和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1
=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1
=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1
=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
和角差角：
cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1
=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限 三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+= 三角函数恒等变形公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asi nα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用 （1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、（二倍角公式）（2007文）下列各式中，值为 3 2 的是（ ） A ．2sin15cos15 B ．2 2 cos 15sin 15- C ．2 2sin 151- D ．22 sin 15cos 15+ 2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A ．－1 2 B ．12 C ．－ 32 D ． 32 4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）. A ． s in45°cos15°+cos45°sin15° B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C ． cos75°cos30°+sin75°sin30° D ． 5、（拆角+两角和差公式）（一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2（） A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．3 6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ） A ． 14 B ．18 C ．116 D ．1 32 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__. 7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D ．1 8．（诱导公式）【2015高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B A ．－ 12 B. 12 C 33 9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考，理12】=+ 75sin 15sin .. 10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________． §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式： sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式： 三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。 知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换 教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点 三角函数公式的运用 教学内容 1、象限角 （1）各象限角的范围 （2）三角函数值在各象限的符号 αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换 3、同角三角函数的基本关系 ()()122=+ ()() = αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ； （2、若=?+=+α ααααcos sin 2cos 1 0cos sin 32 ，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ； （一）诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题赏析 例题1、（2013广东，4）已知==??? ??+ααπcos 51 25sin ，那么（）； A ：52- B ：51- C ：51 D ：5 2 例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-?-+--?+) 2cos(cos cos ) 2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ 达标训练 （1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5 3 2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5 4.-D 正弦 余弦 正切 α- απ-2 απ+2 απ-2 2 απ +2 2 απ-23 απ+23 （2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23 sin sin 2-1（） ． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D （二）三角函数的求值与化简 1、两角和差公式 =+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。 公式拓展 =+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。 例题精讲 例题1、（2012重庆，5）=? ? ?-?17cos 30cos 17sin 47sin （） A. 23- B.21- C.21 D.2 3 例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。 达标训练 （1、（2014江苏，15）已知?? ? ??∈ππα，2，55sin =α. 求（1））（ απ +4 sin 的值； 高考数学：三角恒等变形公式大全两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=[1-tan^2(α)]/[1+tan^2(α)] tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=tanα×tan(60-α)tan(60+α) 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 半角公式及变形： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 sin(a/2)=√[(1-cosα)/2] a/2在一、二象限 =-√[(1-cosα)/2] a/2在三、四象限 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 cos(a/2)=√[(1+cosα)/2] a/2在一、四象限 =-√[(1+cosα)/2] a/2在二、三象限 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=√[(1-cos α)/(1+cosα)] a/2在一、三象限 =-√[(1-cosα)/(1+cosα)] a/2在二、四象限 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] c osα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 3.2三角函数化简及恒等变换 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+ =w wx x f π 在?? ? ??22- ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A. 32 B.35 C.2 D.3 8 【答案】A 【解析】 函数)0)(6 sin()(>+ =w wx x f π的递增区间)(22 622 -Z k k x k ∈+≤ + ≤+ππ πωππ ，化简得： ).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2 32-32-<ω此时k=-1,所以3 2= ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。 2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】 已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2 A B π π-，则?的值为 （ ） A. 56 π B. 6 π C. 56π- D. 6 π - 【答案】C 【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π π-6 5-π?= 3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】 WOIRD格式 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 专业资料整理 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 【最新整理，下载后即可编辑】 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(Tα－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(Tα＋β) 2．二倍角公式 sin 2α＝α αcos sin 2； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝2tan α 1－tan2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式 的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β －1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α ＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练 1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α tan β的值为_______． 2． 函数 f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为 ______________________． 3． (2012·江苏)设α为锐角，若 cos ??? ? ?+6πα＝4 5，则三角恒等变换公式大全
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