多元函数条件极值的几种求解方法
摘要
本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词
极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式
1前言
函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是
浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
通过对求解多元函数条件极值问题的研究，从中找到求出极值的不同方法，在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法，从而在解决问题的过程达到最优化。学生在遇到不同的问题时能够从中找到突破口，能让这些求解放法扎根于学生的思维中，运用到学生的实际问题中去，并且在解决实际问题的同时，自己的思维能力以及解题能力得到较好的发展。
2 多元函数极值
2.1无条件极值
在解决实际问题中，我们已经看到了最大值最小值的重要性。求
函数的最大值、最小值时，涉及到函数的自变量往往不止一个，因此，就需要求多元函数的最大值、最小值。而最大值与最小值与极值有着密切的联系。首先我们给出多元函数的极值概念，并利用一元函数极值的性质，推断出多元函数极值的性质。
定义 2.1]1[设函数(,)z f x y =在点000(,)p x y 的某邻域0()u p 内有定义，若对任何0(,)()p x y u p ∈，都有0()()f p f p ≤（或0()()f p f p ≥）。则称
函数g 在点0p 取到极大（或极小）值，点0p 称为f 的极大（或极小）值点。极大值（极小值）统称极值，极大值点（极小值点）统称为极值点。
由定义知，若f 在点00(,)x y 取极值，则当固定0y y =时，一元函数
0(,)f x y 必定在0x x =取相同的极值，若00(,)x f x y '也存在，利用一元函数
取极值的必要条件知
0(,)0x x d
f x y dx ==，即00(,)0x f x y '=。同理一元函数0(,)f x y 在0y y =也取相同的极值，若00(,)0y f x y '=也存在，则00(,)0x f x y '=，
因此有
定理2.1[]2（极值的必要条件）若函数f 在点000(,)p x y 存在偏导数且在0p 取极值，则有
0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''== （2.11）
反之，若函数f 在点0p 满足（2.11），则称点0p 为f 的稳定点或驻点。若f 存在偏导数，则其极值点必是稳定点，但反之不一定成立。例(,)f x y xy =，(,),(,),x y f x y y f x y x ''==但(,)f x y 在点(0,0)o 处不取极值。这是因为在(0,0)o 点的任何一个邻域()u o 中，若()p u o ∈，当p 在一，三象限时，()0f p >。当p 在二四象限时，()0f p <。因此，(0,0)f 不是极值。若(,)f x y 在点00(,)x y 取极值，(,)f x y 的偏导数只有两种情形：
（i ）0000(,),(,)x y f x y f x y ''都存在，则00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=。即点
000(,)p x y 为稳定点。
（ii ）0000(,),(,)x y f x y f x y ''至少有一个不存在。
因此，(,)f x y 的极值点一定包含在稳定点火偏导数不存在点统称
为极值点的怀疑点之中。
例 2.1 设22(,),(,)f x y x y f x y =+存在点(0,0)处偏导数不存在，但
(,)x y R ∈时，有(,)(0,0)0f x y f ≥=，因此，(0,0)f 为极小值。极值点的
怀疑点找出来后，若是偏导数不存在的点00(,)x y ，可用函数值不等式来检验点00(,)x y 是否为极值点；若是稳定点，我们又下面的定理。
定理2.2[]3（极值的充分条件）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域0()u p 连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果00(,)0x f x y '=，
00(,)0y f x y '=，设000000(,),(,),(,)xx
xy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===，则 （1）当20B A C -<时，00(,)f x y 一定为极值，并且当A （或C ）0>时，00(,)f x y 为极小值；当A （或C ）0<时，00(,)f x y 为极大值；
（2）当20B AC ->时，00(,)f x y 不是极值；
（3）当20B AC -=，还不能断定00(,)f x y 是否为极值，须作进一步研究。
由前述定理知，若()f p 在有界闭区域G 上连续，则()f p 在G 上一定能取到最大值与最小值。即存在12,p p G ∈，有12(),()f p m f p M ==，对一切p G ∈，有()m f p M ≤≤。
最大值，最小值也可以在边界点取到，也可以在内部取到。当在内部取到时，最大值、最小值点一定是极值点，则一定是稳定点或偏导数不存在点。
