第十二章 圆
第一节 圆的基本问题
【知识点拨】
1、不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
2、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性。这是圆最基本最重要的性质，是证明垂径定理的有力工具。
3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这弦对的两条弧。 实际上，一直线只要满足（1）经过圆心、（2）垂直于弦、（3）平分弦、（4）平分弦所对的弧中的一条、（5）平分弦所对弧中的另一条；在这五条中，只要有两条是正确的，则其他三条必然成立。
4、如图，它是关于垂径定理及其推论的基本图形，一定要
很好掌握。
【赛题精选】
例1、已知⊙O 的半径为5cm ，它的两条弦长是方程
048142
=+-x x 的两个根。求这两条平行弦间的
距离。
【说明】（1）要注意定理的条件及选择；（2）关于垂径定理及推论的基本图形要记清；（3）要能考虑到图中的两条平行弦相对于圆心有两种可能的位置关系。
例2、如图，⊙O 是锐角△ABC 的外接圆，H 是两条高的交点，OG ⊥BC 于G 。 求证：AH ＝2OG 。
例3、⊙O 的半径为2，其内一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧组成一弓形，求此弓形面积的最小值。
【说明】圆的旋转对称性是圆的最基本的性质，要善于抓住这一性质处理相关问题。 例4、在△ABC 中，AC ＝24，BC ＝10，AB ＝26，则它的内切圆半径为（ ） A 、2.6 B 、4 C 、13、 D 、8
【说明】（1）此法对求任何三角形的内切圆的半径均适用；（2）另本题还可用切线长定理求解。
例5、如图，⊙O
1、⊙O
2
交于点A、B，过A的直线分别交⊙O
2
、⊙O
3
于M、N，C为MN的中点，P为O
1
O
2
的中点。
求证：PA＝PC。
【说明】本例主要用垂径定理证明，如按下图作两圆的直径AE、AF，延长AP交EF于G也可证明。【针对训练】
第二节和圆有关的角
【知识点拨】
和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。圆周角是五种角的核心。本节只探讨前四种与圆有关的角，其中后两种角的概念及这四种角的有关性质如下：
1、顶点在圆内的角叫圆内角（圆心角是圆内角的特殊情形）；
2、顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角；
3、度数定理
（1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（2）圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
（3）圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。
（4）圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半。
（5）同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
（6）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；圆周角是直角，它所对的弦是直径。
（7）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题，常常要用到这些角，因此，熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆问题中极其重要的一环。
【赛题精选】
例1、锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝600，∠BAC＝360，作OE⊥AB交劣弧
AB于点E，连接EC，
求∠OEC。
【说明】（1）在平面几何中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论；
（2）在圆中求角的大小经常需用与圆有关的角的定理。
例2、已知在等腰△ABC中，AB＝AC，D为腰AC中点，DE平分∠ADB交AB于E，⊙ADE交BD于N。
求证：BN＝2AE。
【说明】
（1）在同圆或等圆中，同弧和等弧不仅所对的圆心角、圆周角相等，而且弦也相等；
（2）在圆中证明三角形全等、相似时，如需用角时常需考虑与圆有关的角；
（3）本例中的两条线段AE、BN较为分散，把它们聚合到同一三角形BNE中就易于解决问题；
（4）如图，本例中过A、E、D的圆与BD的延长线交于N点时的证法，可以自行证明。
例3、已知M为劣弧
?
AC的中点，B为
?
AM上任一点，MD⊥BC于D。
求证：AB＋BD＝DC。
【说明】证明一线段等于另两线段之和一般可采用“接短法”或“截长法”。
例4、已知圆内四边形ABCD的对角线互相垂直，过点A、B作CD的垂线（垂足为A1、B1）分别交对角线AC、BD于M、K。
求证：四边形AKMB是菱形。
【说明】（1）要证明四边形是一特殊平行四边形，一定要抓住有关概念和有关判定定理采用分层推进、各个击破的方法逐一证得所需的条件；
(2)在寻找具体方法时要结合题中具体条件和图形，选择适当的证明方法。
例5、⊙O内有两条互相垂直的弦AC、BD。
求证：AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝定值。
【说明】在处理探索问题时除了常用的特殊位置来探求结果，还经常考虑一些极端情形，以求获得探索结果。如D重合于A时，即有AD＝0、BC＝2R，故AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AB2＋BC2＋CA2＝2×（2R）2＝8R2。
例6、已知折线ACD是⊙O的一条折弦，点B在⊙O上，且
?
