高三数学 复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义 知识精讲
一. 复数的概念
1. 复数、实数、虚数、纯虚数的概念
2. 两复数相等的充要条件
a bi c di a c
b d a b
c
d R +=+?==∈且（）,,, 3. 复数是实数、虚数或纯虚数的充要条件 设z a bi a b R =+∈（），则,
z R b z z z b z a b z z z ∈?=?=-
?≠?=≠?+-=≠000000；
为虚数；
为纯虚数且（）.
4. 共轭复数的概念和性质
z z z z z z =
=?-==-；
；
22 z a bi a b R z z a z z bi =+∈?+-=--
=(,),.22
z z z z z z z z z z z z z z z
z z 1212121212121212
20+=-+-
-=---
=-?-
=≠（可推广到有限个）；
；
（可推广到有限个）。（
）().
5. 复数的辐角和模的性质，向量长度
复数辐角的概念及辐角主值范围； 复数模的性质：a bi a b +=+22 （1）z z =-
||；
（2）z z z z z z 121212-≤+≤+； （3）z z z z 1212?=?； （4）
z z z z z 1212
20=≠().
二. 复数的三角形式
1. 复数三角形式的特点；
2. 复数的代数形式与三角形式的互化；
3. 复数的模和辐角（主值）
复数的辐角或辐角主值及其范围的确定有以下三种常用的方法： （1）将一个复数表示为三角形式后再确定； （2）利用复数乘除法的几何意义；
（3）利用复数与复平面上的点或向量的对应关系及数形结合，转化为几何问题。 4. 注意以下两点：
（1）复数z r i =+(cos sin )θθ是一个三角形式所必须满足的三条件： （a ）r b z r r ≥0；（）的实部是，虚部是；cos sin θθ
（c ）它们分别是同一个角的余弦和正弦。
（2）复数辐角主值的范围是02≤ （三）复数的几何意义 1. 主要内容 （1）掌握复数在平面上的几何表示； （2）熟悉复平面内常见的轨迹的复数方程，加深对复数的模及辐角概念的直观理解。 2. 重点难点 （1）复平面上的图形和轨迹问题，即如何根据复数z 所满足的条件来确定其对应点集的图形和轨迹。 （2）探求复平面内点集的形状或轨迹一般有以下两条途径： ①设z x yi x y R x y =+∈(,),根据条件求得关于方程（即轨迹的普通方程）； ②结合复平面上的基本轨迹方程，运用整体思想，寻求复数z 所具有的特征或满足的方程。 1. （上海高考题）已知复数z z z z z z i z z 121212121123 2 ,满足且，求，值。==+=+ ［解析］由题意可设z i z i 12=+=+cos sin ,cos sin .ααββ z z i 12221232 1213221212 1 2 312221 2422223 2 5+= +∴+=+=? ? ?????+-=-+=-+-=+-=,c o s c o s ,s i n s i n . c o s (),c o s c o s s i n s i n c o s c o s ,s i n c o s ,αβαβαβαβαβαβαβαβαβ（）（） 由（）（）得即，（） 由（）得（） 由（）得（） （）（）得，所以即，（）（）（）得，或将代入（）得又则将代入（）得。 而代入（）得不合，舍去。 当同理可得，542 312 1 2 6362000023 2 01111 2113 2 01232 12÷+=+=- -=--=∴======±= =- =-=-==- +=tan cos(),cos cos sin sin sin sin sin sin . sin sin sin ,cos cos cos cos cos sin αβ αβαβαβαβαβαβαααβαββz i z 1, 说明：本题主要考查了复数的模，三角形式以及有关三角恒等变换的知识，考查学生的综合思维和运算能力，对考生的数学素质要求较高。 ［范题2］（1995·全国）求复数z z 2+的模和辐角。 ［解析］z z i i 22+=+++(cos sin )cos sin θθθθ =+++=+++=+=+=--+??????+-+∈∴∈∴->+--cos sin cos sin (cos cos )(sin sin ) cos cos (sin cos ) cos (cos sin )cos cos()sin() (,),(,),cos , cos 22222322232222323 222323 2 22222 022212θθθθθθθθθθθθθθθθπθπθθππθππθ θi i i i i i z z k 所以复数的模为，辐角为（）πθ +∈32 () k Z 本题主要考查模与辐角的概念和求法，及基本运算能力。 ［范题2］（1992·全国） 已知复数z 的模为2，则z i -的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 3 ［解析］解法1： z z i z i =∴-≤+=23，. 故选D 。 解法2：设ωω=-+=z i i z 则, ∴- +==ωi z 2而 ω- -表示以点（，）为圆心，以为半径的圆，由图知，圆上到原点的距离以0122OP 为最大，最大值是3，故选D 。 χ 图1 χ 图2 说明：求模的最值要注意模的几何意义的应用。 数形结合的思想方法在这里得到了完美的体现，考生应具备这方面的素养与意识。 3. （96全国4）复数（）（） 等于221342 ++i i A. 13+i B. -+13i C. 13-i D. --13i 解析：方法一：22224 4 +=+i i （）cos sin π π 故()(cos sin )22246+=+=i i ππ -?-2136 i =23 3(cos sin )π π -i 故()cos sin 1325353 5 5 -= +i i ππ 于是- +-= -+() () (cos sin )221325353245 65 i i i ππ =--=-+21232 13()i i B 故选。 方法二：原式=+--+=- -+16121232122123 2 4552 2 （）i i i i ()()() =--=-+=--=-+∴212324134134 13i i i i B ()应选。 方法三：22+i 的辐角主值是45 ，则（）的辐角是，22180134+-i i 的一个辐角是-60 。 则()() 133******** --+-5i i i 的辐角是，所以 （） 的一个辐角是480 ，它在第二象限 从而排除A 、C 、D 选B 。 说明：本题主要考查了复数的基本概念和运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示，考查了学生观察问题、思考问题、分析问题的能力。 例 1. 设复数z m m m m i =--+++lg()()222232，试求实数m 取何值时，（1）z 是纯虚数；（2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限。 解：（1）由得lg()m m m m m 22 220 320 3--=++≠?????= （2）由得或m m m m 232012++==-=- （3）由lg()m m m m 22220 320--<++>???? ? 得-<<-+<<113133m m 或 说明：对复数的分类条件要注意其充要性对复数相等，共轭复数的概念的运用也是这样。 例2. 设z 是虚数，ω=+ z z 1 是实数，但-<<12ω （1）求z z 的值及的实部的取值范围。 （2）设，求证：为纯虚数u z z u = -+11 （3）求的最小值ω-u 2 分析：此题考查复数的概念，复数、不等式的综合运用，考查学生解综合题的能力。 （1）解：设z a bi a b R b =+∈≠(,,)0则 i b a b b b a a a bi a bi a )()(12 222+-++++++ +=ω因为ω是实数， b a b z a a a ≠+===-<=<-<<01121221 2 122，所以，即，于是，||,ωω,所以z 的实部的取值范围是（）- 1 2 1, （2）证明：u z z a bi a bi a b bi a b =-+=--++=---++11111212222 () =-+∈-≠b a i a b u 112 10因为，，，所以为纯虚数。() （3）解：ω-=++=+ -+u a b a a a a 2 22 22 21211()() =- -+=-++=+++? ???? ?-211212121113a a a a a a a () 因为a a ∈-+>()1 2 110，，所以 故ω-≥?+?+-=-=u a a 22211 1 3431() 当即时取得最小值a a a u += +=-11 1 012ω 说明：本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力、考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向。 例3. 已知?ABC A B C 的三内角、、满足 s i n (c o s c o s )s i n s i n A B C B C ?+=+ 设复数求的值。z i z B i B z C i C z z z 12312 3 02 22=+<<≠ =+=?+?cos sin (),(). (cos sin ),(cos sin )arg( )θθθπθπ 解：由sin (cos cos )sin sin A B C B C ?+=+得 222222s i n c o s c o s s i n c o s A B C B C B C B C +-=+- 又s i n s i n c o s c o s s i n A A A B C A =+=22222 s i n c o s c o s c o s B C A B C B C +=-+≠2222 ∴==-=-+-????? ? 0< s i n c o s ()s i n ()arg()arg()212 31231232122222223 2 2 2 A A z z z i z z z z z z ，即从而当时，当时πθπθπθπθππ θπθπ 说明：复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青 睐，本题的突破口在于对sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+的处理，一般要用和差化积或积化和差公式。 例4. 已知复数z z 12,的辐角分别为θθ12,，且z z i 125+=，z z 1214?=,求cos()θθ12-的最值以及取得最小值的复数z z 12,。 解：设z r z r r r 11 221200==>>,,且，由条件得： r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 11221122122212221212121222121222 121212015214 3122252528 282141328 14cos cos sin sin cos()cos()() cos(),θθθθθθθθθθ+=+==??? ?? +++-=?-= -+=≤+==∴-≤-≤- ==（）（）（）（）（）得（当且仅当时取等号即当 时取得最大值，当时，取得最小值此时或或cos()()cos(), ()θθθθπθθ12121212221221222121212121212328 211532819722 7 7227---=+--+=∴+=++=?+=?==???==?? ?∴==-???=-=???k r r r r r r r r r r r r r r z i z i z i z i 说明：复数与三角，复数与不等式的综合是近几年高考的热点，解此类问题的关键是复数问题化归成实数问题来处理。 1. 已知复数z i =+1 求复数 z z z 236 1-++的模和辐角主值。 2. 求复数132 7 ++（ ）的模及辐角主值。i 3. 已知复数z z z z z z i z z 1212121211751 5 ,，满足，且，求的值。==+=-+? 4. 求使532320+ ?? ??? ?? ?>i n n 的最小自然数。 5. 设z z i z i z ?-+-++- =（12123)(), （1）求z 的最大值和最小值。 （2）求复数z 的实部和虚部之和的最大值和最小值。 6. 已知231z i -+≤， （1）求|z|的最值； （2）求argz 的取值范围。 [参考答案] 1. z z z i i i i i i 22361131611321-++=+-++++=-+=-()() 111222-=+-=i r 的模；() 117 4 -=-= i 对应点在第四象限，且辐角的正切值，所以辐角主值为tan ,θθπ综上所述所求复数模为2，辐角主值为7 4 π. 2. 132 130307 7++=++()(cos sin )i i =++=+=---=-+-==-∴-12102102105210510521051051052105285285210527562262 2 2852cos sin cos sin cos cos (cos sin ) cos (cos sin ) cos cos ()/ i i i i 模为 ，辐角主值。 3. 设z i z i 111222=+=+cos sin ,cos sin ,θθθθ 则（）有 即（）（） （）（） 得z z i i 12121212121212121212121 2 21 27515 157 5 2221 5122275 212217221+=+++=-++=+=-+-=+-=-+=-+=+++cos cos (sin sin ) sin sin ,cos cos . sin cos ,cos cos .tan , sin()tan tan θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ2725 =-, c o s ()tan tan , cos()sin().θθθθθθθθθθ1221 2 21 2 1212121212 24252425725 +=-+++=∴?=+++=-z z i i 4. 532325313212+?? ????? ?=+?? ???????? ? ???? ?????i i n n =-?? ??????=+?????? =+>?>=????? ???=∈?=∈∴=5332125311611653116116011 601160 11621211 1222()()cos sin ()(cos sin )cos ,sin () (), . i i n i n n n n k k Z n k k Z n n n n n ππππππππ最小自然数 5. （）设，由条件112123z x yi z z i z i z =+?-+-++- =()() 得，即以（，）为圆心，为半径()()x y +++=--128122222的圆，过圆心和原点的直线与圆有两交点，易知 []||, ||. ()()()(),,. m a x m i n z z x y x y x y x y =+=-+++≤+++=∴-≤++≤∴-≤+≤2252252122 128434712 22（） 6. （1）||.231321212 z i z i -+≤?- +≤ ∴-∴==∈???? ??z z z z 的轨迹为以（ ，）为圆心，为半径的圆面，；（）由图知，。 