2014届高考一轮复习收尾精炼： 任意角和弧度制及任意角的三角
函数
一、选择题
1．若－π
2
＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若α＝m 2360°＋θ，β＝n 2360°－θ(m ，n ∈Z )，则α，β终边的位置关系是( )．
A ．重合
B ．关于原点对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
3．若α是第三象限角，则y ＝?
?????sin α2sin α2＋??????cos α2cos
α2
的值为( )．
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．2或－2
4．已知点P ?
????sin 3π
4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．
A.π4
B.3π4
C.5π4
D.7π4
5．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )． A ．5 B ．2 C ．3 D ．4
6．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )． A.π3 B.2π
3
C. 3
D. 2 7．(2012上海高考)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7
(n ∈N *
)，则在S 1，S 2，…，S 100
中，正数的个数是( )．
A ．16
B ．72
C ．86
D ．100 二、填空题
8．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第__________象限．
9．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则sin α1－sin 2
α＋1－cos 2
α
cos α＝__________.
10．若β的终边所在直线经过点P ?
????cos 3π
4，sin 3π4，则sin β＝__________，tan β
＝__________.
三、解答题
11．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝3
6
x .求sin α，tan α
的值．
12．已知扇形AOB 的周长为8，
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .
参考答案
一、选择题
1．B 解析：∵－π
2
＜α＜0，
∴tan α＜0，cos α＞0， ∴点P 在第二象限． 2．C
3．A 解析：∵α是第三象限角， ∴α
2是第二或第四象限角． 当α
2为第二象限角时，y ＝1＋(－1)＝0； 当α
2
为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0. ∴y ＝0.
4．D 解析：设P 到坐标原点的距离为r ，r ＝sin
2
3π4＋cos 23π
4
＝1， 由三角函数的定义，
tan θ＝cos
3π4
sin
3π4＝－1.
又∵sin 3π4＞0，cos 3π
4
＜0，
∴P 在第四象限．∴θ＝7π
4
.
5．B 解析：设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋R α＝12R 2α，即2＋α＝1
2
R α，
整理得R ＝2＋4α，由于4
α
≠0，∴R ≠2.
6．C 解析：设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，
∴圆弧长为3R .
∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3R
R
＝ 3.
7．C 解析：由sin
π7＝－si n 8π7，sin 2π7＝－sin 9π7，…，sin 6π7＝－sin 13π7，sin 7π
7
＝sin 14π
7
＝0，
所以S 13＝S 14＝0.
同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0， 所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0. 故选C. 二、填空题
8．二 解析：由已知????
?
tan α<0cos α<0
，∴α是第二象限的角．
9．0 解析：由题意，角α的终边在第四象限．∴sin α
1－sin 2
α
＋1－cos 2
α
cos α
＝
sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin α
cos α
＝0.
10.22或－22 －1 解析：因为β的终边所在直线经过点P ?
????cos 3π4，sin 3π4，所
以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－2
2
，tan
β＝－1.
三、解答题
11．解：∵P (x ，－2)(x ≠0)，
∴P 到原点的距离r ＝x 2
＋2.
又cos α＝3
6
x ，
∴cos α＝
x x 2＋2＝3
6
x . ∵x ≠0，∴x ＝±10， ∴r ＝2 3.
当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，
由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－5
5；
当x ＝－10时，
P 点坐标为(－10，－2)，
∴sin α＝－66，tan α＝5
5
.
12．解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得????
?
2r ＋l ＝8，1
2
lr ＝3，
解得?
??
??
r ＝3，
l ＝2或?
??
??
r ＝1，
l ＝6，
∴α＝l r ＝23或α＝l
r
＝6.
(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l 22r ≤14? ????l ＋2r 22＝143? ??
??822
＝4，当且仅当2r ＝l ，即
α＝l r
＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r ＝2，∴弦长AB ＝2sin 132＝4sin 1.
