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日期：2012 年 9月 10日
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太阳能小屋的设计
摘要：本论文针对太阳能小屋外表面光伏电池的优化铺设问题建立了数学模型，并给出了相关算法，并运用了lingo软件编程，再由计算机进行求解，得到最优的决策方案，并根据要求为大同市重新设计了一个太阳能小屋。之后，我们在综合考虑各种因素的基础上，对所建立的数学模型进行了分析，并对模型进行了评价与推广。
模型I：针对问题1中提出的问题，考虑到35年发电带来的每月平均效益与平均每月的费用，建立了收入与支出的关系模型，按照给定的小屋外表面的面积、光伏电池的种类、逆变器的参数在excel表中进行了数据处理，根据收入强于支出越强越好的标准对excel表中得到的数据进行了筛选，得到每个面都会选用同一种光伏电池，因此得到该模型的建立是有很大缺陷的，并进行了模型I I 的建立。
模型I I：我们将光伏电池最大发电量作为目标函数，列出7个约束条件，建立了线性规划模型，得到铺设小屋外表面时所需要的光伏电池种类与数量的最优解。我们又从实际生活出发，最后得到小屋35年寿命期内的发电总量为4.34597万千瓦时，经济效益为 2.17万元，投资回收年限为 60年。
模型I I I：曲线拟合模型。针对附件4中大同典型气象年气象数据中每天的数据进行了数据拟合，拟合成每平方辐射强度与时刻的函数，然后对该函数进行积分求解每天的每平方总辐射强度，根据总辐射强度确定日期，根据公式求得南立面架空铺设最佳倾角为42.90度。
然后根据模型I I确定铺设所需要的光伏电池种类及数量。得到小屋35年寿命内的发电总量8.6567万千瓦时，经济效益为4.35万元，投资回收年限49年。
按照附件7的要求设计小屋，由所建立的模型I I、模型I I I对新太阳能小屋进行铺设，建立一栋新太阳能小屋。最后得到小屋35年寿命内的发电总量12.6675万千瓦，经济效益为6.35万元，投资回收年限42年。
关键词线性规划 lingo 光伏电池最大发电量数据拟合matlab
1 问题的提出
太阳能是可供开发和使用新能源中最为理想的的可再生能源和无污染能源，光伏电池可以对太阳能进行有效的吸收，并转化成电能。许多现代化的建筑物都对其外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池发电系统可以作为独立的电源为建筑物供电。如何在建筑物外表面进行优化铺设问题是使光伏发电总量最大且单位发电量费用尽可能小的首要任务。
1.1 基本情况
光伏电池是将太阳能转化成电能的器件，在房屋表面铺设光伏电池组件对太阳能进行转化，产生的直流电经过逆变器变成220v的交流电可以供家庭使用，并可将剩余电量输入电网。如何合理有效得用光伏电池对小屋外表面进行铺设是个很重要的问题。并且不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，如何使得小屋全年太阳能光伏发电总量尽可能大且单位发电量的费用尽可能小也是需要考虑的问题。研究并对光伏电池在小屋外表面的铺设进行数学建模，能对今后太阳能小屋的推广与普及产生重要的意义。
1.2 相关信息
附件1：光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求。
附件2：给定小屋的外观尺寸图。
附件3：三种类型的光伏电池（A单晶硅B多晶硅C非晶硅薄膜）组件设计参数和市场价格。
附件4：山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度。
附件5：逆变器参数价格。
附件6：可参考的相关概念。
附件7：小屋的建筑要求。
1.3 要求与原则
（1）要求。方案要求满足一下几个要求：
1)在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设
分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表.