AB＝
?
AB，BM⊥AC于M。
求证：AM＝MC＋CD。
【说明】（1）本题是江苏省第12届初中数学竞赛第六题，这也是著名的阿基米德折弦定理。（2）它的证明方法有多种，下面三种辅助线的情形自己证明。
【针对训练】
第三节圆的内接四边形与四点共圆
【知识点拨】
圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，因为顺次连接共圆四点就成为圆内接四边形。此节中涉及两个基本问题：（1）四点共圆的判定；（2）四点共圆的性质的应用。
证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等、相似占有同等重要的地位。实际上，在许多题目中的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论。因此，证明四点共圆就给研究几何图形的性质，开拓了新的思路。
判定四点共圆的方法：
1、到一定点等距离的几个点共圆；
2、同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
3、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆；
4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；
5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；
6、四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA〃PB＝PC〃PD，则它的四个顶点共圆。
7、四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若PA〃PB＝PC〃PD，则它的四个顶点共圆。
上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也是成立的。
另外，还有关于四边形与对角线之间长度关系的托勒密定理也是很重要的。即：
如果四边形ABCD四个顶点共圆，那么AB〃CD＋AD〃BC＝AC〃BD。
【赛题精选】
例1、求证：同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
【说明】（1）证明一些最基本的问题，在条件很少时可考虑用反证法。
（2）在反证时，不要漏掉结论反而面的各种情况。
例2、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线，其与各边的交点分别是E、F、G、H。
证明：E、F、G、H四点共圆。
【说明】在证明四点共圆时，如能知道圆心的位置，可设法用圆的定义证。
例3、⊙O
1与⊙O
2
相交于A、B，P是BA延长线上一点，割线PCD交⊙O
1
于C、D，割线PEF交⊙O
2
于E、F。
求证：C、D、E、F四点共圆。
【变题】：如右下图，两圆交于点A、B，点P为BA的延长线上一点，两割线PCD、PEF分别交于圆C、D 和E、F，且D、B、F三点共线。
求证：A、C、P、E四点共圆。
例4、证明：锐角三角形三条高是垂足连成三角形的内角平分线。
【说明】要充分利用已知的垂直关系再考虑到要证明角的相等关系，故应构造圆，利用圆中有关的角来过渡。
例5、已知P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。PO与AB交于M，过M作⊙O的弦CD。
求证：∠CPO＝∠DPO。
【说明】在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助于圆的性质，问题才能得以解决，而我们需要直接用的圆并不存在［有时问题中条件就根本没有涉及圆，有时虽然在题中讲到圆，但此圆并不是我们直接要用的圆（如本题）］，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要到的实际存在的圆找出来。
例6、求证：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积，那么这个四边形是圆内接四边形。
【说明】（1）本题又给出了证明四点共圆的一种方法，它是利用四边形的边和对角线的长度来判定的。（2）其逆命题是著名的托勒密定理，并且该定理有着广泛的运用。下面介绍托勒密定理的证明及其应用。
例7、已知四边形ABCD 内接于圆。
求证：A B ·DC ＋BC ·AD ＝AC ·BD 。
例8、已知△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：4。
求证：BC
AC
AB
111=
+
。
【说明】（1）在一个证明题中，如从要证明的结论出发能变为和托勒密定理反映的和圆的内接四边形的性质的结论类似的形式，可考虑构造圆，然后用托勒密定理。
（2）在一些计算题中，题中给了圆，如一般方法不秦奏效，不妨试一试托勒密定理。
（3）本题若以C 为圆心，CB 长为半径作弧交AB 于D 、交AC 于E ，连接CD 、DE ，并设∠A ＝α，∠B ＝2α，∠C ＝4α，△ABC 的内角和为7α，请自己证明，并比较两种证法。
（4）本题实际上提供了本书第十一章第一节相似三角形中例6的又一种证法。
