虚拟六角结构上的图像轮廓分析
摘要
基于六角网格的数字图像处理方法有着传统的方形网格不可比拟的优点，而且，很多研究已经证明，将网格点排列成六角网格的形式是一种最佳排列。本文旨在证明基于六角网格的数字图像边缘提取的可行性及其有效性。
不过，由于没有成熟的硬件来支持基于六角网格的图像的获取和显示，因此，在六角图像的处理之前，图像的转化和重建是必要的。模拟六角网格方案的研究为更为深入的研究奠定了基础。
本文采用一种有效的在传统方形网格上模拟六角网格的方法为Pseudo六角像素模拟方法，并使用此虚拟六角像素下的SA算法，在虚拟六角像素定址的基础上实现虚拟六角网格，然后采用改进的基于六角结构的思想对相同的灰度图像进行灰度重建，最后用边缘检测算子提取出边缘。
本文阐述了六角结构的优越性所在，先在理论上就证明了它在显示上的优越性，而在上述工作完成实验结果出现后，经过对比可以知道，基于六角结构的边缘检测比原来的提取效果要好。轮廓也比较清晰。这也是用传统方形结构所达不到的效果。
这次的研究结果证明了六角结构的优越性，这也告诉人们六角结构的研究价值相对于传统方形来说是很高的。另外，制造一个六角网格显示器并无技术上的困难，因此，它的应用将会是很有前景的。
关键词：虚拟六角结构，灰度值，边缘提取
I
Virtual hexagonal structural outline of the image
analysis
ABSTRACT
The way of image processing based on the hexangular grid, has the advantage which the traditional square grid can't compare to. And many studies have shown that the best disposition of a discrete set of points on the plane can be reached if the points are on a hexagonal grid. This paper wants to prove that digital image edge recognition based on the hexangular grid could get the feasibility and its validity.
However, as result of not mature hardware, the fetching and show of the image based on hexagonal grid, so it is needed to transform and rebuild the original image before the fetching and show of the image.Researching on the schemes of simulating hexagonal grid settle the foundation for further researching.
This report adopts an effective method of simulating hexagonal grid called Pseudo hexagonal pixel simulating method, then using this simulating hexagonal pixel’s SA arithmetic to get the orie ntation of the simulating hexagonal pixel can carry out simulating hexagonal grid, afterwards, rebuilding grey image based on hexagonal grid, finally, using edge recognition arithmetic operators to recognize edge.
This report expounds the advantage of hexagonal grid, proving its advantage in show in theory, after finishing the work above and coming out of the experiment’s result, people will find that edge detecting based on hexagonal grid takes advantage of that of the traditional square grid, in addition, its edge is better which can not be got by the traditional square grid.
This research proves that the advantage of the hexagonal grid, which tells people that the worthiness of the research on hexagonal is higher than that of the traditional square grid, besides, it is not difficult to produce a hexagonal grid monitor, so its application will be further.
