湘教版七下数学教案
第3章因式分解
第1课时3.1 多项式的因式分解
教学目标：【知识与技能】
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生分析问题能力与综合应用能力.
【过程与方法】
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
【情感态度】
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【教学重点】因式分解的概念.
【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
教学过程：
一、情景导入，初步认知
下题简便运算怎样进行
问题1：736×95+736×5. 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67.
【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.讨论：(1)21等于3乘哪个整数？
(2)x2-x等于x+1乘哪个多项式？
2.议一议：你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
a3－a=a(a2－1)=a(a－1)(a+1).
3.做一做：
(1)计算下列各式：
①(m+4)(m－4)=m2-16；②(y-3)2==y2-6y+9;
③3x(x－1)==3x2-3x; ④m(a+b+c)=ma+mb+mc.
(2)根据上面的算式填空：
①3x2－3x= ( 3x )( x-1 ) ②m2－16=( m+4 )( m-4 )
③ma+mb+mc=( m )( a+b+c ) ④y2-6y+9=( y-3 )2
［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？
［生］在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是多项式乘积的形式.
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f 的一个因式，此时，h也是f的一个因式.
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
在(1)中我们知道从左边推右边是多项式乘法；
在(2)中由多项式推出多项式乘积的形式是因式分解.
4.想一想：
由a(a+1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a+1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
5.因式分解与整式乘法有何联系与区别？
因式分解与整式乘法的关系：
因式分解：a2-b2 ＝（a+b）·(a-b)
整式乘法：(a+b)(a-b)＝a2-b2
说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式).
【归纳结论】因式分解与整式乘法具有互逆关系.因此，我们可以利用整式的乘法来检验因式分解的正确性.
【教学说明】注重数学知识间的联系，给学生提供探索与交流的空间，让学生经历数学知识的生成过程，由学生发现整式乘法与因式分解的相互关系，培养学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P56例1、例
2.
2.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
(1)4a(a+2b)=4a2+8ab (2)6ax－3ax2=3ax(2－x)
(3)a2－4=(a+2)(a－2) (4)x2－3x+2=x(x－3)+2
3.试将下列各式化成几个整式的积的形式.
(1)3x2-2x= (2)m2-4n2=
4.分解因式:
4m2-4m= 2a3+2a=
y2+4y+4=
5.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.
6. 9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？
解：9993-999
=999(9992-1) = 999(999+1)(999-1) = 999×1000×998
即：9993-999能被998整除，能被1000整除.
【教学说明】通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.
四、师生互动,课堂小结
1.你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.
2.应该怎样认识“因式分解”？分解因式与整式乘法是互逆过程.
3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个
整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.
五、作业：1.布置作业：教材第57页“习题3.1”中第2、3、4题.
2.完成《学法大视野》中本课时的练习.
六、教学反思：
根据课下学生的反馈情况来说，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的，学生对因式分解有了清晰的认识，理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并基本掌握了运用这种关系寻求因式分解的方法.但还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让学生能对因式分解有更进一步的学习.
第2课时 3.2.1提单项式公因式
教学目标：
【知识与技能】
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法因式分解.
【过程与方法】通过找公因式，培养学生的观察能力.
【情感态度】
在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.
【教学重点】能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
【教学难点】让学生识别多项式的公因式.
教学过程：
一、情景导入，初步认知
1.什么是因式分解？
2.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
(1) 2x2+4=2(x2+2)；(2) 2t2－4t+1=2(t2－2t)+1；
(3) x2+4xy－y2=x(x+4y)－y2；(4) m(x+y)=mx+my.
【教学说明】通过复习，为本节课的进行作准备.
二、思考探究，获取新知
1.下列每个多项式的含字母的因式有哪些？
xy, xz, xw.
【归纳结论】几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.
2.如何把多项式xy+xz+xw 分解因式？
把乘法分配律从右到左地使用，得：xy+xz+xw=x(y+z+w).
3.从上面的解题过程，你能发现分解因式的一种方法吗？
【归纳结论】如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
4.把5x2－3xy+x分解因式.
分析：①3项的公因式有哪些？
②由于x=x×1,因此x是x的因式，进而看出，x是这个多项式的公因式.