因此，最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数不存在点的点及边界点（边界函数值最大值与最小值点）之中（注意与区间端点不同的是闭区域G 的边界点又无数个，若2G R ?，边界点
是边界曲线上的点，若3G R ?，边界点是边界曲线上的点，若3G R ?，边界点是曲面上的点），这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值。
若根据实际问题一定有最大值（或最小值），而内部有唯一可疑点，则改点的函数无须判断一定是最大值（或最小值）。
例 2.2 设D 是由x 轴，y 轴及直线2x y π+=所围成的三角形区域（图2.1）求函数sin sin sin()u x y x y =+-+在D 上的最大值。
解：由函数无偏导数不存在的点，
图2.1 例题2.2示意图
解方程组
cos cos()0cos cos()0u
x x y x
u
y x y y
??=-+=??????=-+=???（定理2.1） 解得22,,33
x y ππ=
= 而在边界0x =或0y =或2x y π+=上，0u =。
因此22(
,)33
ππ
是唯一的可疑点，所以为2233(,)332u ππ=
最大值。 2.2 多元函数条件极值
前面我们讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。
例如要设计一个容量为V 的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。设水箱的长、宽、高分别为,,,x y z 则表面积为
(,,)2()s x y z xz yz xy =++（3.1）
定义域是0,0,0,x y z >>>，而且必须满足条件
xyz v =（3.2）
像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。
条件极值问题的一般形式是在条件组
12(,,
,)0,1,2,
,()n x x x k m m n χψ==<（3.3）
的限制下，求目标函数
12(,,
,)n y f x x x =（3.4）
以前像这类极值时，只能用消元法化为无条件极值问题。 前面的例子，由条件（3.2），解出v
z xy
=
代入（3.1）式，有 11
(,)(,,
)2(),(0,0),v f x y s x y v xy x y xy y x
==++>>
由于(,)F x y 在定义域内无偏导数存在的点，解方程组
22120120
F v y x
x F v x y y ??=-+=??????=-+=???
（定理2.1） 解得33
12,2,2
x y v z v ===
由实际问题表面积无最大值，只有最小值，因此，当
33
12,2,2
x y v z v ===
时表面积3234s v =最小。 然而，在一般情况下，要从条件组（3.3）中解出m 个变元并非容易，甚至解不出来，因此，我们要开辟解决问题的新途径。从而产生了拉格朗日乘数法这种不直接依赖消元而求解条件极值的有效方法。为了便于理解我们看比较简单的情形。
在所给条件
(,,)0G x y z =（3.5）
下，求目标函数
(,,)u f x y z =（3.6）
的极值。
设f 和G 具有连续的偏导数，且
0G
x
?≠?，由隐函数存在定理，方程（3.5）确定一个隐函数(,)z z x y =，且它的偏导数为
x z G z
x G '?=-'
?，y
z
G z y G '?=-'?，于是所求条件极值问题化为求函数 [],,(,)u f x y z x y =（3.7）
无条件极值问题。这用已经讲过的方法就可解决。然而在实际计算中，
要从（3.5）解出z 来，往往是很困难的，这时就可用下面介绍的拉格朗日（Lagrange ）乘数法来解。
定义2.3[]4设0,0()x y 为（3.7）的极值点，000(,)z z x y =，由必要条件知，极值点00(,)x y 必须满足条件：
00u
x u y
??=??????=???（3.8）
应用符合函数求导法则及式（3.8），得
00
x x x x z z v v x v z
z
G u
z f f f f x x G G u z f f f f y x G '???''''=+=-=?'???
?
'???''''=+=-=?'??? 即所求问题的解000(,,)x y z 必须满足关系式
000000000000000000(,,)(,,)(,,)
(,,)(,,)(,,)
y x z x y z f x y z f x y z f x y z G x y z G x y z G x y z '''==
''' 若将上式的公共比值记为λ-，000(,,)x y z 必须满足：
000
x x
y y z z f G f G f G λλλ''?+=?
''+=??'
'+=?（3.9） 因此，000(,,)x y z 除了应满足约束条件（3.5）外，还应满足方程组（3.9），换句话说，
函数(,,)u f x y z =在约束条件(,,)0G x y z =下的极值点000(,,)x y z 是下列方程组的解：
0,0,0,(,,)0,x x
y y
z z
f G f G f G G x y z λλλ''+=??''+=??
''+=??=?
