2019年江苏省普通高校“专转本”统一考试《高等数学》试卷

江苏省 普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、B3、B4、A5、D6、D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、2y e -= 8、5 9、2π10、2222y x dz dx dy x y x y =-+++ 11、3π 12、[0,2) 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=23000arcsin arcsin lim lim arcsin x x x x x x x x x x x→→→→--===20116x x →-==- 14、2(32)y t dy y dy dt e t dx dx e t dt-+==+,0t dy dx ==15、2222222221111ln ln ln ln ln ln 2222x xdx xdx x x x d x x x x xdx ==-=-⎰⎰⎰⎰222222222211111111ln ln ln ln ln ln ln 22222222x x xdx x x x x x d x x x x x xdx =-=-+=-+⎰⎰⎰2222111ln ln 224x x x x x C =-++ 16、令t x =-12，则原式=222222220002444(1)22arctan 2044422t t t dt dt dt t t t π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰ 17、平面∏的法向量(1,2,3)(1,0,0)(0,3,2)n MN i →→=⨯=⨯=-u u u u r ，直线方程：0(1)3(1)2(1)0x y z -+---=.即3210y z --=.18、12cos 2z xf xf x∂''=+∂212221222cos (2)2(2)2cos 4z xf y xf y y xf xyf x y∂''''''''=⋅-+⋅-=--∂∂ 19、2101001()()26y D y x y dxdy dy x y dx dy -+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 20、特征方程：220r r -=，120,2r r ==，齐次方程的通解为212x Y C C e =+.令特解为2()x y x Ax B e *=+，则22(222)x y Ax Bx Ax B e *'=+++，22(44824)x y Ax Bx Ax A B e *''=++++代入原方程得：22(422)x x Ax A B e xe ++=， 有待定系数法得：41220A A B =⎧⎨+=⎩，解得1414A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以通解为221211()44x x y C C e x x e =++-. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、令()ln 3f x x x =-,显然在区间(2,3)上连续，且38(2)2ln 23ln ln10,f e =-=<< (3)3ln 333(ln 31)0,f =-=->根据零点定理，(2,3),()0f ξξ∃∈=成立.又()ln 10f x x '=->Q ，(2,3)x ∈，)(x f '单调递增，唯一性得证.22、令21()1ln(1)2x f x e x x =---+，则1()1x f x e x x '=--+，21()1(1)x f x e x ''=-++， 在0x >时，()f x ''单调递增，()(0)10f x f ''''>=>，所以()f x '单调递增，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 单调递增，()(0)0f x f >=，得证.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23、（1）2k y x '==-切，切线：,02(1)y x -=--，即2(1)y x =--，D 面积1201[2(1)(1)]3x x dx ----=⎰. (2) 21200211(1)(1)2326y y V d y y d y πππππ=---=-=⎰⎰ 24、已知0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰两边同时对x 求导得：()()x x x ϕϕ'=-，22()x x Ce ϕ-=，令0x =代入0()1()xt t dt x ϕϕ=-⎰得(0)1ϕ=，所以求得221,()x C x e ϕ-==.（2）因为2222232222(),(),()(1),()(3)x x x x x e x xe x x e x x x e ϕϕϕϕ----''''''==-=-=-(0)1ϕ=，(0)0ϕ'=，(0)1,(0)0ϕϕ'''''=-=. 20000()1()()(0)1lim ()lim lim lim (0)2222x x x x x x x f x f x x ϕϕϕϕ→→→→'''''-=====-=. 所以()f x 在0=x 处的连续.223000()11()(0)2()22lim lim lim 2x x x x f x f x x x x x x ϕϕ→→→-+--+==Q 20002()2()()11lim lim lim 6666x x x x x x x x x x ϕϕϕ→→→''''''+++====. 所以()f x 在0=x 处可导，1(0)6f '=.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）—数学（解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔全卷总分值160分，考试时间120分钟〕参考公式： 棱锥的体积13V Sh=，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、〔2018年江苏省5分〕集合{124}A =，，，{246}B =，，，那么A B =▲、【答案】{}1,2,4,6。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。

2、〔2018年江苏省5分〕某学校高【一】高【二】高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取▲名学生、 【答案】15。

【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。

将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。

因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。

3、〔2018年江苏省5分〕设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-〔i 为虚数单位〕，那么a b +的值为▲、【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由117i i 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4、〔2018年江苏省5分〕下图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是▲、【答案】5。

