九 π和e 是超越数
在代数里我们知道，实数全体可以分成有理数和无理数两大类. 前面已经讲过，π和e 都是无理数. 事实上，实数还有一种分类的方法. 就是把实数分成代数数和超越数两大类. 下面我们就来谈谈有关代数数和超越数的问题.
先来看什么是代数数.
设u 是一个实数，如果有整数)0,0(,,,,0210>≠?n ?a ?a ????a ??a ?a n ，使得u 适
合代数方程
)96(,0122110?
?a u a u a u a u a n n n n n =+++++---
那末u 就叫做代数数. u 所能适合的整系数代数方程（96）可以不止一个，它们的次数n 中最低的那个n 就称为u 的次数.
不是代数数的实数就叫做超越数.
对于复数，也可以完全类似地定义代数数和超越数的概念. 例1 有理数是（一次）代数数.
证明 有理数)0,,(≠=
?p ??q p ?p
q u
是整数适合方程 0=-q px
（一是代数方程的最低次数）所以
p
q
是一次代数数. （例如，1虽然也适合二次系数方程012
=-x
，但是，因为它适合一次方程01=-x ，所以称它为一次代数数）反过
来，一次代数数都是有理数.
例2 二次代数数的一般形式是：
m s r +， （97）
其中r 和s 是有理数，并且0≠s ；m 是正整数并且m 不是一个整数的完全平方.
证明 我们把r 和s 通分，写成
,,?p
t ?s ?p q r ==
这里p 是正整数，q 和t 是整数，那末，p
m
t q u
+=
是方程 0)(22222=-+-m t q pqu u p （98）
的根，并且方程（98）的系数都是整数. 因此，数（97）或者二次代数数，或者是一次数数. 但是，从例1知道，一次代数数是有理数，而当0≠s ，m 不是一个整数的完全平方时，数（97）不可能是有理数，所以数（97）是二次代数数.
反过来，如果210,,?a ?a ?a ?是任意三个整数，并且00
≠a ，又u 是实数，它适合方程
02120=++a u a u a ，
那末由一元二次方程的求根公式，得到
)99(.240
2
02
11???a a a a a u -±-=
已知u 是实数，所以
04202
1≥-=a a a m .
如果m 是整数u 的完全平方，那末u 是有理数，否则u 就是形如数（97）的数
?????
?±=-=00121,2,)97(a ?s ?a a r ??取里数.
所以，二次代数数的一般形式是（97）.
又如
)100(5243
??-
等等都是代数数，事实上，数（100）就是方程
)101(0121307523048121624?
u u u u u =--++-
的根，因为，如果把数（100）记做u ，那末
5234-=u .
因此
.2)5(34?u =+
把上式的左边展开得到，
25515534812=+++u u u .
所以
.)53(5)215(282412?u u u +=-+
把这个式子整理后就得到方程（101）.
一般地说，把有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开方等运算后所得到的实数就是代数数. 历史上曾经研究过这样的问题：是否一切代数数都可以从有限个有理数出发经过有限次加，减，乘，除，开方等运算得到. 这个问题曾经苦恼过许多数学家，一直到群论出现后才得到了否定的回答，就是：并不是所有代数数都可以用上述方法得到的.
我们再回到所考察的两个常数π和e 上来. 前面已经说过e 和π是无理数，事实上，e 和π还是超越数，而不是代数数. 为什么人们对于e 和π是不是代数数的问题会发生兴趣
呢？这是有一段相当长的历史的.
两千多年前几何学家们就提出这样的一个问题：设给定一个圆O ，要求作出一个正方形，使得它的面积和给定的圆O 的面积相等. 如果把圆O 的半径R 算作单位长，那末圆O 的面积是π. 因此，上述问题也就是说，作一条线段m ，使是它的长度是R 的长度的
π
倍，而以线段m 为边的正方形就是所要求的正方形，这就是所谓“变圆为方问题”.
我们知道，无论作什么图形，都要用工具. 如果我们容许用圆柱作为工具，那末上述问题是不难解决的. 事实上，我们只要制作一个圆柱，使它的上底和下底都和圆O 一样大，而高是R 的长度的一半. 再把这个圆柱的侧面接触平面，在平面上滚一周就画出一个矩形（图10），它的一边长是
2
1
，另一边长是2π. 这个矩形的面积就是π了. 然后再用下面的方法把
这个矩形变形成面积相等的正方形：先把矩形的长边二等分，再作线段AB ，使它的长度等于矩形的长边的一半，并且延长BA 到C ， 使AC 的长度等于一个单位长（图11）.
所以AB 的长是π，AC 的长是1.
以CB 为直径画半圆，再过点A 作CB 的 垂线交圆于D .那末AD 就是所要求的 线段m 了.
但是，在欧几里得几何学里的作图问题， 总是限制只能有限次地应用直尺和圆规这两 种工具来作出所求的图形，这样，就使问题 变得很难解决. 上面这个变圆为方的问题两
千多年来就不知苦恼了多少几何学家，后来才被证明只有限次地应用直尺和圆规是不能作出与已知圆等面积的正方形的. 也就是说，对于给定长度是R 的线段，有限次地应用直尺和圆规，不可能作出一条长度是R 的
π倍的线段来的. 这个答案是根据π是超越数这个
事实作出的，我们只能把这些理由推出几点简单地写在下面.