Key Word: Virtual hexagonal structural, Grey value, Edge detecting
II
目录
摘要.............................................................. I ABSTRACT........................................................... I I 第一章绪论. (1)
第二章相关工作 (3)
2.1 六角网格的特点 (3)
2.2 六角网格的表示 (5)
2.2.1 Pseudo六角像素 (6)
2.2.2 仿六角像素结构 (6)
2.3 边缘检测 (7)
2.4 边缘检测算子 (8)
2.4.1 梯度算子 (8)
2.4.2 拉普拉斯高斯算子 (10)
2.4.4 Canny边缘检测法 (10)
2.4.4 边界跟踪方法 (11)
2.5 灰度图像质量评价 (11)
2.5.1 灰度图的亮度 (11)
2.5.2 信噪比的计算 (12)
第三章实验方法 (13)
3.1 实验原理 (13)
3.1.1 利用SA算法对六角像素定址及实现 (13)
3.1.2 六角顺序的实现 (14)
3.1.3 用双线性插值方法重建图像 (15)
3.1.4 用3节点插值方法重建图像 (15)
3.1.5 相关比较参数的计算 (16)
3.1.6 六角结构上实现边缘检测 (17)
3.2 实验步骤 (17)
3.3 实验实现 (17)
第四章实验结果及分析 (19)
4.1 实验结果 (19)
4.1.1 实验一人脸图像的边缘检测 (19)
4.1.2 实验二简单图像的边缘检测 (21)
4.2 结果分析 (24)
结论 (25)
谢辞 (26)
参考文献 (27)
I
虚拟六角结构上的图像轮廓分析
第一章绪论
在看到一幅图像的时候，人们往往只对其中的某些部分感兴趣，这些部分通常占据一定的区域，并且在某些特性（如灰度、轮廓、颜色、纹理等）上和周围的图像有差别。这些特性差别可能非常明显，也可能很细微，以至于人眼觉察不出来或者不好觉察出来。随着计算机图像处理技术的发展，使得人们可以通过计算机来获取与处理图像信息。在图像识别过程中，图像分割是基础，是图像识别与图像理解的基本前提步骤[1]。
图像的边缘对人的视觉具有重要意义，一般而言，当人们看一个有边缘的物体时，首先第一感觉到的就是物体的边缘。灰度或结构等信息的突变称为边缘。边缘是一个区域的结束，也是另一个区域的开始，利用该特征可以分割图像。图像的边缘有方向和幅度两个属性。
于是许多的科学家们纷纷做出了相关的边缘检测的算子研究，效果也不断地得到了提高，然而，有些却是无法通过算子来克服的，比如说，曲线状的显示的不够平滑性等等，这是由于图像本身的显示是基于四角网格的，而曲线状的显示在四角网格上的显示本身就无法得到很好的平滑度，因此，科学家们又开始致力于对四角网格的改革，这个时候六角网格就应运而生了。
利用六角网格来显示图像的研究已超过六十年了，很早以前，很多的数学家就对如何分布平面上的取样问题进行了深入的研究，其中Rogers指出：平面上的最佳分布是按六角网格形式分布的[2]。1991年Wuthrlch和Stuki 证明了方型网格和六角网格在几何意义上是相似的，进而还提出了两个基于六角网格上绘制直线和圆的算法。在一个模拟的六角网格显示屏上显示表明，六角网格的确有很好的绘图特性。另外Bell和Holroyd等也讨论了六角网格上的数字几何问题[3]。
经过很长时间的研究和努力，使用六角网格的进行图像处理等等的优越性逐渐被人们所认识，因而许多数学家们提出了许多在四角网格上模拟六角网格的方案，利用此模拟模型可以很好的来实现关于数字图像的各种处理，其结果也令人满意，效果也如预期的一样地好。
然而，六角网格的认识还不够深，也没有相应的硬件支持，所以它的研究还正处于起步阶段，提出的一些结论也都是在模拟实现了六角网格的基础上得出的，并且进行了一些如几何失真校正算法、轮廓跟踪算法[4]、图像FFT算法[5]、边缘检测和锐化等等一系列具体问题的研究。因此，它的研究还需要许多的努力和试验。