解：原式=x(5x－3y+1).
【教学说明】1为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉.
5.把－4x2+6x因式分解
分析：①公因式的系数取各项系数的绝对值4，6的最大公因数2.
②第一项的系数为负，最好把负号也提出.
③公因式里还含有字母x.
解：原式=－2x(2x+3).
【教学说明】如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数为正，在提出“－”号后，多项式的各项要变号.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P60例3.
2.写出下列多项式各项的公因式.
(1)ma+mb;
(2)4kx－8ky;
(3)5y3+20y2;
(4)a2b－2ab2+ab.
3.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( ).
A.-6ab2c
B.-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2c
4.把下列各式分解因式：
(1)8x－72; (2)a2b－5ab; (3)4m3－6m2;
(4)a2b－5ab+9b; (5)－a2+ab－ac; (6)-2x3+4x2－2x;
5.把3x2－6xy+x分解因式的过程对吗？若不对，请改正.
3x2－6xy+x = x(3x－6y)
解：不对，准确的过程是：3x2-6xy+x=x(3x－6y+1)
6.因式分解－4m2n3+12m3n2－2mn
解：－4m2n3+12m3n2－2mn=－2mn(2mn2－6m2n+1)
7.把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式.
解：－4x2yz－12xy2z+4xyz =－(4x2yz+12xy2z－4xyz) =－4xyz(x+3y-1)
【教学说明】检测本节课学生的掌握情况.作适当强调.
四、师生互动,课堂小结
同学们，今天这节课你学会了什么？
在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？
五、布置作业：
1.布置作业:教材第62页“习题3.2”中第1、2题.
2.完成〈〈学法大视野〉〉中本课时的练习.
六、教学反思：
本节课主要是让学生观察，找出各项的公因式，这也是本节课的重难点，应该多做强调，使学生掌握找多项式中各项的公因式.根据学生的练习情况来看，学生掌握的较好，达到了教学的目的.
第3课时 3.2.2提多项式公因式
教学目标：
【知识与技能】进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.
【过程与方法】进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
【情感态度】通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 【教学重点】能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解.
【教学难点】准确找出公因式，并能正确进行因式分解.
教学过程：
一、情景导入，初步认知
上节课我们学习了用提公因式法因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？
本节课我们就来揭开这个谜.
【教学说明】提高学生的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.下列多项式中各项的公因式是什么？
(1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；
(2)2x(3a-b)-y(b-3a).
2.把下列多项式因式分解.
(1)x(x-2)-3(x-2)；
解：x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3)
(2)x(x-2)-3(2-x)；
解：x(x-2)-3(2-x) = x(x-2)-3［-(x-2)］= x(x-2)+3(x-2) = (x-2)(x+3).
3.根据上面的例题，你能总结提公因式法分解因式的方法吗？
【归纳结论】提取公因式的一般步骤：
①确定应提取的公因式；
②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式.
4.因式分解时应注意些什么？
【归纳结论】①当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号;②提取公因式要彻底.
【教学说明】由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P61例6.
2.将多项式a(x-y)+2bx-2by分解因式，正确的结果是( )
A.(x-y)(-a+2b)
B.(x-y)(a+2b)
C.(x-y)(a-2b)
D.-(x-y)(a+2b)
3.下列因式分解不正确的是( )
A.-2ab2+4a2b=2ab(-b+2a)
B.3m(a-b)-9n(b-a)=3(a-b)(m+3n)
C.-5ab+15a2bx+25ab3y=-5a(-3ax-5b2y)
D.3ay2-6ay-3a=3a(y2-2y-1)
4.把2(a-b)2-a+b分解因式.
解：2(a-b)2-a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)［2(a-b)-1］=(a-b)(2a-2b-1)
5.因式分解3x(x－2)－(2－x).
解：3x(x－2)－(2－x) =3x(x－2)+(x－2) =(x－2)(3x+1)
6.因式分解a(a－b)3+2a2(b－a)2－2ab(b－a)2.
【教学说明】让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用.
