解：先列出系统)258()
256()(2
2++++=s s s s s K s G 的幅值条件如下
1)
258()
256(22=++++s s s s s K 当9.0=K 时利用试凑法可得：101-=s 满足次幅值条件。 系统的闭环特征方程式为：
05.1724.669.14)256(9.6)258()(2322=+++=+++++=s s s s s s s s s D
又已知10-=s 为特征方程式的一个跟，则可得
0)179.4)(10()(2=+++=s s s s D
解之得：j s 1145.23,2±-=
所以，系统的闭环特征根为101-=s ，j s 1145.23,2±-=。 4.11
解：开环传递函数)
2)(1()
1(6)()(+++=
s s s ks s H s G
特征方程式为：
1)
2)(1()
1(6=+++s s s ks
整理后的特征方程式为：
16
)2)(1(6)(1-=+++=
s s s ks
s G
此特征方程式的根轨迹，由)(1s G 的极点出发，其极点是
1)
2)(1(6
-=++s s s 的根。因此，
)(1s G 的根轨迹由)
2)(1()(++=
s s s K
s G 的根轨迹（见图）在6=K 时对应点出发。
由图可知，出发点为j 4.1±与-3. )(1s G 的根轨迹分成3条，其中一条朝向坐标原点，其余2条趋向去穷远处。其渐进线为：5.11
34.14.13-=--+-=j
j a σ， 270,90=a ?。
根据以上分析可得根轨迹如图所示。
4.12
解：由图知，该系统是一个正反馈控制系统，其根轨迹为零度根轨迹。该系统的开环传递函数为
2
2
*)
2()1()()(++=s s K s H s G 根据绘制零度根轨迹图的法则可得 （1）2=n ，即根轨迹有2条分支；
（2）2条根轨迹的起点分别为：21-=p ，22-=p ；2条根轨迹的终点分别为：11-=z ，
12-=z ；
（3）实轴上的根轨迹为),1[],1,2[],2,(∞-----∞。 根据以上分析，可以绘制该系统的零度根轨迹如图所示。
4.13
解：闭环系统特征方程为：
1()()0G s H s +=
因为()1H s =，则1()0G s +=，3
2
320Ts s s +++= 等效的开环传递函数为
3
2()32
Ts G s s s '=++
则开环零点有3个：1230z z z ===，开环极点有2个：121,2p p =-=-。 根据根轨迹的规则，可知：
（1）2,3n m ==，有3条根轨迹。起始于开环有限极点1p ，2p 和无限远极点，终于开环零点1z ，2z 和3z ，实轴上的根轨迹为[1,0]-和(,2]-∞- （2）求分离点坐标d
11
312d d d
+=++
由上式解得：13d =-，23d =-
（3）求与虚轴的交点 闭环系统的特征方程为
32320Ts s s +++=
将s j ω=
代入，解得：ω= 1.5T =。
-5
-4-3-2-101
-3-2-1012
3Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
4.14
解：（1）由于本题给出的开环传递函数()G s 并非标准型，故需写出等效的开环传递函数，由题意，已知单位负反馈系统的开环传递函数()G s ，可得到系统的闭环特征方程为：
1()0G s +=
整理后得：
22(44)40K s s s s -+++=
两边同时除以2
4s s +，得系统的等效开环传递函数为
2
(2)()(4)
K s G s s s -'=+
则开环零点有2个：122z z ==，开环极点有2个：124,0p p =-=。 根据根轨迹的规则，可知：
（1）2,2n m ==，有2条根轨迹。起始于开环有限极点1p 和2p ，终于开环零点1z 和2z ，实轴上的根轨迹为[4,0]- （2）求分离点坐标d
1111
422
d d d d +=+
+++
由上式解得：1d =-
由根轨迹的幅值条件，可得分离点对应的根轨迹增益为2
1(4)1
(2)3
d s s s K s =-+==- （3）求与虚轴的交点 闭环系统的特征方程为
2(1)(44)40K s K s K ++-+=，列出劳斯矩阵如下
2s 1K + 4K 1s 44K - 0 0s 4K 0
当1K =时，有全零解，即1K =时，根轨迹与虚轴相交，将1K =代入全零行的上一行，
得2
40s +=
，解出交点为s =
-4
-3-2-1012
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
（2）由%0σ>，得系统为欠阻尼系统，根据欠阻尼系统的瞬态性能指标
%100%e
σ=?，
可得：当% 4.32%σ=时，0.707ζ=，阻尼角0
arccos 45βζ==，由0% 4.32%σ<<，阻尼角4590β<<，
由2(2)s t s ≤?=得：
4
2s n
t ζω≈<，即2n ζω>，
由于系统的特征值为1,2n p j ζωω=-±2s t <，即要求系统的共轭特征根
的实部<-2，而根轨迹的分离点在1s =-处，故不能同时满足0% 4.32%δ<<，
2(2)s t s ≤?=的要求。
4.15
解（1）取s
z s z s s K )
)(()(21++=
，则系统的开环传递函数为
)
1()
)(()()(221+++=
s s z s z s s K s G （Ⅰ型），且闭环系统稳定
所以，系统跟踪斜坡参考输入信号)(s R 时，=ssR e 常值； （2）因为0=ssN e ，所以)(s N 为阶跃信号； （3）)
1()
)(()()(221+++=
s s z s z s k s K s G
已知：34.485.52,1j s ±-=?