【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+ 循环前0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。

江苏省 2019年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1.当x 0→时，下列无穷小与()ln()2f x 1kx =+与()cosg x 1x =-是等阶无穷小，则常数k 的值为( )A. 14B. 12 C. 1 D. 22. x 0=是函数()1x1f x e 1=+的（ ）A. 跳跃间断点B. 可去间断点C.无穷间断点D. 振荡间断点 3.设函数()f x 若x 0=处连续，且()limsin x 0f x 12x→=，则()f 0'等于 ( )A. 0B.12C. 1D. 2 4.设()f x 是函数cos 2x 的一个原函数，且(0)0f =，则()f x dx =⎰（ ）A. 1cos 24x C -+ B. 1cos 22x C -+ C. cos2x C -+ D. cos 2x C + 5.设211ln 2ln 2adx x x +∞=⎰，则积分下限a 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设()f x 为(,)-∞+∞的连续函数，则与211()f dx x⎰的值相反的是（ ） A.221()f x dx x ⎰B. 122()f x dx x ⎰C. 1122()f x dx x⎰ D. 1221()f x dx x ⎰ 7. 二次积分011(,)xdx f x y dy --⎰⎰交换积分次序后（ ）A. 011(,)y dy f x y dx --⎰⎰ B. 1(,)ydy f x y dx -⎰⎰C. 11(,)ydy f x y dx -⎰⎰ D. 1(,)ydy f x y dx -⎰⎰8.设11(1)ln(1ln(1)n n n u v n +=-=+，则（ ）A. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛 B. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都发散C. 级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn v∞=∑发散 D. 级数1nn u∞=∑发散，而级数1nn v∞=∑收敛二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）9.设函数11(2), 1(), 1x x x f x a x -⎧⎪-<=⎨⎪≥⎩，在1x =处连续，则常数a = .10.曲线1ttx tey e⎧=⎪⎨=-⎪⎩在点(0,0)处的切线方程为 . 11. 设函数ln(1)y x =+，若()02018!n x y ==，则n = .12.定积分141(cos ||)x x x dx -+⎰的值为 .13.设(2,1,2), 3a b a b ⨯=-⋅=，则向量a 与b 的夹角为 .14.幂级数2133nn n x n∞=+∑的收敛半径为 . 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）15.求极限3[ln(1)]lim 1xx x t tdt e →+--⎰.16.求不定积分2()xx x e dx +⎰.17.求定积分70.⎰18.设2(,)z f x y x y =-，其中f 函数具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.19.设(,)z z x y =是由方程2sin()1y x xy z +++=所确定的函数，求,z z x y∂∂∂∂. 20.求通过(1,0,1),M 且与直线1111:123x y z L ---==和21:2332x tL y t z t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩都平行的平面方程.21.求微分方程xy y e '''-=的通解.22.计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线y =1y =及0x =所围成的平面闭区域.四．证明题（本大题10分） 23.证明：当02x <<时，22xxe x+<-.五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）24.已知函数43()f x ax bx =+在点3x =处取得极值27-，试求： （1）常数,a b 的值；（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点；（3）曲线1()y f x =的渐近线. 25．设()f x 为定义在[0,)+∞上的单调连续函数，曲线:()C y f x =通过点(0,0)及(1,1)，过曲线C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴的直线x l 和垂直于y 轴的直线y l ，曲线C 与直线x l 及x 轴围成的平面图形的面积记为1S ，曲线C 与直线y l 及y 轴围成的平面图形的面积记为2S ，已知122S S =，试求：（1）曲线C 的方程；（2）曲线C 与直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