四、师生互动,课堂小结
1.同学们，今天这节课你学会了什么？
2.在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？
五、作业：
1.布置作业:教材第62页“习题3.2”中第3、4题.
2.完成《学法大视野》中本课时的练习.
六、教学反思：
学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：
1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面.
2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.
3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公因数.
4.遇到互为相反数的因式，有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：变后不变前、变偶不变奇、变少不变多.
第4课时 3.3.1利用平方差公式进行因式分解
教学目标：
【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.
【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、“换元”、“整体”的思想，感受数学知识
的完整性.
【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受
到“数学是有用的”.
【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.
【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性.
教学过程：
一、情景导入，初步认知
填空：(1)(x+5)(x-5)= ；
(2)(3x+y)(3x-y)= ；
(3)(3m+2n)(3m-2n)= .
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x2－25= ;
9x2－y2= ;
9m2－4n2= .
【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.
二、思考探究，获取新知
1.探究如何把x2-25因式分解？
我们以前学过平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,把这个公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b) 所以x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)
【归纳结论】像那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
2.找特征：a2-b2=(a+b)(a-b)
(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成( )2－( )2的形式.
(2)公式右边:(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
3.下列各式能用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)分解因式吗？a、b分别表示什么？把下列各式分解因式；
(1)x2－1；(2)m2－9；(3)x2－4y2.
采用抢答形式.
【教学说明】学生进一步理解能用平方差公式分解多项式的特点.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P63~64例1、例2、例3、例4.
2.下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？
如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式.
(1)m2－81=m2－92；(2)1－16b2=12－(4b)2；
(3)4m2+9，（不能转化为平方差形式）；
(4)a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2；(5)－x2－25y2，（不能转化为平方差形式）.
3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2＋b2
B.－a2＋b2
C.－a2－b2
D.－(－a2)＋b2
4.因式分解(x＋1)2－9(x－1)2.
5.将下列各式分解因式.
(1)a2b2-a2c2；(2)-x5y3+x3y5；(3)(a+b)2-9(a-b)2；(4)p4－1.
6.若a＋b=2014, a－b=1, 求a2－b2的值.
7.简便计算：
(1) 5652－4352；(2) 25×2652－1352×25.
【教学说明】在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现错误的地方.
四、师生互动,课堂小结
1.本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先
判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：①是一个二项式(或可看成一个二项式)；②每项可写成平方的形式；③两项的符号相反.
2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.
3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.
五、作业：
1.布置作业:教材第66页“习题3.3”中第1题.
2.完成《学法大视野》中本课时的练习.
六、教学反思：
本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上的比较成功.
在复习了平方差公式后，通过一组由浅入深、由易到难的题组逐题递进，落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围.
第5课时 3.3.2利用完全平方公式进行因式分解
教学目标：
【知识与技能】
使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数)；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.
【过程与方法】
经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.
【情感态度】
培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学
科中的地位和价值.
【教学重点】掌握公式法中利用完全平方公式进行分解因式.
【教学难点】灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.
教学过程：
一、情景导入，初步认知
1.把下列各式分解因式( 学生上台板演)：
( 1 ) ax4－ax2；( 2 )16m4－n4.
2.除了平方差公式外，还有哪些公式？如何表示？
3.怎样用语言表述？
（1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a－b)2=a2－2ab+b2
【教学说明】复习铺垫对学习新知识是必要的，它可以扫清学习新知识的障碍，顺利进入新的知识学习之中.
二、思考探究，获取新知
1.由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=(a+b)2; a2－2ab+b2=(a－b)2.
左边的特点有：
(1)多项式是三项式；
(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和(差)的平方.
如何利用完全平方公式进行因式分解呢？
2.把9x2-3x+1
4
分解因式.
分析：9x2=(3x)2, 1
4
=(
1
2
)2, 3x=2·3x·
1
2
，原式即可用完全平方公式进行因式分
解.
解：9x2-3x+1
4
= (3x)2-2·3x·
1
2
+(
1
2
)2 = (3x-
1
4
)2
【教学说明】在进一步引导学生掌握完全平方式的特征的同时，能让学生对公式的特征有足够的理解，并在此的基础上，让学生用自己的语言来阐述思考过程，这是符合学生的认知规律的，也体现了新课程标准下的理念.
