围平面图形绕
轴旋转所得旋转体的体积.
分析：先画出草图（如图5-4），求出切点坐标，再计算体积. 解：设切点坐标为00(,ln )x x ，切线方程为
000
1
ln ()y x x x x -=
-， 即
.
由于切线过点（0，0），由此可知0x e =，即切点坐标为
(,1)e ，从而
2211
1(ln )3
e x V e x dx ππ=??-?
12(ln )3
e
e e x x x π
π??=
---?? 2(2)2,33e e e π
ππ?
?=
--=- ??
? 四、本章阅读书目
1．《微积分》，赵树原，中国人民大学出版社，2002年.
2．经济数学——《微积分》，吴传生，高等教育出版社，2004年. 3．《微积分》，朱来义，高等教育出版社，2004.
4．《一元函数微积分》，魏贵民，高等教育出版社，2004年.
5．《高等数学》，同济大学数学教研室，高等教育出版社，2001年（第四版）. 6．费定晖，周学圣编演《数学分析习题集题解》（三）山东科学技术出版社，2001年.
7．北京大学数学科学学院马杰，《高等数学教材辅导》，科学技术文献出版社，2005年.
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．
43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法
第五章 不定积分习题答案 练习5.1 1. 是 2. 不是，2 13 x c +为2 x 的全部原函数 3. 22,xdx x c =+?，曲线为2 x c +，c 为常数 4. 2 1(2)22 x dx x x c += ++?，由已知 ，当2x =时 1.4452 c ++= 得1c =-，所以函数为2 1212 y x x =+- 练习5.2 1．3 4 1(1)4 x x x c -=- +?，c 为任意常数 2. 原式=1 1 3 1 3 7 222 2444()()7 x x dx x dx x dx x c === +?? 3. 4. 2 2 2 222 cos 1sin 1cot ( 1)sin sin sin cot x x xdx dx dx dx x x x x x c -= = = -=--+??? ? 练习5.3 1.3332 1 2 22(3)33ln x x x dx d x c = = +?? 2.23 3 33 1 1 1(1)ln(1)1313 x dx d x x c x x = +=++++? ? 3.cos cos sin x x x x x e e dx e de e c ==+?? 4. 3 2 2 sin 1tan tan (sec 1)tan (tan )tan ln cos cos 2 x xdx x x dx xd x dx x x c x = -= - =++???? 5.令 4 4 2 3 2 2 2 1111[(1)]tan 1 1 1 3 x x dx dx x dx x x x c x x x -+= =-+ = -+++++?? ?
第五章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数 在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念． 定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有 F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数． 例如在(1，+∞)内 , ［ln(x）］′ (1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2， 故ln(x ln(x） 的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C 由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个． 关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论． 定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有 F′（x)=f(x)． 这个结论告诉我们连续函数一定有原函数． 我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理： 定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式． 定理需要证明两个结论： (1) F(x)+C是f(x)的原函数； (2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．
第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 曲边梯形设函数y f(x)在区间[a b]上非负、连续由直线x a、x b、y0及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b ]中任意插入若干个分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b 把[a b ]分成n 个小区间 [x 0 x 1] [x 1 x 2] [x 2 x 3] [x n 1 x n ] 它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 [x i 1 x i ]上任取一点 i 以[x i 1 x i ]为底、f ( i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲 边梯形(i 1 2 n ) 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 A f ( 1)x 1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n ∑=?=n i i i x f 1 )(ξ 求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边 梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度 趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度v v (t )是时间间隔[T 1 T 2]上t 的连续函数 且v (t )0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程