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数 页 (对应学生用书(文)、(理)40～41页) 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四
解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4 4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－35 5. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5 13，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 12 5 解析：cos θ＝ －x x 2＋36 ＝－513，解得x ＝5 2.sin θ＝ －6 ? ?? ??－522 ＋（－6）2 ＝－1213，tan θ＝125. 1. 任意角 (1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z )． (3) 弧度制 ① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ． 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1 2|α|r 2． 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义 设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．
高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时，
，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1
图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
任意角和弧度制及任意角的三角函数训练题 A 级——保大分专练 1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12 ×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝ ( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60° 解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为????12 ，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32 ，因为0°≤α<360°，所以角α为300°. 3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( ) A.??????α?? α＝2k π－π3，k ∈Z B.??????α?? α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.??????α?? α＝k π－2π3，k ∈Z D.??????α?? α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3 ＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3 ＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是??????α?? α＝k π－π3，k ∈Z . 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3] 解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有? ???? 3a －9≤0， a ＋2＞0，
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计
任意角的三角函数（1） 一、教学内容分析： 高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版） 1.2.1任意角的三角函数第一课时。 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 二、学生学习情况分析 我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点： 第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。 第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。 根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题： 其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型； 其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
高一数学同步单元测试（必修4）任意角、弧度任意角的三角函数三角函数图像和性质 命题人刘国钧中学高级教师朱乔根 一、选择题：（5*12=60分） 1．函数y cot( x) 的定义域是（） 4 A. x | x R,且x 2k 4, k Z B.x | x R, 且 x k, k Z 4 C. x | x R,且x k ,k Z D. x | x R,且x 2k, k Z 4 2．已知角α的终边过点P（ 4a,－ 3a）（a<0） ,则 2sinα＋ cos α的值是（）22 A ．5B．－5C． 0D．与 a 的取值有关 3．若θ是第三象限角，且cos0 ，则是（） 22 A ．第一象限角 B ．第二象限角C．第三象限角 D ．第四象限角 4．已知 A={ 第一象限角 } ，B={ 锐角 } ，C={ 小于 90°的角 } ，那么 A 、B、C 关系是（） A．B=A ∩C B．B∪C=C C． A C D． A=B=C 2 5．α为第二象限角， P(x,5)为其终边上一点，且cosα＝4 x，则 x 值为 () A ． 3B．± 3C．－ 3D．－ 2 cot(α－ 4π )· cos(α＋π )· sin2(α－ 3π )的结果是() 6．tan(π＋α )· cos3(－α－π ) A ． 1 B ． 0C．－ 1D． 1 2 7．设 sin123°＝ a，则 tan123°＝ () A ．1－ a2 B ． a C． 1－a2 D． a 1－ a2 a1－ a21－ a2a2－ 1 8．如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 () A ． 1 B ． sin0.5C． 2sin0.5D． tan0.5 sin0.5 9．先将函数 y＝ sin2x 的图象向右平移π y 轴的对称变换，个单位，再将所得图象作关于 3 所得图象的解析式是() π A ． y＝ sin(－ 2x＋3 )
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点
5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :
第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ? 基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝y r，cos α＝ x r，tan α＝ y x(x≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
“任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(
任意角和弧度制练习 1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ） A ．3 B ．1 C ．23 D ．3π 2．设集合 ,,,22k M x x k Z N x x k k Z πππ????==∈==+∈???? ????，则M 与N 的关系是（ ） A.M N = B.M N ? C.M N ? D.M N =?I 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B. 1 sin 2 C.2sin1 D.sin2 4.在“①160°②480°③960-o ④1600-o ”这四个角中，属于第二象限的角是( ) A. ① B. ① ② C. ① ② ③ D. ① ② ③ ④ 5.若α是钝角，则,k k Z θπα=+∈是（ ） A. 第二象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角或第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角 6.设k Z ∈，下列终边相同的角是（ ） A ． ()21180k +o 与()41180k ±o B ． 90k ?o 与18090k ?+o o C ． 180 30k ?+o o 与36030k ?±o o D ． 18060k ?+o o 与60k ?o 7.若角α是第二象限的角，则 2 α是（ ） （A ）第一象限或第二象限的角 （B ）第一象限或第三象限的角 （C ）第二象限或第四象限的角 （D ）第一象限或第四象限的角 8.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度 A ． 1 B ． 2 C ．3 D ． 4 9. 120-o 的弧度数是（ ） A.56π- B. 43π C.23 π- D. 34π-