三、运用新知，深化理解
1.判别下列各式是不是完全平方式.
(1)x2+y2; (2)x2+2xy+y2; (3)x2-2xy+y2; (4)x2+2xy-y2; (5)-x2+2xy-y2.
2.当m=时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式.
3.分解因式-8ax2+16axy-8ay2.
4.分解因式(a2+1)2-4a2.
5.分解因式(a2-4a+4)-c2.
6.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”
解：4x2+8x+11=(2x+2)2+7
∵(2x+2)2+7≥0 ∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值.
【教学说明】在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：
(1)有公因式，先提公因式；(2)再用公式法进行因式分解.
四、师生互动,课堂小结
从今天的学习中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
五、作业：
1.布置作业，教材第66~67“习题3.3”中第2、4题.
2.完成《学法大视野》中本课时的练习.
六、教学反思：
因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是平方差公式和完全平方公式.一旦要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些.在练习中，根据学生的个体差异，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成.
第6课时 分组分解法（补充）
教学目标：1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．
2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案．
3．能综合运用各种方法完成因式分解．
教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解
教学过程：
一 复习引入
1.什么是因式分解？
2.学过几种因式分解的方法？
3.思考：如何将多项式ax+ay+bx+by 分解因式？
二 新知探究
环节1: 内容 ：因式分解ax+ay+bx+by
教师：提出问题 指导学生一题多解 引入定义
学生：思考 回答 板书练习
意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思.
2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。
3. 探索 讨论 总结分组的原则.
要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会． 试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a
（3）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---3922
环节2: 如何将多项式12)2(22-++b ab a 分解因式？
教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？
学生：尝试 探索 总结
意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？
要点：组和组之间存在平方差的联系
巩固练习：
（1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+--
（3）a a x x 2222---
三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，
教师点评，总结
四 布置作业：分解因式 （1）a 2-ab+ac-bc
（2）2ax-10ay+5by-bx
五、教学反思：
第7课时 十字相乘法分解因式
教学目标：
使学生掌握某些二次三项式（二次项系数是1）的因式分解。
重点难点：把常数项分成两个数的积，这两个数的和正好等于一次项系数。 教学过程：
我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到
这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。可以用交叉线来表示：
十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十
字相乘法。
x x +a + b
例1 把232x x ++分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而
2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。
例2 把276x x -+分解因式。
例3 把2421x x --分解因式。
例4 把2215x x +-分解因式。
通过例1～4可以看出，怎样对2x px q ++分解因式？
①如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。
②如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。
③对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。
例5 把下列各式分解因式：
(1) 4268x x ++ (2) ()()243a b a b +-++ （3）2232x xy y -+
当堂检测：1、把下列多项式因式分解：
（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x
（4）432-+x x （5）432--x x
2、（1）若多项式m x x +-82可分解为)6)(2(--x x ，则m 的值为 .
（2）若多项式122--kx x 可分解为)6)(2(+-x x ，则k 的值为 .
3、选作：若多项式m x x +-22可分解为))(3(n x x -+，求m 、n 的值.
自主探究学习
()()223531110x x x x ++=++
反过来就得到： ()()231110235x x x x ++=++。
想一想 231110x x ++ 怎样因式分解的，有什么规律？
总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成 1 2
3 5
后发现1×5 + 2×3正好等于一次项的系数11。
必须注意：分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。
例6 把下列各式分解因式：
(1) 2273x x -+ (2) 2675x x -- (3) 22568x xy y +-
练习：把下列各式分解因式：
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+
(3) 2576x x +- (4) 261110y y --
选做：
(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+
(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy -- 教学反思：
第8课时 因式分解单元复习
教学目标：
【知识与技能】
掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法的运用，及在实数范围内分解因式的方法，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.
【过程与方法】
通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.
【情感态度】
通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想.
【教学重点】
熟练运用各种方法来进行因式分解.
【教学难点】
因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题.
教学过程：一、知识结构
分解因式
分解因式的概念
提取公因式法
分解因式的方法平方差公式
应用公式法
完全平方公式?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.因式分解的定义
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2.提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
3.公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
【教学说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
三、典例精析，复习新知
例1下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.