第五章定积分 一、基本内容 (一)基本概念 1.定积分的定义: 设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2
b b a f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) . 3. 定积分换元积分公式 设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有 b P a f(x)dx =『 伴(t))?'(t)dt 在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式 设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则 b b a u(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分 -be b 驭a f (x)dx. b lim f f (x)dx . c a ^I f g dx +J %! f (x)dx . 2 .无界函数的广义积分 (1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 U X —j a 十 b b a f(x)dx =绞^+［七f(x)dx . ⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝U X —j b — b b 一名 ［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3) 设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X T b C b ［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dx c Y b =lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx . 二、练习题 5. 1计算下列定积分： 丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX ⑴［f (x)dx=b b (2) J f(x)dx = a 二 -be ⑶ Lcf(x)dx = b - a v(x)du(x). 1
第五章定积分综合练习题 一、填空： 1、函数)(x f 在],[b a 上有界是 )(x f 在],[b a 上可积的 条件，而) (x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件； 2、由定积分的几何意义，则 ? -1 21dx x = ； 3、设 ,18)(31 1 =? -dx x f ,4)(3 1 =?-dx x f 则=?3 1 )(dx x f ； 4、正弦曲线 x y sin =在 ],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积 是 ； 5、某汽车开始刹车，其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车，汽车驶过的距离是 ； 6、?=x tdt y 02sin ，则4 π= 'x y = ； 7、估计定积分? +4 /54 /2)sin 1(ππdx x 的值的范围是： ； 8、比较下列两个积分值的大小：? 2 1 ln xdx ?2 1 2)(ln dx x ； 9、)(x f ''在],[b a 上连续，则=''? b a dx x f x )( ； 10、无穷积分? +∞ 1 dx x p 收敛，则p 的取值范围是 . 二、计算下列各导数. 1、 ?+2 211x x dt t dx d 2、?? ???==??t t udu y udu x 00sin cos ，求dx dy . 三、计算下列各定积分. 1、 dx x x )1(2 1 +? 2、dx x ?+3 31211 3、dx x ?--2121211
4、 dx x ? 40 2 tan π 5、dx x x x ?-+++0 122 41133 6、dx x ?π20sin 四、求极限 2 )sin(0 2lim x tdt x x ?→. 五、用换元积分法求下列定积分： 1、?-+1 12 ) 511(1 dx x 2、?2 /6 /2 cos ππ udu 3、?+2 1 ln 1e x x dx 4、 ? -π θθ0 3 )sin 1(d 5、? -2 2 2dx x 6、? +41 1x dx 六、用分部积分法求下列定积分： 1、 ? e xdx x 1 ln 2、? 2 /30 arcsin xdx 3、?-1 dt te t 七、求定积分 ?10 dx e x 八、求定积分 ?2 /0 cos πxdx e x 九、求定积分 ? π 3cos 2sin xdx x . 十、求定积分 ? 4 /0 4tan πxdx . 十一、设 ,0 ,0,1)(2???≥<+=-x e x x x f x 求?-2 )1(dx x f . 十二证明：若函数)(x f 在],[a a -上连续，则?-=--a a dx x f x f 0)]()([. 十三证明：??+=+1 1 12211x x t dt t dt . 十四、判定无穷积分 ? +∞ 1 41 dx x 的收敛性，如果收敛，计算其值.