（3.10）
容易看到，（3.10）式恰好是四个独立变量,,,x y z λ的函数
(,,,)(,,)(,,)L x y z f x y z G x y z λλ=+（3.11）
取到极值的必要条件，这里引进的函数(,,,)L x y z λ称为Lagrange 函数。它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题，通过解方程组（3.10），解得,,,x y z λ，然后再研究相应的(,,)x y z 是否真是问题的极值点。这种方法，就称为Lagrange 乘数法，它可以推广到多个变量与多个约束条件的情形，对于（3.4），（3.3）两式所表示的一般约束条件极值的拉格朗日函数是
121212121(,,
,,,,
,)(,,
,)(,,
,)m
n m n n L x x x f x x x x x x χχχλλλλψ==+∑
其中12,,m λλλ为拉格朗日的乘数。
若00012(,,,)n x x x 是函数12(,,,)n f x x x 的极值点，则一定存在m 个常数00012(,,,)m λλλ，使0000001212(,,,,,,,)n m x x x λλλ是函数L 的稳定点，因此函数f 极值点的可疑点，一定在拉格朗日函数L 的稳定点前n 个坐标构成的点之中，往往可以借助于物理意义或者实际经验来判断所得点是否为极值点。 2.3
在求解多元函数无条件极值问题时,我们可以根据极值存在的充分条件来判断函数是否在驻点处取得极值,而在多元函数条件极值问题的求解过程中,我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后,往往根据问题的实际意义判断函数在该点取得极值。但是对于一般情况下的条件极问题,由于没有实际实际背景做辅助判断,我们就需要寻求判断函
数取得极值的方法。下面通过例题介绍几种判断方法。 2.3.1
直接代入消元法
这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以解决,可以用来解决一些较为简单的条件极值问题。
前面介绍了关于极值的充分条件，求得其驻点后从定理2.2[]
3可以知道设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域0()u p 连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=,设
000000(,),(,),(,)xx
xy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===,则 （1）当20B AC -<时，00(,)f x y 一定为极值，并且当A （或C ）
0>时，00(,)f x y 为极小值；当A （或C ）0<时，00(,)f x y 为极大值;
（2）当20B AC ->时，00(,)f x y 不是极值；
（3）当20B AC -=，还不能断定00(,)f x y 是否为极值。 就可以用以上定理来解决一些相关问题，下面看几个例题。 例2.3求函数 (,,)f x y z xyz =在0x y z ++=条件下的极值。 解：由 0 x y z ++=解得g(x,y)=xy(2-x+y) ，
将上试代入函数(,,)f x y z xyz =，得(,)(2)g x y xy x y =-+，
求偏导数22
22,22x y
g y xy y g x xy x ''=-+=+- 由方程组2
2
220
220
x y g y xy y g x xy x '?=-+=??'=+-=??解得1222(0,0),(,)33p p - 又2,222,2xx xy yy g y g x y g x ''''''=-=-+=
根据极值存在的充分条件，在点1p 处
22100240,AC B ?=-=?-=< 所以1p 不是极值点，从而函数
(,,)f x y z 在点(0,0,2)处无极值；在点2p 处，
2224424()0,3333
AC B ?=-=?--=>又4
3A =，所以2p 为极小值
点，因而函数(,,)f x y z 在相应点222
(,,)333
-处有极小值，极小
值为2228
(,,)33327
F -=-。
例2.4 求函数(,,)f x y z xyz =在条件1x y +=下的极值。 解： 由两个条件可得
22
2,,22
z z x y -== 将其带入目标函数(,,)f x y z xyz =中消去变量x 和y 可得 354()2,f z z z =- 两边求导可得
244()65,f z z z '=- 可得稳定点
102366
,,,55
z z z ==
=- 由于(0)0f ''=，而(0)120f '''=≠，即1z 点的奇数阶导数不
为零所以1z 不是函数的极值点；
又显然664(
)12055f ''=-<，
故函数在26
5
z =处取得极大值：
666();5255
f = 而664()12055f ''-
=>，故函数36
5
z =-
处取得极小值：
666().5255
f -
=- 将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单，缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决。 2.3.2
拉格朗日乘数法
首先我们利用全微分判断[5]，在无条件极值问题中，可以利用全微分判断函数是否在驻点处取得极限值。 设函数(,,)u f x y z =在点处000(,,)0df x y z =
若2000(,,)0d f x y z <，则函数在0p 处取得极大值 若2000(,,)0d f x y z >，则函数在0p 处取得极小值； 其他情况则不能确定是否有极值。
如果求函数(,,)f x y z 在(,,)g x y z =0条件下的极值，可先构造拉格朗日函数
(,,)(,,)(,,)F x y z f x y z g x y z λ=+
在求出驻点后，可根据(,,)F x y z 在驻点处的二阶微分2d F 的符号，来判断函数(,,)f x y z 是否在该点取得极值。
例2.5求函数(,,)f x y z 22x y z =-+在2221x y z ++=条件下的极值。
解：构造拉格朗日函数
222(,,)22(1)F x y z x y z g x y z λ=-++++-
解方程组()()()()
2221201220
2220
3104x y z F x F x F x F x y z λ
λλλ'=+=??