我们在平面几何里已经知道，给定长度是r 的线段，可以用直尺和圆规作出长度是
r n
m
（m 、n 都是正整数）的线段；也可以作出一条线段，使它的长度的平方等于r. 因此，反复进行上述的手续，就可以看出：有限次地应用直尺和圆规，可以从给定的单位长
度的线段l 出发，作出长度是u 的线段，这里u 是由有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方等运算所得到的数. 而且重要的是，后来人们证明了：对于给定单位长度的线段l ，如果我们限于有限次地应用直尺和圆规来作出长度是u 的线段的话，那末这个u 必须是由有限个有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方等运算后所得的数. 因此，这个u 只能是代数数. 如果u 是超越数，那末就作不出所求的线段了.
这样一来，就把有限次地应用直尺和圆规解变圆为方的问题归结为，π是不是有理数经过有限次加，减，乘，除，开平方所得到的数. 因此人们看到，如果π是超越数，那末，有限次地应用直尺和圆规来解变圆为方的问题是不可能的
直到1840年柳维尔（Liouville ）才证明e 不是二次代数数，33年后埃尔密脱（Hermite ）研究指数函数，证明了e 是超越数，到1882年林德曼（Lindemann ）在埃尔密脱证明e 是超越数的基础上，借助于前面说过的欧拉公式1π
-=i e
，才证明了π是超越数.
这方面的工作后来发展为超越数论.
顺便介绍一下这方面的现代成果. 1900年希尔伯脱提出了当时数学上的23个难问题. 其中一个问题是：数2
2
是不是超越数？直到1930年，齐盖尔（Siegel ）和盖尔冯德才各
自独立地解决了这个问题. 他们证明了：如果a 是代数数，0≠a ，并且b 也是代数数，但不是有理数（包括上面2,2==?b
?a 的情况），那末b a 一定是超越数.
除掉e 不是二次代数数这一点外，这些定理的证明都要用到微分学的知识. 因此，我们只能证明e ．不是二次代数数．．．．．．．
. 也就是我们要证明：对于任何整数)0(,,0
210≠a ??a ?a ?a ?，都不会有
)102(.02120??
?a e a e a =++
事实上，如果有整数)0(,,0
210≠a ??a ?a ?a ?使得（102）成立的话，那末
)103(.01120??
?a e a e a =++-
把级数（72）和（82）代入（103），我们得到
)
104(.!)1()1(!3!2!102102
020202101
120??
???
n a a ?
?
a a ?a a ?a a a a a ?a e a e a n +--+++-+++-+++=++=--
把（104）乘以(n -1)!，并且把（104）右边级数的第n 次部分和记做S n ，尾量记做R n .
那末得到
)105(.0)!1()!1(??
?R n S n n n =-+-
而
]
)1([)(4)1()(3)1()!
1)(()!1)(()!1(210202020210a a ?
?
a a n ??a a n ??n a a n a a a S n n n --+++-???-++???-+--+-++=-
是整数，所以
n n S n R n )!1()1(--=-
也应当是整数. 但是
)
106(.)
2)(1()1()
1()1()1()!1(2
2
02
1020??
?n n n a a ??
n n a a n a a R n n n n n +++-++
+-++
-+=-++
因为
|||||)1(|2020a a a a n +≤-，
取|)||(|320
a a n +>，那末根据（58）和（106），得到
1|)||(|3|)||(|!31!2111||||)3)(2)(1(1
)
2)(1(1
111||||)2)(1(||||)1(||||||||)2)(1(|)1(|)
1(|
)1(||)1(||!1|2020202020202022021020<+?<+=?
?????+++++≤
?
?
?+++++
+++???+++=
++++++++
+≤+++-+++-++
-+≤-++n
a a a a n e
?
n a a ?n n n ?
?n n n n a a ?n n n a a ??n n a a n a a ?n n n a a ??n n a a n a a R ?n n n n n
但是，我们知道绝对值小于1的整数只可能是0. 因此，从
1|)!1(|<-n R n
得到
0)!1(=-n R n .
又从（106）和(n -1)!R n =0得到
.
)
3)(2)(1()1()
2)(1()1(1)1(])1([2
3
02
2021020?n n n a a ??n n a a n a a a a n n n n
++++-++
++-++
+-+=-+-+++
上式的两边取绝对值，并且应用（58）式得到
{)
107(.|)||(|1
2)
1(1||||!31!2111||||)3)(2(1
2
111|
|||)3)(2)(1(|
|||)
2)(1(||||1||||)3)(2)(1(|
)1(|)
2)(1(|
)1(|1|)1(|])1([20202020
20202023022021020?
??a a n ??
e n a a ??n a a ??n n ??n n a a ??n n n a a ??n n a a n a a ??n n n a a ??n n a a n a a a a n n n n
++<-++=??
?
???+++++<
??
?++++++++=++++++++++
++≤++++-++++-++
+-+≤-++++
在取n 的值的时候，不但要使得|)||(|320a a n +>，并且取n 是奇数或者偶数要从使
0a 和2)1(a n -同时是正号或者同时是负号（0可以算成正号或负号）来决定. 例如，当0,02
0<>?a
?a 时取n 是奇数. 这时
.0|||||)1(|2020?a a a a n >+=-+
在（107）式的两边约去因式||||20
a a +，就得到
)108(.1
2
1???n +<
但是n +1至少是2，所以
11
2
≤+n . 这样说来，（108）式是不对的. 这就说明，我们前面说的“有整数)0(,,0210≠a ?a ??a ?a 使得（102）式成立”这句话是不对的，因此e 不可能
是二次代数数.
