专题08：平面几何基础
考点一、直线、射线和线段
1、几何图形
从实物屮抽象出来的齐种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平血内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的备个部分都在同一平血内，它们是平血图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形屮最基木的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和1111线。
面：包围着体的是血，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、直线的概念
一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是育的，并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念
直线上两个点和它们Z间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意：
（1）表示点、直线、射线、线段时，部要在字母前曲注明点、直线、射线、线段。
（2）肓线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
（4）点和直线的位置关系有线面两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或考说直线不经过这个点。
7、肓线的性质
（1）直线公理：经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）胃线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质
（1）线段公理：所有连接两点的线屮，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的屮点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂肓平分线的性质定理：线段垂頁平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角
1、角的相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条肓线上时，组成的角叫做平角。
平角的一半叫做頁角；小于肓角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个肓角，那么这两个角叫做互为余角，其屮一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其屮一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：
①用数字表示单独的角，如Zl, Z2, Z3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如Za , Z3, ZY, ZB等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如ZB, ZC等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如ZBAD, ZBAE, ZCAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在屮间，边上的字母写在两侧。
3、角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“° ”表示，1度记作“1° ”，n度记作“n° ”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1"。
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1" o 1° =60—60”
4、角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
5、和的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下血的性质定理:
（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点三、相交线
1、相交线中的角
两条真线相交，可以得到四个角，我们把两条有?线相交所构成的四个角屮，
有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补，对顶角相等。
直线AB, CD与EF相交（或者说两条肓线AB, CD被第三条育线EF所截），构成八个角。
Z1与Z5这两个角分别在AB, CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角;
Z3与Z5这两个角祁在AB, CDZ间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个和叫做内错角；
Z3与Z6在直线AB, CDZ间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条頁线相交所成的四个角屮，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其屮一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB, CD互相垂直,记作“AB丄CD” （或“CD丄AB”），读作“AB垂直于CD” （或“CD垂直于AB”）。垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上备点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
考点四、平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“〃”表示，如“AB〃CD” , 读作“AB平行于CD”。同一平血内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的肓线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理：经过育线外一点，有且只有一条岚线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和笫三条直线平行，那么这两条育线也互相平行。
3、平行线的判定
（1）同位角相等，两肓线平行
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）垂宜于同一条肓线的两肓线平行。
（3）平行线的定义。
4、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两肓线平行，同旁内角互补。
考点五、命题、定理、证明
1、命题的概念:判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句了；
（2）这个旬了必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）
「真命题（正确的命题）
命题彳
I假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理：人们在长期实践屮总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
考点六、投影与视图
1、投影
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影了，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如
太阳光线）形成的投影称为平行投煤。
屮心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为屮心投影。
2、视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、
俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧而内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
【2013年中考真题】
一、选择题
【答案】Ao
【考点】轴对称图形和屮心对称图形。
【分析】根据轴对称图形与屮心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠肩可重合；屮心对称图形是图形 沿对称屮心旋转180度示与原图重介。因此，只有选项A 符合。故选A 。
2- （2013年广东茂名3分）如图，小聪把一块含有60。角的肓角三角板的两个顶点放在肓尺的对边上，并测得Z 1=25。,
则Z2的度数是【
1?（2013年广东茂名3分）下列食品商标屮，既是轴对称图形又是屮心对称图形的是【
A. 15°
B. 25° 【答案】
C.
【考点】平行线的性质
【分析】如图，???直尺的两边互相平行，Zl=255,
AZ3=Z1=25\
Z2=60° - Z3=60° - 25°=35°.
故选C?
3?（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【 】
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
A.
C. D.
C. 35°
锦元数学工作室绘制
【答案】
A ?
【考点】多边形內角与外角，一元一次不等式的应用。
【分析】设辺数为n,根据题意得（n- 2） *1SO:<36OS解之得n<4.
?.?口为正整数，且n>3, .*.n=3.故选
4?（2013年广东深圳3分）如下图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【】
【答案
【肴点】轴对称图形和中心对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折塔后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
选项A、C、D都既是轴对称图形又杲中心对称图形，而3是轴对称图形，不是中心对称图形.故选3.