'=-+=??
'=+=??'=++-=? 由（1）（2）（3）式可得111
,,,2x y z λλλ
=-
==-代入（4）得32λ=±于是的驻点1122(,,)333p --与2122
(,,)333
p -。
又
2222222
22222222222()
F F F F F F
d F dx dy dz dxdy dydz dzdx dx dy dz x y z x y y z z x
λ??????=+++++=++?????????当32
λ=时，即在点1122
(,,)333p --处，20d F >，所以1p 为极小值点，函
数的极小值为122(,,)3333f --=-；当32λ=-时，即在点2122
(,,)333
p -处，
20d F <，所以2p 为极大值点，极大值为122
(,,)3333
f -=。
再就是我们利用二阶偏导数矩阵判断[6]
若
要求函数12(,,,)n f x x x 则条件12(,,,)0k n g x x x =，
1,2,
,()k m m n =<*下的极值还可以采用以下方法。
（1）构造拉格朗日函数
1,21212121(,,
,,,,
,)(,,
,)(,,
,);m
n m n k k n i L x x x f x x x g x x x λλλλ==+∑
（2）求出驻点0000001,212(,,,,,,,),n m x x x λλλ设00001,2(,,,),n p x x x 令000121212(,,,)(,,,,,,,);n n m F x x x L x x x λλλ=
（3）利用以下定理判断函数12(,,,)n f x x x 的极值定理。 记矩阵M =
1112121
2221
2
n
n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x F F F F F F F F F ''''''?? ?''
'''' ?
? ? ?''''''??
①若M 正定，则在条件()*下，12(,,,)n f x x x 在点0p 处取得极小值；
②若M 负定，则在条件()*下，12(,,,)n f x x x 在点0p 处取得极大值；
③若M 不定，则在条件()*下，12(,,,)n f x x x 在点0p 处无条件极值。
例2.6求函数2212(,)3f x x x y =+-在1y x =+条件下的极值。 解：构造拉格朗日函数2212(,)3(1)F x x x y x y λ=+-++-
解方程组20
(1)20
(2)10
(3)
x y F x F y F x y λλλ'?=+=?
'=-=??'
=+-=? 解得1
1,,122x y λ=-==，下面判断011(,)22
p -是否为极值点。
由2212(,)2F x x x y x y =++--得
21,21,2,x y xx F x F y F '''=+=-= 2,0,0yy
xy yx F F F ''''''=== 矩阵2002M ??
= ???正定，所以函数在点011
(,)22p -处取得极小值，且极小值为11
5(,)22
2
f -=-。
2.3.3利用极值的充分条件
多元函数条件极值的求解，一般是利用拉格朗日乘数法，从
上面的研究讨论可以看出，当求得稳定点后，如何判断函数究竟在该点是否取得了极值，尤其当稳定点不唯一时难度更大。下面就介绍借助多元函数取得极值的充分条件来判断是否能取得极值点的问题。 极值的充分条件我们可以从定理2.2[]
3中知道，下面介绍例题来进一步研究该类问题。
例2.7求函数(,,)f x y z xyz =在条件1111(,,,0)x y z r x
y
z
r
++=>下的极值。
解：设拉格朗日函数为
1111
(,,,)()L x y z xyz x y z r
λλ=+++-。
对L 求偏导数并令他们等于零，则有
2220,0,0,
11110.
x
y z L yz x
L zx y L xy z L x y z r λλλλ?
=-=??
?=-=??
?
?=-=???=++-=??