第五章 定积分 Chapter 5 Definite Integrals 5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ） 一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ） 设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。 Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the region bounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge. 黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ） 设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，?是[],a b 的任意一个分割， 011n n a x x x x b -=<<<<=L ， 其中i x ?是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和 ()1 n i i i f c x =?∑，1i i i x c x -≤≤ 称为黎曼和。 Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ? be an arbitrary partition of [],a b ,011n n a x x x x b -=<<<<=L , where i x ? is the width of the i th subinterval. If i c is any point in the i th subinterval, then the sum ()1 n i i i f c x =?∑，1i i i x c x -≤≤, Is called a Riemann sum for the partition ?. 二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ） 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点 011n n a x x x x b -=<<<<=L ，把区间[],a b 分成n 个小区间： [][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -L 各个小区间的长度依次为110x x x ?=-，221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。在每个小区
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
第五章 不定积分 前面，我们讨论了如何求一个函数的导函数的问题，本章即将讨论它的反问题，即要求一个可导函数，使得它的导函数等于已知函数。这就是积分学的基本问题之一——不定积分。 §5.1 不定积分的概念与性质 5.1.1原函数 如果已知物体的运动方程)(t f s =,则此物体的速度是距离s 对时间t 的导数.反过来,如果已知物体的运动速度v 是时间t 的函数)(t v v =,求物体运动方程 )(t f s =,使得它的导数)(t f '等于已知函数)(t v .这就是求导运算的逆运算。 一般地,我们给出下面的定义： 定义 5.1.1 设)(x f 是定义在某个区间上的函数,如果存在函数)(x F 对该区间上的每一点都有： )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= ． 则称函数)(x F 是已知函数)(x f 在此区间上的一个原函数。 例如,在()+∞∞-,内,x x cos )(sin =',故x sin 是x cos 在()+∞∞-,内的一个原函数。 5.1.2不定积分的概念 由求导公式和求导法则，可以得出： )(2'x =x 2 ， )1(2'+x =x 2 ， )1000(2'+x =x 2 ， )(2'+c x =x 2 (c 为任意常数). 显然, 2x ,12+x ,10002+x ,c x +2等都是x 2的原函数.即x 2的原函数不唯一,且有无穷多个。 一般而言,如果)(x F 为)(x f 的一个原函数,则c x F +)((c 为任意常数)也满足 []'+c x F )(=)(x f ,所以c x F +)(都是)(x f 的原函数.此外,由拉格朗日中值定理
第五章 定积分及其应用 定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。 一、知识网络 定积分??? ???? ?? ? ???? ????????Γ?????-函数审敛法和计算 定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用?????????） （变力作功等其它弧长体积 面积 微元法 二、典型例题 例1 . 求极限 x x dt xt x x 2sin )sin(lim 2302 ?→。 [分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在 被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。 [解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2 ?2 )2(x ，4 sin x ?4 x ，)0(→x ，因此再 利用洛必达法则有 原式=230 20 )2(sin 1lim 2 x x dx u x x x ? →=54060 2024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=? =12 1 12lim 440=→x x x 例2. 求极限 n n n n n n )2()2)(1(1lim ???++∞→. [分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和
