第十四章压杆稳定
14.1某型柴油机的挺杆长度l=25.7cm,圆形横截面的直径d=8mm,钢材的 E=210Gpa, ；「p =240MPa 。挺杆所受最大压力 n st = 2 ~ 5。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，
尸1, ，=银黑=129
用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。
在2~5之间，安全。
14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径
内径d=44mm,l=950mm.材料为30CrMnS i N i 2A,试求斜撑杆的临界压力 P lj 和临界应力
Gj 。(原图见教材 P173.) (6
=1600MPa,；「p = 1200MPa ,E = 210GPa )
解：斜撑两端按铰支座处理,
i =4-D 2 d 2 =1、0.0522
0.0442 = 0.017m 「縣=55.9
■ - '1，可用拉欧公式计算
14.5三根圆截面压杆，直径均为 d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,匚s = 240 MPa 俩 端均为铰支，长度分别为 hb 和b ，且h =212 = 3I 3 =5m 。试求各杆的临界压力 P lj 。
分别计算三杆的柔度
P =1.76kN 。规定的稳定安全系数
=92.9
3.142 210 109 彳14(8 10 色)4
4
(1W.257)2
二 6.30kN
P
lj
6.30
n =
百=彳76
= 3.58
D=52mm ,
3.14 210 109 1200 106
= 41.5
3.142 210 109 (1 0.95)
4
4
3.14(0.052" -0.0444)
64
= 401kN
lj
_ 401 103 _ -4
'(0.0522 -0.0442) 2
= 665MN /m 2
解：对于A3钢
100,十晋=57.1
'(1) (2) (3) =口 125
i 1
0.16/4
125
二.农=1 2.5 i 2
二—
i
0.16/4 二 62.5
=31.3
/. 1
2 9
3.142 210 109 -------------- 6 ----
240 10
P j
杆1 p ⑴-春二哙5V 時=25范” 杆 2
R j (2)=(a —b ，)A = (304-1.12 62.5) 106 罟 0.162 = 4700kN 杆 3
p j(3)=二s A=240 106 斗 0.162 =4820kN
14.10在图示铰接杆系 ABC 中，AB 和BC 皆为细长压杆，且截面相同，材料一样。若 因在ABC 平面内失稳而破坏，并规定 0 ：：: v ::: 2，试确定P 为最大值时的B 角。 解：设AB 、BC 杆的压力分别N i ,
N , =Pcos r ,N 2
=Psi nr 或 N 2
只有当N 1和N 2都达到临界压时,
二 0 =tg '(ctgP)
14.13蒸气机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为 A3钢。连杆所受最大轴向压力 为465kN.连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面 垂直的xz 平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。 （原
图
见教材P176.）
解：先计算横截面的几何性质
A =0.140 0.096-0.085 0.082 = 6.47 10；m 2
R j -；「s A =235 106 6.47 10^1520 kN n =~P = 1H 0 =3.27
在xy 平面内失稳
|
在xy 平面内失稳
i z =
= 1.78 10
1 -0.0525 m
-A
： 6.47〉10 7
f
1 3.10
304 235
z
一 i z 一 0.0525 一 59.0 1.12
61 .
_ 0.096>0.143
z _ 12 0.082 0.0853
12
y
(0.14_0.085)X0.0963 + O.O85X0.O143
12 12
设AB 杆长为
P j1 二宇,P j2 …El ? ? Pj 1
tg=氓
P
lj2
=ctg 2 :
= 1.78 10 m 4
= 4.07 10 出 m 4
h,则BC 杆长丨2
P 才最大，把上两式代入
i
y =彳丄=0.02512m, k y = ￥ = ° 0.251° = 61.8 和b 很接近，已属强
度问题，不用再算。
解：对A 点取矩计算DB 杆中的压力N
N sin30 1.5 = 40 2, N =107kN
14.15某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆
机的最大是P=40kN.若规定的稳定安全系数为
BD 为20号槽钢，材料为 A3钢，起重
n ,y ： =5，试校核BD 杆的稳定性。
查槽钢表得 A=32.83 10° m 2,i y = 0.0209m ,
1 5
DB 杆长I = 0.866 = 1.73m 为柔度为
F =304 -1.12'"304 -1.12 82.8
4
6
丸=A G j =32.83 10 211 10
n 譚=需=6.48 5
安全.