例2下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.
解：(1)不正确；(2)不正确；(3)不正确.
例3用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay；(2)6xyz-3xz2；(3)-x3z+x4y；(4)36aby-12abx+6ab；
(5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
分析：(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.
例4用公式法分解因式.
(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；
(4)(m+n)2-6(m+n)+9; (5)4x2-9.
例5分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；
(4)x2(x-y)+y2(y-x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
【教学说明】基础习题的练习，促进学生对于上面知识点的理解，也有利于学生发现自己的学习漏洞，及时弥补，同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫.
四、复习训练，巩固提高
1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
2.利用因式分解计算下列各题.
(1) 7.6×201.4+4.3×201.4-1.9×201.4；
(2) 20142-4028×2015+20152；
(3) 5652×11-4352×11；
(4) (53
4
)2-(2
1
4
)2.
3.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
4.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值. 解：∵x2-y2=6,
∴(x+y)(x-y)=6.
又∵x-y=2 ①，
∴x+y=3 ②.
由①②组成方程组
2
3
－,
,
x y
x y
=
+=
?
?
?
解得
5
2
1
2
,
.
x
y
?
=
=
??
?
?
??
5. 四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.
解：设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.
【教学说明】这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.
五、师生互动，课堂小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，再考虑能否用公式法，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
六、作业：
1. 布置作业: 教材第69页“复习题3”中第1、3、4、7、9题.
2. 完成《学法大视野》中本课时的练习.
七、教学反思：
(1)对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；
(2)方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；
(3)目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；
(4)最终：把一个多项式分解到不能再分解为止.
第六章因式分解教案 第6.1节因式分解 一、背景介绍 因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。 二、教学设计 【教学内容分析】 因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。 【教学目标】 1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 【教学准备】 实物投影仪、多媒体辅助教学。 【教学过程】 ㈠、情境导入 看谁算得快：（抢答） (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。 【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。】㈡、探究新知
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算． 2. 体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 教学重、难点 同底数幂的乘法运算法则及其应用. 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？ （1） 如何列出算式？ （2） 1015的意义是什么？ （3） 怎样根据乘方的意义进行计算？ 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1） 5 2222() ?= ； （2）32()a a a ?= ； （3）5 55()m n ?= ． 你能将上面发现的规律推导出来吗？ 教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）. 二、知识应用，巩固提高 m n m n a a a +?=（m ，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、 四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？ 这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：m n p m n p a a a a ++ +???= （m ， n ，p 都是正整数）． 例1(教科书第96页) 三、应用提高、拓展创新 课本96页 练习 m n a a ? m n a a a a +=???（）个 m n a += m a n a a a a a a a =?? ???? ?个个 （）（）
四、归纳小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？ 五、布置作业： 习题14.1第1（1）、（2）题 教后反思： 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 教学目标 1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据． 2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算． 3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法． 教学重、难点 幂的乘方与积的乘方的性质． 教学过程设计 一、 创设问题，激发兴趣 问题1 有一个边长为a 2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: （1） （2） （3） 3 m m m m a a a a a ??（ ） （）== （m 是正整数）． 在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 多重乘方可以重复运用上述法则： 二、知识应用，巩固提高 计算 （1）（102）3； （2）（b 5）5； （3）（a n ）3； （4）－（x 2）m ； （5）（y 2）3·y ； （6）2（a 2）6－（a 3）4． 问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：（n 是正整数） 你能发现有何运算规律吗？ 能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？ 2322233333??（ ） （）==； 23222a a a a a ??（ ） （）==； =p m n mnp a a ???? （）