第五章 定积分及其应用 一、 知识剖析 1. 知识网络 ???? ? ??? ???? ?? ?? ?????????????????计算函数的平均值求旋转体的体积 求平面图形的面积定积分的应用定积分分部积分法 定积分换元法两种技巧牛顿－莱布尼茨公式积分上限函数 微积分基本定理定积分的几何意义定积分的性质定积分的定义 定积分的概念定积分 本章主要知识点为：一个概念（定积分概念）、一个定理（微积分基本定理）、两种技巧（定积分换元法、定积分分部积分法）、一个方法（微元法）。 定积分概念指出求解定积分问题的思路，微元法和牛顿－莱布尼茨公式给出求解定积分问题的具体步骤以及计算方法，而定积分换元法和定积分分部积分法，可以帮助我们更好地去计算定积分。 2. 知识重点与学习要求： 学习要求： 2.1理解定积分概念和定积分的几何意义 2.2了解变上限函数的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 2.3掌握定积分的换元积分法和分部积分法 2.4掌握奇函数和偶函数在对称区间上定积分的求法 2.5掌握微元法，能够利用微元法求不规则图形的面积、旋转体的体积 2.6掌握广义积分的概念及求法 知识重点：定积分计算、微元法（求不规则图形的面积和旋转体的体积）。 3. 概念理解与方法掌握： 3.1定积分的概念 （1）概念理解： 定积分是高等数学最重要的概念之一，利用定积分可以解决一类问题：计算在某一范围（区间）有可加性且分布不均匀的量。实际中可遇到很多这样的量，因此定积分在实际中有很大用途。
说明：① “可加性”即可以分割，将所求量分成很多小部分，所有小部分之和即为所求量。如长度、面积、体积、质量、力所做的功等都是具有可加性的量。 ② “分布不均匀”则不能用初等数学的方法解决。如曲边梯形因为“曲边”而导致面 积分布不均匀，若为“直边”（平行于对边的直线段）即面积分布均匀成为矩形；变速直线运动因为“变速”而产生路程分布不均匀，若为“匀速”则路程分布均匀。分布均匀可用初等数学方法解决。 定积分概念所蕴含的“分割、取近似、求和、取极限”是我们解决问题的基本思路。教材中的“两个实例”充分体现了这一点： 第一步：分割（化整为零） 将所求量分割为很多小部分，所有小部分之和即为所求量； 第二步：取近似（在小范围以不变代变） 求每一小部分量的近似值（小曲边梯形面积近似等于小矩形面积，极小时间段内的变速直线运动可以近似地当作匀速直线运动等）； 第三步：求和（积零为整） 第二步求得的所有近似值之和即为所求量的近似值； 第四步：取极限（精确化） 第一步的分割越细，第三步的“和”近似程度越高，因此我们将分割越来越细，近似值就越来越接近于精确值（极限思想）。 大家在学习时，要领会解决问题的思路和方法，同时注意到两个实例中所求量都是相同的“形式”——和式的极限 i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ 注：① 定积分的本质：积分是微分（微小部分，即分割后所得小部分量的近似值）的无限累积。 ② 定积分的关键点：在小范围用不变代变求近似。 ③ 定积分可以解决一类相同的问题，例如： 计算密度不均匀的细棒（只计长度）的质量；充电的过程即电量累积的过程，若利用交流电充电，其电流强度不均匀，计算在给定时间段所充的电量。 当然，定积分概念只提供思路，求解实际问题需用微元法，进一步计算定积分则要应用牛顿－莱布尼茨公式。 （2）定积分的性质 注：计算定积分过程中，可依据问题实际，灵活运用“定积分上下限互换”和“拆分积分区间”等方法。 （3）定积分的几何意义 理解、掌握定积分的几何意义对于利用定积分解决问题有很大帮助。
第四章 不定积分 前面几章我们讨论了求已知函数的导数、微分等问题，这些统称为微分问题．从本章开始，我们来讨论微分问题的逆问题，即积分问题． 第一节 不定积分的基本概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 通过前面几章的学习，对于已知的函数)(x F ，我们可以求出这个函数的曲线在任何点处的切线的斜率，进而可以求出这条曲线在任何点处的切线方程．现在我们提出相反的问题：若我们知道一条曲线在任一点处切线的斜率)(x f ，我们能否由此确定出这条曲线的方程呢？再如，对于在公路上行驶的汽车，要确定它的运动方程)(t s 一般并不是很容易的，但是汽车行驶的速度是容易得到的，能否根据汽车在任何时刻的行驶速度)(t v ，求出汽车的运动方程呢？ 由导数的几何意义和物理意义，我们知道，对于上面的问题1，如果所求得的曲线方程是)(x F ，则有 )()(x f x F ='；对于上面的问题2，如果所求得的运动方程是)(t s ，则有)()(t v t s ='，这样我们的问题就 可以归结为在已知一个函数的导数的基础上，如何求得这个函数的问题． 定义 1 设在区间I 上有函数)(x F 和)(x f ，若对于任一I x ∈，都有)()(x f x F ='或 dx x f x dF )()(=，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数． 按照定义，由于x x cos )(sin ='，所以x x cos sin 是的一个原函数，同理2x 的一个原函数是3 3 1 x ，这 是由于2331x x =' ?? ? ??．另外，由于常数的导数是零，所以对于任意的常数C ，如果)(x F 是)(x f 的一个原 函数，则C x F +)(也是)(x f 的原函数． 定理1 设)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则（1）C x F +)(也是)(x f 的原函数，其中C 为任意常数；（2）)(x f 的任意两个原函数之间相差一个常数． 证明 我们只证明（2），设)(x F 和)(x G 是)(x f 在区间I 上的两个原函数，由于0)()(])()([=-='-x f x f x G x F ，根据第三章第一节推论2，有C x G x F =-)()(，即C x G x F +=)()(（C 为常数）． 由定理1（2）可知，如果)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(就是)(x f 的所有的原函数．这样，如果我们要求函数)(x f 的所有的原函数，只要我们求出)(x f 的一个原函数再加上一个任意常数C 就可以了．