2)在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电
池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。
3)光伏电池组件分组的要求：光伏电池组件在排布阵列安装时应根据可能
选用逆变器的额定工作电压（V）范围和功率容量（W）等参数进行分组设计。电池组件可以通过同类型组件的串联叠加电压和功率形成“一串”连接组件及相应的输出电压（V）和功率（W）。为了保证光伏组件正常工作，只允许相同型号的光伏组件进行串联。多个光伏组件串联后可以再进行并联，并联的光伏组件端电压相差不应超过10%。一串或多串（相同电压、功率）组件通过并联即形成“分组阵列”，该“分组阵列”的总功率（W）为所有组件功率的总和，
4）逆变器选配的要求：a）光伏分组阵列的端电压应满足逆变器直流输入电压范围，当电压低于其范围下限时，逆变器将停止运行。b）光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量。
（2）原则。一个好的铺设方案应该考虑以下两个原则之一：
1）铺设方案使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大。
2）铺设方案使单位发电量的费用尽可能小。
1.4 需解决的问题
请对光伏电池的优化铺设建立数学模型，具体问题如下：
（1）问题1：满足要求。根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
（2）问题2：满足要求。电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
（3）问题3：满足要求。根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
2 模型的假设
2.1 模型I的假设
（1）不考虑其他因素，单纯追求效益的最大化。
（2）单纯考虑每一个面仅铺设一种光伏电池组。
（3）假设每天光照时间都为8小时，忽略阴天的情况。
（4）预计费用与收益的关系能有效反映铺设的要求。
（5 ）光伏电池组件安装时具有相同的太阳辐射条件。
2.2 模型II的假设
（1）光伏电池组件安装时具有相同的太阳辐射条件。
（2）假设每天光照时间都为8小时，忽略阴天的情况。
（3）预计最大发电功率能有效反映铺设的要求。
（4）不考虑组件的损耗，给定参数不存在误差。
（5）忽略温度对工作组件的影响。
2.3 模型III的假设
（1）假设自变量为时刻T，因变量为单位面积辐射强度W;
（2）预计构造的拟合函数能够反映自变量与因变量之间的关系；
（3）忽略某些偏离度较大的数据对表达式的影响；
（4）假设每个季度内每天时刻T与单位辐射强度W的表达式是相同的。（5）假设典型一天的每平方辐射总量代表一个季度内每天每平方辐射总量；
3 符号约定
K: 第K种光伏电池；
X(K): 第K种光伏电池的数量；
U(K): 第K种光伏电池的开路电压；
II(K): 第K种光伏电池的短路电流；
T(K): 第K种光伏电池的转换效率就；
Y(K): 第K种逆变器的面积；
U(YK): 第K种逆变器承受电压；
PRICE: 光伏电池类型每峰瓦的价格；
M(K): 第K种光伏电池的单价；
PM(K): 第K种光伏电池的峰值功率；
PMT(K): 第K种光伏电池峰值转换功率；
T(K): 第K种光伏电池转换效率；
SOLUTION(K): 解出实际铺设所需第K种光伏电池的数量；
GRADE: PV光伏电池的种类；
XH: 光伏电池的型号；
NO: 对光伏电池进行编号；
LENGTH(K): 第K种光伏电池的长度；
WIDTH(K): 第K种光伏电池的宽度；
AREA(K): 第K种光伏电池的面积；
SMAX(K): 单纯铺设第K种光伏电池的最大数量；
QUZ(K): 单纯铺设第K种光伏电池所需最大整数数量；
RELATE(K): 第K种光伏电池的费用与收益的关系；
OUT(K)：第K种光伏电池平均每月费用；
INT(K): 第K种光伏电池的平均每月的收益；
A(D): D面上需铺设墙面的有效面积；
P: 发电功率。
T: 时刻;
T(I): 一天中的第I时刻；
T(J): 一天中的第J时刻；
W(T): T时刻每平方辐射强度；
WP: 一天中每平方辐射总强度。
n：一年内的第n天；
α：太阳高度角；
W：时角；
A：太阳方位角；
δ：赤纬角；
QJ: 光伏电池板的倾角；
4 问题分析
4.1 对问题1的分析
题中给定铺设条件仅仅是贴附安装，考虑到最大发电量的情况，以此作为目标函数。
根据所查阅的资料对题中所给的数据进行了以下合理的处理规定：