关于托勒密定理还有如下的推广：在凸四边形ABCD 中，AB 〃DC ＋BC 〃AD ≥AC 〃BD ，当且仅当四边形内接于圆时取等号。
例9、已知两同心圆O ，四边形ABVD 内接于圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍。
求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥2倍四边形ABCD 的周长，并确定等号成立的条件。
【针对训练】
第四节 圆幂定理
【知识点拨】
1、相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值）。如图，即
2
2
r
OP
PB PA -=?＝定值。
2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。
3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段间的比例，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
【赛题精选】
例1、在△ABC 中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM 交AB 于L ，交AC 于N 。
求证：BL ＝CN 。
例2、⊙O 1与⊙O 2相交于M 、N ，D 是NM 延长线上一点，O 2O 1的延长线交⊙O 1于B 、A ，AD 交⊙O 2于C ，MN 交O
1O 2、BC 于E 、G 。
求证：EM 2＝ED ·EG 。
【说明】（1）在圆中要证明比例线段或证明线段积等情况通常找中间比或中间积过渡。 （2）此题若再“已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是4、6，且OO ＝5”，而且改为求“ED 〃EG ”，则如何求解？请自行证明。
例3、⊙O与⊙O相交于M、N，公切线为AB、CD，直线MN交AB、CD于点E、F。
求证：EF2＝AB2＋MN2。
【说明】本例是紧抓AB＝4AE＝4EM〃EN，采用先拆后合的方法导出结论的。而有的形如本例结论形式的问题还要通过找中间比或中间积来过渡。如下例：
例4、四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，EP切圆于P，FS切圆于S。
求证：EF2＝EP2＋FS2。
【说明】在该题中，如再分别以点E、F为圆心，EP、FS为半径，作弦在圆内交于点H，则可证明EH⊥FH。
例5、B是⊙O的切线PA的中点，过B引⊙O的割线与⊙O交于点D、C，PD的延长线交⊙O于E，PC交⊙O于F。
求证：AP∥EF。
例6、证明：三角形三条平分线的积小于三条边的积。
例7、AB是⊙O中任意一弦，M为AB中点，过M任意作两条弦CD、EF，连接CE｜DF分别交AB于G、H。
求证：MG＝MH。
【说明】本例是著名的“蝴蝶定理”，可通过改头换面，加以适当变形，使之成为一道初等数学问题。
例8、在Rt△ABC中，D在斜边BC上，BD＝4DC，一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB 的中点G。
求证：AD⊥BF。
【针对训练】
第五节圆与直线、圆与圆的位置关系
【知识点拨】
1、直线与圆的位置关系
2、圆与圆的位置关系
3
（1）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的（圆心角的）度数的一半。
（2）弦切角定理的推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。
（3）弦切角的度数定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
4、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
5、两圆公切线的性质
（1）两圆的外公切线长（或内公切线长）相等；
（2）两圆的外公切线与连心线或者相交于一点或者平行。
6、公切线的作法及长度计算
本节的两种位置关系和性质是研究直线与圆、圆与圆的基础。要求会用运动变化的方法去考虑两种位置关系，能了解它们之间的区别与联系。
在处理有关相切（或相交）的几何问题时，其基本思路是由位置关系确定线段或角的数量关系，反之由数量关系确定相关的位置关系。在解决解决这样的问题过程中，经常转化为直角三角形、相似三角形，利用勾股定理，以及相似三角形的若干性质来解决问题。
【赛题精选】
例1、AB为半圆O的直径，AP⊥AB，C为半圆O上一点，CD⊥AB于D，E
是CD的中点，BE交AP于P。
求证：PC是半圆O的切线。
【说明】证明切线的方法一般有：（1）直线与圆有唯一的公共点；（2）圆心到直线的距离等于半径；（3）过半径外端的直线和半径垂直；（4）垂直半径的直线过半径外端。
本例采用的是（3）。
例2、过P作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，又PC满足AB·PB－AB·PC－AC·PB，
且AP⊥PC，∠PAB＝2∠BPC。
求∠ACB。
【说明】方程的思想在几何中的计算问题中是相当有用的。
例3、PA切⊙O于A，PEF交⊙O于F、E，AC平分∠EAF，交PE于C，PB∠平分APE交AE、AF分别于B、D。
求证：ABCD为菱形。