第五章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念 设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入若干个分点 b x x x x a n n ==- 110把区间[]b a ,分成n 个小区间[]10,x x ，[]21,x x ， ， []n n x x ,1-，则各个小区间的长度依次为011x x x -=?，122x x x -=?， ， 1--=?n n n x x x ，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ（i i i x x ≤≤-ξ1），做函数值)(i f ξ与小区间长i x ?的乘积)(i f ξi x ?（n i ,,2,1 =）并作出和∑=?=n i i i x f S 1)(ξ。记{}n x x x ???=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎 样划分，也不论i ξ怎样选取，只要当0→λ时，极限∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ存在，则函数)(x f 在[]b a ,上可积，记为∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ。 其中[]b a ,称为积分区间，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。 （1）定积分的实质是和式极限，是一个确定的数值。它只与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关。 （2）区间的划分和点的选取是任意的，但是在实际过程中经常“均分，端点取” （3）函数)(x f 可积的充分条件： ①若函数)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。 ②若函数)(x f 在[]b a ,上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在 []b a ,上可积。 （4）函数)(x f 可积的必要条件：
习题 略 习题— （A ） 一 计算下列定积分 1．?20 3cos sin π xdx x 解：原式23 4 20 11cos cos cos 44xd x x π π =-=-=? 2．?-a dx x a x 0 222 解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2 π= t 原式???=20 22cos cos sin π tdt a t a t a ()??-== 20 4 20 2 4 4cos 18 2sin 4 π π dt t a tdt a 420 4 4 164sin 41828a t a a π ππ =-= 3．? +3 1 2 2 1x x dx 解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为 4π，3 π 原式θθθθ π πd tg ?=34 22 sec sec ()?-=34 2 sin sin π πθθd 33 2 2- =
4．? --11 45x xdx 解：令u x =-45，则2 4145u x -= ，udu dx 2 1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式() 6 1 5811 32=-=?du u 5．? +4 1 1 x dx 解：令t x =，tdt dx 2= 当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式????? ?+-=+=??? 212 121 1212t dt dt t tdt ()[] 3 2 ln 221ln 22 12 1+=+-=t t 6．?--1 4 3 1 1x dx 解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43= x 时0,2 1=u 原式2ln 2111 121221 00 21-=-+-=--=??du u u du u u 7．? +2 1 ln 1e x x dx 解：原式()? ?++=+=221 1 ln 1ln 11ln ln 11e e x d x x d x 232ln 1221 -=+=e x 8．? -++0 222 2x x dx 解：原式() ()? --+=++=02 22 111x arctg x dx
第五章 定积分及其应用 §1 定积分的概念与性质 目 的 要 求 ：理解定积分的概念和性质，能熟练的应用定积分的性质。 重 点 ：定积分的性质。 难 点 ：定积分的概念。 教 学 方 法 ：讲授法、练习法 教 学 手 段 ：板书 ,多媒体 教 参 ：《高等数学》同济大学版 教学环节及组织： 引入新课：定积分是微积分学中的一个重要概念，本章先从实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的计算方法。 新课讲授： 一、两个引例：1）曲边梯形的面积； 2）变速直线运动的路程。 二、定积分的定义 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n 个小区间 ，记 },......,,m ax {,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作 和式： )1.......()(1 i n i i x f ?∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有 →?∑=i n i i x f 1 )(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称 积分，记做 ? b a dx x f )(即I=?b a dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积 分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 注： 1.由此定义，以上二例的结果可以表示为A=? b a dx x f )(和S=?2 1 )(T T dt t v 。 2.由定义知道?b a dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即 ? b a dx x f )(=?b a du u f )(=?b a dt t f )(。 3.定义中的0→λ不能用∞→n 代替。