江苏省2019年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟.2.必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效.作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置.3.考试结束时，须将试题卷和各答题卡一并交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1.设当x—0时，函数/(x)=ln(l+Ax2)与g(x)=l-c o s x是等价无穷小，则常数免的值为（）A.cos x-1B.yj\—x-1C.3 -1D.fl+x^_12.x=0 是函数/Y*=—^—的（>A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷丨IH/M荡H断13■设函数/〇)在J C=0处连续，且l i m^H=l，则/'(0)等于（）s in2xA.0B.-C.1D.224■设/〇)是函数cos2x的一个原函数，且/(0)=0,贝U j V(i)办（)A.—c o s2x+C4C.—cos2x+C5■设一A.2-d x:x ln2x21n2B.4B.—c o s2x+C2D.c o s2x+C，则积分下限a的值为（C.6D.6.设/〇〇为卜〇),+〇))的连续函数，则与f/(一>/x的值相等的定积分为（xA.C^d x B_r學xx x7.二次积分J*办交换积分次序后得（）A.^dy^f{x,y)dx B-\X〇d y^J f{x,y)dx C.^f{x,y)dx D*\0dy\_yf(x^y)dx8■设 ％ l)77ln(l H—-j=\ vn=ln(l H—)，则（）如nA•级数与文v w都收敛n=\ n=\B.级数与都发散n=\ n-\C.级数;收敛，而级数发散D.级数;发散，而级数收敛n=l n=\ n=\ n=\二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9.设函数/(x)=1在点x=：1处连齡，[她食数“=_________________.—[a,\x>l10.曲线jX_纪茬（0,0)处的切线方程为^丨'b=i-y11■设;;=ln〇+l)，若少(叫=2018!，则___________lx=012.定积分|1(尤(：034：\：+|1|)办的值为____________________13.设g x6=(2，1,—2),仏6=3，则向量“与向量6的夹角为.14.幂级数的收敛半径为____________________•n=i3 + n三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）j*[ln(l+/^)—t\dt15.求极限lim心-----；--------••T^°ex-116.求不定积分J*(x2+x)Z A: •17■计算定积dx •18.设2 = /(12少，尤-少），其中函数/具有二阶连续偏数，求d2za ? *19.设z = z 〇,>〇是由方程sin 〇 + z ) + x 少+ z 2 =1确定的函数，求一，一8x dyx =少=2 + 3(都平行 z = 3-\-2t的平面方程.2i ■求微分方程/-y =，的通解.20.求通过点M (l , 0,1)，且与直线A :x -1 y -\■和直线A22.计算二重积分办，其中乃是由曲线少=^21_义2与直线j ； = 1及x = 0所围成D的平面区域.四、 证明题（本大题10分）23■证明：当0<x <2肘，，<三土^.2 — x五、 综合题（本大题共2小题，每小题10分厂共20分）24. 己知函数/(x ) = m :4+fcc 3在点x = 3处取餐极值-27,试求：」(1) 常数的值;(2) 曲线j ； = /(x )的凹凸区间与拐点；(3) 曲线= ^■的渐近线.f (x)25. 设/〇)为定义在设[0，+〇〇上的单调连续函数，曲线二/(x )通过点（0,0)及(1，1)， 过曲线C 上任一点M (x ，少）分别作垂直于x 轴的直线/x 和垂直于j ；轴的直线/^，曲线C 与 直线^及尤轴围成的平面图形的面积记为曲线C 与直线及;;轴围成的平面图形的面积记为&，已知乂=2&，试求：(1) 曲线C 的方程；(2) 曲线C 与直线j ; = x 围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.。

2019年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域 解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和 （3）解方程.125522=+x x 解：原方程即,55322=+x x..1,3,322均为原方程的解=-==+∴x x x x（4）计算⎪⎭⎫⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程 解：原方程可展开为,99622=++-y x xθ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x（6）计算.321lim2n nn ++++∞→解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n nn n n n（7）分解因式.4832224-+--y y y x x 解：原式=2222)22()(---y y x).23)(2()22)(22(2222+--+=+---+-=y x y x y y x y y x3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点求A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x xy xy 解得 由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1. 又解得,044),1(422=-+-=y y y yy 1+y 2=-4,y 1y 2=-4.由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-= 但,324364)()(21221221=-=-+=-x x x x x x83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900， ∴∠ACD=∠B又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB 但∵∠BCD=3∠ACD ， ∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450， △EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针C 点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D 点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB的长度解：厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程.4040xv v v x v ==乙甲乙甲或 第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或 由此可得,280)20(440xx x -+= .0)80)(40(=--x xC ADE BDB由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,x=80（厘米）ACB=40+80=120（厘米）5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有.601803,180)()(︒=α∴︒=α︒=+α+α+-αd d （2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa ,,（此处q 为公比，且0>q ） 由余弦定理可得,021,21211,60cos 2)((2222222=+-⋅-+=︒⋅⋅-+=q qq qq aaq q a a),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q 由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为600。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2则该双曲线的渐近线方程是________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8= 0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________. 12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABAC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分） 15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值；（2）若sinAa =cosB2b，求sin(B+π2)的值．16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a +y2b=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n={(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。