14.16 10号工字梁的 C 端固定，A 端铰支于空心钢管 30mm 和40mm ， B 端亦
为铰支。梁及钢管同为
A3钢。
3
可得如下关系式竺尹二EL
1.84 10^(300 -N) =1.82 10“N
算出 N = 299.7 N ： 300N
AB 杆受的动压力为
P d
=K d
P j =61.5 300 =18.5kN
再计算AB 杆的临界压力
i
i
i 二八 D 2 d 2 = 4，0.042
0.032 = 0.0125m
'=0^0^ = 160
用欧拉公式计算
P = 3.14:翠。9
x 鬻(0.044 —0.034) = 42.3kN
P,
n p - =
2.29 ：：： 2.5
不安全。
縣=82.8 <100
用中等柔度杆的公式计算临界应力
端时，试校核 AB 杆的稳定性。规定稳定安全系数
n 二 2.5。
解：先把重量300N 静止放在A 处，计算AB 杆中承受的压力及 A 处的垂位移。AC 梁查
8
4
表得 I =245 10 m
13 3
_5 3ET = 3 200 109 245 10 8 = 1.84
10 m/N
33 2
2
4
2
A = ^(0.04 —0.03 ) =5.50 汇 10 m < A
B 杆 L
2
_8
/
耳=200X0^245X0^ =1.8^ 10 m/N /
设AB 杆受到压力N ，由A 处垂直位移, 3m
2m
A 处垂直位移
1=300 1.82 10—5.46 10^m
代入垂直下落撞击的动载系数公式
K d 亠「j — 1
V
= 61.5
P
AB 上。钢管的内径和外径分别 当重为300N 的重物落于梁的 A
10mm
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= ？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。 ?
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ \ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π=
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l
1
[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力 P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后 发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状 ； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态， 此时若解除压力 P ，则压杆的微 弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 A ） 对临界应力的影响。 ； 试判断哪一根最容易失稳。答案： （ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长 1m ，直径 50mm 。其柔度 为 ( C ) A.60 ； B.66.7 ； C.80 ； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下， 压杆采用图 （ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ E B 、λ≤ E P s C 、λ≥ E D 、λ≥ E P s B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：
返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按 细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳
故面外失稳时最小 =。 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。
第九章压杆稳定 9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？ 答：F t=124kN, F c=350.2kN F 题 9 - 1 图解：当F的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F 294 2 2 200100.04 124 () 124 cr t cr EI F kN l F F kN π π π μ ???? ===∴== 当F 为压力时，长为a的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为 2 F 294 2 22 200100.04 64248 ()(11) 248 2 350.7 cr c c EI F kN l F kN F kN π π π μ ???? === ? = ∴= 9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。 答：（d） 解：0.5 μ= a 0.7 μ= b 0.7 μ= c 2 μ= d 2 2 () π μ μμμμ = >=> cr d c b a EI F l
crd F ∴最小 ∴d 杆最容易失稳 9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：F cr =19.7kN 题 9 - 3 图 30X 30X 4 解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ = 22 ()cr EI F l πμ= 查表可知： 8408 4 0 2.92100.7710x y I m I m --=?=? 因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I I m -==? 298 2 210100.771019.7(20.45)cr F kN π-????∴= =? 9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？
第10章压杆稳定 教学目的：深入理解弹性平衡稳定性的概念；熟练应用压杆的临界压力公式，掌握杆端约束对临界力的影响；压杆的分类与临界应力曲线；掌握压杆 稳定性计算的方法。 教学重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教学难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：稳定的概念；两端铰支细长压杆的欧拉临界力；杆端约束的影响；临界应力总图；压杆稳定性计算。 教学学时：4学时。 教学提纲： 10.1 压杆稳定的概念 在第2章中，曾讨论过受压杆件的强 度问题，并且认为只要压杆满足了强度条 件，就能保证其正常工作。但是，实践与 理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是 正确的，对细长压杆不能应用上述结论， 因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是 因为强度不够，而是由于出现了与强度问 题截然不同的另一种破坏形式，这就是本图10－1 章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图10-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图10-1a所示的
同样粗细而比较长的杆件(图10-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图10-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图10-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图10-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图10-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图10-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图10-5b所示，当用外