进化理论的发展历史 一、从进化思想到进化学说 进化学说产生与发展是一漫长的过程。这一过程可以分为两大阶段，即进化思想形成、发展阶段（从古希腊时期，中国西周至春秋战国时期，一直到18世纪）和进化学说产生、发展阶段（18世纪以来）。所谓进化思想，即是指对自然界的朴素的认识，认为自然界是变化的、可相互转化或演变的。进化学说则是指系统地阐述生物由来、变化、发展的原因及规律的理论或假说。 从进化思想发展到进化学说是一个漫长的历史过程，可以具体地区分出如下几个时期，即古代演变论的自然观形成与发展时期，中世纪创世说和不变论占统治地位时期，18～19世纪进化学说产生时期，19世纪末以来进化论修正与发展时期（图4-1）。 1、古代的自然哲学——进化思想的萌芽
古代哲学思想中包含着一种近代人称之为演变或蜕变（transmutation）的概念，即认为自然界万物相互转变（由一种形式变化为另一种形式），认为今日的复杂的生物来自某种较简单的祖先，可以一直追溯到最原始的生物类型（一种传衍的概念）。这可以说是进化思想的萌芽。例如古希腊最早的自然哲学家之一、米利都的阿纳克西曼德（Anaximande of Miletus，BC 550年）就表达过一种生命起源观点。他认为生命最初是从海中软泥产生的，由海中软泥产生出来的原始生物经过蜕变而产生出陆地植物。 2、中世纪西方的宗教哲学——反进化思想 宗教的“创世说”（creationism）。基督教圣经中的《创世记》把世界万物描绘成创世主上帝的特殊创造物。从创世论的基本思想延伸出两个教条，即对自然界中生物对环境的适应的“目的论”（teleology）的解释和物种不变论（fixitism）。创世说认为世界是一下子被创造出来的，而且一旦被创造出来就永远不变了：陆地、山川、海洋以及各种生物永远不变地存在着和存在下去，自然界无变化，无发展。 3、自然神学 宗教扼杀不了科学，神学家企图调和宗教与科学之间的矛盾。它包含这样的观点：整个自然界是按上帝制定的自然法则调节和安排的、和谐、完美的世界，一切自然现象都从属于使整个自然界保持和谐、秩序、平衡和完美的目的；生物是上帝直接的创造物，生物结构是按照它的功能要求而设计的，因而结构是严格对应于它的功能的；每一种生物都是绝对完美地适应其生存环境的；如果一种生
集合论的发展史 集合是什么，通俗地说它是一些元素组成的集体，是一些确定而又可分的“物”的集体。集合并不指具体的“物”，而是由物的集体所组成的新对象。20世纪以来的研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。集合论最重要的创建者是康托尔（Georg Cantor，1845—1918）。在19世纪人们很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。但是微积分本质上是一种“无限数学”。那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？ 从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上的一座里程碑。它标志着人类经过几千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限冒险迈进。”德国数学大师伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一”。 然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1903年英国哲学家兼数学家罗素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。 可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。” 数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。现在，各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包
七年级九班 李蕙茹 一、探究背景： 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同，所以，我们既可以在数学中学到历史，又可以在历史中学到数学。数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源于生产，服务于生活，并不是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。 二、目的意义： 对数学产生兴趣，轻松学好数学。通过查找名人趣事、数学常识等资料，对数学的功用问题有一个正确的认识，从而让我们对数学产生兴趣，提高数学成绩，开发我们的脑力，使自己不断提高能力，从而达到事倍功半的效果。 三、探究方法： 1、历史研究法，又叫历史考证法。数学自东汉以来的《九章算术》到现代的《微积分》，上上下下经历了几千年的时间，与现代数学联系起来，对数学历史的考证有巨大的作用。 2，自主探究法。所谓自主探究，就是通过各种途径找到对自己有用
的资料，进行整理，这是一种比较常见的方法。 四、探究结果： （一）数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