5?（2013年广东深圳3分）下列命题是真命题的有【】
①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个胃角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂肓于弦，并且平分弦所对的弧。
A..1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【答案】C.
【考点】命题和证明，对顶角的性质，平行的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，垂径定理。
【分析】根据对顶角的性质，平行的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，垂径定理逐一作出判断：
根据相关性质，①、②、⑷正确；
对于③，两个直角三角形只能杲相似，不全等；
对于⑤，平分弦的直径垂直弦，应强调这条弦?非直径二故错?
故选C.
6.（2013年广东深圳3分）如图，已知h〃b〃l3,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰育角AABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则since的值是【】
线段B等边二角形 C.正方形
【答案】D ?
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，特殊元 素法的应用.
【分析】如图，分别过点A, 3作AE 丄:],BF 丄S h 交于点D,
贝IJ 易由AAS 证明△ AHC 经△C73。 设平行线间距离为d=l,
7. （2013年广东省3分）如图，AC 〃DF, AB 〃EF,点D 、E 分另U 在AB 、AC 上，若Z2=50°,则Z1的大小是【
】
R
A.
30° B.40° C.50° D.60°
【答案】C ?
【考点】平行线的性质. 【分析】TAB 〃EF, Z2=50:,
根据两直线平行,同位角相等得：ZA=Z2?50c .
-.'AC#Dr, /.根据两直线平行，同位角相等得：Zl = ZA=50:- 故选C.
8. （2013年广东省3分）下列图形屮,不是轴对称图形的是【
】
? ?
17
D.
Tio
垂足分别为E, F, 3F 与 贝0 Cr=3F=l, AE=CF=2, AC=3C=>^, .A3=>/10o
AB ^/10
10
故选Do
锦元数学工作室绘制
【答案】C ? 【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形，轴对称图形两部分沿对称轴折醫后可重合.因此，
圆、正方形和等辺三角形都是轴对■称图形，平行四边形不杲轴对称图形，故选C.
9. （ 2013年厂东湛江4分）已知一个多边形的內角和杲54 0° ,则这个多边形是【
】
A.四辺形
B.五边形
C.六辺形
D.七边形
【答案】B ?
【考点】多辺形內角和定理.
【分析】根据多辺形內角和定理，n 辺形的内角和公式为.n-2.180°,因此，
由 in-2 1180° = 540°得 故选 B.
10. （2013年广东湛江4分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情
【答案】A.
【考点】概率，轴对称图形怖判断. ① 全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生
的概率。因此,
???四个图形中杲轴对称图形的有等腰梯形和圆两个,
2 1
???抽出的卡片是轴对称图形的概率为-=-。故选Ao
4 2
【分析】根据概率的求法，找准两点: 况下从屮任意抽出一张，贝州【出的卡片是轴对称图形的概率为【
二角形
11.（2013年广东珠海3分）如图两平行线a、b被直线I所截，且Zl=60°,贝UZ2的度数为【】
A ? 30°
B ? 45。
C ? 60°
D ? 120°
【答案】C.
【考点】平行线的性质，对顶角的性质. 【分析】如图，Va#b,
AZ3=Z1=6O 5.
TZ2 和 Z3 是对顶ft, /.Z2-Z3-600.
故选C.
