1.
如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道．水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场．一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b滑入水平轨道某位置时，a已滑上了右端半圆轨道最高点（b始终运动且a、b未相撞），并且a在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程中通过a的电荷量为q，a、b棒的电阻分别为R1、R2，其余部分电阻不计．在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：
（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大？
（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？
（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大？
答案及解析：
1.
解：（1）b棒从左侧轨道下滑的过程，由机械能守恒定律：
∴
b刚滑到水平轨道时加速度最大，
由E=BLv b1，，F安=BIL=Ma得
∴
（2）对b棒，根据动量定理得
﹣BILt=Mv b2﹣Mv b1
又It=q，即﹣BLq=Mv b2﹣Mv b1
∴
对a棒，在根据牛顿第三定律得：N=N′=mg
在轨道最高点：
∴
根据能量守恒定律得：
得
（3）∵
∴
当两棒都在水平轨道上运动时，两棒组成的系统合外力为零，动量守恒，则有
Mv b1=Mv b3+mv a2
∴
答：
（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是．
（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是BLq﹣3mgr2﹣．
（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是﹣．
【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；安培力．
【分析】（1）b棒从左侧轨道下滑的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，求出b进入刚进入水平轨道时的速度大小．进入水平轨道后b棒切割磁感线产生感应电流，a棒由于受到安培力作用向右运动，回路中产生的感应电动势将要减小，感应电流也减小，则知b 棒的加速度减小，则b棒刚进入磁场时加速度最大，由牛顿第二定律和安培力公式结合求解．
（2）此过程中通过a的电荷量为q，根据动量定理求出b棒后来的速度．对a棒：由牛顿运动定律求出通过最高点时的速度，由机械能守恒定律求出离开磁场时的速度．由能量守恒定律即可求解系统产生的焦耳热．
（3）当两棒都在水平轨道上运动时，两棒组成的系统合外力为零，动量守恒，可求出a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度．
2.如下图所示,MN、PQ为足够长的光滑平行导轨,间距L=0.5 m.导轨平面与水平面间的夹角θ=30°.NQ⊥MN,NQ间连接有一个R=3 Ω的电阻.有一匀强磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为B0=1 T.将一根质量为m=0.02 kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上,且与导轨接触良好,金属棒的电阻r=2 Ω,其余部分电阻不计.现由静止释放金属棒,金属棒沿导轨向下运动
过程中始终与NQ平行.当金属棒滑行至cd处时速度大小开始保持不变,cd距离NQ为s=0.5 m,g=10 m/s2.
(1) 求金属棒达到稳定时的速度是多大.
(2) 金属棒从静止开始到稳定速度的过程中,电阻R上产生的热量是多少?
(3) 若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0,从此时刻起,让磁感应强度逐渐减小,可使金
属棒中不产生感应电流,则t=1 s时磁感应强度应为多大?
答案及解析：
2.(1) 2 m/s(2) 0.006 J. (3) 0.1 T
解：(1) 在达到稳定速度前,金属棒的加速度逐渐减小,速度逐渐增大,达到稳定速度时,有mg sin θ=F A,
F A=BIL,
E=BLv,
由以上四式代入数据解得v=2m/s.
(2)根据能量关系有：
电阻R上产生的热量Q R=Q,
解得Q R=0.006J.
(3)当回路中的总磁通量不变时,金属棒中不产生感应电流.此时金属棒将沿导轨做匀加速运动
mg sin θ=ma,
x=vt+at2,
设t时刻磁感应强度为B,总磁通量不变有：BLs=B'L(s+x),
当t=1 s时,代入数据解得,此时磁感应强度B'=0.1 T.
【点睛】本题考查滑轨问题，关键是结合切割公式、欧姆定律公式、安培力公式列式分析，同时要结合牛顿第二定律、平衡条件进行考虑，第三问要注意最后导体棒做匀加速直线运动．
3.