AREA(K)=LENGTH(K)*WIDTH(K);
SMAX(K)=A(D)/AREA(K);
QUZ(K)等于对SMAX(K)进行了取整；
PM(K)=U*II*PMT(K);
IN(K)=PM(K)*QUZ(K)*8*30;
OUT(K)=M(K)*QUZ(K)/420;
QUZ(K)=A(D)/AREA(K);
4.2 对问题2的分析
选择架空方式安装光伏电池，需要对电池板的朝向与倾角进行求解，根据附件中所给的时角()ω、赤纬角()δ、太阳高度角()α、太阳方位角()A之间的关系求解倾角。为了求得赤纬角()δ，需要求得太阳辐射强度最强的一天n，所以
需要对辐射强度进行分析，即对附件4中给定的气象数据进行分析处理得到结论。
4.3对问题3的分析
在问题1和问题2的基础上，重新设计一个太阳能小屋。
5 模型建立及求解
根据所需要解决的问题我们确定光伏电池的优化铺设问题属于多目标决策问
题。因此我们根据优化铺设所需要考虑的基本问题建立模型。建立模型的目标是：追求小屋全年太阳能发电总量的最大，而单位发电量的费用尽可能小。考虑小屋外表面的面积大小，考虑到铺设所需要满足的要求，我们对问题1建立了模型I 、I I 。
针对问题1我们建立了模型I 、I I
模型I excel 筛选模型
1 模型的建立
根据问题分析与模型假设，分别对房屋的五个面进行求解。在只考虑房屋外表面有效面积这个约束的前提下，求解铺设房屋所需的光伏电池类型以及数量。建立模型如下：
将平均每月收益与平均每月的花费之差RELATE 作为目标函数：
RELATE(K)=IN(K)-OUT(K)； 面积约束可得：
SOLUTION(K)=A(D)/ AREA(K)；
自然约束：
SOLUTION(K)≥0且为整数。
在满足以上条件的情况下，选择某一个面，对附件3中三种光伏电池按照规定进行了数据处理，根据数据处理后得到的RELATE 值得大小选择光伏电池组件。RELATE 值越大则收入强于支出，则选用该类型的光伏电池组件。按照规定对数据进行处理后得到的数据（见附件1）。.
2 模型结果
根据附录1得到以下结果：
东面选用X(14)类型的光伏电池16块；
西面选用X(14)类型的光伏电池18块；
南面选用X(14)类型的光伏电池13块；
北面选用X(14)类型的光伏电池28块；
屋顶选用X(14)类型的光伏电池44块。
3 模型分析
根据所得到的数据对模型进行分析，不可能只选用一种光伏电池进行铺设，所以此模型的建立是有缺陷的不能用于解决实际问题。
模型I I lingo 线性规划模型
1 模型的建立
本模型确定目标函数发电功率P 最大：
24
1()*()*()*()K P U K II K T K X K ==∑
同时满足以下条件：
（1）铺设总面积对光伏电池的约束：
24
1()*()K AREA K X K =∑ ≤A(D)；
（2）剩余铺设面积对逆变器的约束：
()Y K ≤24
1()()*()K AD K AREA K X K =-∑;
（3）端电压不能超过逆变器电压的1.1倍：
()*()()*1.1U K X K U YK ≤
（4）逆变器电压的约束：
24
1
()*()800K X K U K =≤∑;
241
()*()21K X K U K =≥∑
（5） 电池最大功率满足逆变器额定功率的约束：
24
1
()*()600K U K II K =≥∑;
241
()*()32000K U K II K =≤∑;
（6） 光伏电池最大个数的限制的约束：
()()X K QUZ K ≤
（7） 光伏电池成本小于最大成本：
613241713
14.9*()*()12.5*()*() 4.8*()*()()*14.9*()K K K X K PM K X K PM K X K PM K QUZ K PM K ===++≤∑∑∑ 即在满足上述7个条件的前提下，求解P 的最大值。
2 lingo 编程实现
我们给出计算机的算法，如图1所示。
图1 模型I I的算法流程图
运用数学软件lingo实现发电功率P的最大值，以题中所给的数据为例，编程实现（见附件2【包括lingo运行程序】）。
3 模型结果
运行程序，计算结果如表1所示。
要铺设的光伏电池种类与数量是不相同的。
我们考虑到选择逆变器时候的费用尽可能小，根据电压范围、允许输入最大功率以及不同型号光伏电池并联的要求对图表1中的数据进行处理，例如对西立面进行规划的时候，运行结果选择的第2种与第9种的光伏电池的开路电压之间相差超过10%，所以不能将第2种光伏电池与第9种光伏电池进行并联，考虑到逆变器费用较高问题，不必为第9种光伏电池选择单独的逆变器。同理可得，对东立面、南立面、北立面以及屋顶面进行处理，处理后得到的数据如表2所示。
如图2.