极限的发展史 从极限思想到极限理论 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。 中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极限时圆面积这一思想来近似计算圆周率π的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想。 到17世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。到17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点使直观的无穷小量，极限概念被明确提出，但含糊不清。牛顿子发明微积分的时候，合理地设想：t?越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题，因此，整个18世纪可以说是微积分的世纪。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击，贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”不是“最终的量”的比。而是比所趋近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。包括莱布尼茨对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击，这就是数学史上所谓第二次数学危机。 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。至此极限理论才真正建立起来，微积分这门学科才得以严密化。因而真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。 2.1最早的极限思想
浅谈中外数学发展史及数学思想 引言：数学发展的历史是悠久的，数学思想更是不断变更和发展，如今，数学思想运用在我们生活各个方面，做事有一个好的方法和思维是提高效率的关键，而数学思想则是培养和训练我们这种做事思维的最好工具，所以了解一些数学是发展和数学思想的知识显得更是日益重要了。 通过这一个学期对数学发展史的学习，我从中学到了很多关于数学的知识，无论是其历史发展还是一些名人故事和数学思想，都让我有了更深的认识。在最后的结课论文里，总结这学期来的学习，我发现，虽然中外历史发展很不同，但是，在数学方面的许多发展却有相似之处，可见无论一个国家或者地区的历史条件和发展有何不同，人类在数学研究方面还是有很多共通点的。我对此提出了这么一些看法：简要归纳中外的数学发展史后，我们可以从许多方面对数学与我们思想、生活的关系进行辩证分析，以此来了解中外数学史及数学思想的共通和差异。 摘要：本文通过对古今中外数学史的发展的简单概览比较中外数学史和数学思想的各自特点和区别。文中会介绍到《九章算术》、《几何原本》等数学著作，以此来看中外数学的联系。 关键词：中外数学史简单概览各自特点区别《九章算术》《几何原本》 正文： 1.数学概览 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，就是研究数和形的科学。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。 2.中国数学史发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学
一、创新理论的产生 创新理论是由J·A·熊彼特（1883—1950 ）首先提出来的。他在1912年出版的《经济发展理论》一书中第一次提出了创新理论，并因此闻名于整个经济学界。 J·A·熊彼特在维也纳大学学习时，师从著名经济学家E·V·庞巴维克（时差利息论创造者）和F·V·维塞尔（边际效用价值论创造者），后在伦敦时曾求教于A·马歇尔（剑桥学派领袖，局部均衡论创造者），并对M·E·瓦尔拉斯的一般均衡理论十分推崇。所以，J·A·熊彼特的理论研究与分析方法具有多元性和兼收并蓄的特点。他首先对资本主义经济进行静态分析，提出了“循环流转”理论，假定在完全竞争经济中存在着没有利润、没有得息的静止均衡状态，在这种状态中，生产始终在原有水平上均衡的循环往复，没有资本运动，也没有企业家活动。 在J·A·熊彼特看来，资本主义经济处在不断运动变化发展之中，其本质特征就是运动和发展，所以，经济发展是经济生活中本身所发生的非连续化变化与运动，是某种破坏均衡而又恢复均衡的力量发生作用的结果，这种推动经济发展的内在力量就是“创新”。J ·熊彼特的整个经济理论体系都是以创新为核心来解释资本主义的发生、发展及其变化规律，他还将经济理论的逻辑分析与资本主义发展的历史过程结合起来，对资本主义经济运行进行了实证性的动态考察。 在J·熊彼特看来，企业家的职能是创新，是将生产要素引入生产过程中，所以创新是指企业家对生产要素的新组合，即把一种从来没有过的生产要素和生产条件的新组合引入生产体系之中。因而创新是一个经济范畴而不是一个技术范畴，它并是指技术上的发明创造，而是指将已发明创造聘为的科学技术引入企业生产经营过程这中，形成企业新的生产优势，从而形成一种新的生产能力。所以，J·熊彼特认为，创新包括五个方面的内容：引进一种新产品或提供一种产品的新质量；采用一种新技术、新的生产方法；开辟一个新市场；获得一种原材料新的供给来源；实行一种新的企业组织形式。 J·熊彼特认为，资本主义制度下的企业家是有敏锐洞察力的，能预见潜在的市场需求和潜在经济利益，并有胆略、有能力进行创新去获取利益的人。他认为，发明并不等于创新，发明者不等于创新者，只有敢于冒风险把一种新发明最先引入经济组织之中的人才是创新者。在J·熊彼特看来，企业家进行创新的动机或动力来源于：一是由于他看到创新可以给他本人及其企业带来获利的机会；二是发现一个私人商业五国的愿望；三是征服困难并表明自己出类拔萃的意志力；四是创造并发挥自己才能所带来的欢愉。在这几种力量的联合推动下，企业家时刻有“战斗的冲动”，存在着非物质的力量的鼓励，这就是企业家精神。 J·熊彼特强调企业家的素质、才能、文化素养、预见性、首创精神、冒险本性等品格对企业发展和社会进步推动作用。由于创新不仅给创新者及其企业带来获利机会，而且也给其它企业开辟了发展的道路（获利示范效应），所以，创新不仅引起了资本主义的产生，而且推动了资本主义的发展。