三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(
第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 学习目标 1、知道任意角的定义，知道正角、负角、零角与象限角的概念 2、掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题。 【重点、难点】：1、将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合； 2、用集合来表示终边相同的角. 【知识链接】：角的定义 学习过程 【探索——任意角的概念】 阅读课本2-3页回答下面的问题： 1、初中时候学习角是怎样定义的？ 2、在日常生活中，你能举出几个旋转角度大于360度的例子吗？ 3、按____________方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做__________ ； 如果____________________________，我们称它形成了一个零角； 综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。 4、①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.3小时，你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后，分针转过了多少度角？ ②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度? 5、在平面直角坐标系中讨论角时，为了讨论问题的方便，我们____________________，角的始边与x轴的__________重合，那么，___________________，我们就说这个角是_______________；如果角的终边在坐标轴上，我们则认为______________________。 【思考1】60o 角、740o角、-135o角、-510o角，分别在哪一象限？ 【思考2】在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条边与这个角相对应吗？反之，在直角坐标系中，给定一条终边，就有唯一一个角与之相对应吗？为什么？
专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x
③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；
任意角的三角函数（第一课时） 教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键 重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索： 回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关
系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认 开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？ 探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下： （情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？ 让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调： 传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习
高一数学辅导三角函数（一）
【任意角】 1、时间经过了6小时30分钟，则钟表的分针所转过的角的度数为 ，时针所转过的角的度数为 。 2、已知α=-18450 ，在与α 终边相同的角中，最小的正角的度数为 ；最大的负角的度数为 。 3、若α 是第一象限角，则 α 2 终边所在的位置是 。 4、若α 是第一象限角，β 是第二象限角，试确定α+β 2终边所在的位置 。 5、已知集合A=﹛α︱α为小于900 的角﹜，B=﹛α︱α为第一象限的角﹜，则A ∩B=( ) A. ﹛α︱α为锐角﹜ B. ﹛α︱α为小于900 的角﹜ C. ﹛α︱α为第一象限的角﹜ D.以上都不对 6、若α与β的终边互相垂直，则α－β＝ 。 7、已知角α，β的终边关于x+y=0对称，且α=-600 ，则β= 。 8、已知角β的终边在直线Y = 3x 上。 （1）写出角β的集合S ； （2）写出S 中适合不等式-3600＜β＜7200 的元素。 9、如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0) 按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中00＜α＜β＜1800 ﹚，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第二秒时均位于第二象限，求α，β的值。
【弧度制】 1、设集合A={α|α=k π+π 2 ,k ∈Z }∪{α|α=k π,k ∈Z },集合B={β|β=k π2 , k ∈Z },则（ ） 2、在00 ～7200 范围内，与角 2π 5 终边相同的角是 。 3、终边经过点（a ，a ）（a ≠0）的角α的集合是 。 4、一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形圆心角为 。 5、设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 。 6、圆的半径为6，则150 的圆心角所对的弧长为 ，扇形面积为 。（用π表示） 7、已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 。 8、集合P={α|2k π≤α≤(2k+1)π,k ∈Z }，Q={α|-4≤α≤4},则P ∩Q= 。 9、将一条绳索绕在半径为40厘米的轮子上，绳索的下端B 处悬挂着物体W ，且轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现在想将物体W 向上提升100厘米，需要多长时间才能完成？ 10、如图所示，一个长为 3，宽为1的长方体木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次 时被一个小木块挡住，使长方体木块底面与桌面所成角为π 6 ,试求点A 走过的路程及走过 的弧所在的扇形的总面积。
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式角错误!未找到引用源。的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 错误!未找到引用源。 ①rad 180 1π=? ② 错误!未找到引用源。 弧长公式 扇形面积公式 2 第一定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则错误!未找到引用源。 第二定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则错误!未找到引用源。. 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2 =+αα α α αcos sin tan =
第一节 任意角和弧度制、任意角的三角函.数 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 突破点一 角的概念 [基本知识] 1．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 角的分类? ?? ?? 按旋转方向不同分类?? ?? ? 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线没有旋转 按终边位置不同分类???? ? 象限角：角的终边在第几象限，这 个角就是第几象限角 轴线角：角的终边落在坐标轴上 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π， k ∈Z}． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)第二象限角大于第一象限角．( ) (2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．( ) (3)终边在y ＝x 上的角构成的集合可表示为{ α| α＝π 4＋k π，k ∈Z }.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°. 答案：220° 2．已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π 3，则sin α＝________. 解析：因为角α与β的终边关于直线y ＝x 对称． 所以α＋β＝2k π＋π 2(k ∈Z)， 则α＝2k π＋5 6π，k ∈Z. 所以sin α＝sin 56π＝1 2 .
