3．(文)如图数表满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n (n >1)行第2个数为f (n )，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f (n )＝__________，并可解得通项f (n )＝________.
[答案] f (n )＝f (n －1)＋n －1；f (n )＝n 2－n ＋22
[解析] 观察图表知f (n )等于f (n －1)与其相邻数n －1的和． ∴递推关系为f (n )＝f (n －1)＋n －1，
∴f (n )－f (n －1)＝n －1，
即f (2)－f (1)＝1，
f (3)－f (2)＝2，
f (4)－f (3)＝3，
…
f (n )－f (n －1)＝n －1，
相加得f (n )＝n 2－n ＋22
. (理)(2010·福建文)观察下列等式：
①cos2α＝2cos 2α－1；
②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；
③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；
④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；
⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.
可以推测，m －n ＋p ＝________.
[答案] 962
[解析] 由题易知：m ＝29＝512，p ＝5×10＝50
m －1280＋1120＋n ＋p －1＝1，
∴m ＋n ＋p ＝162.∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962.
4．(2011·蚌埠市质检)已知
2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t ＝7a
t ，(a ，t 均为正实数)，则
类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.
[答案] 55
[解析] 类比所给等式可知a ＝7，且7t ＋a ＝72·a ，即7t ＋7＝73，∴t ＝48.∴a ＋t ＝55.
5．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13
＋…＋1n ，计
算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52
，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
[答案] f (2n
)≥n ＋22(n ?N *) [解析] f (2)＝f (21
)＝1＋22，f (4)＝f (22)>2＝2＋22，f (8)＝f (23)>52＝3＋22，f (16)＝f (24)>3＝4＋22，…，f (2n )≥n ＋22
(n ∈N *)． 6．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .
[证明] 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，
因为a ＋b ＋c ＝0，
只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，
只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.
因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，
所以(a －b )(a －c )>0，显然成立，故原不等式成立．
7．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：
(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .
(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .
[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.
(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，
∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？
即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________．
8．(文)观察①sin 210°＋cos 2
40°＋sin10°cos40°＝34；
②sin 26°＋cos 2
36°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α
＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34
. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)
＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12
[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12
[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12?
?????sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34
. (理)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14
，且a n ＋1＝????? 12a n ，n 为偶数a n ＋14，n 为奇数.
记b n ＝a 2n －1－14
，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；
(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．
[解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14
， a 3＝12a 2＝12a ＋18
. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38.∴a 5＝12a 4＝14a ＋316.
∴b 1＝a 1－14＝a －14
≠0， b 2＝a 3－14＝12? ??
??a －14， b 3＝a 5－14＝14? ??
??a －14. 猜想{b n }是公比为12
的等比数列． 证明如下：
∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12? ????a 2n －1＋14－14
＝12? ????a 2n －1－14＝12
b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12
的等比数列．
1．如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集
合{θ|0<θ<3π2
}中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.34
[答案] A
[解析] 该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ>tan θ，且sin θ>cos θ，∵当θ∈? ????0，π2时，总有tan θ>sin θ，当θ∈? ??
??π2，π时，sin θ>0，tan θ<0，cos θ<0，当θ∈? ??
??π，3π2时，tan θ>0，sin θ<0，故输出的结果是sin θ时，θ的范围是? ????π2，π，结合几何概型公式得，输出sin θ的概率为π－π232
π－0＝13，故选A.
2．n 个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为( )
A ．↓→
B ．→↑
C ．↑→
D ．→↓
[答案] A
[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与012相同，故选A.
3.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，
若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝1
4 (ih i )＝2A k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第
i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则∑i =1
4 (iH i )的值为(
)
A.4V k
B.3V k
C.2V k
D.V k
[答案] B
[解析] 在平面四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得
S ＝12
(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)
＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2∑i =1
4 (ih i )． 所以∑i =14
(ih i )＝2S k .
类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有
V ＝13
(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4) ＝13
(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4) ＝k 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝k 3∑i =1
4 (iH i )， ∴∑i =14
(iH i )＝3V k .
[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类相类似的对象之间的推理，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．类比推理能够为我们提供发现的思路和方向，但类比推理的结论不一定正确．
4．(2011·江苏苏州测试)已知结论：“在三边长都相等的△ABC
中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG GD ＝2”．若
把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外
接球的球心，则AO OM ＝________.”
[答案] 3
[解析]
如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝
32×23＝33， AM ＝
12－(33)2＝63， R ＝(63－R )2＋(33)2，解得R ＝64
. 于是，AO OM ＝6
463－64
＝3. 5．(2011·盐城市高三第一次调研)观察下列几个三角恒等式： ①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；
②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.