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根据分析与研究可以知道六角网格的优越性，但是，目前没有可以与六角网格相匹配的硬件作支持，因此，本文尝试在当前的硬件条件，用虚拟的六角网格来实现轮廓分析。
为了实现轮廓分析，本文的主要工作从以下几个方面展开：
⑴分析六角网格的结构特点
⑵叙述虚拟六角结构的思想
⑶分析图像边缘检查方法
⑷设计虚拟六角网格结构上的图像边缘检测实验
⑸分析比较实验结果
图像轮廓分析为图像和视频的检索提供了有效的特征。目前，图像和视频检索的研究重点是基于内容的检索，所谓的内容是通过图像和视频的特征进行刻画的。图像的轮廓是图像的底层特征，本文在六角结构上进行图像轮廓特征的分析与研究，对促进基于内容的图像视频检索和六角结构下图像处理的研究和应用都有着积极的意义。
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第二章相关工作
2.1 六角网格的特点
简单地来说，四角网格是用正四边形来表示像素从而将图像显示出来，而六角网格，或者说基于六角网格的图像就是改传统四角网格的正四边形为正六边形来表示像素并显示图像。
对于计算机来说，在数字图像及其处理中，主要的技术问题是在物理屏幕上显示一系列不连续的点，图像级必须要量化成有限维的空间元素，我们通常称之为像素，这使得在电子设备上存储、显示和转化图像成为了可能。现在光栅扫描显示器的显示屏是由一些有规律分布的像素组成的。其中正四边形覆盖对应着方形网格系统，即直角坐标系统[6]。它是目前光栅扫描显示器所使用的网格系统。而六角网格，就是要改变常规的正四边形覆盖，试图用正六边形的像素来显示图像。如图2-1所示。
图2-1 四角网格与六角网格
对应地，传统的四角网格有直角坐标系统来对图像中的像素进行定位从而读取像素的灰度值等，而六角网格也有相应的网格系统来进行定位。
人们现在所使用的光栅扫描显示器的显示屏，是由一些规律分布的网格点（称为像素）组成的。我们知道，只有3种正多边形可以覆盖一个平面，即正三边形、正四边形和正六边形。其中正四边形覆盖对应着方形网格系统，即直角坐标系统。它是目前光栅扫描显示器所使用的网格系统。
在60年代初的时候，数学家们对如何分布平面上的取样点问题进行了一定程度的研究。其中Pogers就曾指出，平面上点的最佳分布是按六角网格的形式分布，它有许多很好的几何特性。这种分布对应着上述的正六边形覆盖（俗称蜂窝状），即每个像素对应着一个正六边形,并以正六边形的中心点作为网格点位置。下图示出了这种网格系统。
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图2-2 六角网格
另外，1991年，Wuthrick和Stucki的证明也说明了它的几何相似性。他们的模拟显示表明，六角网格的确具有很好的图形及图像显示特性。我们曾对六角网格上的绘图算法进行过研究，并提出过二个基于六角像素的绘图算法。本文将继续我们的工作，对六角网格上的图像处理进行研究。
在数字图像中，图像的显示和处理都是以不连续的点来进行的，而在平面的显示上，只存在三种可能的无鏠镶嵌方案，即三角网格，常用的四角网格，和这里所运用的六角网格，任何一种其他类型的空间镶嵌都会造成相邻像素的不等距，或者产生缝隙和叠加等等[7]。
像素之间的连接性是一个基本的概念，能够简化对连续的数字图像的概念的定义，比如区域和边界。为了确定两个像素是否具有连接性，就要确定它们是否为相邻像素，是否满足一个指定的标准。
在一个四角网格上，有两种方法来确定两个像素之间是否是相邻像素：第一种是看它们是否有相邻的边，或者看它们至少有一个共同的角相连，所以，在四角像素中，就有四领域和八领域两种定义。相应地，如果物体有连接性是四个方向的，那背景的连接性则是八个方向的，反之，如果物体的连接性是八个方向的，背景的连接性则是四个方向的。
简单来说就是四角网格的像素之间有两种相邻的标准，而六角网格只有一种相邻标准，因而它有更好的一致连续性。