因式分解教案 二界岭中心学校（初中部）许立 【教学目标】 知识技能目标： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法目标： 在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。 情感与态度目标: 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。 【教学重点与难点】 重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 【教学方法与手段】 教法：类比、探究式教学方法 学法：自主、合作、探索的学习方法 【教具准备】 多媒体展示 【教学过程】 一、创设情景 组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后
有何感想。（2至3人） 二、 提出问题 近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。 如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a ﹑b ﹑c,宽是m ，那么一共开垦荒地的面积是？ 方法一得： mc mb ma ++ 方法二得： ()c b a m ++ 总结：因此mc mb ma ++=()c b a m ++ 利用整式乘法验证： ()c b a m ++=mc mb ma ++ 我们把mc mb ma ++=()c b a m ++这一变换过程称作因式分解。 出示课题：因式分解 概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。 对象：多项式 结果：整式的乘积形式 学生举例：（说明什么是因式分解） 思考：整式的乘法与因式分解的关系 1 因式分解 整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。 辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？ ⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2 ⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z) ⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b) ·(a+b) 说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式; 2、因式分解一般分解到不能再分解为止。 三、 引入新知
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的
想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1) ①能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ ②这样变形是为了达到什么样的目的？ 【教学说明】 经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性. 【归纳结论】 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 三.运用新知，深化理解 1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
铁厂中学高效课堂数学教学设计 4.1 因式分解 铁厂中学李兴林 一．教材分析： 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理 数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数 式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意 义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生 体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 二．学情分析： 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算， 因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维 对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具 体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。 三．教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养变形与化归的能力。 4.培养学生认识矛盾的对立统一，勇于探索的精神和实事求是的学习态度。 四．教学重点：因式分解的概念。 教学难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系。 五．教学过程： 本节课设计了五个教学环节：复习回顾（整式乘法），自主探究概念，小组合作学习， 检测巩固，小结。 （一）复习回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：3a?4ab= (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 千教万教，教人求真
第六章因式分解水平测试(二) （时间：90分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） １、下列分解因式正确的有（）个. （１）x2+（－y）2=（x+y）（x－y）；（２）４a2－1=（4a+1）（4a－1）；（３）－９＋４x2=（3+2x）（2x－3）；（４）a2－b2=（a－b）（a+b）. A、1 B、2 C、3 D、4 2、－（a+3）（a－3）是多项式（）分解因式的结果. A、a2－9 B、a2+9 C、－a2－9 D、－a2+9 3、－1+0.09x2分解因式的结果是（）. A、（－1+0.3x）2 B、（0.3x＋１）（0.3x－１） Ｃ、（0.09x＋１）（0,09x－１）Ｄ、不能进行 4、下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（）. （１）a2+2a+4；（２）a2+2a－1；（３）a2+2a＋1；（４）－a2+2a＋1； （５）－a2－2a－1；（６）a2－2a－1. Ａ、2个Ｂ、3个Ｃ、4个Ｄ、5个 5、下列分解因式不正确的是（）. Ａ、4y2－1=（4y＋１）（4y－１）Ｂ、a4+1－2a2=（a－１）２（a+１）２ C、 2 2 9131 4923 x x x ?? -+=- ? ?? D、－16+a4=（a2＋４）（a－２）（a＋２） 6、若６４x2+axy+y2是一个完全平方式，那么a的值应该是（）. A、8 B、16 C、－16 D、16或－16 7、已知54－1能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数是（） A、25，27 B、26，28 C、24，26 D、22，24 8、64－（3a－2b）2分解因式的结果是（）. A、（8+3a－2b）（8－3a－2b） B、（8+3a+2b）（8－3a－2b） C、（8+3a+2b）（8－3a+2b） D、（8+3a－2b）（8－3a+2b） 9、若4a2+18ab+m是一个完全平方式，则m等于（）.