如图1所示，表面绝缘且光滑的斜面MM′N′N固定在水平地面上，斜面所在空间有一边界与斜面底边NN′平行、宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直斜面．一个质量m=0.15kg、总电阻R=0.25Ω的正方形单匝金属框，放在斜面的顶端（金属框上边与MM′重合）．现从t=0时开始释放金属框，金属框将沿斜面下滑．图2给出了金属框在下滑过程中速度v的二次方与对应的位移x的关系图象．取重力加速度g=l0m/s2．求：
（1）斜面的倾角θ；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）金属框在穿过磁场的过程中电阻上生热的功率．
答案及解析：
3.
解：（1）s=0到s=0.4 m由公式v2=2as，该段图线斜率：，
所以有：a==5m/s2，
根据牛顿第二定律mgsinθ=ma，
得：sinθ=，
所以：θ=30°
（2）线框通过磁场时，v2=4，v=2 m/s，此时安培力等于重力沿斜面向下的分量：
F安=mg sinθ，即：，
所以解得： =T （3）由图象可知线框匀速穿过磁场，该过程中线框减少的重力势能转化为焦耳热，所以金属框在穿过磁场的过程中电阻上生热的功率等于重力做功的功率，即：
P R=P G=mgsinθ?v=0.15×10×0.5×2W=1.5W
答：（1）斜面的倾角θ是30°；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小T；
（3）金属框在穿过磁场的过程中电阻上生热的功率是1.5W．
【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；电磁感应中的能量转化．
【分析】（1）熟练掌握应用运动学公式，写出两坐标物理量的函数关系式，即可求解． （2）由图可知金属框开始沿斜面匀加速运动，然后匀速穿过磁场，完全穿出后，又匀加速运动，匀速运动的位移为磁场宽度和金属框宽度之和．
（3）根据图象可知线框的运动分为三部分，开始初速度为零的匀加速，接着匀速，最后又是匀加速，根据图象提供的速度、位移关系结合运动学规律，可正确解答．
4.
如图所示，水平地面上方有一高度为H 、界面分别为PQ 、MN 的匀强磁场，磁感应强度为B ．矩形导线框abcd 在磁场上方某一高度处，导线框ab 边长为l 1，bd 边长为l 2，导线框的质量为m ，电阻为R ．磁场方向垂直于线框平面，磁场高度H ＞l 2．线框从某高处由静止落下，当线框的cd 边刚进入磁场时，线框的加速度方向向下、大小为53g ；当线框的cd 边刚离开磁场时，线框的加速度方向向上、大小为5
g ．运动过程中，线框平面位于竖直平面内，上、下两边始终平行PQ ．空气阻力不计，重力加速度为g ．求：
（1）线框开始下落时cd 边距离磁场上边界PQ 的高度h ；
（2）cd 边刚离开磁场时，电势差U cd
（3）从线框的cd 边进入磁场至线框的ab 边刚进入磁场过程中，线框产生的焦耳热Q ； （4）从线框的cd 边进入磁场至线框的ab 边刚进入磁场的过程中，通过线框导线某一横截面的电荷量q ．
答案及解析：
4.
解：（1）当线框的cd 边刚进入磁场时，线框的加速度方向向下、大小为， 根据牛顿第二定律得：，
代入数据解得：v=，
则线框开始下落时cd边距离磁场上边界PQ的高度为：h==．
（2）当线框的cd边刚离开磁场时，线框的加速度方向向上、大小为．
根据牛顿第二定律得：，
解得：v′=，
切割产生的感应电动势为：E=Bl1v′=，
则cd两端的电势差为：U cd==．
（3）对线框的cd边进入磁场至cd边刚出磁场的过程运用能量守恒得：
，
解得：Q=mgH﹣．
（4）根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为：
，
q==．
答：（1）线框开始下落时cd边距离磁场上边界PQ的高度h为．；
（2）cd边刚离开磁场时，电势差U cd为．
（3）从线框的cd边进入磁场至线框的ab边刚进入磁场过程中，线框产生的焦耳热Q为mgH﹣；
（4）从线框的cd边进入磁场至线框的ab边刚进入磁场的过程中，通过线框导线某一横截面的电荷量q为．
【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；电磁感应中的能量转化．
【分析】（1）当线框的cd边刚进入磁场时，线框的加速度方向向下、大小为，根据安培力公式，结合牛顿第二定律求出此时的速度，结合速度位移公式求出线框开始下落时cd 边距离磁场上边界PQ的高度；
（2）当线框的cd边刚离开磁场时，线框的加速度方向向上、大小为，根据牛顿第二定律求出此时的速度，从而得出感应电动势大小，结合欧姆定律求出cd的电势差．
（3）对线框的cd边进入磁场至cd边刚出磁场的过程运用能量守恒求出线框产生的焦耳热Q．
（4）根据法拉第电磁感应定律，结合平均电流的大小求出电荷量．
5.