一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为__________________________．
[答案] 当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1
[解析] 所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α，β，γ之间满足α＋β＋γ＝90°.
6．(2010·哈师大附中)
(1)由“若a ，b ，c ?R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比得到“若a ，b ，c 为三个平面向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”
(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，通过归纳得到猜想a n ＝2n －2
(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”
(4)若f (x )＝2cos 2
x ＋2sin x cos x ，则f ? ????π4＝2＋1 上述四个推理中，得出的结论正确的是________．
[答案] (2)(3)
[解析] (1)不正确，(a ·b )·c 与c 共线，a ·(b ·c )与a 共线，而a 与c 不一定共线；(2)正确，由a n ＋1＝2a n ＋2得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，∴{a n ＋2}是首项为a 1＋2＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋2＝2n ，∴a n ＝2n －2；(3)正确，由四面体ABCD 的任意一个顶点如A ，向对面作垂线垂足为O ，则△BOC ，△COD ，△BOD 分别为△ABC ，△ACD ，△ABD 在平面BCD 内的射影，而S △ABC ＋S △ACD ＋S △ABD >S △BOC ＋S △
COD ＋S △BOD ≥S △BCD ；(4)错误，f (x )＝cos2x ＋sin2x ＋1，∴f ? ??
??π4＝cos π2＋sin π2
＋1＝2≠2＋1. 7.如图(1)，过四面体V －ABC 的底面内任一点O 分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面交点．求
证：OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值．
分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC底边AB上任一点O
分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证OA1 AC＋
OB1
BC为定值”．这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.
[证明]如图(2)，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCN.得
OA1 VA＋OB1
VB＋
OC1
VC＝
OM
AM＋
ON
BN＋
OL
CL.
在底面△ABC中，由于AM，BN，CL交于一点O，
∴OM
AM＋
ON
BN＋
OL
CL＝
S△OBC
S△ABC
＋
S△OAC
S△ABC
＋
S△OAB
S△ABC
＝
S△ABC
S△ABC
＝1.
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线
全国高中数学联赛试题及解答
2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．
全国高中数学联赛试题及解答完整版
全国高中数学联赛试题 及解答 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:009:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值．
全国高中数学联赛
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 2．已知lg x 的小数部分为a ，则2 1lg x 的小数部分为 A 、2a -的小数部分 B 、12a -的小数部分 C 、22a -的小数部分 D 、以上都不正确 3．过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A 、2213,22y x y x == B 、2235,22 y x y x == C 、22,3y x y x == D 、223,5y x y x == 4．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、ED 为边长构成的三角形的最大角是 A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、不能确定 5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是 （旁注：这是希望杯的培训题） A 、0 B 、5 C 、7 D 、以上都不正确 6．已知圆锥的顶点V 和底面圆心O 的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话），一个过VO 中点M 的平面与圆O 相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O 半径为1，则椭圆的短轴的长为 A 、 B C D 、以上结果都不对 二、（每小题9分，共54分） 7．设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，且各项之和为2006，则这样的数列共有_____个． 8．已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545 x x y y ?-+-=??-+-=-??，则x y +=_____． （旁注：联赛原题） 9．正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____． 10．若x 、y 为实数，且223x xy y ++=，则22x xy y -+的最大值和最小值分别为_____． 11．一个正方体的8个顶点可以组成_____个非等边三角形． 12．若关于x 的方程2kx +恰有一个实根，则k 的取值范围是_____． 三、论述题（本题满分60分，每小题20分） 13．设有2006个互不相同的复数，其中任何两个数的积（包括自乘）是这2006个数之一，求这2006个数的和． 14．求的值． 15．已知数列{}()0n a n ≥满足00a =，对于所有n N +∈，有 1115n n a a +=+，求n a 的通项公式． ∑∑∑===+-n k n k n k k n k n k n kC n C k n C k 11122332
全国高中数学联赛试题及详细解析
全国高中数学联赛 （10月4日上午8：00—9：40） 题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2 +2=0,x ∈R}的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000 ， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． （A ）3333 （B ）3666 （C ）3999 （D ）3 2001 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= 2 3 -I,则z 1z 2= 。 9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，则直线A 1C 1与BD 1的距离是 。
全国高中数学联赛试题
全国高中数学联赛试题 一、填空题 1、若正数b a ,)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则b a 11+的值为__________ 2、设集合}21|3{≤≤≤+ b a b a 中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=_________ 3、若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______ 4、数列}{n a 满足)(1 )2(2,211?+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________ 5、已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________ 6、设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________ 7、设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。若点P 满足1=PI ，则ABC ?与APC ?的面积之比的最大值为__________ 8、设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2 1的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________ 二、解答题 9、平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点， 满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直。设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,， （1）证明：R 是一个顶点 （2）球 | |||QR PQ 的最小值
2015年全国高中数学联赛试题
2015全国高中数学联合竞赛一试 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值.