第十四章整式的乘法与因式分解 14．1 整式的乘法 14．1.1 同底数幂的乘法 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． 重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 一、提出问题，创设情境 复习a n的意义： a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数． (出示投影片) 提出问题： (出示投影片)
问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数＝运算速度×工作时间， 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103. [师]1015×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018. [师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法． 二、探究新知 1．做一做 (出示投影片) 计算下列各式： (1)25×22； (2)a3·a2； (3)5m·5n.(m，n都是正整数) 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2) ＝27＝25＋2. 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2. 5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n. [生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？ (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 (出示投影片) [师生共析] a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m ＋n)个a＝a m＋n 于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2)(a ±b)2=a 2±2ab+b 2———a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3)(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4)(a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后
第二章 分解因式 1．分解因式 教学目标： （一）知识与技能： （1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法． （二）过程与方法： （1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察 、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想． （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力． （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力． （三）情感与态度： 让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：理解因式分解的概念. 教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系 教学方法：探索、归纳 教学过程 一、 问题 用简便方法计算： （1）29 7 6971397?+?-?= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ． 注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式． 二 、探究
提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？ 注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式． 看谁算得准 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； （5）a(a+1)(a-1)= ． 根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= ． 三、梳理 比较以下两种运算的联系与区别： （1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
第十五章整式的乘除与因式分解 §15．1．1 整式 教学目标 1．单项式、单项式的定义． 2．多项式、多项式的次数． 3、理解整式概念． 教学重点 单项式及多项式的有关概念． 教学难点 单项式及多项式的有关概念． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题 1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？ 2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？ 结论： 1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC?的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，?那么△ABC的周长可 以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为1 2 2c2h． 2．小王的平均速度是S t ． 问题：这些式子有什么特征呢？ （1）有数字、有表示数字的字母． （2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接． 归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式． 判断上面得到的三个式子：a+b+c、1 2 ch、 S t 是不是代数式？（是） 代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为 表示一个数，则它的相反数是________（出示投影） 结论：（1）正方形的周长：4x ． （2）汽车走过的路程：vt ． （3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，?所以它的表面积为6a 2；正方体的体积为长3宽3高，即a 3． （4）n 的相反数是－n ． 分析这四个数的特征． 它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c 、12ch 、 S t 中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同． 请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． 根据这些定义判断4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、a+b+c 、12ch 、S t 这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数． 结论:4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、12ch 是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、1 2 ．它 们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x 、-n 都是一次单项式；vt 、6a 2、?1 2 ch 都是二 次单项式；a 3是三次单项式． 问题:vt 中v 和t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？ 结论:不是．根据定义，单项式vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt 是二次单项式而不是一次单项式． 生活中不仅仅有单项式，像a+b+c ，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 9.5多项式的因式分解（4） 教学重点：知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式． 教学难点：能综合运用提公因式法、公式法分解因式． 【情景创设】 探索新知 提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征． （2）整理知识结构图． 提公因式法：关键是确定公因式 因式分解平方差公式： 运用公式法a2－b2＝（a＋b）（a－b） 完全平方公式： a2±2ab＋b2＝（a±b）2 说明：公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式． 提公因 式法 ab+ac+ad=a(b+c+d) 单项式乘 多项式 运用公 式法 a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 乘法公式 因 式 分 解 整 式 乘 法