根据相邻关系的介绍，像素之间的距离可以很容易的得到，在四角像素中，有两种不同的距离，倾斜方向的像素距离是垂直方向距离的2倍，相邻关系的定义的不同导致了这个距离的不同。而在六角像素中，中心像素和周围的六个像素的距离都是相同的。
基于六角网格的图像处理的优势还在于，在显示曲线状物的时候能够具有良好的角分辨率，我们已经注意到，中心像素的相邻的像素的角距离由90度变成60度，使一个像素的周围具有更多的像素来表达图像信息，这样就提供了较好的角分辨率。下面我们举个例子，分别用四角网格和六角网格来表示同一个曲线
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5 状图像，图的边缘是个圆。
我们可以知道，显然，在六角网格表示的图像比起四角网格，边缘更加的平滑，这其中有很多的原因，第一个原因就是六角网格的一致连接性导致了曲线的平滑性。
除了一致连接性的优点外，六角网格还有较好的对称性，便基于六角网格的图像处理算法更加简单，六角网格具有三条不同方向的对称轴，而四角只有两个方向的对称轴，这种对称特征使图像处理更加的精确，举个例子吧，当基于六角网格的图像在旋转时，比起基于四角网格来能够保留更多的图像信息。
总的来说，与方形网格相比，六角网格具有以下优点[2]：
⑴所显示的直线（或曲线）看起来更加连贯。在方形网格上绘制直线（或曲线）时，屏幕上显示的线条好像是由一段段断开的水平或垂直小线段所组成，中间有很明显的断点，当直线或曲线中有一对点相邻的像素时，就会出现一个“断点”，而在六角网格上，每个像素的6个相邻像素都是边相邻的，所以在直线或曲线中的每一对相邻像素之间都有一公共边，因而不会有“断开”的现象。
⑵像素点的分布更加合理和紧凑。正六边形与四边形相比更加相似于光点的形状．设小圆点的直径长度(或像素的长度)为1，则对于一个面积为m ×n 的显示屏，如果采用方形网格分布可以容纳m ×n 个点；若采用六角网格分布，m ×n
2空间，即86.6％ 的空间．因为这时点的行间距离是0．866而不是1。这样，整个显示屏就可容纳(约为1.155m ×n)个点，即点数增加了15.5％ ，这表明点的密度增加了，因而可更好地表示图形与图像的细节。
⑶由于每个像素与其所有相邻像素之间只有一种相邻关系，这就为许多图像处理算法提供了简便的实现途径，并且提高了算法的效率。传统的方形网格中的每个像素到其相邻像素的距离不等，因此其相邻像素有4邻接和8邻接两种定义。而对于六角网格，只有一种6邻接定义，所以，所有诸如区域在某一点是否连续或两点间的距离等几何性质的定义及双线性插值算法都是惟一确定的．
为了说明六角网格的优点，大家可以在屏幕上留意圆形图形，或者在纸上分别用四角网格和六角网格来画圆，从自画的对比图上，我们可以看到的是六角网格的图像的边缘比四角网格的边缘更加平滑，也更接近现实中的圆形轮廓。
2.2 六角网格的表示
从上面的分析来说六角网格有着非常多的优点是四角网格无法比拟的，但是六角网格并不能被广泛地应用于图像处理。主要的原因是，获取和显示基于六角网格的图像时，并没有相应地基于六角网格的硬件设备支持，这是更深入地进行
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六角网格方面的研究是个很大的障碍，所以怎么在现有的四角显示设备上显示六角样本数字图像成为一个重要的问题，幸运地是，现在我们已经有一些方法利用现有的四角网格来模拟六角网格，这些方法的使用，能够发挥基于六角网格的计算机视觉和计算机图像的优势[8]。
2.2.1 Pseudo 六角像素
我们可以将一个四角像素再细分成7×7的小像素，称为子像素，每个子像素的灰度值和这个四角像素的灰度值是一样的，细分完成以后，每个虚拟六角像素由一定排列的56个子像素组成，灰度值由这56个子像素取平均获得，或者用常用的插值方法来赋值。这样一来，每个虚拟六角像素比四角像素大12.5%，因此，表示一个图像时，虚拟六角像素比四角像素少用了12.5%的像素，但已被证明这并不影响图像的分辨率。
从等距性来分析的放，在这个虚拟的六角网格中，垂直方向和水平方向的距离为8,
8.06,近似为8，这样等距性在这里得到了很好的保持，而且几乎不会产生图像扭曲。