32121 2 321 2 2053 2||||.arg {}max min ππ 1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数 是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i - 复数几何意义的应用学案 一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？ 二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么 2.该椭圆复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上 任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？ 高二数学复数知识点总结 导读：本文高二数学复数知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进 行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di 最后冲刺 【高考预测】 1.复数的概念 2.复数的代数形式及运算 3.复数概念的应用 4.复数的代数形式及运算 易错点 1 复数的概念 1．（2020精选模拟）若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且2 1z z 为纯虚数，则实数a 的值为___________. 【错误解答】 ∵z 1+a+2i,z 2=3-4i, ∴ .25462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵2 1 z z 为纯虚数。 ∴, 02583=-a ∴a=38.∴填38 。 【错解分析】∵复数z=a+bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽 【错误解答】 选C ∵z=i -11 =1+i.∴z 为纯虚数为1-i 【错解分析】z=i -11 =1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1 【正确解答】 选B ∵z=i -11=.2 12121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+ ∴z=i -11的共轭复数是21-21 i 。 3．（2020精选模拟）已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z ?是实数，则实数t= （ ） A ．43 B ．34 C ．-34 D ．-43 【错误解答】 选 C ∵z1·2z ∈R ?2121z z z z +=0。即（3+4i ）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 ?t=-34 . 【错误解答】 设z=x+yi(x,y ∈R),∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得 y=-2. ∵51222= --=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i. 由题意得x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2 =[4+(a-2)i]2 =(12+4a-a 2 )+8(a-2)i ∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限， ∴,.0)2(8, 04122???? ?≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[2，6]。 【错解分析】 复数z=a+bi(a 、b ∈R)对应点（a 、b ）在第一象限的充要条件是a>0,b>0. 1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？ 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题： （一）完成课本109页1，2 （二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？ 练习题： （一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。 （二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算 （1）13()(1)2i -+； （2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 4．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 5．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 6．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 10．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为 ，则z 为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 11．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） 高考数学复数知识点总结及解题思路方法 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复数知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即1 =. i2- ⑵复数及其相关概念： ①复数—形如a + b i的数（其中R ，）； b a∈ ②实数—当b = 0时的复数a + b i，即a； ③虚数—当0≠b时的复数a + b i； ④纯虚数—当a = 0且0≠b时的复数a + b i，即b i. ⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意 a，b都是实数） ⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0 z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程： ） （00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②2 1 z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③21212 1202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为 a 的椭 圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④ ）， （2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的 双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则 ① 2 12121z z z z z z +≤+≤-. 复数的几何意义及应 用 复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈ R ），连结OZ ，则点Z ，?Skip Record If...? ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是?Skip Record If...?