如图所示，水平虚线L1、L2之间是匀强磁场，磁场方向水平向里，磁场高度为h．竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5：1，高为2h．现使线框AB边在磁场边界L1的上方h高处由静止自由下落，当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC 边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动．求：
（1）在DC边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度与AB边刚进入磁场时的速度比是多少？
（2）DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为多少？
（3）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比？
答案及解析：
5.
解：（1）设AB边刚进入磁场时速度为v0，线框质量为m、电阻为R，AB=l，则CD=5l 则
AB刚进入磁场时有，
解得：
设DC边刚进入磁场前
匀速运动时速度为v1，线框切割磁感应线的有效长度为2l，
线框匀速运动时有；
解得：
所以：v1：v0=1：4
（2）CD刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为3l，
E'感=B?3l?v1
有牛顿第二定律：F合=ma
解得：
（3）从线框开始下落到CD边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得：
机械能损失
重力做功 W G=mg?3h
所以，线框的机械能损失和重力做功之比△E：W G=47：48
答：（1）在DC边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度与AB边刚进入磁场时的速度比是1：4
（2）DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为
（3）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比为47：48
【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；功的计算；安培力．
【分析】（1）（2）由机械能守恒求出AB刚进入磁场时的速度．根据AB刚进入磁场时加速度恰好为0，由平衡条件列出重力与安培力的关系方程．在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，此时线框有效切割长度为2l，由平衡条件得到重力与安培力的关系式，将两个重力与安培力的关系式进行对比，求出DC边刚进入磁场前线框匀速运动时的速度．DC边刚进入磁场瞬间，线框有效切割的长度为3l，推导出安培力表达式，由牛顿第二定律求出加速度．
（3）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，根据能量守恒求出机械能的损失，再求解线框的机械能损失和重力做功之比．
6.
如图所示，金属棒ab从高为h处自静止起沿光滑的弧形导轨下滑，进入光滑导轨的水平部分．导轨的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，在水平部分导轨上静止有另一根金属棒cd，两根导体棒的质量均为m．整个水平导轨足够长并处于广阔的匀强磁场中，忽略一切阻力，重力加速度g．求：
（1）金属棒ab进入磁场前的瞬间，ab棒的速率v0；
（2）假设金属棒ab始终没跟金属棒cd相碰，两棒的最终速度大小；
（3）在上述整个过程中两根金属棒和导轨所组成的回路中产生的焦耳热Q；
（4）若已知导轨宽度为L，匀强磁场的磁感应强度为B，上述整个过程中通过导体棒cd 横截面的电量q．
答案及解析：
6.
解：（1）对ab由机械能守恒得：
mgh=
解得：v0=
（2）两杆最终速度相等，由动量守恒得：
mv0=2mv
解得：v=
（3）由能量守恒得：Q=mgh﹣
（4）对cd杆由动量定理：BIL×t=mv﹣0
q=I?t=
答：（1）金属棒ab进入磁场前的瞬间，ab棒的速率；
（2）假设金属棒ab始终没跟金属棒cd相碰，两棒的最终速度大小为；
（3）在上述整个过程中两根金属棒和导轨所组成的回路中产生的焦耳热Q为；（4）若已知导轨宽度为L，匀强磁场的磁感应强度为B，上述整个过程中通过导体棒cd
横截面的电量q为．
【考点】导体切割磁感线时的感应电动势．
【分析】（1）有机械能守恒即可求出速度
（2）有动量守恒求出最终速度
（3）由能量守恒即可求出产生的焦耳热
（4）由动量定理及电量q=It即可求出过导体棒cd横截面的电量