由于Pseudo 六角像素的表现出来的特性，几乎可以模拟成一个六角像素，因此可以得到很好的应用，因而，在对六角像素的研究也经常采用这种方法来实现四角网格上的六角网格的模拟。
图2-3 56个小像素模拟六角网格的图像
2.2.2 仿六角像素结构
既然现有的显示器环境无法真正实施六角网格，那么一定要有一种方法来对
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六角理论结果进行评估，于是在图像处理过程中，有一种仿六角像素结构产生了。这种方法是在计算机的内存空间里产生一种虚拟的六角结构，也就是说，虚拟的六角结构仅仅存在于图像处理过程，虚拟六角像素存在于计算机的内存空间中。那么，运算处理是在虚拟的空间中进行。最后将结果映射到四角结构中显示[7]。参见图2-4。这种方法同别的模拟方法相比，几乎不会产生图像扭曲，这是这种模拟方法最大的优点所在，它能保持六角结构中的各向同性的特性。但是利用这种方法有一个缺点，就是进行方形结构与六角结构变换时的运算量较大，内存占用相对较多，因为这种方法需要对六角像素进行定位。
图2-4 虚拟螺旋六角结构上的图像处理
2.3 边缘检测
图像的边缘对人的视觉具有重要意义，一般而言，当人们看一个有边缘的物体时，首先感觉到的便是边缘。灰度或结构等信息的突变处称为边缘。边缘是一个区域的结束，也是另一个区域的开始，利用该特征可以分割图像。需要指出的是，检测出的边缘并不等同于实际目标的真实边缘。由于图像数据是二维的，而实际物体是三维的，从三维到二维的投影必然会造成信息的丢失，再加上成像过程中的光照不均和噪声等因素的影响，使得有边缘的地方不一定能被检测出来，而检测出的边缘也不一定代表实际边缘。图像的边缘有方向和幅度两个属性，沿边缘方向像素变化平缓，垂直于边缘方向像素变化剧烈。边缘上的这种变化可以用微分算子检测出来，通常用一阶或二阶导数来检测边缘，不同的是一阶导数认为最大值，而二阶导数则以过零点对应边缘位置。
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基于一阶导数的边缘检测算子包括Roberts 算子、Sobel 算子、Prewitt 算子，在算法实现过程中，通过2×2(Roberts 算子)或者3×3模板作为核与图像中的每个像素点做卷积和运算，然后选取合适的阈值以提取边缘。拉普拉斯边缘检测算子是基于二阶导数的边缘检测算子，该算子对噪声敏感。一种改进方式是先对图像进行平滑处理，然后再应用二阶导数的边缘检测算子，其代表是LOG 算子。前边介绍的边缘检测算法是基于微分方法的，其依据是图像的边缘对应一阶导数的极大值点和二阶导数的过零点。Canny 算子是另外一类边缘检测算子，它不是通过微分算子检测边缘，而是在满足一定约束条件下推导出的边缘检测最优化算子[1]。
2.4 边缘检测算子
边缘检测的基本思想首先是利用边缘增强算子，突出图像中的局部边缘，然后定义像素的“边缘强度”通过设置阈值的方法提取边缘点集。由于噪声和模糊的存在，监测到的边界可能会变宽或在某点处发生间断。因此，边界检测包括两个基本内容：
⑴用边缘算子提取出反映灰度变化的边缘点集。
⑵在边缘点集合中剔除某些边界点或填补边界间断点，并将这些边缘连接成完整的线。
数字图像可用各种方法检测出边缘点，在某些情况下，仅仅获得边缘点是不够的。此外，由于噪声、光照不均等因素的影响，获得边缘点有可能是不连续的，必须通过边界跟踪将它们转换为有意义的边缘信息，以便于后续处理。边界跟踪可以直接在原图像上进行，也可以在做边界跟踪之前，先利用边缘检测的方法对图像进行预处理得到图像的梯度图，然后在图像的梯度图上进行边界跟踪。
常用的检测算子有梯度算子、Roberts 算子、Sobel 算子、Prewitt 算子、拉普拉斯高斯算子及其相对应的改进算子LOG 算子和canny 算子。
2.4.1 梯度算子
梯度算子是一阶导数算子。已知在点),(y x f 处，梯度)),((y x f grad 的幅度为：
)),((y x f grad = 1
2
22f f x y ??