，则向量是?Skip Record If...?的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|=?Skip Record If...?=| a+bi |=?Skip Record If...?（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差?Skip Record If...?所对应的向量 就是连结?Skip Record If...?并且方向指向（被减数向量）的向量, ?Skip Record If...? (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设?Skip Record If...?以?Skip Record If...?为圆心， ? Skip Record If...?为半径的圆上任意一点, 则?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 一一对应 向量 O Z 一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是： 基础巩固强化 一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2. 6．当2 3 复数综合练习题 一、 选择题 1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对 2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ?+?是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ） A ±±6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ） A 12+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 12- 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知 z =则501001z z ++的值为（ ） A i B 1 C 2i + D 3 9、已知11x x +=，则199619961x x +的值为（ ） A 1- B 1 C i - D i 10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（ ） A ± B 11、复数集内方程2 5||60z z ++=的解的个数是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（ ） A 2cos 2α B 2cos 2α - C 2sin 2α D 2tan 2 α- 二、填空题 13、34i +的平方根是 、 。 14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。 15、设12ω=-，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是 。 16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 215 z i z + = 。 三、解答题 （写出必要的运算步骤） 17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。 18、设,a b 为共轭复数，且2 ()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。 19、已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141 z z z -+ -为实数，求z 。 20、已知,z ω为复数，(13)i z +?为纯虚数，2z i ω=+，且||ω= 求复数ω。 21、求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +∈，且1016z z <+≤；（2）z 的实部与虚部都是整数。 22、=x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，求z ． 23、于x 的的方程是0)2()(tan 2 =+-+-i x i x θ；若方程有实数根， 求锐角θ和实数根； 复数的概念与四则运算 【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 【答案】B 【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解： ，∴共轭复数为 ，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2 i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________. 【答案】 5 2 【解析】由题意可得2 2 234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1 a b ==，则225,2a b ab +==． 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉 复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、 共轭为a bi -等． 【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多． 【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部. 第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】 1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运 复数的几何意义 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是，则向量是的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 22122121)()(y y x x z z d -+-==-= (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨一一对应 向量 O 迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = （三）应用举例 例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4， 则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ） （A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支 （C ）线段 （D ）射线 答案：（D ）一条射线 例2．若复数z 满足条件1=z ， 求i z 2-的最值。 （数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。 由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ； 当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。 