【说明】（1）要判断一个图形的形状不仅要对判定方法熟悉，还要能结合题中条件选择较易的方法证明之。
（2）本例可以推广为：
如图，PE、PH分别是圆的割线且与圆分别交于F、E、G、H。∠HPE的平分线交QF、QE于D、B，∠FQE的平分线交PH、PE于A、C。
求证：ABCD为菱形。（请自行证明）
例4、AB是半⊙O的直径，AC⊥AB，AC＝AB，在半圆上任取一点D，作DE
⊥CD交AB于E，BF⊥AB交线段AD的延长线于点F。
（1）设弧AD是X0的弧，若要使点E在线段BA的延长线上，求X的聚会范围。
（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出它们，并加以证明。
【说明】（1）要学会用运动变化的观点和极端原理考虑问题；（2）在圆中要探寻线段相等，要充分利用相似三角形。
例5、已知两圆的半径分别是R、r，圆心距为3，且R、r、R＋r恰为方程x3-6x2+11x-6=0的三根，问这两个圆的位置关系如何？
【说明】判断两圆位置除了本例的方法，还用到公切线的条数。但要注意，不能仅由内公切线或外公切线的条数来判定，还要添加其他附加条件；同样也不能用两个圆的交点的个数来判定。
例6、两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD与小圆交于点E、F，
直线EF交大圆于B、C。
求证：∠APB＝∠CPD。
【说明】（1）要能针对直线和圆、圆和圆的各种位置关系灵活地添上常用而且是适用的辅助线。如本例是添加的过两圆的切点的公切线。（2）本例还可以变形为：
变题1：如图，⊙O
1与⊙O
2
外离，一直线与⊙O
1
交于A、D，与⊙O
2
交于B、C，O
1
O
2
分别交⊙O
1
、⊙O
2
于E、
F，AE、BF的延长线交于P，DE、CF的延长线交于Q。
求证：∠APB＋∠CQD＝1800。
变题2、⊙O
1内含⊙O
2
，⊙O
1
的弦AB切⊙O
2
于点C，O
1
O
2
分别交⊙O
1
、⊙O
2
于E、F，AE、BE与FC分别交
于P、Q。
求证：∠APC与∠BQC相等或互补。
例7、⊙O
1与⊙O
2
外切于P，射线AP分别交两圆于N、M，AB、AC分别切
⊙O
1与⊙O
2
于B，且
2
1
AO
AC
AO
AB
=。
求证：（1）AP平分∠BAC；（2）AP2＝A M·AN。
【说明】本例中的相切条件不变，（1）若AP平分∠O
1
AO
2
，则
P
O
P
O
AC
AB
2
1
=；（2）能否由AP＝AMAN证明AP平分∠OAO？读者自己考虑。
例8、在等边△ABC所在的平面内，问有多少点P使△PAB、△PBC、△
PCA为等腰三角形。
信息技术学科信息学奥赛社团培训计划 制定人：玄王伟 2018年10月
信息学奥赛培训计划方案推进信息技术教育是全面实施素质教育的需要，是培养具有创新精神和实践能力的新型人才的需要。信息学奥赛的宗旨为：“丰富学生课余生活，提高学生学习兴趣，激发学生创新精神。”为此，我们应以竞赛作为契机进而培养学生综合分析问题、解决问题的意识和技能。 为响应学校号召，积极参与信息技术奥林匹克竞赛，校本课程特别开设C++语言程序设计部分，利用社团活动时间对部分学生进行辅导。教学材料以信息学奥赛一本通训练指导教程为主，力图让学生们对编写程序有较深入了解的同时，能够独立编写解决实际问题的算法，逐步形成解题的思维模式。因学习内容相对中小学学生具有一定的难度，本课程采用讲练结合的形式，紧紧围绕“程序=算法+数据结构”这一核思想，以数学问题激发学生学习兴趣，进而达到学习目标。为更好地保证信息学奥赛的培训效果，特制订本培训计划。 一、培训目标 1.使学生具备参加全国信息学奥林匹克竞赛分区联赛NOIP（初赛、复赛）的能力。 2.使学生养成较好的抽象逻辑推理能力、严谨的思维方式和严密的组织能力，并使学生的综合素质的提高。 3.使学生初步具备分析问题和设计算法的能力。 二、培训对象 我校小学及初中对信息学感兴趣且初赛成绩较好的学生，人数共
计14人，其中小学组12人，普及组2人。 三、培训要求 严格培训纪律，加强学生管理；信息学社团的组建由学生自愿报名、教师考察确定；培训过程中做与培训无关的事如打游戏、上网聊天等，一经发现作未参加培训处理；规定的作业、练习必须按时保质保量完成，否则按未参加培训处理。 四、培训内容 1.深入学习计算机基础知识，包括计算机软硬件系统、网络操作、信息安全等相关知识内容，结合生活实际让学生真正体会到参加信息学奥赛的乐趣。 2.全面学习C++语言的基础知识、学会程序的常用调试手段和技巧，在用C++解决问题的过程中引入基础算法的运用。 3.深入学习各类基础算法，让学生真正理解算法的精髓，遵循“算法+数据结构=程序”的程序设计思想，在算法设计的教学实例中引入数据结构的学习，从而形成一定的分析和解决问题的能力。 4.以实例为基础，展开强化训练，使学生开始具备运用计算机独立解决实际问题的能力。用计算机解决现实问题的最重要的一个前提就是数据模型的建立和数据结构的设计。数据模型的建立、数学公式的应用，是计算机解决问题的关键。因此，加强与数学学科的横向联系非常必要。 五、培训时间 自2018年10月份第三周开始至2018年11月中旬结束，包括每
高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式： 基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π