??????+?? ? ??????????? （式2-1） 为简化计算，幅度值也可用以下边三式来近似[1]：
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9 M1＝｜f
x ??｜＋｜
f y ??｜ （式2-2）
M2＝22f f x y ??????+ ? ???????
（式2-3） M3=Max(f
x ??，f
y ??) （式2-4）
Sobel 算子使用图2-5所示的Sobel 近似导数查找边缘，Prewitt 算子使用图2-5所示的Prewitt 近似导数查找边缘[9]。
Sobel 算子
Prewitt 算子
图2-5 Sobel 算子与Prewitt 算子
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2.4.2 拉普拉斯高斯算子
拉普拉斯高斯算子是一种二阶导数算子，将在边缘处产生一个陡峭的零交叉。前面介绍的几种梯度法具有方向性，不能对各种走向的边缘都具有相同的增强效果。但是拉普拉斯高斯算子是向同性的，能对任何走向的界线和线条进行锐化，无方向性。这是拉普拉斯算子区别于其他算法的最大优点。
二维函数的拉普拉斯由二阶到时形成，如下式所示：
22222)
,()
,(),(y y x f x y x f y x f ??+??=?
拉普拉斯算子自身很少被直接用做边缘检测，因为二阶导数对噪声具有无法接受的敏感性，它的幅度会产生双边缘，而且它不能检查边缘的方向[9]。
2.4.4 Canny 边缘检测法
Canny 边缘检测是一种比较新的边缘检测算子，具有很好的边缘监测性能，在图像处理中得到了越来越广泛的应用。它依据图像边缘检测最优准则设计canny 边缘检测算法：
⑴首先用2D 高斯滤波模板进行卷积以消除噪声。
⑵利用导数算子找到图像灰度地沿着两个方向的偏导数(Gx,Gy)，并求出梯度的大小：
⑶利用⑵的结果计算出梯度的方向。
⑷一旦知道了边缘的方向，就可以把边缘的梯度方向大致分为四种：水平、竖直、45度方向、135度方向。通过梯度的方向，就可以找到这个像素梯度方向的邻接像素。
⑸遍历图像，若某个像素的灰度值与其梯度方向上前后两个像素的灰度值相比不是最大的，那么这个像素值置为0，即不是边缘。
⑹使用累计直方图计算两个阈值，大于高阈值的一定是边缘，小于低阈值的一定不是边缘，介于之间的，看这个像素的邻接像素中有没有超过高阈值的边缘像素，如果有的话那么它就是边缘了，否则它就不是边缘。
总之，在边缘检测中，边缘定位能力和噪声抑制能力是一对矛盾体，有的算法边缘定位能力比较强，有的抗噪声能力比较好。边缘检测算子参数的选择也直接影响到边缘定位能力和噪声抑制能力，每种算子都有各自的优点。Roberts 算子边缘定位精度高但却没有平滑处理。Sobel 算子和Prewitt 算子都加了平滑处理，然而却也不能完全排除出现虚假边缘。拉普拉斯算子对图像中的阶跃型边缘
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点定位准确，却对噪声非常敏感。LOG算子也有将尖锐边缘平滑了的不足。Canny 算子的实际效果也往往没有最优化思想的那么好。
2.4.4 边界跟踪方法
边界跟踪，是从图像中一个边缘点出发，然后根据某种判别准则搜索下一个边缘点，以此跟踪出目标边界。边界跟踪包括三个步骤[1]：
⑴确定边界的起始搜索点。起始点的选择很关键，对某些图像，选择不同的起始点会导致不同的结果。
⑵确定合适的边界判别准则和搜索准则。判别准则用于判断一个点是不是边缘点，搜索准则指导如何搜索下一个边缘点。
⑶确定搜索的终止条件。
边界跟踪算法中，适用二值图像的有按四连通方向搜索边界的方法，适用非二值图像的，可通过设置阈值将其变化为二值图像。