图2.1 北立面的铺设配图
图2.2 屋顶面的铺设配图
图2.3 东立面的铺设配图
图2.4 南立面的铺设配图
图2.5 西立面的铺设配图
针对问题2我们建立了模型III 曲线拟合模型
1 模型的建立
根据问题分析及模型假设，我们对附表4中大同典型年气象的大量数据运用matlab进行数据拟合，可以得到一个近似函数表达式，表示变量之间的关系。根据拟合得到的表达式进行积分运算，求得一天内的每平方米的光辐射总量（见附件3）
函数表达式：
W(T)=[T-T(I)][T-T(J)];
一天内每平方光辐射总量:
()()()T J T I WP W T dT =?
；
公式： ()(),3652842sin 45.23度??? ??+=n πδ；
,cos cos cos sin sin sin ωδφδφα??+?=；
.cos cos sin sin α
δω?-=
A ； QJ=90（度）—A;
用WP 最大的一天的数据代表该季度内每天的辐射情况，对四个季度的WP 进行比较，获得WP 最大时的季度，选择该季度内典型的一天当做n,选择该天内辐射最强的时刻得到w ，根据n 可求得太阳高度角δ，根据公式可以求得QJ 的大小，然后对房屋外表面进行架空铺设。
由拟合的数据可以得到南面以及屋顶的架设倾角QJ=42.90度。如图3
图3 光伏电池倾角
2 模型结果
针对问题3 我们综合运用了问题1与问题2的方法，按照附件7对小屋的要求进行设计，然后选择架空方式对新设计的小屋进行铺设，得到新的太阳能小屋。新太阳能小屋效果图见附件4.
6 模型结果分析与检验
模型中有许多数据是根据试验或者附件的数据进行的计算。对贴附铺设进行线性规划的时候，没有考虑太阳能电池板不可以切割的问题，可能实际贴附过程中可能遇见东立面与西立面顶部三角形无法安装的问题。而且未仔细考虑阴天、大雾等光照不足的情况，全年每天的光照时间长度也是不同的。我们进行的事最优化的问题，没有考虑光伏电池组件的损坏，未考虑转换效率的降低。同时也未考
虑温度对光伏电池组件的影响。
7 模型的评价
7.1 模型的优点
我们对模型I 的缺陷进行了全面的分析之后，提出了优化模型I I，模型I I 的建立和求解具有合理性，有较强的说服力。模型I I的代表性在于在实际生活种考虑到尽量增大发电量，增加收益。
7.2 不足之处
光滑曲线拟合的方法无法模拟真实的光照强度随时刻变化的曲线，在建模过程中简化了一些因素，因而与实际问题有偏差。
模型I I未能综合考虑发电量最大费用尽可能小的问题。
参考文献
[1] 用LINDO、LINGO解决运筹学问题（数学规划方面）：https://www.doczj.com/doc/49311574.html,/li/math/sxrj/qita/lindolingo.htm，2003年9月23日。
[2] 朱道远，数学建模案例精选。北京：科学出版社，2003.
[3] 李尚志，数学建模竞赛教程。南京：江苏教育出版社，1996.
[4] 韩中庚，数学建模方法及其应用。北京：高等教育出版社，2008.
[5] 李德宜，数学建模。北京：科学出版社，2009.
[6] 姜启源，谢金星，数学建模（第三版）。北京：高等教育出版社，2011.