并且由于创新的产生、创新的普及、创新的消失和新一轮创新的开始，于是就有了资本主义的经济的周期性波动（长周期、中周期和短周期变化）。J ·熊彼特用源于企业有其企业家的创新理论来解释资本主义经济的周期性波动是其理论的特点。 J·熊彼特认为，资本主义的本质特征是创新、新组合和经济发展，离开了创新也就没有资本主义，更没有资本主义的发展。他把资本主义理解为一个在破坏中创新、在创新中发展、在创造中毁灭的生命变化过程，强调生产技术的革新和生产方法的变革在资本主义经济发展过程中的至高无上的地位与作用，把创新和生产要素的新组合看成是资本主义最本质的特征，是联结科学技术进步与经济增长、经济发展的一个转换媒介。J·熊彼特从经济运动的内部去寻找推动经济增长、社会进步、历史发展的深厚基础和本质动因，强调创新活动在资本主义历史发展进程中的主导作用。 1950年J·A·熊彼特教授去世后，西方经济学家对其创新理论进行了进一步的发展和完善，并形成为当代西方创新经济学。它主要包括两个方面内容，一是以技术变革和技术推广为对象的技术创新经济学；二是以制度变革和制度建设为对象的制度创新经济学。 二、技术创新理论的发展 战后美国的一些经济学家，如E·曼斯菲尔德、M·卡曼、N ·施瓦茨、P·戴维、R·列文、
——教学资料参考参考范本——多元智能理论的发展起源 ______年______月______日 ____________________部门
对于智商概念和智能一元化的怀疑是普遍的。有瑟斯通 （L.L.Thurstone）、齐尔福德（J.P.Guilford）和其它批评者的著作 为证。但在我看来这些批评还不够，上述智能的全部概念都应重新检验，并像实际情况那样加以替换。 我认为我们应该从测试和测试的数据中彻底解放出来，注意一下 另一种更自然的信息，那就是世界各地的人们是怎样获得那些对于他 们的生活非常重要的技能的。例如想一想在南半球海域航行的水手们，是怎样通过观察天空的星座、走过水域的特征和少数分散陆地的标志，在成百上千个岛屿中找出航行的路线来的。在水手的群体中，智能就 意味着航海的能力。再想想外科医生和工程师、猎人和渔夫、舞蹈家 和编舞者、运动员和教练、部落首领和巫师。如果接受我对智能作定 义的方法，对这些不同的角色都应该加以研究。我认为智能是解决问 题或制造产品的能力，这些能力对于特定的文化和社会环境是很有价 值的。到目前为止，我还没谈到智能是一元还是多元的，也没有说智 能是先天就有的还是后天获得的，我只强调智能是解决问题和制造产 品的能力。我的工作所探索的，是上文提到的水手、外科大夫和巫师 等所运用的智能的结构。 到目前为止的研究工作都在寻求对智能准确的描述。智能到底是 什么?为了回答这个问题，我和同事们对大量有关资料作了深入的探索。据我所知，这些资料还从未被认真研究过。这些资料的一个是已知的 正常儿童各项技能的开发过程，另一个重要的是脑受伤后以上技能丧 失的状况。当一个人中风或脑受伤后，有些能力可能受损，有些能力 可能因为与受损能力没有联系而保留下来。从脑伤病人得到的有力的
企业管理理论的发展历程 自20世纪60年代以来，战略管理理论共经历了四个发展阶段。本文通过对战略管理理论发展历程的梳理，来把握企业战略思想演进的脉络和规律，并对企业战略理论的发展趋势进行了展望。 在变革的时代，企业面临着种种挑战，这势必会导致管理思想的变迁。目前，管理学对这一变化比较一致的看法体现在四个方面：由过程管理向战略管理转变；由内向管理向外向管理转变；由产品市场管理向价值管理转变；由行为管理向文化管理转变。毫无疑问，企业战略管理将会是这场变革的中心，它将出现许多新动向，对这一趋势能前瞻性地把握的企业将会在竞争中处于有利地位。为更好地把握战略管理的发展趋势，必须首先对战略管理理论的发展历程进行梳理，以便把握其演进的脉络和规律。 企业战略理论研究时间并不长，自20世纪60年代到现在仅有半个世纪。从时间跨度来看，主要经历了以下几个发展阶段： (一) 60年代初美国著名管理学家钱德勒《战略与结构：工业企业史的考证》一书的出版，首开企业战略问题研究之先河。钱德勒在这本著作中，分析了环境、战略和组织之间的相互关系，提出了“结构追随战略”的论点。他认为，企业经营战略应当适应环境--满足市场需求，而组织结构又必须适应企业战略，随着战略的变化而变化。因此，他被公认为，环境-战略-组织理论的第一位企业战略专家。 （二）80年代初，以哈佛大学商学院的迈克尔·波特为代表的竞争战略理论取得了战略管理理论的主流地位。波特认为，企业战略的核心是获取竞争优势，而影响竞争优势的因素有两个：一是企业所处产业的盈利能力，即产业的吸引力；二是企业在产业中的相对竞争地位。 （三）90年代以来，信息技术迅猛发展，导致竞争环境日趋复杂，企业不得不把眼光从外部市场环境转向内部环境，注重对自身独特的资源和知识(技术)的积累，以形成企业独特的竞争力(核心竞争力)。1990年，普拉哈拉德和哈默又在《哈佛商业评论》发表了《企业核心能力》。从此，关于核心能力的研究热潮开始兴起，并且形成了战略理论中的“核心能力学派”。 相比传统的商务模式电子商务的优势在哪里 电子商务极大提高了传统商务活动的效益和效率，电子商务与传统商务体系相比有其自身的独特优点，这些优点包括：1.电子商务将传统的商务流程电子化、数字化，一方面以电子流代替了实物流，可以大量减少人力、物力，降低了成本;另一方面突破了时间和空间的限制，使得交易活动可以在任何时间、任何地点进行，从而大大提高了效率。2.电子商务所具有的开放性和全球性的特点，为企业创造了更多的贸易机会。3.电子商务使企业可以以相近的成本进入全球电子化市场，使得中小企业有可能拥有和大企业一样的信息资源，提高了中小企业的竞争能力。4.电子商务重新定义了传统的流通模式，减少了中间环节，使得生产者和消费者的直接交易成为可能，从而在一定程度上改变了整个社会经济运行的方式。 5.电子商务一方面破除了时空的壁垒，另一方面又提供了丰富的信息资源，为各种社会经济要素的重新组合提供了更多的可能，这将影响到社会的经济布局和结构。 6.互动性:通过互联网,商家之间可以直接交流,谈判,签合同,消费者也可以把自己的反馈建议反映到企业或商家的网站,而企业或者商家则要根据消费者的反馈及时调查产品种类及服务品质,做到良性互动