实际上，不同跟踪算法的最大差异主要体现在跟踪过程中，尤其是如何根据当前的情况判断下一下的跟踪方向，这是算法的核心。好的跟踪算法对边缘点的提取应能按照边界的走向及时自动调整搜索方向，以提高搜索效果。
另外，也有使用Hough（霍夫）变换将边缘像素连接起来得到边界曲线，它主要是受噪声和曲线间断的影响较小。在已知曲线形状的条件下，Hough变换实际上是利用分散的边缘点进行曲线逼近，它也可以看成是一种聚类分析技术，图像空间中的每一点可以对参数空间的参数集合进行投票表决，获得多数表决的参数即为所求的特征参数。
2.5 灰度图像质量评价
2.5.1 灰度图的亮度
在本文的研究中，由于研究水平有限，采用的数字图像基本上是灰度图，因而有必要介绍一下有关灰度的概念。
在一幅灰度图像中，我们采用8位的256色灰度图像来进行研究，数字图像中各个像素所具有的明暗程度由灰度值(Gray level)所标识。一般将白色的灰度值定义为255，黑色灰度值定义为0，而由黑到白之间的明暗度均匀地划分为256个等级。对于黑白图像，每个像素用一个字节数据来表示。
由于灰度等同于亮度，灰度的黑白就如同亮度的明暗，在“色相无关性”方
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面两者也是一致的，因此灰度也常被用来表示亮度。那么，将图像转为灰度，就可以看出图像中像素的亮度分布。
2.5.2 信噪比的计算
很多时候，我们肉眼无法分辨出两幅图像的细微差别，因而在实验中，我们经常采用的是算出信噪比来说明图像处理前后的好坏。
可认为图像平坦区域的方差为噪声方差，细节区域的方差为图像方差。
图像的信噪比应该等于信号与噪声的功率谱之比，但通常功率谱难以计算，有一种方法可以近似估计图像信噪比，即信号与噪声的方差之比[10]。首先计算图像所有像素的局部方差，将局部方差的最大值认为是信号方差，最小值是噪声方差，求出它们的比值，再转成dB数，最后用经验公式修正。另外，也会用RMSE(均方根差)和MAXE(最大误差)来进行比较。
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第三章实验方法
3.1 实验原理
3.1.1 利用SA算法对六角像素定址及实现
无论用哪种方法模拟六角像素，六角像素的定址是非常重要的，因为任何基于六角网格的图像操作，都要对准确地对每个六角像素进行定位，才能对图像中像素的灰度值进行处理。在这个实验中，我们采用的是SA定址方法[11]。
图3-1 六角像素螺旋定址
为了定位一个虚拟的六角像素，我们可以定位标记为
a×10i（i=1,2,……；a=1,2,3,……,6）的像素。
首先，用矢量［0,0］标记地址为0的位置，矢量［j,k］（j,k是整数）标记一个离源［0,0］横向距离为j，纵向距离为j的像素的位置，其中向右，向下为正。用L(a)来表示地址为a的坐标位置，这样，L(0)=［0,0］，从图上可以得到，L(1)=[0,8]，L(2)=[-7,4]，L(3)=[-7,-4]，L(4)=[0,-8]，L(5)=[7,-4]，L(6)=[7,4]。
注意到，六角像素中标记地址为10的位置，它可以由L(1)和L(2)决定，在这里的计算就是简单的矢量运算，根据矢量关系，有
L(10)=L(1)+2×L(2);
同理：
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L(20)=L(2)+2×L(3);
L(30)=L(3)+2×L(4);
L(40)=L(4)+2×L(5);
L(50)=L(5)+2×L(6);
L(60)=L(6)+2×L(1);
根据这个规律，可能容易推得：
L(a ×10i )= L(a ×10i -1)+2 ×L((a+1)×10i -1)
L(6×10i )= L(6×10i -1)+2× L(10i -1)
i=1,2,……, A=1,2,……5 公式(3-1) 具体计算时