[2012年中考真题】
一、选择题
1?（2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是【 】
A. 5
B. 6
C. 11 D ? 16
【答案】Co
【考点】三角形三边关系。
【分析】设此三角形第三边的长为X,则根据三角形两边之和大于第三边，两边Z 差小于第三边的构成条件，得10
■4VxVlO+4,即6 2. （2012 T 东佛山3分）下列图形屮，既是轴对称图形又是屮心对称图形的是【 】 【答案】B, 【考点】轴对称图和屮心称对形。 【分析】根据轴对称图形与屮心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折吞后可重合；屮心对称图形是图形 B. 锦元数学工作室绘制 沿对称屮心旋转180度示与原图重合。因为圆既是轴对称图形又是屮心对称图形，故选B。 3?（2012广东梅州3分）下列图形屮是轴对称图形的是【】 D. 【答案】Co 【考点】轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折喬麻可重合，对各选项分析判断麻利用扌II滁法求解: A、4、是轴对称图形，故木选项错谋； B、4、是轴对称图形，故木选项错谋； C、是轴对称图形，故木选项止确； D、不是轴对称图形，故木选项错误。 故选C。 4.（2012广东汕头4分）下列平曲图形，既是屮心对称图形，又是轴对称图形的是【】 A.等腰三角形 B.正五边形 C.平行四边形 D.矩形 【答案】Do 【考点】屮心对称图形，轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形与屮心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折盜麻可重合；屮心对称图形是图形 沿对称屮心旋转180度示与原图重合。因此， A、I等腰三角形不绘屮心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、???正五边形形不是屮心对称图形，是轴对称图形，故此选项错谋； C、平行四边形图形是屮心对称图?形，但不是轴对称图形，故此选项错误； D、I矩形既是屮心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确。 故选Do 5.（2012 T东汕头4分）已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是【】 A. 5 B. 6 C. 11 D. 16 【答案】C。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为 X, 则根据三角形两边Z和大于第三边，两边Z走小于第三边的构成条件，得10 -4 6?（2012广东深圳3分）下列图形屮，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】 【答案】Ao 【考点】屮心对称和轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形与屮心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠麻可重合；屮心对称图形是图形 沿对称屮心旋转180度示与原图重合。因此， A.既是轴对称图形，又是屮心对称图形，选项正确； B.既不是轴对称图形，也不是〔I|心对称图形，选项错谋； C.是轴对称图形，不是屮心对称图形，选项错误； D.不是轴对称图形，是屮心对称图形，选项错误。 故选Ao 7. （2012 T东深圳3分）如图所示，一个60。角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则么Zl + Z2 的度数为【】 A. 120° B. 180°. C. 240° 【答案】Co 【考点】三角形内角和定理，平角定义。 【分析】如图，根据三角形内角和定理，得Z3+Z4+60°=180°, 又根据平角定义，Zl+Z3=180°, Z2+Z4=180°, A 180°-Z1+180° - Z2+60°= 180% D. 300° 60° ???Z1 + Z2=24O°。故选C。 & （2012广东深圳3分）下列命题 ①方程x2=x的解是X=1 ②4的平方根是2 ③有两边和一角相等的两个三角形全等 ④连接任意四边形务边屮点的四边形是平行四边形 其屮真命题有：【】 A. 4个 B.3个 C.2个D1个 【答案】Do 【考点】命题与定理，解一元二次方稈（因式分解法），平方根，全等三角形的判泄，三角形屮位线定理, 平行四边形的判定。 【分析】①方Bx2=x的解是x】=0, x2=l,故命题错误; ②4的平方根是±2,故命题错误； ③只有两边和夹角相等（SAS）的两个三角形全等，SSA不…定全等，故命题错误； ④连接任意四边形备边中点的四边形是平行四边形，命题正确。 故正确的个数有1个。故选D。 9. （20□广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是 A . ? , @ , ? D ? 【答案】A. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折盍后可重合，因此 A%是轴对称图形，符合题意；B 、不是轴对称图形，不符合题意； C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，不符合题意。 故选A. 10. （2012广东退江4分）一个多边形的內角和是720%这个多辺形的边数是【 】 【答案】C. 【考点】多辺形內角和定理. 【分析】???多边形的內角和公式为（n-2） -180°, /. （n-2） xl80°=720°,解得 ???这个多辺形的边数是6?故选C ? 广东肇庆3分）如图，己知D 、E 在ZXABC 的边上，DE 〃BC, ZB = 60°, ZAED = 40°, 则ZA 的度数为【 】 【答案】Co 【考点】平行线的性质，三角形内角和定理。 