例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ， 若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（ ） 7．1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i ． ■名师点拨 复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z － ＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z － ＝________． 答案：－2－5i 复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i + 专题7.1 复数的概念 运用一 实部虚部 【例1】（2019·黑龙江高三（文））若()()12z i i =+-，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A.1 B.-1 C.-2 D.-4 【答案】D 【解析】()()2 12223z i i i i i i =+-=-+-=--，所以复数z 实部为3-，虚部为1-，所以和为4-，故 选D. 【举一反三】 1．（2019·河南高三（理））已知复数34z i =+，则5 z 的虚部是（ ） A.45 - B. 45 C.-4 D.4 【答案】A 【解析】由34z i =+，得()()()53455343434345i i z i i i --===++-，所以虚部为4 5 -. 故选：A 2．（2019·湖南高三（理））若复数z 满足1z i i ?=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）. A.0 B.1- C.i - D. 1 2 i 【答案】B 【解析】依题意()()() 111i i i z i i i i -?--= ==--?-，故z 的虚部为1-.故选B. 3．（2019·宁夏银川一中高三月考（文））设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A. 3 5 B. 35 C.35 i D.35 i - 【答案】B 【解析】因为(2)1z i i -=+， 1(1)(2)133 2(21)(2)555 i i i i z i i i i ++++∴= ===+--+, 所以复数z 的共轭复数为 13 55i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为3 5 ，故选：B. 4．（2019·山东省烟台第一中学高三月考）若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为 A.1 B.1- C.2 D.2- 【答案】B 【解析】由()1234i z i +=-得 ()()()()22341234310851012121212145 i i i i i i z i i i i i ----+--=====--++--， 所以复数z 的实部为1-，故选B . 运用二 数的分类 【例2】（2019·辽宁高二期末（理））若复数 ()2 321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，则（ ） A.2a ≠ B.1a ≠ C.1a = D.1a ≠且2a ≠ 【答案】A 【解析】 若复数( ) 2 321a a a i -++-（a R ∈）是纯虚数， 根据纯虚数的定义有：21 10=2=1=2 32=0a a a a a a a ≠?-≠????? -+??或， 则复数( ) 2 321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，2a ≠故选A 【举一反三】 1．（2019·辽宁高二期中（文））已知复数2 3()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m =________ 【答案】3 【解析】因为2 3()z m m mi m =-+∈R 是纯虚数， 属于根据纯虚数定义可知230m m -=且0m ≠可解得3m =，故答案为3. 2．（2019·上海市大同中学高三月考）若12i z a =+，214i z =-，且12 z z 为纯虚数，则实数a =________ 【答案】8 复数的加减法 一、教学目标： 1、 掌握复数的加法以及其运算律，理解复数加法与向量加法的关系； 2、 掌握复数的减法，理解复数减法与向量减法的关系； 3、 会利用复数模的概念，计算平面上两点之间的距离。 二、教学过程： 复习：复数的代数表示以及与复数对应的点和向量 引入：同过实数加、减的运算结果仍然在实数域内，那么复数的加、减法运算呢？（引出今天上课的主要内容复数的加减法） 板书：复数的加、减法； 记：)R d 、c 、b 、a (di c z ,bi a z 21∈+=+= 一、 复数的加法： 规定)R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈+++=+ 例1、 计算： )i 27()i 41)(1(-++ )i 41()i 27)(2(++- i 5)]i 34()i 23)[(3(+++-+- ]i 5)i 34[()i 23)(4(+++-+- 复数运算律： 交换律：1221z z z z +=+ 结合律：)z z (z z )z z (321321++=++ （学生自己给出证明） 例2、 在复平面上，分别标出：i 28、i 2-7、i 41++对应的向量，观察，有何发现？ 复数的加法，可以用对应向量的加法来解释。 二、 复数的减法： （复数的减法可以看成是复数减法的逆运算） )R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈-+-=- 例3、（1）计算：)i 27()i 41(--+ （2）在复平面中，标出)i 27(、)i 41(-+以及（1）中运算结果对应的向量，观察，有何发现？ 复数的减法运算，也可以用其对应的向量减法来解释。 小结： （1） 复数的加、减法运算，就是实部与虚部分别对应相加减。 （2） 复数的加、减法运算，都可以用其对应的向量加、减法来解释。 三、 复平面上两点之间的距离 令复平面上)R b 、a (bi a z 1∈+=对应的点为 ）b ,a （Z 1，)R d 、c (di c z 2∈+=对应的点为）d ,c （Z 2 2 221)d b ()c a (|z z |-+-=- （1） |z z |21-的值可以理解为点1Z 和2Z 的距离； （2）|z z |21-的值也可以理解为对应向量12Z Z 的模。 例4、已知：i 32z 1+=，i 1z 2-=，求：|z z |21- 例5、已知复数z 满足1|z |=，求复数2z -的模的取值范围。 分析： 方法一：代数法，找出复数z 的实部、虚部，并转化为函数的值域问题 方法二：利用复数模的几何意义解题。高考数学各地试题知识点分类汇编复数
复数几何意义的应用学案.
最新高二数学复数知识点总结教学提纲
2020高考数学最后冲刺 复数
复数的概念与几何意义
高二数学复数练习试题doc
高考数学复数知识点总结及解题思路方法
最新复数的几何意义及应用
(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题
3-1-2 复数的几何意义
上海高中数学-复数练习
高三数学复习复数的概念与四则运算2018高考题汇总
复数的几何意义及应用
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义
(完整word版)高中数学-复数专题
高考数学专题7.1复数的概念解析版
沪教版(上海)数学高二下册-13.3 复数的加减法教案
相关主题
文本预览