数学史 数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史．但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。 第一节发展历史 一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段． 一、数学萌芽时期(公元6世纪以前) 在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算．他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。 中国是最早使用十进位值制记数法的国家。早在三千多年前的商代中期，在甲骨文中产生了一套十进制数字和记数法，最大的数字为三万．与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成六十甲子，用以记日、记月、记年。用阴(——)、阳(一)符号构成八卦表示8种事物，后来发展为64卦。春秋战国之际，筹算已普遍应用，其记数法是十进位值制。数的概念从整数扩充到分数、负数，建立了数的四则运算的算术系统。几何方面，4500年前就有测量工具规、矩、准、绳，有圆方平直的概念。公元前1100年左右的商高知道“勾三股四弦五”的勾股定理．春秋末战国初的墨子在《墨经》中给出了一些数学定义，包含有许多算术、几何方面的知识和无穷、极限的概念。 在这个历史时期，由于生产水平很低，商品生产极其有限，社会实践对数学
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/3618881540.html, 学习理论发展简史（上） 作者：[丹麦]克努兹.伊列雷斯\著陈伦菊盛群力\译 来源：《数字教育》2020年第01期 摘要：各种各样的学习如何在人的大脑和身体中发生，这是学习理论的基本问题。它主要发展于“学习心理学”这一门学科，同时也得到了其他心理学学科以及社会学、教育学和生物学（包括现代大脑研究）等毗邻学科的有益补充。通过近半个世纪的研究，作者阐述了学习理论的历史。同时，在对其进行认识和解释的基础上，作者逐渐形成了对人类学习的广泛理解。 关键词：学习理论;人类学习;学习理解 中图分类号：G434 文献标志码：A 文章编号：2096-0069（2020）01-0086-07 引言 学习是一种基本的生物能力，人类的这种能力比任何其他生物都要发达得多。因此，人类能够成为也注定要成为学习者——我们不可避免地会在生活中积累大量的知识。另外，在当代社会，我们也不得不学习。几乎所有的国家都有一定年限的义务教育，而且我们都必须学习许多东西来处理日常生活[1]。 各种各样的学习如何在人的大脑和身体中发生，这是学习理论的基本问题。它主要发展于“学习心理学”这一门学科，同时也得到了其他心理学学科以及社会学、教育学和生物学（包括现代大脑研究）等毗邻学科的有益补充。我研究这个话题已将近50年，接下来，我主要就自己的个人经历描述学习理论的发展史。我之前发表过一篇文章[2]，它描述了这些年来我是如 何一步步地发展学习理论的。在本文中，我将描述学习理论史的主要内容，这些年来，我对学习理论逐渐了解和领悟，再到后来的几年里也成为其一部分。我来自一个小国家，因此能够看到来自该领域所有更大、更重要的环境的贡献，无须直接介入到这些研究中。然而，必须申明的是，我只涉及来自欧洲、美国和澳大利亚的贡献。因为就我个人的经验来看，亚洲和非洲对此所作的贡献有限，其影响主要涉及文化影响，而不是学习过程的结构和内部过程[3][4][5]。因此，我要强调的是，本文提到的学习理论主要针对理解学习是如何发生的，是如何作为内部独立过程运作的，只有当它们直接影响或与这些过程的性质相联系时，我才会提及学习理论的外部条件。 一、四个早期学派及其两个互补视角 直到1950年左右，学习理论才相对独立地发展起来，主要出现了四种与特定语言和地理区域有关的学派。由于这四种取向在当今的应用都已不是最初的模样，我仅作简要概述。但在某种程度上，它们能对理解后面更复杂的模式奠定基础。
探寻数学中无穷思想的发展史 数学与应用数学专业《07404302》姓名：程巧丽 指导教师：秦少青 【摘要】20世纪伟大的数学家希尔伯特说过“无穷是一个永恒的谜”，另一位伟大的数学家外尔说“数学是无穷的科学”。无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想的发展史。 【关键词】微积分；悖论；无穷级数；实无穷与潜无穷。 “无穷”这一概念自古以来在数学中一直占据着重要的位置，与其有关的运算法则也无时不受到的争计。从某种意义上说，“无穷”可算是数学当中最迷人的概念之一。正如数学家外尔所讲：“数学是研究无穷的科学”，因而数学与无穷结下了不解之缘，从初等数学到高等数学，是人们的认识由“有限”到“无限”的过程，由具体到抽象的过程。 下文将要介绍的就是数学中无穷思想的巨大发展以及深刻变革，同时探寻它作为一种文化对人类物质生产与日常生活作出的启发与贡献。 1.数学无穷思想的起源及萌芽时期 1.1 远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。 在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。 在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷
一、古典管理理论的形成（20世纪初——20世纪30年代） 20世纪初至30年代，在美国、法国、德国分别诞生了具有奠基人地位的管理大师，即 “科学管理之父”——泰勒（F·W·Taylor） “管理理论之父”——法约尔（H·Fayol） “组织理论之父”——马克斯·韦伯（M·Weber）。 1.泰勒的科学管理理论 泰勒重点研究了在工厂管理中，如何提高效率的问题，代表作是《科学管理原理》（1911）。 科学管理理论的主要观点包括：（1）科学管理的中心问题，是提高劳动生产率。工人和雇主方都必须来一次“心理革命”，变对抗为信任，共同为提高劳动生产率而努力；必须配备“第一流的工人”，并且要使他们掌握标准化的操作方法、使用标准化的工具、并且使工作环境标准化。（2）对工人的激励，采取“级差计件工资制”。（3）把计划职能同执行职能分开，变原来的经验工作方法为科学工作方法。（4）实行职能工长制。（5）在管理控制上实行例外原则。（“例外”情况和问题是指各职能部门难以自身调节的或原权限中未列入的新情况、新问题。最高管理者应避免处理管理工作中的细小问题，而只有例外情况和问题才交由他处理，这样就保证了最高管理者有时间去考虑企业的方针政策、经营决策和人事任免等重大问题。） 泰勒的追随者们，依其理论进行了动作与工时等效率问题的研究；泰勒还首先提出领导的权力要与员工共享，而非加诸于员工，并把这一思想叫做参与式管理。
2.法约尔的一般管理理论（“经营管理”理论与“十四项组织原则”） 法约尔的理论贡献，体现在他的著作《工业管理与一般管理》（1916）当中。 他从四个方面，阐述了他的管理理论：（1）企业职能不同于管理职能，后者包含在前者之中；（2）管理教育的必要性与可能性；（3）分工、职权与职责、纪律等管理的14项组织原则；（4）管理5要素问题（计划、组织、指挥、协调、控制）。其中，关于管理组织与管理过程职能划分理论，对后来的管理理论研究，具有深远影响。 3.马克斯·韦伯的组织管理理论（“理想的行政组织体系理论”） 马克斯·韦伯主张建立一种高度结构化的、正式的、非人格化的“理想的行政组织体系”。他认为，这是对个人进行强制控制的最合理手段，是提高劳动生产率的最有效形式，而且在精确性、稳定性、纪律性和可靠性方面，优于其他组织。任何组织都必须有某种形式的权力作为基础才能实现目标，只有理性——合法的权力才适宜作为理想行政组织体系的基础。他的这些思想，体现在其著作《社会和经济组织的理论》之中。 古典管理理论阶段的特征与缺点 古典管理理论阶段的研究，侧重于从管理职能、组织方式等方面研究效率问题，对人的心理因素考虑很少，或根本不去考虑，忽视社会、心理等因素对管理组织中人的重大影响。 二、行为科学理论的发展（20世纪30年代——20世纪60年代） 20世纪20年代末到30年代初，世界经济危机使得管理学者们不得不注重在微观层面上研究“硬件”以外的造成企业效率下降的影响
浅谈量子理论的发展史 发表时间：2018-11-19T11:07:33.843Z 来源：《科技研究》2018年9期作者：王晋凯 [导读] 19世纪末，对于出现涉及分子、原子等新的物理现象与经典物理现象相悖时，经典物理学家努力用经典理论来诠释这些现象，显得顾此失彼，无能为力。 洛阳市第一高级中学洛阳 471000 摘要：19世纪末，对于出现涉及分子、原子等新的物理现象与经典物理现象相悖时，经典物理学家努力用经典理论来诠释这些现象，显得顾此失彼，无能为力。在1900到1926年间，以维恩、瑞利-金斯、爱因斯坦、薛定谔等为代表的物理学家们前仆后继，不断冲破旧的传统理论，提出了新的理论，建立了新的模型，并且很好地解决了量子理论的能量分立性概念与经典物理平滑连续概念之间的矛盾，进入了量子理论发展的快车道，最终使量子理论得以建立形成。 关键词：量子理论；普朗克；瑞利-金斯；波尔；爱因斯坦 1887年卡尔斯鲁厄大学的实验室中闪出一道令人兴奋的电火花，将古老的光学囊括进新兴的电磁学中时，赫兹将电磁学的大厦完美的封顶【1】。经典物理理论已成为金科玉律，似乎永不可动。1900年，开尔文在演讲中说：“在已经建成的科学大厦中，后辈物理学家似乎只要做一些零零碎碎的修补工作就好了。”但当人们站在物理学的大厦前沉湎于“晴朗天空的远方”时，“两朵小小的令人不安的乌云”被敏锐地发现，生产和技术的发展促使实验上一个又一个自然面纱被揭开。“两朵小小的乌云”却演化为两场革命性的风暴，下面两个新理论一曰量子论，二曰相对论，云霄雨霁，云蒸霞蔚。在霓虹中，现代物理学的大厦在这块基石上平地而起。而说起量子论无疑给人类提供了了解描述自然新的方法。 当原子、黑体辐射、光电效应等现象从实验室中走进人们的视野时，传统的物理学理论在对它们进行诠释时，显得捉襟见肘。20世纪初，新现象在发展良好的实验技术中接踵而至。面对新现象和经典理论的矛盾，人们不顾于旧思想，冲破原有的藩篱，寻幽入微，建立了新的理论【2】。 量子理论分为黑体辐射以及进一步的量子假设，基尔霍夫首先发现热辐射与腔体本身的材料没有必然关系，只受温度影响，这也是黑体辐射的雏形，之后斯特潘通过实验证明了辐射压力与辐射能量之间的比值为1：3。当热力学和光谱学的日益发展，衍生出了热辐射这一新兴学科的兴起。19世纪以来，这门科学在科学史上进行了一次伟大的变革--对于黑体辐射的研究，量子论可谓是从中脱胎的。 1893年德国物理学家维恩从热力学理论出发，提出了维恩公式。该公式在短波波段与实验结果符合的很好，但在长波波段就有明显误差。维恩又进一步推导出了半径公式，能够满足高频实验的需求。 到了1900年，瑞利和金斯则根据电磁振动现象，对辐射的频率以及能量分布进行系统的分析，并从电磁学出发提出了瑞利-金斯公式，在长波高温情况下，与实验相符，但在短波波段同实验相矛盾【3】。需要注意的是这种公式能在低频实验中取得很好的效果，但是高频实验却达不到实际要求。 后来，普朗克希望综合两个公式，相加之和提出了普朗克辐射定律，与实验结果极为吻合。然而，治学严谨的普朗克不满足经验公式，在1900年底从玻尔兹曼的思路出发，成功推导出公式。