高等数学一第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当时，为的 （ ）0x →234x x x x +++x A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小D.4阶无穷小2. （ ）2lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C. D.2e -e-e 2e 3. 设函数，则＝ （ ）cos 2y x =y 'A. B. C. D.2sin 2x2sin 2x-sin 2xsin 2x -4. 设函数在上连续，在可导，＞0，f (a ) f (b )＜0，则在内()f x [,]a b (,)a b ()f x '()f x (,)a b 零点的个数为 （ ）A.3B.2C.1D.05. 设为的一个原函数，则＝ （ ）2x ()f x ()f x A.0B.2C. D.2x 2x C+6. 设函数，则 （ ）()arctan f x x =()d f x x '=⎰A. B.arctan x C -+211C x -++C. D.arctan x C+211C x ++7. 设，，，则（ ）1210d I x x =⎰1320d I x x =⎰1430d I x x =⎰A. I 1＞I 2＞I 3 B. I 2＞I 3＞I 1C. I 3＞I 2＞I 1D. I 1＞I 3＞I 28. 设函数，则＝（ ）2e y z x =(1,0)z x∂∂A.0B.C.1D.2129. 平面的一个法向量为 （ ）2340x y z +-+=A. B. C. D.{1,3,4}-{1,2,4}{1,2,3}-{2,3,4}-10. 微分方程的阶数为 （ ）34()yy y y x ''++=A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分）11..0tan 2limx xx→=12.若函数在点处连续，则a =.0x =13. 设函数，则d y =.2e x y =14.函数的极小值点x = .3()12f x x x =-15.= .x 16..121tan d x x x -=⎰17.设函数，d z =.32z x y =+18.设函数，则＝.arcsin z x y =22zx ∂∂19.幂级数的收敛半径为.1n n nx ∞=∑20.微分方程的通解y =.2y x '=三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤）21.（本题满分8分）若，求k .0sin 2lim2x x kxx→+=22.（本题满分8分）设函数，求.sin(21)y x =-y '23.（本题满分8分）设函数，求.ln y x x =y ''24.（本题满分8分）计算.13(e ) d x x x +⎰25.（本题满分8分）设函数，求.11z x y =-22z z x y x y ∂∂+∂∂26.（本题满分10分）设D 是由曲线与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求：21x y =-（1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .27.（本题满分10分）求微分方程的通解.560y y y '''--=28.（本题满分10分）计算，其中D 是由曲线，，轴在第一象限围成的有界区22()d d Dx y x y +⎰⎰221x y +=y x =x 域.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【应试指导】，故是的等价无穷2342300limlim(1)1x x x x x x x x x x→→+++=+++=234x x x x +++x 小.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】.22222222lim(1)lim(1)[lim(1)]e x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=3.【答案】B【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.【应试指导】·.(cos 2)sin 2y x x ''==-(2)2sin 2x x '=-4.【答案】C【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，在上必有零点，且函数是单调函数，故其()f x (,)a b 在上只有一个零点.(,)a b 5.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知，故.()d 2f x x x C =+⎰()(()d )(2)2f x f x x x C ''==+=⎰6.【答案】C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.【应试指导】.()d ()arctan f x x f x C x C '=+=+⎰7.【答案】A【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间内，有x 2＞x 3＞x 4，由积分的性质可知(0,1)＞＞，即I 1＞I 2＞I 3.120d x x ⎰130d x x ⎰140d x x ⎰8.【答案】D【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】，故2×1×1＝2.2e y zx x∂=∂(1,0)z x ∂=∂9.【答案】C【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1，2，}.3-10.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.二、填空题11.【答案】2【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.【应试指导】.00tan 22limlim 2x x x xxx →→==12.【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.【应试指导】由于在处连续，故有.()f x 0x =0lim ()lim 50(0)x x f x x f a --→→====13.【答案】22e d x x【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点.【应试指导】d y = d(e 2x ) = e 2x ·(2x )′d x = 2 e 2x d x.14.【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.【应试指导】，当或时，，当x ＜2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+2x =2x =-()0f x '=时，＞0；当＜x ＜2时，＜0；当x ＞2时，＞0，因此x =2是极小值2-()f x '2-()f x '()f x '点.15.【答案】arcsin x C+【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】.arcsin x x C =+16.【答案】0【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】被积函数x tan 2x 在对称区间上是奇函数，故.[1,1]-121tan d 0x x y -=⎰17.【答案】23d 2d x x y y+【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】，，所以.23z x x ∂=∂2z y y ∂=∂2d d d 3d 2d z z z x y x x y y x y∂∂==+=+∂∂18.【答案】0【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.【应试指导】，.arcsin z y x ∂=∂220zx ∂=∂19.【答案】1【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点.【应试指导】，设，则有，故其收敛半径1nn n n nx nx ∞∞===∑∑n a n =11limlim(1)1x x n n nρ→∞→∞+==+=为.11R ρ==20.【答案】2x C+【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.【应试指导】微分方程是可分离变量的微分方程，两边同时积分得2y x '=.2d 2d y x x x y xC '=⇒=+⎰⎰三、解答题21.，故.00sin 2sin limlim 2122x x x kx x k k x x →→+=+=+=12k =22.[sin(21)]y x ''=-·cos(21)x =-(21)x '- .2cos(21)x =-23.()ln (ln )y x x x x '''=+，ln 1x +故.1(ln )y x x'''==24.1133(e )d d e d xx x x x x x +=+⎰⎰⎰1131e 113x xC+=+++ .433e 4x x C =++25.，，故21z x x ∂=-∂21z y y ∂=∂··2221z z x y x y x∂∂+=-∂∂22x y +21y .110=-+=26.（1）积分区域D 可表示为：0≤y ≤1，0≤x ≤1y 2，-120(1)d S y y=-⎰3101()3y y =-.23（2）120πd V y x=⎰ 10π(1)d x x =-⎰.π2=27.特征方程，解得或，故微分方程的通解为2560r r --=11r =-26r =（C 1，C 2为任意常数）.1261212e e e e r x r x x x y C C C C -=+=+28.积分区域用极坐标可表示为：0≤≤，0≤r ≤1，θπ4所以22()d d DI x y x y=+⎰⎰ ·r d rπ12400d r θ=⎰⎰ ·π4=41014r.π16=。