2005年全国高中数学联赛试题及参考答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档； 其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准 适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A B C D 解： 令6,y x = ≤≤ 则2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤∴实数 。选D 。 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 解：注意到,9711301132 2 2 2 +==+由于,0 =+++则2 2 DA == -=?+?+?+++=++22222)(2)(AB CD BC AB +++-=?+?+?+++CD BC AB BC CD BC (2)(22222 22 ),()+?即CD AB BC AD ?∴=--+=?,022222只有一个值得0，故选 A 。 3．ABC ?内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。则 C B A C CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos 111++?+?+?的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222 A A B C B C AA B ++=+ =+-
全国高中数学竞赛考试及解答
全国高中数学竞赛考试及解答
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·3· 1979年全国高中数学竞赛题 第一试 1．求证：sin3θ=4sin θsin(π3+θ)sin(2π 3 +θ) 2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x +y=0和x －y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线 方程． 3．在△ABC 中，∠A 为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC 完全盖住． 4．圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分． 5．解方程组?????x －y +z=1， ⑴y －z +u=2， ⑵ z －u +v=3， ⑶u －v +x=4， ⑷v －x +y=5． ⑸ 6．解方程：5x 2+x －x 5x 2－1－2=0． 7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 8．设△ABC 三内角成等差数列，三条对应边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试求A 、B 、C ． 9．已知一点P (3，1)及两直线l 1：x +2y +3=0，l 2：x +2y=7=0，试求通过P 点且与l 1、l 2相切的圆的方程． 10．已知锐角三角形的三边a 、b 、c 满足不等式a >b >c ，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论． 第二试 1．已知f (x )=x 2－6x +5，问满足f (x )+f (y )≤0和f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )在平面上的什么范围内？并画图． 2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法． 3．设0<α<π2，0<β<π 2，证明 1cos 2α+1 sin 2 αsin 2βcos 2β ≥9 ． 4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1． 5．在正整数上定义一个函数f (n )如下：当n 为偶数时，f (n )= n 2，当n 为奇数时，f (n )=n +3， 1° 证明：对任何一个正整数m ，数列a 0=m ，a 1=f (a 0)，…，a n =f (a n －1)，…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中，哪些m 使上述数列必然出现“3”？哪些m 使上述数列必然出现“1”？ 6．如图，假设两圆O 1和O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E ，⊙O 2的弦BD 交⊙O 1于F ，证明 O 1 O 2 A D C B F E
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）. ||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷 一试 一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________. 2.若实数y x ,满足1cos 22 =+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110 9:2 2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ?中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π =∠A ，ABC ?的面积为 3，则AN AM ?的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5 3)(53(321321x x x x x x ++ ++的最小值和最大值. 11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；
全国高中数学联赛试卷及答案
二○○一年全国高中数学联合竞赛题 （10月4日上午8：00—9：40） 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在（0， 2 π ）上单调递增的偶函数是 （A ）y=sin|x| （B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx| （D ）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 （A ）k=83 （B ）0全国高中数学联赛一试试题
全国高中数学联赛一试试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数在上的最小值是（C ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D． 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（） A. B. C. D. 4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（） A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3 5．方程组的有理数解的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围 是（） A. B.
C. D. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．设，其中为实数，，，，若，则 . 8．设的最小值为，则_____________． 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种． 10．设数列的前项和满足：，，则通项 =． 11．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足 ，，则=__________． 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标 的最大值为，求证： 14．解不等式．
全国高中数学联赛新规则
全国高中数学联赛试题模式（2010年起实施） 自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下： 联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。 一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。 一试 考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 （2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。） 加试（二试） 考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。 （2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。） 依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后讲一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。 各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。 根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。 考试范围 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理：
2016年全国高中数学联赛精彩试题
2016年全国高中数学联赛试题 一、填空题 1．设实数a 满足3 911||a a a a <-<，则a 的取值范围是____________. 【解】由于||,0a a a <\<，3 911||a a a a <-
2007年全国高中数学联赛试题+答案
2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：上午8：00—9：40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]2 1,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒成立， 则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小