最全的的初中数学公式大全 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
信息学奥赛一本通算法（C++版）基础算法：高精度计算 高精度加法(大位相加) #include 初中数学公式表 实用工具:常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 数学公式及性质（完整版） 1．乘法与因式分解 ①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。2．幂的运算性质 ①a m×a n＝a m+n；②a m÷a n＝a m-n；③(a m)n＝a mn；④(ab)n＝a n b n；⑤(a b )n＝n n a b ； ⑥a-n＝1 n a ，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。 3．二次根式 ①()2＝a(a≥0)；②＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，b≥0)。4．三角不等式 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）； 加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b） |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|；-|a|≤a≤|a|； 5．某些数列前n项之和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2； 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3； 信息学奥赛一本通题解目录:信息学奥赛取消 第1章 数论1．1 整除1．2 同余1．3 最大公约数1．3．1 辗转相除法1．3．2 进制算法1．3．3 最小公倍数1．3．4 扩展欧几里得算法1．3．5 求解线性同余方程1．4 逆元1．5 中国剩余定理1．6 斐波那契数1．7 卡特兰数1．8 素数1．8．1 素数的判定1．8．2 素数的相关定理1．8．3 Miller-Rabin素数测试1．8．4 欧拉定理1．8．5 PollardRho算法求大数因子1．9 Baby-Step-Giant-Step及扩展算法1．10 欧拉函数的线性筛法1．11 本章习题第2章群论2．1 置换2．1．1 群的定义2．1．2 群的运算2．1．3 置换2．1．4 置换群2．2 拟阵2．2．1 拟阵的概念2．2．2 拟阵上的最优化问题2．3 Burnside引理2．4 Polya定理2．5 本章习题第3章组合数学3．1 计数原理3．2 稳定婚姻问题3．3 组合问题分类3．3．1 存在性问题3．3．2 计数性问题3．3．3 构造性问题3．3．4 最优化问题3．4 排列3．4．1 选排列3．4．2 错位排列3．4．3 圆排列3．5 组合3．6 母函数3．6．1 普通型母函数3．6．2 指数型母函数3．7 莫比乌斯反演3．8 Lucas定理3．9 本章习题第4章概率4．1 事与概率4．2 古典概率4．3 数学期望4．4 随机算法4．5 概率函数的收敛性4．6 本章习题第5章计算几何5．1 解析几何初步5．1．1 平面直角坐标系5．1．2 点5．1．3 直线5．1．4 线段5．1．5 多边形5．1．6 初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 ° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等( 即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 ° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即a^2+b^2=c^2 高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 武平一中信息学奥林匹克竞赛校本课程 C++编程 第一课时：认识C++程序和DEV-C++集成开发环境 一．学习目标： 1．认识C++程序结构； 2．掌握编程基本步骤； 3．记住“保存”、“编译”和“运行”的快捷键（ctrl+s、F9、F10） 二．学习内容与步骤： 1．双击桌面图标，启动DEV-C++集成开发环境，单击“文件”菜单下的“新建——>源代码”命令，在程序编辑区输入下面程序： #include 高等数学公式篇 导数公式： 基本积分表： C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-=' 初中数学常用的概念、公式和定理 1. 整数（包括:正整数、0、负整数）和分数（包括:有限小数和无限环循小数）都是有理数. 如:－3, ,0.231,0.737373…, , .无限不环循小数叫做无理数..如:π,－ - ,0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）.有理数和无理数统称为实数. 2. 绝对值:a ≥0 丨a 丨=a;a ≤0 丨a 丨=－a. 如:丨－ 丨= ;丨3.14－π丨=π－3.14. 