§8.3高斯投影坐标正反算公式
任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ? x,y
高斯投影必须满足以下三个条件：
①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即
(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330
'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，
如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33）
式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。 由第三个条件知：
q
y
l x l y q x ??-=????=??, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式
----=++++++=+++553315
63424
42204
52
3164253l dq
dm l dq dm l dq dm l m l m l m l dq
dm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即
dq dm m dq
dm m dq
dm m 231
20
13121?
=?
-==
(8-35)
(8-35)是一种递推公式，只要确定了
0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l
时有：
0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线)
B V M
r M B N dq dB M dB
dX
cos cos 2
==== 得：
B V c
B N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===?===(8-37,38)
B B N
dq dB dB dm dq dm m cos sin 2
2121112=?-=?-= (8-39)
依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正
算公式
6
4256
4
42234
22)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l
t t B B N l
t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''?''+
=ρηηρρ
5
22242553
2233
)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l
t B N l B N y ''-++-'
'+''+-''+''?''=ηηρηρρ (8-42) 8.3.2高斯投影坐标反算公式
x,y ?B,l
投影方程：
),()
,(21y x l y x B ??== (8-43)
满足以下三个条件：
①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由x 求底点纬度(垂足纬度)f B ,对应的有底点处的等量纬度f q ，求x,y 与l q q
f ,-的关系式，仿照(8-10)式有，
),()
,(y x l l y x q q ==
由于y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将l q ,展开为y 的幂级数；又由于是对称投影，q 必是y 的偶函数，l 必是y 的奇函数。
++=+++=3
3144220y n y n l y n y n n q (8-45)
,,,210n n n 是待定系数，它们都是x 的函数.
由第三条件知：
y l x q ??=
??，
y
q
x l ??-=??， (8-21) (8-45)式分别对x 和y 求偏导数并代入上式
?
?
? ??+++-=++++++=+++ 553315
6342452314
422064253y dx dn y dx dn y dx dn y n y n y n y n y n n y dx
dn y dx dn dx dn 上式相等必要充分条件，是同次幂y 前的系数相等，
,41,31,21,3
4231201dx
dn n dx dn n dx dn n dx dn n -==-==
第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度f B ，也就是x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为f q 。也就是在底点展开为y 的幂级数。 由(8-45)1式
f q n =0
依次求得其它各系数
f
f f f f f f r B N M B N M dX dB dB dq dX dq dX dq dX dn n 1cos 11cos 01==
??? ??=??? ??=??? ??===
(8-51)
f
f f f f B N t dX dB dB dn dX dn n cos 221212112
-=???
??-=??? ??-= (8-51)1
………… 将6420,,,n n n n 代入(8-45)1式得
()
()
6
222426
4
42242
2484612018061cos 720465cos 24cos 2y
t t t
B N t y t
B N t y B N t q q f
f f f
f f
f f
f
f f f
f
f
f
f
f f ηηηη++++-
-+++
-=
-
(8-55)1
()
f f
f
f f f f
f
f
f
B N y t t B N y t q q 2
66
42222
4422
cos 24)465(cos 4ηη-++-
=
-
()
f f
f f
B N y t q q 366
33
cos 8-=
- (8-55)
将531,,n n n 代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式) ②求f B B -与y x ,的关系。
由(8-7)式dB B
N M
dq cos =知： )(),(f f q f B q f B == (8-47)
)()(dq q f q q q f B f f f +=-+= (8-48)
按台劳级数在f q 展开
+???? ??+???? ??+???? ??+=3
332226121)(dq dq B d dq dq B d dq dq dB q f B f f f
f (8-49) ()()() +-???? ??+-???? ??+-???? ??=-3332226121f f
f f f f f q q dq B d q q dq B d q q dq dB B B
(8-50)
由(8-7)式可求出各阶导数：
f f f
B V dq dB cos 2
=???? ?? (8-53) )341(cos sin 4222f f f f f B B dq B d ηη++-=???? ?? (8-54)1 )2771351(cos 2442222333f f f f f f f f f
t t t B dq B d ηηηη-+-+--=???? ??(8-54)2 …………………
将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y 幂集合得高斯投
影坐标反算公式(8-56)1,
()
()
()(
)
2
22425
52
23
36
4254
222232
8624285cos 12021cos 6cos 459061720935242f f f f f f
f f f f
f f f f
f f
f f
f
f f f f
f f f
f f f t t t B N y t B N y B N y l y t t y N
M t y t t
N
M t y N M t B B ηηηηη+++++++-=++-
-+++
-=
(8-56)
适用于电算的高斯投影计算公式
1．高斯投影正算公式：
??
?
???+-+++-++=64244222)5861(7201)495(24121m t t m t m Nt X x ηη
??
?
???-++-++-+=522242322)5814185(1201)1(61m t t t m t m N y ηηη
[]
52342
)2(12)231(60180m t m m t
-++++=
ηηπ
γ
式中，x ，y 分别为高斯平面纵坐标与横坐标， γ为子午线收敛角，单位为度。
X 为子午线弧长，对于克氏椭球：
B B B B B B X cos )sin 0039.0sin 6976.0sin 9238.133sin 7799.32005(8611.111134753+++-=
对于“IAG 75”椭球：
B B B B B B X cos )sin 0039.0sin 6976.0sin 9602.133sin 8575.32009(0047.111134753+++-=
其余符号为：
02
222,180
cos ,1,cos ',L L l l B
m c
N B e tgB t -==+=== π
ηη
2
2
2'b
b a e -=，称作第二偏心率；b a
c 2=，称作极曲率半径。0L 为中央子午线经度。
对于克氏椭球：
90178271.6399698,1470067385254.0'2==c e
对于“IAG 75”椭球：
65198801.6399596,1950067395018.0'2==c e
算出的横坐标y 应加上500公里，再在前冠以带号，才是常见的横坐标形式。
2．高斯投影反算公式：
[]
6
424222222)459061(25.0)935(5.7901n t t n t t n t B B f f f f f f f f
f +++-++-+-
=ηηπ
η
[]
5
42322)24285(5.1)21(30180cos 1n
t t n t n B l f f f f f
+++++-=
ηπ []
5
42322)352(12)1(60180n
t t n t n t f f f f f
+++-+-=
ηπ
γ 式中， f B 为底点纬度，以度为单位。c
y n f
21η+=，其余符号同正算公式，
只是以底点纬度代替大地纬度。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）