一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，
则数列{b n }【答】（ ）
(A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列
(C ) 是公比为q 3
的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列
2． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场
之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ）
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3
3． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2
=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是
(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7. 已知正整数n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n 的个数是___________.
8. 已知θ=arctg
125
，那么，复数i
i z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________. 9. 在△ABC 中，记BC =a ，CA =b ，AB =c ，若9a 2+9b 2-19c 2
=0，则B
A C ctg ctg ctg +=__________.
10. 已知点P 在双曲线19
162
2=-y x 上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到这条
双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P 的横坐标是_____.
11. 已知直线ax +by +c =0中的a ,b ,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，
并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.
12. 已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二
面角H -AB -C 的平面角等于30?, SA =23。那么三棱锥S -ABC 的体积为__________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13. 已知当x ∈[0,1]时，不等式0sin )1()1(cos 2
2
>-+--θθx x x x 恒成立，试求的取值
范围。
14. 给定A (-2,2)，已知B 是椭圆116
252
2=+y x 上的动点，F 是左焦点，当|AB |+35|BF |取最
小值时，求B 的坐标。
15. 给定正整数n 和正数M ，对于满足条件2
121++n a a ≤M 的所有等差数列a 1,a 2,a 3,….，试
求S =a n +1+a n +2+…+a 2n +1的最大值。
第二试
三、(满分50分) 给定正整数n ，已知用克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n 克的所有物品。 （1）求k 的最小值f (n )；
（2）当且仅当n 取什么值时，上述f (n )块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的
结论。
1999年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
1.n 11232a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n }【答】（ ）
(A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列
(C ) 是公比为q 3
的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列
2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式
(|x |-1)2+(|y |-1)2
＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A )16 (B )17 (C )18 (D )25 【答案】(A) 【解析】由()()21||1||2
2
<-+-y x ,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.
5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A )0 (B )1 (C )2 (D )3
【答案】(B)
【解析】设这三名选手之间的比赛场数是r ，共n 名选手参赛.由题意，可得
5062
3=-+-r C n ，
即()()2
43--n n =44+r.由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13
为正整数.
6
43
7. 已知正整数n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n 的个数是___________.
【答案】6.
8.已知θ=arctg 125
，那么，复数i
i z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________. 【答案】
4
π 【解析】 z 的辐角主值 argz=arg ［(12+5i)2
(239-i)］ =arg ［(119+120i)(239-i)］ =arg ［28561+28561i ］=
4π 9.在△ABC 中，记BC =a ，CA =b ，AB =c ，若9a 2+9b 2-19c 2
=0，则B
A C ctg ctg ctg +=__________.
【答案】. 【解析】
12.已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H -AB -C 的平面角等于30?, SA =23。那么三棱锥S -ABC 的体积为__________.
【答案】
4
3
9 【解析】由题设，AH ⊥面SBC.作BH ⊥SC 于E.由三垂线定理可知SC ⊥AE ，SC ⊥AB.故SC ⊥面ABE.设S 在面ABC 内射影为O ，则SO ⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知CO ⊥AB 于F.同理，BO ⊥AC.故O 为△ABC 的垂心.
又因为△ABC 是等边三角形，故O 为△ABC 的中心，从而SA=SB=SC=.
因为CF ⊥AB ，CF 是EF 在面ABC 上的射影，由三垂线定理，EF ⊥AB.所以，∠EFC 是二面角H-AB-C 的平面角.故∠EFC=30°，
OC=SCcos60°=3，SO= OC tg60°=3. 又OC=3
3
AB ，故AB=3OC=3. 所以，VS-ABC=439.
三、解答题
13.已知当x ∈[0,1]时，不等式0sin )1()1(cos 2
2
>-+--θθx x x x 恒成立，试求的取值范围。 【解析】
因此，原题中θ的取值范围是2k π+
12π<θ<2k π+12
5π ,k ∈Z. 或解：若对一切x ∈［0，1］，恒有
14.给定A (-2,2)，已知B 是椭圆116
252
2=+y x
上的动点，F 是左焦点，当|AB |+35|BF |取
最小值时，求B 的坐标。
【解析】
15.给定正整数n 和正数M ，对于满足条件2
121
++n a a ≤
M 的所有等差数列a 1,a 2,a 3,….，
试求
S =a n +1+a n +2+…+a 2n +1的最大值。
1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一、(满分50分) 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：∠GAC =∠EAC .
二、(满分50分) 给定实数a ,b ,c ，已知复数z 1,z 2,z 3满足：
???
??=++===11||||||1
33221321z z z z z z z z z ，求|az 1+bz 2+cz 3|的值。
【解析】记 e i θ
=c o s θ+i s i n θ．
可设
，
，
则
)(3
1
?θ+=i e z z ． 由题设，有e i θ
+e i φ
+e -i (θ
+φ)
=1.φ 两边取虚部，有
0=s i n θ+s i n φ-s i n (θ+φ)
三、(满分50分) 给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。
（1）求k的最小值f(n)；
（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。
【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,a k，且1≤a1≤a2≤…≤a k，a i∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质
量为x i a i,x i∈｛-1，0，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，
2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即
｛x i a i|x i∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．
所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝|≤|｛x i a i|x i∈｛-1，0，1｝｝|≤3k，
即n≤
Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟
一的，即a i=3i-1(1≤i≤m)．
若对每个-≤l≤,都有l=x i a i，x i∈｛-1，0，1｝．
即｛x i a i|x i∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±｝．
注意左边集合中至多有3m个元素．故必有
｛x i a i|x i∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，±｝．