任意角三角函数的定义 变式2：求下列函数的定义域： （1）y=；（2）y= . 解析：（1） 有意义 {x︱2k或，}. ?{x︱2k，或，}. （2） 有意义 类型三三角函数的符号问题： 例3、确定下列式子的符号： （ ）；（2）；（3）；（4）；（5）（6） . 解析：（6）∵，，， 3为第二象限角，4为第三象限角，5、6为第四象限角，故可判断原式的符号. 变式3：（1）已知<0且，则是第几象限角？ （2）已知θ是第三象限的角，判断的符号. 解析：略. 三、课堂练习： 1、已知，，则为（） A、第一象限的角； B、第二象限角； C、第三象限角； D、第四象限角. 2、已知的终边过点P（4，3），则下列各式中正确的是（） A、=； B、=； C、=； D、=. 3、已知角的终边经过点P（3k-9，k+2），且，，则k的取值范围是 解析：由，，得角为第二象限或y轴的正半轴上， 从而-2.
4、函数y=的定义域为︱，， y=的定义域为︱， . 5、求证: 1. 证明：在的终边上取一点P（-1,0），得x=-1，y=0，r=1，∴==-1. 6、已知角的终边经过点P（m-n，2）（n>m>0），问是第几象限的角，并求的六个三角函数值. 解析：∵n>m>0，m-n<0，2， ∴角为第二象限角，r==m+n， ∴=；=；=；=； =；=. 四、课外练习： 1、选择题： （1）已知点P（3，y）在角的终边上，且满足y<0，=，则的值为（） A、； B、； C、； D、. 2、已知角的终边经过点P（-1,0），则不存在的是（） A、； B、； C、； D、. 3、已知且<0，则在（） A、第二象限； B、第三象限； C、第四象限； D、第三、四象限. 4、设为第二象限的角，且︱︱，则是（） A、第一象限角； B、第二象限； C、第三象限； D、第四象限. 5、若>0，且<0，则角θ的终边所在象限是（） A、第一象限角； B、第二象限； C、第三象限； D、第四象限. 6、已知0，那么角θ在（） A、第一或第二象限； B、第二或第三象限；
弧度制三角函数的简单应用 金台高级中学编写人：徐春妮 §9 三角函数的简单应用 学习目标 1.掌握三角函数模型应用基本步骤 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 学法指导 三角形应用的步骤是： 1．分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图： 2．建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的 数学模型。 3．求解：利用三角形，求得数学模型的解。 4．检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。即解三角应用题的基本思路要点导读 课后测评 一、选择题 1.。已知A ,B ,C是△ABC的三个内角, 且sinAsinBsinC,则 ( )
(A) ABC (B) ABC (C) A+B (D) B+C 2．.在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos800,sin800),B(cos200,sin200)，则|AB|的值是( ) (A) (B) (C) (D)。 02年北京国际数学家大会会标 是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的 锐角为θ,大正方形的 面积为1,小正方形的面积是 ,则sin2θ-cos2θ的 值是 ( ) (A) 1 (B) (C) (D) - 4．.D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D 两点测得A点的仰角 分别是α、β（αβ）,则A点离地面的高度等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 5．.甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径 的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙 速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转 角的弧度数, l表示甲、乙两人的直线距离，则l=f(θ) 的图象大致是。电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函 数I=Asin(ωt+φ)的图象如图 所示，则当t= 秒时的电流强度 ( )