【展示交流】 例1 把下列各式分解因式． （1）18a2－50； （2）2x2y－8xy＋8y； （3）a2（x－y）－b2（x－y）． 例2 把下列各式分解因式． （1）a4－16； （2）81x4－72x2y2＋16y4． 例3 分解因式． （1）（a2＋b2）2－4a2b2； （2）（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1． 练习：课本P87练一练第1、2两题． 【盘点收获】 说说如何把多项式进行因式分解． 如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解． 分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止． 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式． 即：“一提”“二套”“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确． 【课后作业】 补充习题和同步练习 本课教学反思 本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。过程教案法的理论基础是交际理论，认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动，而不是写作者的个人行为。它包括写前阶段，写作阶段和写后修改编辑阶段。在此过程中，教师是教练，及时给予学生指导，更正其错误，帮助学生完成写作各阶段任务。课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
14.3.1《提公因式法分解因式》教学设计 汉滨区河东九年制学校 韩飞 【学习目标】 1、了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系。 2、会用提公因式法进行因式分解。 3、经历因式分解的过程，提高学生的观察能力、逆向思维能力。 【学习重点】 用提取公因式法进行因式分解。 【学习难点】正确理解因式分解的概念，准确找公因式， 【学习过程】 一、情景导入 上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式，反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本节课我们一起来探究这种变形：《因式分解》 二、学生自学 出示自学指导（投影），完成以下问题： 1、 回忆：运用前两节所学的知识填空： （1）2（x ＋3）＝___________________； （2）x 2（3＋x ）＝_________________； （3）m （a ＋b ＋c ）＝_______________________. 2、探索：你会做下面的填空吗？ （1）2x ＋6＝（ ）（ ）； （2）3x 2＋x 3＝（ ）（ ）； （3）ma ＋mb ＋mc ＝（ ）2. 3.归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是 因式分解 （也叫做把这个多项式 分解因式 ） 4、下列各式从左到右的变形，哪是因式分解? （1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2． （5）36ab a b a 1232?= （6）??? ??+=+x a b x a bx
14.1.1同底数幂的乘法第28课 教学目标 （一）知识与技能 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． （二）过程与方法 1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，?使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律． （三）情感与态度 体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神． 教学重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 教学难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 教学方法 透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．教具准备
投影片（或多媒体课件）． 教学过程 一．提出问题，创设情境 复习a n 的意义： a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，?n 是指数． （出示投影片） 提出问题： （出示投影片） 问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数=运算速度×工作时间 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103． [师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1012×103=1210 10)??g g g 14243 个(10×（10×10×10）=1510 1010)???g g g 1442443 个(10=1015． [师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我
12.13 因式分解复习课教案 教学目标： 1. 进一步掌握因式分解的概念，熟练运用4种方法进行因式分解。 2. 通过辨析纠错和综合运用，提高学生分析，归纳，反思能力以及综合运用能力。 3. 通过小组合作，进一步培养学生的合作能力，增加自信。 教学重点：正确合理运用4种方法进行因式分解。 教学难点：体会整体思想，化归思想。 教学过程： 一．课前梳理，知识回顾 1) 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. ab a b a a -=-2)( B. 1)2(122+-=+-a a a a C. )1)(3(322+-=--x x x x D. )1(12x x x x +=+ 2）我们学过的因式分解的方法有哪些？口答 二．任务引导，知识重构 阅读下列解题过程，找出其中的错误，用红笔圈出来，并进行改正。 1）分解因式：22369y x +- 改正： 解：)369(22y x --=原式 = )63)(63(y x y x -+- 错误：____________________________ 2）分解因式：)()(42x y x y x x -+- 改正： 解： 原式=)()(42y x x y x x -+- =])(4)[(x y x x y x +-- =)44)((2x xy x y x +-- 错误：_____________________________ 3）分解因式：122 4+-a a 改正： 解： 原式=22)1(-a =[2)1(-a ]2 =4)1(-a 错误：______________________________
4) 分解因式： 3)(4)(2 ++-+b a b a 改正： 解： 原式=)3)(1(++++b a b a 错误：______________________________ 5) 分解因式： 22414y xy x +-- 改正： 解： 原式=)41()4(2y y x x --- =)21)(21()4(y y y x x -+-- 错误：______________________________ 总结：因式分解的一般步骤： 1） 一“提”：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 2） 二“套”：如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式，十字相乘法，分组分解来分解； 3） 三“查”：因式分解是否分解彻底，书写是否规范。 三．综合运用，巩固提高 1. 分解因式 m mx mx mx +--23 2. 分解因式 48)5(32+--x 3. 分解因式 3)2(2)2(222-+-+a a a a 4. 分解因式 25)105)(5(2 2++++a a a a 5. 分解因式 1)65)(45(22+++++a a a a 6. 分解因式1)4)(3)(2)(1(+++++a a a a
教学案例：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学手段：多媒体辅助教学 【教学过程】
教学反思：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学反思】 因式分解共二个课时，本节课为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。 1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。” 2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。 3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。 4．本课教学流程图： 情境激趣 复旧孕新 自主小结
《因式分解》教学设计 黄埠一中王亚【教学设计思路】 因式分解共二个课时，本节课为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。 1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。” 2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。 3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。 4．本课教学流程图： 情境激趣复旧孕新 师生互动探究新知 自主小结深化提高
【教材分析】： “因式分解（提取公因式法）”是“华东师大版八年级数学（上）”第十三章第五节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链接开拓作用。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。 【学情分析】： 因为我们班的学生大多数来自农村移民的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式． 2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 学法：自主、合作、探索的学习方式 在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现素质教育的要求 教学手段：多媒体辅助教学