在他的墓志铭上镌刻着，他提出了量子假说，自此物理学迎来新的曙光。伟大的普朗克通过引入量子这一划时代的概念，为公式提供了强有力的支撑，而且可以对能量进行假设，即使发生辐射或者吸收辐射时，都是不可分割的形式，这与定律完全吻合。 自1887年赫兹偶然发现光电效应，人们对其用传统理论解释时碰了壁，直到1905年，爱因斯坦在《关于光的产生和转化的一个启发性观点》一文中，用全新的光量子理论解释了光电效应。不仅推导出量子能量的大小，也发现动能和逸出功的规律，证实了只要频率足够高，量子的能量也越大，而光强只是和电子的数目有关系。 1911年，英国物理学家卢瑟福从粒子散射实验中得出了有核模型，但传统电磁理论给他戴上了思想枷锁，根据经典理论，卢瑟福的有核模型是不能稳定存在的。他不断向外辐射电磁波直至电子落到核上，而且原子光谱也将成为连续变化的，然而这与事实相符。1912年的一天，德拜成功地解释了低温热熔现象，并展开论述了相关的量子理论。 卢瑟福的学生波尔对有核模型深信不疑，然而他也知晓老师面临的问题。但他认识到：“只有量子假说是摆脱困境的出路”。1913年初，他的好友汉森向他介绍了氢原子光谱的信息。巴尔曼公司和卢瑟福模型内在的关联，写出了《论原子构造和分子构造》的论文，提出了量子不连续的观点，较为完整地解释了氢原子和类氢原子的结构性质。同年，赫兹使用电子撞击原子，结构发现了能级，也就是原子之间存在间隔不同的能级，波尔首先对氢原子的能级做出了定义，也就是跃迁现象。 然而，波尔并没有完全抛弃旧的电磁学理论，他的理论仍带着旧传统理论观念的帽子，所以后人是将1900-1923年发展起来的量子论称为旧量子理论。尽管旧量子理论在推动光谱以及能级方面取得了明显的突破，但是由于当时技术和条件的掣肘，还遗留下诸多问题没有解决，比如金属原子一些双重的结构，角动量旋转情况以及兼容条件等，还需要后世科学家前仆后继，夜以继日地钻研。 到了1923年，法国物理学家德布罗意在博士毕业论文《量子论的研究》中，提出了实物粒子的波动特性,这来自于爱因斯坦和布里渊的观点。前者提出了光量子假说启示了年轻的德布罗意，而后者研究的结晶，可以说是德布罗意和薛定谔对量子物理的研究奠基。 但他的论文发表后却受到了冷遇，多亏他的导师郎之万将论文寄给了爱因斯坦。否则天才的思想将被扼杀。而爱因斯坦受美学陶冶，他认为自然界一定具有对称之美，只有这样才是和谐的，这与他的光具有粒子性的观点完美契合。他说：“看看吧！想法很疯狂，不过很值得一试”。之后，戴维森和G.P.汤姆森得到电子在晶体中的衍射图样，证实了德布罗意的观点，由于这样伟大的工作使他们共享了1937年的诺贝尔物理学奖。通过在分子和辐射之间寻找平衡，爱因斯坦创造性地引入了跃迁机制，将吸收、自发以及诱发的辐射情况进行分析，发现辐射的能量与跃迁的几率成正比例关系，这也就为狭义相对论提供了实际佐证，因为量子的能量是单方向的，如果发生转移，那么就是辐射和分子之间的动量转移，所以这个量子就是大名鼎鼎的光子，随后在1924年，由玻色概括出同种光子的集合就是常说的辐射，并且有先前的普朗克公式作证明。随后的一段时间，实验室研究人员进一步加大了对波动现象的研究，发现矩阵力学的规律与波动力学的规律如出一辙，而且能够替换。玻恩很好地抓住了机会，在波动力学进展不顺的情况下，使用矩阵力学处理粒子碰撞问题，结果成功推导出了流
级数理论发展史简说 我们这个学习了级数理论，但是我们知道仅仅是结果，对于过程确实不甚了解。 级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，从芝诺(Zeno of Elea，约公元前490一约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数，亚里士多德(Aristotle)也认为这种公比小于1的几何级数有和，到阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前212)在他的《抛物线图形求积法》一书中，在求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和，这是中国对于级数也有所发现，中国古代的《庄子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。在中世纪，无穷级数的发展已经到了一个很高的水平，其中最为杰出的代表人物要数奥雷姆，他明确几何级数有两种可能性，当公比大于等于1时，无穷几何级数有无穷和；当公比小于等于I时有有限和。但由于仅限于文字叙述和几何方法，所以十五、六世纪对于级数的研究没有取得重大进步。17世纪到18世纪，可以说是级数理论发展的黄金时期，先是1669年夏牛顿详细写下关于级数研究的论文《用无限多项方程的分析学》,然后是莱布尼兹用同样的方法得到了结果，再然后是格雷戈、泰勒，并且发展了泰勒定理，还有拉格朗日、斯特林等一系列的数学家地域级数理论的研究都做出了巨大的贡献。而级数理论的形成和建立是在19世纪，柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论才得以真正的完善。 级数理论的发展可以分成几个时期：级数的早期工作、函数的展开、级数的求和、收敛与发散的初探、理论的形成、理论的建立、一致收敛、影响与发展、渐近级数、级数的可和性。每个时期都经过很长的时间才得以发展，都是经过很多数学家的共同努力才得出的结果。 微积分诞生以后，18世纪的数学家把他们的天才表现在大胆的发明上，尽可能地施展自己高超的技巧，发挥并增进微积分的威力，从而使微积分扩展成为一个由许多具有专门应用价值的分支所组成的庞大领域—分析学。这些分支包括微分方程、微分几何、变分法、无穷级数和偏微分方程。而无穷级数在18世纪的形式发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。无穷级数作为分析