【分析】根据平行线同位角相等的性质求出ZC 的度数，再根据三角形内角和定理求岀ZA 的度数即可: ???DE 〃BC, ZAED=40°, A ZC=ZAED=40°o V ZB=60°, /. Z A= 180°- ZC- ZB= 180°-40°-60°=80° o 故选 C° 12. （2012广东肇庆3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是【 】 A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. (2012 A ? 100° B. 90° 【答案】A, 【考点】多边形的内角和外角性质。 【分析】设此多边形是n边形， ???多边形的外角和为360°,内角和为（n-2） 180°, ???（n-2） 180=360,解得： ???这个多边形是四边形。故选A。 13?（2012广东珠海3分）下列图形屮不是屮心对称图形的是【】 A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形 【答案】D. 【考点】中心对称和轴对称图形. 【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转丄80度后与原图重合。符合条件 的有矩形、菱形和平行四边形，正五边形不是中心对称图形.故选D. 【2013年中考真题】 二、填空题 1.（2013年广东佛山3分）命题“对顶角相等，啲条件是一▲? 【答案】两个角是对顶角. 【考点】命题. 【分析】判断事物的吾句叫命题，根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等'?的?条件?是若两个角是对顶角，结论是这两个角相等. 2.（2013年广东广州3分）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB= ▲. 【答案】7? 【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得?B= ?A=7. 3.（2013年广东梅州3分）若Za=42°,则Zct的余角的度数是一▲. 【答案】48。。 【考点】余角。 【分析】根据互为余角的两个角的和等于90。列式计算即可得解： ??? Za=42°,???Za的余角=90。?42。=4旷。 4.（2013年广东省4分）一个六边形的内角和是一▲. 【答案1 720°. 【考点】多辺形内角和定理. 【分析ITU辺形的內角和为（n-2） xlSO5, /.六辺形的內角和为（6-2） xlS0==720=. [2012年中考真题】 L （2012广东佛山3分）一个多边形的内角和为540°,则这个多边形的边数是一▲【答案】5. 【考点】多边形內角和定理. 【分析】设这个多边形的辺数是n，贝IJ （n-2） -180^=540%解得n=5? 2.（2012广东广州3分）已知ZABC=30。，BD是ZABC的平分线，则ZABD=_A_度.【答案】15。 【考点】角平分线的定义。 【分析】根据角平分线的定义解答：???ZABO30。，BD是ZABC的平分线…：ZABD」ZABC=^灯0。=15。。 2 2 3?（2012广东梅州3分）正六边形的内角和为▲度. 【答案】720。 【考点】多边形内角和公式。 【分析】由多边形的内角和公式:180°（n-2）,即可求得正六边形的内角和:180°x （6-2） =180°x4=720°o 4. （2012 广东梅州3 分）如图，ZAOE=ZBOE=15°, EF〃OB, EC丄OB,若EC=1,则EF= ▲. 【答案】2。 【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的肓角三角形的性质。 【分析】作EG丄OA于F, VEF/7OB,?\ ZOEF=ZCOE=15°, J ZAOE=15°,???ZEFG=15°-F15O=30°O VEG=CE=1,?\EF=2xl=2o 【2013年中考真题】 三、解答题 1.（2013年广东佛山8分）在一次考试屮，从全体参加考试的1000名学生屮随机抽取了120名学生的答题卷进行统计分析?其屮，某个单项选择题答题情况如下表（没有多选和不选）： （1）根据统计表iiiii出扇形统计图； 要求：画图前先求角；曲图可借助任何工具，其屮一个角的作图用尺规作图（保留痕迹，不写作法和证明）；统计图中标注角度. （2）如果这个选择题满分是3分，正确的选项是C,则估计全体学生该题的平均得分是多少？ 【答案】解：（1）根据图表数据得出：选A的所占圆心角为: 15 x360e-45°? 120 选3的所占圆心角为：2x360^15 和 120 选C的所占圆心角为：90 —X360S=270°; 120 选D的所占圆心角为：—x360°=30\ 120 作图如下: 锦元数学工作室绘制（2）???选择题满分是3分，正确的选项是C, on x 3 ???全体学生该题的平均得分为：=2.25 （分）。 120 答：全体学生该题的平均得分是2.25分。 【考点】扇形统计图，尺规作图（复杂作图），平均数. 【分析】（1）根据用每个选项的人数除以总数即可得出扇形图中所占比例，进而求出各角的度数，应用尺规作出各 角，再作出扇形统计图. （2）根据统计表求出总得分，进而得出平均分即可. 2.（2013年广东广州10分）已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把AABD沿对角线BD翻折180。得到AA " BD.（1）利用尺规作出△ A"BD.（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）设DA，与BC 交于点E,求证：△BA"E9Z\DCE.
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