第九章压杆稳定习题解 ［习题9-1］在§ 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线 状时，压杆在F cr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得F cr公式又是否相同。 因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 Elw" M(x)°( c)、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程: Elw" M (x)，显然，这微分方程与(a)的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 形状，导出了临界应力公式P cr 2EI 。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即: P er 2EI
?为什么？并由此判断压杆长因数 是否可能大于2。 ［习题9-2］图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？ 它们能承受的压力与原压相的相当长度 丨的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长 度系数。 （a ） l 1 5 5m （b ） l 0.7 7 4.9m （e ） l 0.5 9 4.5m （d ） l 2 2 4m （e ） l 1 8 8m （f ） l 0.7 5 3.5m （下段）； l 0.5 5 2.5m （上段） 故图e 所示杆F cr 最小，图f 所示杆F cr 最大。 ［习题9-3］图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接， 但第一根杆（图a ）的基础放在弹性 解：压杆能承受的临界压力为: P er 2 EI （.l ）2 由这公式可知, 对于材料和截面相同的压杆,
第九章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； C、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。其柔度为 ( C ) ；；； 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A、λ≤ 、λ≤ C、λ≥ D 、λ≥
10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ） A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ） A.?临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B.?临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.?临界应力和临界压力一定相等； D. 临界应力和临界压力不一定相等； 12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。 A 、细长杆的σe 值与杆的材料无关； B 、中长杆的σe 值与杆的柔度无关； C 、中长杆的σe 值与杆的材料无关； D 、粗短杆的σe 值与杆的柔度无关； 13、细长杆承受轴向压力P 的作用，其临界压力与（ C ）无关。 A 、杆的材质 B 、杆的长度 C 、杆承受压力的大小 D 、杆的横截面形状和尺寸 二、计算题 1、 有一长l =300 mm ，截面宽b =6 mm 、高h =10 mm 的压杆。两端铰接，压杆材料为Q235钢，E =200 GPa ，试计算压杆的临界应力和临界力。 解：（1）求惯性半径i 对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径 mm 732.112 612 1 123min min == =?== b bh hb A I i （2）求柔度λ λ=μl /i ，μ=1， 故 λ=1×300/=519>λp =100 （3）用欧拉公式计算临界应力 () MPa 8.652.1731020ππ2 4 22 2cr =?= = λ σE （4）计算临界力 F cr =σcr ×A =×6×10=3948 N= kN 2、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。其直径mm d 45=，长度mm l 703=。 钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=λ(MPa)。 试 （1）判断此压杆的类型； （2）求此杆的临界压力；
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
压 杆 稳 定 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 如果细长压杆有局部削弱，削弱部分对压杆的影响有四种答案，正确的是（ ）。 A ．对稳定性和强度都有影响 B ．对稳定性和强度都没有影响 C ．对稳定性有影响，对强度没有影响 D ．对稳定性没有影响，对强度有影响 2. 图示长方形截面压杆，h ／b = 1／2；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr P 是原来的（ ）倍。 A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍 3. 细长压杆，若长度系数μ增加一倍， 则临界压力cr P 的变化是（ ）。 题2图 A ．增加一倍 B ．为原来的四倍 C ．为原来的四分之一 D ．为原来的二分之一 4. 图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序是（ ）。 题4图 A ．（a ）、（b ）、（c ）、（d ） B ．（d ）、（a ）、（b ）、（c ） C ．（c ）、（d ）、（a ）、（b ） D ．（b ）、（c ）、（d ）、（a ） 5. 正方形截面杆，横截面边长a 和杆长l 成比例增加，它的长细比（ ）。 A ．成比例增加 B ．保持不变 C ．按2 ??? ??a l 变化 D ．按2 ?? ? ??l a 变化 6. 如图所示直杆，其材料相同，截面和长度相同，支承方式不同，在轴向压力下，他 们的柔度是（ ）。 A ．a λ大，c λ小 B ．b λ大，d λ小 C ．b λ大，c λ小 D ．a λ大，b λ小 -46-
7. 若压杆在两个方向上的约束情况不同，且y μ＞z μ。那么该压杆的合理截面应满足的条件是（ ）。 A ．z y I I = B ．y I ＜z I C ．y I ＞z I D ．y z λλ= 题6图 8. 两压杆为管状薄壁容器式的细长杆，管两端封闭，且为铰支承。(a )杆无内压，(b ) 杆有内压，其它条件相同。则两杆临界应力的关系是（ ）。 A ．()()b cr a cr σσ= B ．()a cr σ＞()b cr σ C ．()a cr σ＜()b cr σ D ．无法比较 9. 两根细长杆，直径、约束均相同，但材料不同，且212E E =，则两杆临界应力的关系是（ ）。 A ．()()21cr cr σσ= B ．()()212cr cr σσ= C ．()()212 1 cr cr σσ= D ．()()213cr cr σσ= 10. 由稳定条件][σ?A P ≤，可求[P ]，当A 增加—倍时，则[P ]增加的规律有四种答案： A ．增加一倍 B ．增加二倍 C ．增加2 1 倍 D ．与A 不成比例 二、判断题(正确的打“√”，错的打“×”) 1. 当压杆的中心压力P 大于临界压力cr P 时，杆原来的直线形式的平衡是 不稳定的平衡。( ) 2. 临界力cr P 只与压杆的长度及两端的支承情况有关。( ) 3. 对于细长压杆，临界压力cr P 的值不应大于比例极限p σ。( ) 4. 压杆的柔度λ与压杆的长度、横截面的形状和尺寸以及两端的支承情况有关。（ ） 5. 对压杆进行稳定计算时，公式中压杆的横截面面积A 应采用所谓的“毛面积”。（ ） 6. 压杆的长度系数μ与压杆的长度以及横截面的形状和大小有关。（ ） 7.计算压杆临界力的欧拉公式2 ) (l EI P cr μπ= 只适用于λ＞p λ，的大柔度压杆。（ ） -47-