L(a n a n-1……a 1)=
∑=n
i 11-i )10*L(a 公式(3-2)
举个例子： L(316) = L(300)+ L(10)+ L(6)
= L(30)+2 L(40)+ L(10)+ L(6)
= L(3)+2 L(4)+2(L(4)+2 L(5))+ L(1)+2 L(2)+ L(6)
= [14,-32]
3.1.2 六角顺序的实现
对于六角像素，它们的像素读取顺序和传统的方形像素不同，由于方形像素的结构比较单一，因此可以按二维数组的顺序逐行逐列的读取每个像素。不同的是，六角像素的读取顺序可以按SA 算法的顺序进行，在这里我们可以利用七进制数来模拟这个顺序的实现。
有了以上的定址算法和六角顺序，我们可以很容易地构造一个Pseudo 六角像素网格，下图是通过此SA 算法模拟出的一个大六角网格的示意图：
图3-2 大虚拟六角网格示意图
虚拟六角结构上的图像轮廓分析
15 在SA 算法中，每个虚拟六角像素的定位是极其重要的，因为，我们并不能在这里实现真正的六角网格，只能计算每个六角像素的中心点在原来的大坐标的坐标位置，这样就可以对这个坐标位置进行灰度赋值，才能实现基于虚拟六角网格的图像的各种处理。
3.1.3 用双线性插值方法重建图像
根据参考文献[12]，我们得到六角结构下的双线性插值方法。对于任意给定的六角像素的子像素点X ，存在四个六角像素的中心像素点A ，B ，C 和D 。定义A ，B ，C 和D 的坐标分别为),(y x A A ，),(y x B B ，),(y x C C ，),(y x D D 。设
x x x
x B A X A --=α ， y x y y C A X A --=β ，
得到：
D C B A X αββαβαβα+-+-+--=)1()1()1)(1(
设f 为图像的灰度函数，定义像素的灰度值，那么通过下列的双线性插值计算X 的灰度值：
)()()1()()1()()1)(1()(D f C f B f A f X f αββαβαβα+-+-+--=
公式(3-3)
这就是双线性插值法。双线性插值法计算量适中，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊
3.1.4 用3节点插值方法重建图像
在六角结构中，用3节点插值求每56个小像素的灰度，以此重新定义小像素的灰度，并显示图像。
3节点坐标：)3,3(),2,2(),1,1(y x y x y x
1321**)1(213331132332321321111
=++=??
??????
????--=??????----=???????
???=k k k C B A k k Y Y X X C x x y y x x y y B y y y x x x A ，， 公式(3-4) 插值函数：
福州大学本科生毕业设计 ( 论文 )
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332211????k k k ++=[13] 公式(3-5) 根据点与周围的几个六角像素中心点的距离，确定插值的3基点
图3-3 3节点坐标原理图
3.1.5 相关比较参数的计算
在实验中，我主要采用PSNR （峰值信噪比）来评价方法的好坏，因为峰值信噪比是一种比较接近人眼视觉效果的客观评价，所以通常选用峰值信噪比来比较插值重建图像和原始图像。由参考文献[14]得到峰值信噪比的计算公式：
()∑∑-??===N j M i j i f j i f N M PSNR 112'210)
,(),(255
(log 10 公式（3-6）
式中，),(j i f , ),(j i f ' 分别是原始图像和插值重建的第（i,j ）个像素的灰度值。由此可知，PSNR 值越大，表示崎变图像f '与原始图像f 越接近，视觉感知相对较好。