1．写出下列函数的一个原函数： (1) 52x ； (2) cos x -； (3) ； (4) - 解：（1） 651 ()23x x '=， ∴ 6 13 x 是5 2x 的一个原函数． (2) (sin )cos x x '-=-，∴sin x -是cos x -的一个原函数． (3) '= ∴ 的一个原函数． (4) (2arcsin )x '-=-，∴2arcsin x - 是- 2．根据不定积分的定义验证下列等式： (1) 2 3 1 1d 2 -=-+?x x C x ； (2) (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++?． 解：(1) 因为2 3 11()2x x -'-= ，所以2 3 112 dx x C x -=-+? ． (2) 因为(cos sin )sin cos x x x x '-+=+，所以 (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++?． 3．根据下列等式，求被积函数()f x ． (1) ()ln(f x dx x C =++? ； (2) ()f x dx C = +? ． 解：(1) 等式两边求导得：()(ln(f x x x ''=+= + 2 =+ = ． (2) 等式两边求导得：32 2 32 2 1()(1) 22 (1) x f x x x x -'==- +?=- +． 4．设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x e -，求此曲线方程． 解 设所求曲线方程为()y f x =，由题设有()x f x e -'=， ()x x f x e dx e C --∴= =-+? 又曲线过点(0,1)，故(0)1f =，代入上式得2C =，所以,所求曲线方程为： 2x y e -=-+．
第五章 定积分及其应用 习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） ? -x x d 1 1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1 1 . 解：若[]? ≥∈x x f x f b a x a b d )(,0)(,,则 时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线 b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，?≤x x f x f a b d )(,0)(则在几何 上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=?-A A x x . （2）由上图（2）所示，2 πd 2 22 2 R A x x R R R ==-? -. （3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π 20=--++=+-+=?A A A A A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112 1 22d 61 1=??? ==?-A x x . 2. 设物体以速度 12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S. ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) (4)
解：= s ? +t t d )12(0 5 3. 用定积分的定义计算定积分 ?b a x c d ,其中c 为一定常数. 解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x - )2,1(n i =，小区间长度记为x ?i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1- 上任取一点i ξ作乘积i i x f ??)(ξ的和式： ∑∑==--=-?=??n i n i i i i i a b c x x c x f 1 1 1)()()(ξ, 记}{max 1i n i x ?=≤≤λ, 则 )()(lim )(lim d 0 a b c a b c x f x c n i i i b a -=-=??=∑? = →→λλξ. 4. 利用定积分定义计算 1 20 d x x ? . 解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i n i x ξ;1,,2,1,-== 取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===?=?=?n i i i n i i i n i i i x x x x f 12 121)(ξξ=∑∑===n i n i i n n n i 1 2 3 2 1 11)( = 311(1)(21)6n n n n ?++ =)1 2)(11(61n n ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12 0d x x ?=3 1． 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分 ? -+-11 34)524(x x x d 的值. 解：先求524)(3 4 +-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(2 3=-='x x x f , 得0=x 或8 3= x . 比较 35093(1)11,(0)5, (),(1)781024 f f f f -====的大小，知 min max 5093 ,111024 f f = =， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11 34min --?≤+-≤--?? -f x x x f , 即 14315093 (425)d 22512 x x x -≤-+≤?. 6. 利用定积分的性质说明 ? 1 d x e x 与?1 d 2 x e x ，哪个积分值较大？