高等数学一第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当0x →时，234x x x x +++为x 的 （ ） A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小 D.4阶无穷小2. 2lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ ） A.2e - B.e - C.e D.2e3. 设函数cos2y x =，则y '＝ （ ）A.2sin2xB.2sin2x -C.sin 2xD.sin2x -4. 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，()f x '＞0，f (a ) f (b )＜0，则()f x 在(,)a b 内零点的个数为 （ ） A.3 B.2 C.1 D.05. 设2x 为()f x 的一个原函数，则()f x ＝ （ ） A.0B.2C.2xD.2x C +6. 设函数()arctan f x x =，则()d f x x '=⎰ （ ） A.arctan x C -+ B.211C x-++ C.arctan x C +D.211C x ++ 7. 设1210d I x x =⎰，1320d I x x =⎰，1430d I x x =⎰，则 （ ）A. I 1＞I 2＞I 3B. I 2＞I 3＞I 1C. I 3＞I 2＞I 1D. I 1＞I 3＞I 28. 设函数2e y z x =，则(1,0)z x∂∂＝ （ ）A.0B.12C.1D.2 9. 平面2340x y z +-+=的一个法向量为 （ ） A. {1,3,4}- B.{1,2,4} C.{1,2,3}- D.{2,3,4}-10. 微分方程34()yy y y x ''++=的阶数为 （ ） A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分）11.0tan 2limx xx→= .12.若函数在点0x =处连续，则a = .13. 设函数2e x y =，则d y = .14.函数3()12f x x x =-的极小值点x = . 15.x = .16.121tan d x x x -=⎰ .17.设函数32z x y =+，d z = .18.设函数arcsin z x y =，则22zx ∂∂＝ .19.幂级数1n n nx ∞=∑的收敛半径为 .20.微分方程2y x '=的通解y = .三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤） 21.（本题满分8分）若0sin 2lim2x x kxx→+=，求k .22.（本题满分8分）设函数sin(21)y x =-，求y '.23.（本题满分8分） 设函数ln y x x =，求y ''. 24.（本题满分8分） 计算13(e ) d x x x +⎰.25.（本题满分8分）设函数11z x y =-，求22z zx y x y ∂∂+∂∂. 26.（本题满分10分）设D 是由曲线21x y =-与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求： （1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V . 27.（本题满分10分）求微分方程560y y y '''--=的通解. 28.（本题满分10分）计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由曲线221x y +=，y x =，x 轴在第一象限围成的有界区域.参考答案及解析一、选择题 1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【应试指导】2342300lim lim(1)1x x x x x x x x x x→→+++=+++=，故234x x x x +++是x 的等价无穷小.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】22222222lim(1)lim(1)[lim(1)]e x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=.3.【答案】B【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点. 【应试指导】(cos2)sin 2y x x ''==-·(2)2sin 2x x '=-.4.【答案】C【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，()f x 在(,)a b 上必有零点，且函数是单调函数，故其在(,)a b 上只有一个零点.5.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知()d 2f x x x C =+⎰，故()(()d )(2)2f x f x x x C ''==+=⎰. 6.【答案】C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点. 