易得函数L 的稳定点为43,(3)x y z r r λ====，为了判3(3,3,3)(3)f r r r r =是否为所求极值，我们可以把条件1111x y z r
++=看作隐函数(,)z z x y =（满足隐函数存在定理的条件），并把目标函数(,,)(,)(,)f x y z xyz x y F x y ==看作函数f xyz =与(,)z z x y =的复合函数。这样就可以应用极值充分条件
来做出判断。为此计算如下：
22
22,,x y z z z z x y
=-=-
22
,,x y yz xz F yz F xz x y
=-=-
32233
33222,,.xx xy yy yz z z z xz F F z F x y x xy y
==--+=
当3x y z r ===时，
2226,3,369270,xx yy xy xx yy xy F r F F r F F F r r ===-=-=>
由此可见所求的稳定点为极小值点。
当约束条件的方程个数超过一个时，这种方法的使用受到了限制。 2.3.4 借助柯西不等式求解
柯西不等式是一个重要的不等式，它在数学的各个分支都有着十分重要的应用。我们还发现利用柯西不等式求函数极值较为简便。这是由于某些函数可以转化成柯西不等式的形式，从而利用柯西不等式求出极值。
柯西不等式[8]：对于任意实数1
2
,n a a a 和12
,n b b b ，有
22
22221122
1212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++≤++++++当且仅当
i i a kb =，即i a 与(1,2,
)i b i n =成比例时取等号。
下面从几个方面来说明如何利用柯西不等式求函数极值。
二维柯西不等式[9]：2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++等价于
222211221212()()a b a b a a b b +≤++
当且仅当1221a b a b =时取等号。利用这一结论用来求无理函数的最值较
为简便。
例2.8求函数()5(1)102f x x x =-+-的最大值
解：由函数解析式()f x 的定义域为[]1,5且()0f x >，从而()f x 可变形为
()5(1)25f x x x =-+-根据上述结论可得 22()5(1)
(1)(5)27463f x x x x =--+-=?=
小结：用这个方法求最值关键是要先对函数式进行变形，使之满足柯西不等式的条件和结构。
例 2.9函数2
()3cos 41sin f x x x =++何时取最大值？最值是多
少？ 解：
2
2
2222
3c o s
4
(1s i n
)
(34
)c o s (1s
x x x x ??++≤+++?
?
= 2225(cos 1sin )5052x x ++==
又由于 24cos 31sin x x =+ 得
22
cos 0
16cos 9(1sin )x x x ≥??=+?
解得327
cos ,sin 55
x x =
=± 327cos ,sin
55
x x =
=±时，23cos 4(1sin )0x x ++> ∴()f x 的最大值为52。当且仅当327
cos sin 55
x x =
=±时取得。
将函数式“凑”“配”成已知条件，便可以用柯西不等式求出极值。相对
于高等数学中的导数求极值来说，此法更为简洁实用，更能反映出数
学的灵活性。
例2.10设22(1)(1)9x y ++-=，求函数(,)34f x y x y =-的最值。 解：
(,)343(1)4(1)7f x y x y x y =-=+---，
2222
3(1)4(1)3(4)(1)(1)25915x y x y ????+--≤+-++-=?=????
由2
2
4(1)3(1)(1)(1)9
x y x y -+=-??
++-=?
解得4575x y ?=????=-??或145175x y ?
=-????=??
当4575x y ?
=???
?=-??
时，3(1)4(1)0x y +--> ∴min min (3(1)4(1))15,(,)1578x y f x y +--=∴=-=
又当145175x y ?=-???
?=??
时，3(1)4(1)0x y +--< ∴min min (3(1)4(1))15,(,)151722x y f x y +--=-∴=--=- 综上得(,)f x y 的最大值为8，最小值为22-。 例 2.11求函数22u x y z =-+在2221x y z ++=下的最小值。 解：根据柯西不等式可得
222222
221(2)2()3u x y z x y z ??=-+≤+-+++=??
∴33u -≤≤
当且仅当122x y z
=
=-取等号。又2221x y z ++= 因此当122
,,333
x y z ==-=时max 3u =
当122,,333
x y z =-==-时min 3u =-
根据柯西不等式中的相等条件，可以求得使等号成立的极值点。
例2.12求实数,x y 的值，使得
222(1)(3)(26)y x y x y -++-++-达到最小值。 解：根据柯西不等式可得
222222121(1)(3)(26)y x y x y ????++-++-++-≥????