180)()(2,12,1-=∠s K s G 若取11=z
则
180)()()()(211112111-=+∠-+∠-∠-+∠++∠p s p s s z s z s
42=z
（4）65.1272
.451.674
.692.728.7)
)(()
1()(34.485.52121=???=
+++=
+-=j
s z s z s s s s K
设另一个闭环极点为3p 则
4165.12)34.485.5)(34.485.5(3??=--+-p j j
95.03=p
因为???-=--=-95.013
1p z ?可构成一对闭环偶极子，3p 可忽略。
所以34.485.52,1j s ±-=是一对主导极点 简化后的闭环传函为：
53
7.11)
4(22.13)34.485.5)(34.485.5)(95.0()4)(1(56.12)(2+++=-++++++=
s s s j s j s s s s s K
4.16
解num=[1,2,4];den=conv([1,0],conv([1,4],conv([1,6],[1,1.4,1]))); rlocus(num,den),axis([-10,2,-6,6]); [K,poles]=rlocfind(num,den)
-10
-8
-6
-4-2
2
-6-4-2024
6Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
Select a point in the graphics window selected_point = 0.0000 +1.2115i K=
15.5589 poles =
0.0000 + 1.2115i 0.0000 – 1.2115i
使用同样的方法可得相应的与虚轴交点的值 [K,poles]=rlocfind(num,den);
Select a point in the graphics window selected_point = 0.0000 +2.1545i K=
67.7351 poles =
0.0000 +2.1545i 0.0000 –2.1545i
[K,poles]=rlocfind(num,den);
Select a point in the graphics window selected_point = 0.0000 +3.7538i K=
1.6345e+002 poles =
0.0000 + 3.7538i 0.0000 –3.7538i
参看根轨迹图可知，系统稳定性范围是5589.15*
<解num=1;den=conv([1,0],conv([1,4],conv([1,0,4],conv([1,4,8],[1,8,20])))); rlocus(num,den),axis([-6,2,-4,4]);
-6
-4-202
-4-2
2
4
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
num0=1000;den0=conv([1,0],conv([1,4],conv([1,0,4],conv([1,4,8],[1,8,20])))); [numc,denc]=cloop(num0,den0); t=0:0.1:50;
[y,x,t]=step(numc,denc,t); plot(t,y)
M=((max(y)-1)/1)*100;
disp(['最大超调量M=' num2str(M) '%'])
010********
0.5
1
1.5
最大超调量M=11.1368% 4.18
解：系统的开环传递函数为：
)
5()
1(10)5()1()()(22++=++=
s s ks s s ks K s H s G
整理后得等效开环传递函数为：
10
510)()(2
3++=
''s s ks
s H s G （1）MATLAB 程序如下： num=[10,0];den= [1,5,0,10]; rlocus(num,den)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-15-10-50510
15Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
(2)当1=k 时，系统（a ）的闭环传递函数为 num0=[100,10];den0=conv([1,0],conv([1,0],[1,5])); [numa,dena]=cloop(num0,den0) printsys(numa,dena) 执行结果为： num/den =
100 s + 10 ------------------------ s^3 + 5 s^2 + 100 s + 10 系统（a ）的闭环极点为 sa=roots(dena) 执行结果为： sa =
-2.4498 + 9.6699i -2.4498 - 9.6699i -0.1005
即系统(a)的闭环极点为：1005.01-=s ，j s 6699.94498.23,2±-= 系统（b ）的闭环传递函数为
numg=10;deng= conv([1,0],conv([1,0],[1,5])); numh=[1,1];denh=[0,1];
[numb,denb]=feedback(numg,deng,numh,denh) printsys(numb,denb) 执行结果为： num/den =
10 ----------------------- s^3 + 5 s^2 + 10 s + 10 sb=roots(denb)
执行结果为： sb =
-2.6506 -1.1747 + 1.5469i -1.1747 - 1.5469i
即系统(b)的闭环极点为：6506.21-=s ，j s 5469.11747.13,2±-= t=0:0.1:10;
[ya,xa,t]=step(numa,dena,t); [yb,xb,t]=step(numb,denb,t); plot(t,ya,t,yb)
执行结果如图所示：
0246810
0.5
1
1.5
其中，a 为a 系统的阶跃响应曲线，b 为b 系统的阶跃响应曲线。
通过上图可以看出：a 系统的阶跃响应上升时间小，超调量大，b 系统的阶跃响应上升时间较按系统大，但超调量小