3. 一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这 个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4. 把一个数写成±a×10n 的形式（其中1≤a<10,n 是整数）,这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－ 5. 5. 被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数 的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位. 如:已知 =0.4858,则 =48.58;已知 =1.558,则 =0.1588. 6. 整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项式,用一个多- 项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项 分别除以这个单项式. 7. 幂的运算性质:①a m ×a n =a m+n .②a m ÷a n =a m －n .③(a m )n =a mn .④(ab)n =a n b n .⑤( )n =n.⑥a －n =n, 特别:( )－n =( )n .⑦a 0=1(a ≠0). 如:a 3×a 2=a 5,a 6÷a 2=a 4,（a 3）2=a 6,（3a 3）3=27a 9,（－3）－1=－ ,5－2= = ,（ ）－2=（ ）2= ,（－ 3.14）0=1,（ － ）0=1. 8. 乘法公式（反过来就是因式分解的公式）:①（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2.②（a±b）2 =a 2±2ab+b 2. ③（a+b ）（a 2－ab+b 2）=a 3+b 3.④（a －b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－b 3;a 2+b 2=（a+b ）2－2ab,（a － b ）2=（a+b ）2－4ab. 9. 选择因式分解方法的原则是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平 方差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法（特殊的用完全平方公式）,三项以上用 分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 10. 分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法 应先把分母分解因式,再通分（不能去分母）.注意:结果要化为最简分式. 11. 二次根式:①（ ）2=a （a ≥0）,② =丨a 丨, 如:①（3 ）2=45.② =6.③a<0时, =－a .④ 的平方根=4的平方根=±2. 12. 一元二次方程:对于方程:ax 2+bx+c=0:①求根公式 (a>0,b ≥0). ,其中=b 2－4ac 叫做根- 小学到初中数学公式大全 小学数学公式大全 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一部分：概念 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O 除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。 异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 初三数学公式大全 小编为大家整理了有关几何体部分的所有初三数学公式大全进行了汇总，方便大家查阅记忆。 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。 如一些基本公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 组合数学 >最不枯燥的排列组合学习！ 尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街…… 忙着刷题后期肯定没办法写总结， 就只好一边学习一边填坑啦啦啦。 ^上面的都是废话^ ————————————————————————————— 一、什么是组合数学（完全没用，建议跳） 对于很多计数类问题， 由于方案数过于巨大， 我们无法用搜索的方式来解决问题 因此我们需要对计数类问题进行一些优化 这些优化就是组合数学研究的内容 ：（没错就是研究计数类问题） ———————————————————— 二、基本原理 加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏 乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么 完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。 （这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～） 三、排列与组合 ：（弱小的主角） 排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示 公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)! （自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘） 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示 公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!) （自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中 排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦） 高精度加法(大位相加) #include 主页君整理的超全数学公式，整理了好久TT 。果断保存，不用浪费时间找公式了~ 这篇高等数学公式大全分享到考研数学交流群的群共享中，有其他好的资料我也会上传上去滴~建这个群主要是资料共享和交流，大家复习中遇到的问题可以在群里讨论，互相促进~ 考研数学交流群， 高等数学公式 导数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222???+++++= +-= ==-C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n )ln(1 cos sin 222 2 2 2 2 22 2 π π 初一数学公式大全 1 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积C周长∏ d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 信息学（计算机）奥林匹克竞赛辅导教程浙江金华第一中学《信息技术》教研组 金华一中信息学（计算机）奥林匹克竞赛辅导教程 目录 第一部分试题的知识范围1 一、初赛的要求1 二、复赛内容与要求2第二部分计算机基础知识3 一、计算机的诞生、发展、特点及应用3 1.计算机的诞生和发展3 2.计算机的分类3 3.计算机的特点3 4.PC机及其系统配置3 5计算机在现代社会中的应用4 二、计算机系统组成及工作原理4 1.计算机的系统组成4 2.计算机语言的发展5 3.计算机的工作原理6 三、计算机信息安全6 1.计算机系统的危害来源6 2.计算机系统的安全策略6 3.计算机病毒的概念6 4.计算机病毒的种类7 5.计算机病毒的特征7 6.计算机病毒的传染途径7 四、计算机网络基础7 1.计算机网络的相关定义7 2.计算机网络的功能7 3.计算机网络发展的几个阶段7 4.计算机网络的组成8 5.计算机网络的分类8 6.计算机网络的体系结构和网络协议9 7.网际协议IP与IP地址12 8Internet的域名13 9.常见计算机网络的应用13 五、计算机中数的表示及运算15 1.十进制数16 2.二进制数16 3.八进制数与十六进制数17 4.其他进制数与十进制数之间的转换19 5.计算机中数的表示19 6.字符与汉字的编码22六图形化视窗操作系统23 1.图形用户操作系统23 2.Windows家族23 3.Windows98的主要功能与特性23 七、数据库系统简述24 1.数据库的基本概念24 2.数据表的结构24 3.表结构24 第一部分试题的知识范围 一、初赛的要求 1.1计算机的基本常识 ①计算机和信息社会（信息社会的主要特征、计算机的主要特征、数字通信网络的主要特征、数字化） ②信息输入输出基本原理（信息交换环境、文字图形多媒体信息的输入输出方式） ③信息的表示与处理（信息编码、微处理部件MPU、内存储结构、指令、程序，和存储程序原理、程序的三种基本控制结构） ④信息的存储、组织与管理（存储介质、存储器结构、文件管理、数据库管理） ⑤信息系统组成及互连网的基本知识（计算机构成原理、槽和端口的部件间可扩展互连方式、层次式的互连结构、互连网络、TCP/IP协议、HTTP协议、WEB应用的主要方式和特点） ⑥人机交互界面的基本概念（窗口系统、人和计算机交流信息的途径（文本及交互操作）） ⑦信息技术的新发展、新特点、新应用等。 1.2计算机的基本操作 ①Windows和Linux的基本操作知识 ②互联网的基本使用常识（网上浏览、搜索和查询等） ③常用的工具软件使用（文字编辑、电子邮件收发等） 1.3程序设计的基本知识 1.3.1数据结构 ①程序语言中基本数据类型（字符、整数、长整数、浮点） ②浮点运算中的精度和数值比较 ③一维数组（串）与线性表 ④记录类型（Pascal）/结构类型（C） 1.3.2程序设计 ①结构化程序设计的基本概念 ②阅读理解程序的基本能力 ③具有将简单问题抽象成适合计算机解决的模型的基本能力 ④具有针对模型设计简单算法的基本能力 ⑤程序流程描述（自然语言/伪码/NS图/其他） ⑥程序设计语言（Pascal/C/C++,2003年仍允许BASIC） 1.3.3基本算法 ①初等算法（计数、统计、数学运算等） ②排序算法（冒泡法、插入排序、合并排序、快速排序）《初中数学公式大全》
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