【应试指导】()d ()arctan f x x f x C x C '=+=+⎰. 7.【答案】A【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间(0,1)内，有x 2＞x 3＞x 4，由积分的性质可知120d x x ⎰＞130d x x ⎰＞140d x x ⎰，即I 1＞I 2＞I 3. 8.【答案】D【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点. 【应试指导】2e y z x x ∂=∂，故(1,0)z x∂=∂2×1×1＝2.9.【答案】C【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1，2，3-}. 10.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.11.【答案】2【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点. 【应试指导】00tan 22limlim 2x x x xxx →→==.12.【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.【应试指导】由于()f x 在0x =处连续，故有0lim ()lim 50(0)x x f x x f a --→→====. 13.【答案】22e d x x【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点. 【应试指导】d y = d(e 2x ) = e 2x ·(2x )′d x = 2 e 2x d x. 14.【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.【应试指导】2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+，当2x =或2x =-时，()0f x '=，当x ＜2-时，()f x '＞0；当2-＜x ＜2时，()f x '＜0；当x ＞2时，()f x '＞0，因此x =2是极小值点.15.【答案】arcsin x C +【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】arcsin x x C =+.16.【答案】0【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】被积函数x tan 2x 在对称区间[1,1]-上是奇函数，故121tan d 0x x y -=⎰.17.【答案】23d 2d x x y y +【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】23zx x ∂=∂，2z y y ∂=∂，所以2d d d 3d 2d z z z x y x x y y x y ∂∂==+=+∂∂.18.【答案】0【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.【应试指导】arcsin zy x∂=∂，220z x ∂=∂.19.【答案】1【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点. 【应试指导】1nn n n nx nx ∞∞===∑∑，设n a n =，则有11limlim(1)1x x n n nρ→∞→∞+==+=，故其收敛半径为11R ρ==.20.【答案】2x C +【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.【应试指导】微分方程2y x '=是可分离变量的微分方程，两边同时积分得2d 2d y x x x y xC '=⇒=+⎰⎰.21.00sin 2sin limlim 2122x x x kx x k k x x →→+=+=+=，故12k =.22.[sin(21)]y x ''=-cos(21)x =-·(21)x '- 2cos(21)x =-. 23.()ln (ln )y x x x x '''=+ln 1x +，故1(ln )y x x'''==.24.1133(e )d d e d xx x x x x x +=+⎰⎰⎰ 1131e 113x xC +=+++433e 4x x C =++.25.21z x x ∂=-∂，21z y y ∂=∂，故2221z z x y x y x ∂∂+=-∂∂·22x y +·21y110=-+=.26.（1）积分区域D 可表示为：0≤y ≤1，0≤x ≤1-y 2，120(1)d S y y =-⎰3101()3y y =-23. （2）120πd V y x =⎰10π(1)d x x =-⎰ π2=. 27.特征方程2560r r --=，解得11r =-或26r =，故微分方程的通解为1261212e e e e r x r x x x y C C C C -=+=+（C 1，C 2为任意常数）.28.积分区域用极坐标可表示为：0≤θ≤π4，0≤r ≤1， 所以22()d d DI x y x y =+⎰⎰π12400d r θ=⎰⎰·r d rπ4=·41014rπ16=.。