[]1(1)2(3)1(26)1y x y x y ?-+?--+?+-= 即2221
(1)(3)(26)6
y x y x y -++-++-≥
当且仅当
1326121
y x y x y ---+-==
，即55
,26x y ==时取等号。 故所求为55
,26
x y ==。
例2.13在旋转椭球面2
22196
x y z ++=上，求距平面3412288x y z ++=为
最近和最远的点。
解：设(,,)x y z 为旋转椭球面上的点，它到平面的距离为d 那么3312288
13
x y z d ++-=
令(,,)3312f x y z x y z =++，根据柯西不等式得
2
222223312396412(396)412329696x x x y z y z y z ????++=?++≤++++=??????
即32(,,)32f x y z -≤≤
当且仅当
/396/4/1296
x
y z ==时取等号 当9,1/8,3/8x y z ===时，(,,)f x y z 最大，此时256/13d =最小。
定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续 偏导数，且00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =．记00(,)xx f x y A =， 00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，则有 (1) 当20A C B ->时，00(,)x y 是极值点．且当0A >时，000(,)P x y 为极小值点；当0A <时，000(,)P x y 是极大值点． (2) 当20A C B -<时，000(,)P x y 不是极值点． (3) 当20A C B -=时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论． 证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌， 01q << 由已知条件，00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =，故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌 利用矩阵记号， 记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，(,)r h k ￠=，0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫 ，000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫， 可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ￠=+ 01q << （1） 进一步，又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- （2） 当20A C B ->且0A >时，二次型0()r Hf P r ￠正定，因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫，0()0r Hf P r ￠>。特别地，在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上，连续函数0()Q Hf P Q ￠ 取得的最小值0m >。 因此，对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫，我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ￠ 另一方面，由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续，对任何:02 m e e <<，总可取0d >，使得0r d ￠<<时，有 00()()xx xx f P f P r q e -+<，00()()xy xy f P f P r q e -+<，00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而， 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-Ｗ+-? 于是，
函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：
目标函数极值求解的几种方法 题目：()() 2 22 1 122min -+-x x ，取初始点()() T x 3,11 =，分别用最速下降法， 牛顿法，共轭梯度法编程实现。 一维搜索法： 迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。 一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程： ⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值 ()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。令 k=1。 ⑵ 若L a b k k <-则停止计算。否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当 ()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。 ⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值 ()1+k f μ,转⑸。 ⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。 ⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。 1. 最速下降法 实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x ?+?=? 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z
三、导数的应用 函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义设函数在区间(a,b)内有定义，x 0是(a,b)内一点. 若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＜均成立，则说是函数的一个极大值； 若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＞均成立，则说是函数的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点凡是使的x 点，称为函数的驻点。 判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一：设函数在x 0点的邻域可导，且. 情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时， ＞0，当x 取x 0右侧邻近值时，＜0，则函数在x 0点取极大值。 情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时， ＜0，当x 取x 0右侧邻近值时，＞0，则函数在x 0点取极小值。 注：此判定方法也适用于导数在x 0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是：
a)：求； b)：求的全部的解——驻点； c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。例题：求极值点 解答：先求导数 再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示
. .. . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)
多元函数极值的判定 摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词：极值；条件极值；偏导数；判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the
function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言 在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二 元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义 定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义，则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,, ,)n P x x x D ∈，00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为
第六节 多元函数的极值及其求法 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 *数学建模举例 ★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-6 ★ 返回 内容提要： 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导
求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =
如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p
多元函数条件极值求解方法 摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解 多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在 解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。 关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution. Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality 时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。 1.消元法 对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。 例1 求函数(,,)f x y z xyz =在条件x －y+z=2下的极值. 解： 由x －y+z=2 解得 2z x y =-+ 将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y) 解方程组 2 2 '2y 20 220 x y g xy y g x xy x ?=-+=??'=+-=?? 得驻点 12 22 P P =33 （0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C === 22=0240AC B ?-=-=-<，所以1P 不是极值点 从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；
多元函数的极值及其应用 作者：程俊 指导老师：黄璇 学校：井冈山大学 专业：数学与应用数学
【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用
目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………
引言 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月
多元函数条件极值的几种求解方法 摘 要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality