习题分析和解答
[第一章
△1. 3. 6一抽气机转速1m in 400-?=r ω，抽气机每分钟能抽出气体20 l (升)。设容器的容积 V 0 = 2.0 1，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101 Mpa 降为 133 Pa 。 设抽气过程中温度始终不变。
〖分析〗： 抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V , 因而压强有所降低。 活门关上以后容器内气体的容积仍然为 V 0 。下一次又如此变化，从而建立递推关系。
〖解〗： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得：
活塞运动第一次：
)(0100V V p V p +=
0001p V V V p +=
活塞运动第二次： )(0201V V p V p +=
020
01002p V V V p V V V p ???? ??+=+= 活塞运动第n 次： )(001V V p V p n n +=-
n n V V V p p ???? ??+= 000 V V V n p p n n +=00
0ln
（1） 抽气机每次抽出气体体积 l 05.0l )400/20(==V l 0.20=V Pa 1001.150?=p Pa 133=n p
将上述数据代入（1）式，可解得 276=n 。
则 s 40s 60)400/276(=?=t
1. 3. 8 两个贮着空气的容器 A 和 B ，以备有活塞之细管相连接。容器A 浸入温度为 C 10001=t 的水槽中，容器B 浸入温度为 C 2002-=t 的冷却剂中。开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这时容器 A 及 B 中空气的压强分别为 MPa 3053.01=p ，MPa 0020.02=p 。它们的体积分别为 ,l 25.01=V l,40.02=V 试问把活塞打开后气体的压强是多少？
〖分析〗： 把活塞打开后两容器中气体混合而达到新的力学平衡以后，A 和 B 中气体压强应该相等。但是应注意到, 由于 A 和 B 的温度不相等，所以整个系统仍然处于非平衡态。 我们不能把 A 和B 气体的整体作为研究对象, 而先把从 A 流入 B 的那部分气体作为研究对象，求出它的物质的量（ 即 mol 数 ），然后按照混合前后 A 和 B 总的物质的量不变这一点列出方程。 〖解〗：设原容器 A 中有 V ? 体积的气体进入容器 B ，且打开活塞后气体压强为 p 。对原容器 A 中 剩下的)(1V V ?- 体积的气体进行研究，它们将等温膨胀到体积 1V ，因而有
111)(pV V V p =?-
（1）按照理想气体方程, 有 T pV R ν/= 关系，原容器 A 中 V ? 体积的气体和原容器 B 中 2V 体积的气体进行研究，它们合并前后物质的量应该不变，所以
2
222211T pV T V p T V p =+? （2）由（1）式、（2）两式化简可得
21221111)(T p p p V T V p pV V -=?=- 21211222
11V T T V T V p T V p p ++=
代入上述数据，可以得到活塞打开后气体的压强 Pa 1098.24?=p 。 △1. 3. 10 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。先对管子加热，使从开口端温度 1 000 K 均匀变为闭端 200 K 的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为 100 K ，试问管中最后的压强是多大？
〖分析〗： 开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为 100 K 以
后, 长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为 100 K 以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用 p= n kT 公式。
〖解〗：因为管子是一端开口的，所以 0p p =。显然，管子中气体的温度分布应该是
x L x T 2001000200)(-+
=
（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑 x ~ x + dx 一 段气体, 它的分子数密度为 n ( x ) , 设管子的横截面积为 S, 考虑到 p = n kT , 则这一小段中的气体分子数为 x x kT Sp x x Sn N d )(d )(d =
=
管子中气体总分子数为 )(d 0x T x k Sp N L ??=
利用（1）式可得 x L x k Sp N L d )800200(10-+?=
?
管中气体最后的压强是p 1（01p p =）, 温度是 T ， .则
kT SLp N /1= 由上面两式相等 , 最后可以计算出
020.05ln )8/1(p p p ≈??=
即：管中气体最后的压强为020.0p 。 1. 4. 1 在什么温度下，下列一对温标给出相同的读数（如果有的话）：
(1) 华氏温标和摄氏温标； （2）华氏温标和热力学温标； （3）摄氏温标和热力学温标?
〖提示〗：利用 F 32C 5900F ??????+?=t t ，
C K]15.273[0-=T t 。 〖答〗：（1）－40 ℃；（2）575 K ；（3）没有。
1. 4. 2 定体气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为
Pa 107.63?。 （1）用温度计测量 300 K 的温度时，气体的压强是多少？ （2） 当气体的压强为
Pa 101.93? 时，待测温度是多少？
〖提示〗：
Pa 107.63tr ?=p 。利用如下公式进行计算： K 16.273)(?=
tr p p p T ( 体积不变 ) 〖答〗：（1）Pa 104.73?；（2）371 K 。
1. 4. 3 用定体气体温度计测得冰点的理想气体温度为 273.15 K ，试求温度计内的气体在冰
点时的压强与该气体在水的三相点时压强之比的极限值。
〖解〗： 利用公式.
K 16.273lim K 15.273tr 0
tr ?==→p p T p
所以
96999.016.27315.273lim
tr 0tr ==→p p p 1. 5. 2 试估计水的分子互作用势能的数量级，可近似认为此数量级与每个分子所平均分配到的
汽化热数量级相同。再估计两个邻近水分子间的万有引力势能的数量级，判断分子力是否可来自万有引力。
〖分析〗： 水中的分子热运动而不分散开, 是因为分子之间有作用力。水的汽化是某些水分子有足
够大的热运动能量，足以克服分子之间作用力而跑到外面成为自由的气体分子。我们知道分子之间作用力
势能是负的, 气体分子的势能为零。所以汽化热是用来增加分子之间作用力势能的。另外也要考虑到, 液
体转变为气体时体积扩大作等压膨胀要对外做功，它所需要的能量也由汽化热提供。但是一般说来这两者
的数量级差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者来估计分子互作用势能的数量级。
〖解〗： 水的汽化热为 -16kg J 1025.2??，它的摩尔汽化热为
1
416m V,mol J 1005.4mol J 018.01025.2--??=???=L
每摩尔有 N A 个分子，每个分子平均分摊到的汽化热为
J 107.6/20A m V,p -?==N L ε 可以认为 p ε 就是水的分子互作用势能的数量级。
至于水中两邻近分子的万有引力势能的数量级，可以利用万有引力势能公式来估计。假定水中两最邻近分子质量中心之间的距离为 m 10
8.310-?（ 利用上题的结果 ），则每个分子所平均分摊到的万有
引力势能的数量级为J 106.152p -?=ε。。 〖讨论〗：我们发现万有引力势能的数量级要比分子互作用势能小 3210-。由于分子互作用势能来自
电磁相互作用，这说明万有引力相互作用要比电磁相互作用弱得多。
1. 6. 3 一容积为 l
2.11 的真空系统已被抽到 1.33×10-3 Pa 的真空。为了提高其真空
度，将它放在温度为
C 3000 的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增为 1.33 Pa ，问器壁原来吸附了多少个气体分子？
〖分析〗： 烘烤时温度上升, 器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力而释放
出来。真空系统的压强相应增加。利用 nkT p = 公式可以计算出吸附气体分子数。
〖答〗： 181088.1?。
1. 6. 4 一容器内贮有氧气，其压强为 MPa 101.0=p ，温度为C 270=t ，试求：（1）单位
体积内的分子数；(2) 氧气的密度；(3) 分子间的平均距离： (4) 分子的平均平动动能。
〖分析〗： 利用 nkT p = 公式可以得到单位体积内的分子数。利用A m mN M = 和 nm ρ=
公式可以得到氧气的密度和分子质量。利用
3/1L n = 和 2/3t kT ε=
可以分别求得分子间的平均距离 L 和分子的平均平动动能。
〖答〗：（1）-325m 1044.2?；（2）-3m kg 30.1?；（3）m 104.39-?；（4）J 10
2.621-?。
第二章
2．2．2 量x 的概率分布函数具有形式 22π4)ex p()(x ax A x f ??-=,式中 A 和 a 是
常数，试写出x 的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。
〖解〗： 归一化，
1d )(=?+∞∞-x x f 在上述积分中考虑到 f ( x ) 是偶函数，所以有
14/ππ8d )(2d )(2/30=??==-+∞+∞∞-??
a A x x f x x f 2/π)/(3/2a A =
可以知道处于7.999 9 ~ 8.000 1 范围内概率为
x e A P a ?????=-64π464
2000.0)64ex p(64π4π)/(5.03/2?-????=a a
2. 3. 1 求MPa 0.101C,00下 3cm 0.1的 氮气中速率在-1s m 500? 到 -1s m 501?
之间的分子数。
〖分析〗： 这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题, 应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。 但是注意到, -1s m 500? 到 -1
s m 501? 之间仅仅差 -1s m 1?，它要比 -1s m 500? 小得多。可以认为在 -1s m 500? 到 -1s m 501? 范围内麦
克斯韦速率分布是不变的。它的概率等于在横坐标为 -1s m 500? 到 -1s m 501? 之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积（ 这个梯形可以看作矩形 ）。
〖解〗： 设 MPa 0.101C,00下，3cm 0.1中的理想气体分子数为N , 利用洛施密特常量
3250m 107.2-?=n 可以得到
19256107.2107.2100.1?=???=-N
利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v v v d ~+ 之间的分子数为
v v kT mv kT m N v v Nf d )2/ex p()π2/(π4d )(222/3?-???= （1）
现在其中的 -1-1s m 1d ,s m 500?=?=v v , 氮气温度 K 273=T ，而氮分子质量
kg 1067.12827-??=m 。将它们代入（1）式即得到在 -1s m 500?到 -1
s m 501? 之间的分子数为
161096.4?=?N 。
N , 利用洛施密特常量 3250m 107.2-?=n 可以得到
19256107.2107.2100.1?=???=-N
利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v v v d ~+ 之间的分子数为
v v kT mv kT m N v v Nf d )2/ex p()π2/(π4d )(222/3?-???= （1）
现在其中的 -1-1s m 1d ,s m 500?=?=v v , 氮气温度 K 273=T ，而氮分子质量
kg 1067.12827-??=m 。将它们代入（1）式即得到在 -1s m 500?到 -1
s m 501? 之间的分子数为
161096.4?=?N 。
2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成 2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T ，试给出表示分子处于速率为 v 到 v +d v 范围内的概率 f (v ) d v 表达式。
〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的
z z y y x x v v f v v f v v f d )(d )(d )(?? （1）
其中速度在z y x ,,的3个分量上的分布函数都具有如下形式：
i 2i 2/1i i d )2/ex p()π2/(d )(v kT mv kT m v v f -??= ),,i (z y x = （2）
显然，只能在XY 平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是
y y x x v v f v v f d )(d )(?x x v kT mv kT m d )2/ex p()π2/(22/1-??=
y 2y 2/1d )2/exp()π2/(v kT mv kT m -??? （3）
这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为
y
x y x y x y x v v v v f v v v f v f d d ),(d d )()(=?? （4） 其中 y x v v d d 实际上就是在2维速度空间中位置在 x x x v v v d ~+，y y y v v v d ~+ 范围内的正方形
这一微分元的面积，而 y y x x y x y x v v f v v f v v v v f d )(d )(d d ),(?=
是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在 2 维速度空间中位置在 x x x v v v d ~+，y y y v v v d ~+ 范围内的这一微分元上的分子代表点数为 y x v v N ,d 。显然它被除以微分元的面积
y x v v d d ，就是在 2维速度空间中的分子代表点的数密度 )
,(y x v v D ，所以 ),(d d /d ),(,y x y x v v y x v v Nf v v N v v D y x == ]2/)(exp[)π2/(222/1kT v v m kT m N y x +-??=
（5）下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v v v d ~+ 的圆环内的概率 N N v /d 。v N d 是在半径为 v v v d ~+ 的
圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度 ),(y x v v D 。利用（5）式可以得到
v v v v D N y x v d π2),(d ??=
v v kT mv kT m N d π2)2/ex p()π2/(2?-???=
v v kT mv kT m N d )2/ex p()/(2-??= 所以分子处于速率为 v 到 v +d v 范围内的概率 f (v ) d v 的表达式为
v v kT mv kT m v v f N N v d )2/exp()/(d )(d 2-?== （7）
它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。 2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。若以 z y x v v v ,,及 v 分别表示
分子速度的 x 、y 、z 三个分量及其速率，试求下述平均值： （1）x v ；（2）2x v ；（3）2v v x ；（4）y x v v 2；（5）2)(y x bv v +。
〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加法则和相互统
计独立的事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被
积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围 +∞∞-~ 是对称区间, 所以应该分区间积
分。
〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x 、y 、z 三个分量分布可以表示为.
)2/ex p()π2/()(2i 2/1i kT mv kT m v f -??= ),,i (z y x =
x x x v v kT mv kT m d )2/ex p()π2/(22/1-??=?∞∞-
x x x v v kT mv kT m d )2/ex p()π2/(22/10?-??=?
∞-
0d )2/ex p()π2/(22/10=?-??+?
∞x x x v v kT mv kT m x x x x v v f v v d )(22?∞
∞-= m
kT v v kT mv kT m x x x /d )2/ex p()π2/(2222/10=?-??=?∞ （3）由于vx 和 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平均值等于零, 则有
022=?=v v v v x x （4）同样 v x , v y 相互独立, 和“（3）”类似
22=?=y x y x v v v v （5）利用概率相加法则
2222222
22)(y y x x y y x x y x v b v v b v v b v bv v bv v +?+=++=+ )1)(/(/0/22b m kT m kT b m kT +=++=
2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K ，压强为Pa 10304?的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg 。若器壁上有一面积为1.0×10-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间
容器里的原子数减少为原有原子数的 e /1？
〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 Γ 来解。应该注意, 容器内的分子数
(或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 Γ 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t t d + 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N 变化为 N N d -, 其中 N d 就是在 t d 时间内泻流流出去的分子数, 列出N d 和 t d 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。
〖解〗： 在 t d 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为
4/d d -t A v n N =
其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V , 并且在 0到 t 之间进行积分 n n t V A v n n t
d )/1(d )4/(210??=?-
)/ln()4/(12n n t V A v =?-
现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即 1)/ln(,e /1212-==n n n n
RT M A V RT M A V v
A V t m m π28π44??=??=?=
s 100=
即：经过100 s 容器内原子数减为原来的 e /1。. 2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 21,p p 。 两部分气体的温度
均为 T ，摩尔质量均为 m M 。试证明：如果隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为
A p p RT M t
m )(π2d d 21m -= 〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边,
和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。
〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为
mkT p ?=Γπ2/
现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在 t d 时间内通过单位面积小孔,
隔板左边净增加的分子数为
)
π2/1(21mkT p p ??-=?Γ
在 t d 内通过小孔的气体质量为 t A m m ????Γ?=? A p p RT M A p p kT m t m ?-?=?-??=21m 21π2π2d d
2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一
种简便方法。考虑一半径为 m 1.0的球形容器，器壁上有一面积为 2cm 1的区域被冷却到液氮温度
( 77 K )，其余部分及整个容器均保持 300 K 。初始时刻容器中的水蒸气压强为 Pa 33.1，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的压强减小为 Pa 1033.14-?，需多少时间 ?
〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 )(t n ，则 t d 时间内碰在 A ? 面积上的分子数为
t A v V t n t n d 4)()(d ?-
=
利用 p = nkT 公式, 它可以化为 t A V v t t n t p t p d 4d )(d )()(d ?-==
经过积分, 可以得到 )π2ex p()4ex p()(00t M
RT V A p t A V v p t p ???-=??-=Pa
33.1Pa 1033.1)π2exp()(40-?=??-=t M RT V A p t p
s 60.2π210
ln 4=?=RT M A V t 2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 rm s v 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 rm s v 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 已经知道月球的半径为地球半径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。
〖分析〗： 在离地球中心距离为 R 的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球
引力而逃逸的最小速率 v min （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足
2//E min,2
E mv R m GM = 在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则E
E E E E min,2/2g R R GM v == （1） 其中 E g 是地球重力加速度，M E 是地球质量, E R 是地球半径。 同样，在月球表面上也有逃逸速率 M m in,v 。和（1）式类似, 有如下表达式
M
M M M M min,2/2g R R GM v == （2）
其中下标M 表示月球的各物理量。 〖答〗： 氢分子和氧分子的 rm s v 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为
K 100.14E H,?=T , K 106.15E O,?=T .
氢分子和氧分子的 rm s v 分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分别为
K 106.42M H,?=T ， K 104.73M O,?=T
2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强
为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
〖分析〗： 在离地高为 z ~z z d + 的范围内的球壳体积为
z z R z V d )(π4)(d 2E +≈ （1）
[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相
对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]
当然, 我们也可以如下更清楚地求出： ]d d )(3d )(3[π34])()d [(π3
4)(d 32E 2E 3E 3E z z R z z R z R z R z z z V +?++?+=+-++=
忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有
z R z z V d )(π4)(d 2E +≈
〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积d V ( z ) 范围内的分
子数
)/ex p()0(d )(π4)()(d )(d m 2E RT gz M n z R z z n z V z N -??+=?=
z RT gz M R zR z n N d )/ex p()2(π4)0(m 2E E 20-?++=?
∞ 令 H g M RT =m / 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为)0(n ，所有大气的总分子
数为N ，则： z H z z R z H z z n N E d )/ex p(2d )/ex p()[0(π4020-+-=??
∞∞
z H
z R d )]exp(02
E -+?∞]1)(221[π4)0(2E 2E 2E R mg kT R mg kT R mg kT n ?+?+??= （2） 现在来估计 E /mgR kT 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且
kg 1067.129,km 104.6276E -??=?=m R 100124.0104.68.91067.1292731038.162723E <<=???????=--mgR kT （3）
利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3
个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。
这时
H R n mg kT R n N ??==2E 2E π4)0()(π4)0(
其中 H 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
2. 6. 2 试估计质量为 kg 109 的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。 〖分析〗：（1）我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子
大几个数量级。从能量均分定理可以知道，
6/2/2/2/2/2222v m kT v m v m v m x y x ==== 若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级， 相应地其均方速率要小十几个数量级。当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出, 则砂粒的布朗运动（或者说无规运动）可
以不必考虑。可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。
（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高 kT /
mg 应该都相同。
〖答〗： K 1018
。
2. 7. 1 求常温下质量 M 1 =
3.00 g 的水蒸气与 M 2 =3.00 g 的氢气组成的混合理
想气体的摩尔定体热容。
〖分析〗： 显然，3.00 g 水蒸气的物质的量是 mol )6/1(，3.00 g 氢气的物质的量是 mol 5.1。由于氢气有 5个自由度，水蒸气有 6个自由度，根据能量均分定理，mol 1 氢气的内能为 RT )2/5(，mol 1水蒸气的内能为 RT )2/6(。M 1 =3.00 g 的水蒸气与 M 2 =3.00 g 的氢气
组成的混合理想气体的内能为 RT )]2/5(5.1)2/6()6/1[(?+?。混合理想气体的物质的量为
mol ]5.1)6/1[(+，所以 mol 1 这种混合理想气体的内能为
20/51m RT U =
气体的定体热容 1
1m K mol J 2.21d d --??==T U C V
2. 7. 3 一粒小到肉眼恰好可见、质量约为 1110-kg 的灰尘微粒落人一杯冰水中。由于表面
张力而浮在液体表面作二维自由运动，试问它的方均根速率是多大?
〖分析〗：灰尘微粒作二维布朗运动，它应该有如下关系
222212121v m v m v m y x =+
按照能量均分定理 kT v m v m y x 21212122==
〖答〗：
-15s m 107.2??-。
第三章
3. 1. 1 一细金属丝将一质量为 m 、半径为 R 的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。盘能绕轴自
由转动。盘面平行于一水平板，盘与平板间充满黏度为 η 的液体。初始时盘以角速度 0ω 旋转。圆
盘面与大平板间距离为d ，且在圆盘下方任一竖直直线上液体的速度梯度处处相等。试求 t 秒时盘
的旋转角速度。
〖分析〗： 因为圆盘与水平板之间存在相对运动，故存在如下的黏性力， A z u ηf ??
-=d d
在不同 r 处的线速度 r ωr u ?=)( 不同，但是圆盘下方任一竖直直线上的速度梯度都处处相
等，所以在 r 处任一竖直直线上液体的速度梯度是d r ω/?。现在以离开中心轴距离 r r r d ~+ 的
小圆环上，中心角为 θd 的一小块圆盘为研究对象（它的面积时可以近似认为它是底边为 θr d 高
为 r d 的矩形）。计算它受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩。
〖解〗：圆盘受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩分别为 dr θr d r ωη
f d d ??-= θr r d r ωηr θr d r ωηr M d d )d d (d 2?-=??-?=
对上式中的 θd 从 π2~0 积分，再对 r d 从 0 ~ R 积分。可以得到 d R ωM 4π24
?-= （1）
利用刚体动力学中的转动定律t ωJ M d /d =，其中J 为圆盘转动惯量，现在2/2mR J =。把（1）式代
入转动定律分离变量后两边积分，最后得到 t 秒时圆盘的旋转角速度为
)πex p(20md t R ηωω-?=
3. 3. 3 两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为 L ，内筒和外筒的半径分别为 R
1 和R
2 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 T
1 和T
2 ，且T 1 > T 2 ，已知两筒间空气的导热系数为 κ，试证明每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为 )()/ln(π22112T T R R κL Q -=
?
〖分析〗： 在这里的温度梯度不是常数，即 )/()(d /d 2121R R T T r T --≠
否则, 若把内筒和外筒之间的空间分割为一系列厚度相等的圆柱壳层。 按照
t rL T κQ d π2dr d d ???-=
这一计算公式, r 从 1R 逐步变化到 2R , 则在 t d 时间内, 由内筒向外传递的热量将逐步增加。这不符合稳态传热（ 在 t d 时间内, 在每一圆柱面上通过的热量应该是相等的 ）条件。 唯一的可能是在内筒和外筒之间的温度梯度不是常数。为此必须取半径为 r r r d ~+ 的某一圆柱壳层为对象，研究它的传热过程。
〖解〗： 设在t d 时间内, 由内筒向外传递的热量为常量 ?=Q t Q d /d 。现在取半径 r r r d ~+
的某一圆柱壳层为研究对象。 则
rL T κQ π2dr d ??
-=?
T rL κr Q d π2d -=? 两边积分，可以得到 )()/ln(π22112T T R R κL Q -=?
3. 3. 6 两根金属棒 A 、B 尺寸相同，A 的导热系数是 B 的两倍，用它们来导热。设高
温处与低温处的温度保持恒定，求将 A 、B 并联使用和串联使用时热传递能量之比 ( 设棒的侧面是绝热的 )。
〖分析〗：对于一个存在稳定热流的均匀棒可以将傅里叶定律表示为热欧姆定律，也就是说
A L T κt Q ?-=d d
（其中A L κ,, 分别是金属棒的热导系数、长度和截面积）可以被改写为 T T T I R U ?= （1）
其中 T U T ?= 称为温压差（相当于欧姆定律中的电势差），κA L R T /= 称为热阻（相当于电阻）， t Q I T d /d = 称为热流（相当于电流）。（1）式称为热欧姆定律。我们可以利用它来解决一些类似于串、并联的传热问题。
〖解〗： 设 A 、B 金属棒的导热系数分别是 21κ,κ，热阻分别是 21,T T R R ，它们的串联
热阻和并联热阻分别为 并串T T R R ,。考虑到 212κκ=，则
221212123A κL )κκκκ(A L R R R T T T =?+=+=串 （2）
22121221221213A κL )κκκκ(L A A κκL R R R R R T T T T T =+????=+?=并
（3）（2）式被（3）式除，可以得到
并串T T R R )2/9(=
3. 3. 7 半径 m 1.0=a 的铀球，在原子裂变过程中以体积热产生率 -3
3m W 105.5??=H
均匀地、恒定不变地散发出热量。已知铀的热导率 -1-1K m W 46??=κ ，试问达稳态时，铀球的中心与外表面间的温度差是多少?
〖分析〗：对于球体内部有恒定不变地均匀散发出热量的传热问题，它达到稳态的条件是：单位时间
内，从半径为 r ~r r d + 的球壳向外传递的热量，应该等于单位时间内以 r 为半径的球内所产生的总的热量。 假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到；假如后者小于前者，铀球内部温度会降低，稳态仍然未达到。
〖解〗： 现在以半径为 r ~r r d + 的球壳为研究对象，设 r 及 r r d + 处的温度分别为
T r T r T d )(),(+。由于球壳内、外表面之间存在温度梯度，有热量从球壳向外传输，球壳通过的热量
2
π4d d d d d d r r T A z T t Q ??-=??-=κκ
达到稳态时球壳在单位时间内透过的热流应该等于以 r 为半径的铀球在单位时间内产生的热量
（假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到），所以
2
3π4d d π34r r T r H ?-=?κ
r r H T a T T a d 3d 00κ??=K 20.06)0(2132
20-≈-=-?-=-κκHa a H T T a
3. 5. 1 热容为 C 的物体处于温度为 0T 的媒质中，若以 0P 的功率加热，它所能达到的最高温度为 1T 。设系统的漏热遵从牛顿冷却定律，试问加热电路切断后，物体温度从 1T 降为 2/)(01T T + 时所需的时间是多少?
〖分析〗： 牛顿冷却定律可以表示为
)(d /d 0T T a t Q --=
其中 0T 为环境温度。若以 0P 的功率加热，它所能达到的最高温度为 1T , 这说明 0P 的功率加热恰好被 1T 温度时物体向环境的漏热相平衡,因而温度不再上升，由此可以定出 a 。
〖解〗： 从上面的分析可以得到如下关系：
)(d /d 0T T a t Q --= ， )(010T T a P -=
另外又有 T C Q d d =
将上述3个公式联立后积分，
02/)(0010d )(d 101T T T P T T C t T T T t
-?--=??+
最后得到 0012ln P T T C t -?
=
3. 6. 5 试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。设质子直径为
10 –15 m ，宇宙射线速度很大。
〖分析〗：这个问题的情况和上一题十分类似，碰撞截面可以利用 4/π2d σ=公式，平均自由程可
以利用 n σ/1=λ 公式。这里的 d 就是空气分子的有效直径，简单地认为 219m 10-≈σ。而 n
是空气的分子数密度，简单认为 -325m 10≈n 。
〖答〗： m 106-。
3. 6. 6 从反应堆 ( 温度K 0004=T ) 中逸出一个氢分子 ( 有效直径为2.2m 1010-?)
以方均根速率进入一个盛有冷氩气 ( 氩原子的有效直径为
m 106.310-?，氩气温度为300 K ) 的容器，氩原子的数密度为 -325m 100.4? 。试问：(1) 若把氢分子与氩原子均看作刚性球，它们相碰
时质心间最短距离是多少? （2） 氢分子在单位时间内受到的碰撞次数是多少?
〖分析〗： （1）分子之间相碰时质心间最短距离就是分子碰撞有效直径，对于刚性分子，它就是两
个相碰分子的半径之和。（2）在计算分子之间碰撞的平均频率时要用到相对运动平均速率 12v 。对于温度相同的同种分子 v v 212=，但是对于异种分子，特别是平均速率不相同的分子之间的碰撞，
v v 212≠
，我们可以这样利用近似方法得到它。把‘1’ 分子相对于‘2 ’ 分子的相对运动速度矢量
写为 2112v v v -=
其相对运动速率的平方
221212212)()(v v -==v v 2221212v v v v +?-= （1）
取平均值
22212122212121222v v v v v v v v +?-=+?-=v （2）
上式最右边第二项表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而
θθcos cos 212121?==?v v v v v v （3）
因为（3）式中的余弦函数是偶函数，它的平均值为零，所以（1）式可以表示为
22212221212v v v +=+=v v 又有如下近似条件可以利用
()212212v v ≈，2121)(v v ≈，2222)(v v ≈
所以
222112)()(v v v +≈ （4） 利用这一公式可以计算相对运动平均速率。
〖解〗：（1）对于刚性分子，氢分子与氩原子相碰时质心间最短距离也就是氢分子与氩原子碰撞的有效直径
m 109.2m 108.1m 101.1101010A -H ---?=?+?=d （5）
（2）从反应堆中逸出的一个氢分在单位时间内受到的氩原子平均碰撞总次数为
A -H A -H A A -H v σn Z = （6） 在上面的式子中，所有下标H 表示是氢分子的物理量，所有下标A 表示氩原子的各物理量，下标H -H 表
示氢分子相对于氢原子的各物理量，下标A -H 表示氢分子相对于氩原子的各物理量。显然，
4/π2A -H A -H d σ= （7）
因为已知氢分子是以方均根速率从反应堆逸出，所以
H H
H π3m kT v = （8）
利用（4）式可以得到分子束中的氢分子相对于氩原子的平均速率为
A A H H 2A 2H A -H π83m kT m kT v v v +=+= （9）
现在已经知道 K 0004H =T ，K 300A =T ，kg 10
67.1227H -??=m ，67.140A ?=m kg 1027-?，-325A m 100.4?=n 。将上述数据以及（5）式、（7）式、（9）式一起代入（6）式可以得到氢分子在单位时间内受到的平均碰撞总次数
-110A -H s 105.7?=Z
3. 7. 1 某种气体分子的平均自由程为 10 cm ，在10 000 段自由程中，（1）有多少段长于10 cm ?（2）有多少段长于50 cm ? （3）有多少段长于5 cm 而短于10 cm ? （4）有多少段长度在 9.9 cm 与10 cm 之间? （5）有多少段长度刚好为10 cm ?
〖分析〗：以下两个有关概率的概念是等价的：“一个分子自一次碰撞后又行进路程 x 而还没有被碰
撞的概率”；“在许多段长度不同的自由程中，长度大于自由程 x 的概率”。因此，分子按照自由程的分布
)/exp(0λx N N -=
也可以理解为：在0N 段自由程中，长度大于 x 的自由程数为 N 。
〖解〗：（1）在10 000 段自由程中，其自由程长于10 cm 的段数为
6793)10/10ex p(000101=-=N
（2）在10 000段自由程中，其自由程长于50 cm 的段数为
67)10/50ex p(000102=-=N
（3）在10 000段自由程中，其自由程长于5 cm ，短于10 cm 的段数为
3872)]10/10ex p()10/5[ex p(100003=---?=N
（4）因为 101.010/)9.90.10(<<=-，所以在10 000段自由程中，自由程长度在 9.9 cm
与10 cm 之间的段数为
3701.0)10/10ex p(000104=?-=N
（5）不能这样提问，因为按照概率分布函数（ 即随机变量为连续变量的概率分布 ）的概念，只
存在随机变量在某一范围内的概率，而不存在随机变量为某一确定数值的概率。
3. 7. 3 由电子枪发出一束电子射人压强为 p 的气体中，在电子枪前相距 x 处放置一收集
电极，用来测定能自由通过 ( 即不与气体分子相碰 ) 这段距离的电子数。已知电子枪发射的电子流强度为100 μA ，当气压 Pa 1001=p 、x = 10 cm 时，到达收集极的电子流强度为 37 μA 。
(1) 电子的平均自由程为多大 ? (2) 气压降到 Pa 502=p 时，到达收集极的电子流强度是多少?
〖分析〗： 由于电子枪发射的电子流强度为100 μA ， 在气压 Pa 1001=p 、x = 10 cm
时，到达收集极的电子流强度为 37 μA ，说明有 [（100－37）/100 ]×100 % 的电子在10 cm 以前被碰。而 （ 37 / 100 ）则是在10 cm 处电子的残存概率。由此可以求出 Pa 1001=p 时电子的平均自由程为 λ ；同时也可以求出气压降到 Pa 502=p 时的平均自
由程为 'λ。当气压降到 Pa 502=p 时在10 cm 处电子的残存概率可以由 'λ 求得，而电子
的残存概率是直接和到达收集极的电子流强度相对应的。
〖解〗：（1）设电子的平均自由程为 λ 。则电子束行进 x 距离时的残存概率为
),exp()(λx x P -=
因而有： )10exp(10037)10(λ-==P 得到电子的平均自由程为 cm 10=λ。 （2）因为 p σkT 2=λ, 说明温度相同时 λ 和 p 成反比。而 212p p =。气压降到
Pa 502=p 时电子的平均自由程为
cm 202'==λλ
在平均自由程为 'λ 时，在 cm 10=x 处的残
)5.0exp()/10exp()10(''-=-=λP )1exp()5.0exp()10()10(μA 37''--==P P I
从而求出电子流强度
μA 61'=I
第四章
4.2.1 mol 1气体作准静态等温膨胀，由初体积 m i,V 变成终体积 m f,V ，试计算这过程中所做的
功。若物态方程式是
（1）RT b V p =-)(m （ b R 、 是常数 ）
（2）
）（m m 1V B RT pV -
= [ =R 常数，)(T f B = ] 〖解〗： （1）因为 RT b V p =-)(m ，即 )/(m b V RT p -=。
??-==m f,mi ,m f,m i,m m m d d V V V V V b V RT V p W b V b V RT i --=m ,m f,ln （2）因为 ）（m m 1V B RT pV -=，即 2m m V BRT V RT p -=, 所以 ??-==m
f,mi ,m
f,m i,m 2m m m d )(d V V V V V V BRT V RT V p W m i,m f,m i,m f,ln V BRT V BRT V V RT -+= 4.5.1 图表示有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的
两部分 A 和 B ，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 334.4 J 的热量缓慢
地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 MPa 0.101，求 A 部和 B 部温
度的改变以及各吸收的热量( 导热板的热容可以忽略 )。若将位置固定的导热板换成可
以自由滑动的绝热隔板， 重复上述讨论。
〖分析〗：1，若隔板的位置是固定的而且是导热的，则B 部吸收热量后按照等压过
程变化；A 部既吸收热量，又向B 部放热，同时它按照等体过程变化。A 部吸收的热
量等于A 部内能的增加加上向B 部释放的热量。 2， 若隔板是可以自由滑动的而且是
绝热的，则A 部吸收热量后按照等压过程变化；B 部不吸收热量，也不做功（ 因为它通
过活塞和外界相连接，它的压强始终和外界相等 ），按照热力学第一定律，其内能不变，
状态也不变。A 部吸收的热量全部用于A 部内能的增加和它对外作的等压功。
〖解〗：（1）隔板是固定的并且是可导热的。设 A 部和 B 部净吸收的热量分别为 A )d (Q 、B )d (Q 。
A 部在定体条件下既吸热又放热，但是其净吸收的热量是 A )d (Q 。而
B 部是在定压条件下吸热，其
吸的热等于焓的增加。注意到A 部和 B 部的气体都是1摩尔。我们规定：下标“V ”或者“p ”表
示定体积过程或者定压过程，下标“m ”表示是1摩尔的物理量，则
T
C U Q Q V V V d )d ()d ()d (m ,m A ===
T C H Q Q P P P d )d ()d ()d (m ,m B ===
A 部从加热器吸收的热量为
T R T R C T C C Q Q V p V d 6d )2()d ()d ()d (m ,m ,m ,B A =+=+=+
两边积分得： T R Q ??=?6 )K (7.6=?T
这就是A 部的温度改变。因为隔板是导热的，B 部的温度改变和A 部相等。
下面求A 部和B 部净吸收的热量。
T R T C Q V d )2/5(d )d (m ,A ==
两边积分 J 139)2/5(A A =?=?T R Q
T
R T R C T C Q V p d )2/7(d )(d )d (m ,m ,B =+==
两边积分 J 195)2/7(B B =?=?T R Q
（2）若隔板换成可以自由滑动的绝热隔板，则A 部和B 部的压强始终相等，并且等于大气压强，这
时
T R T C H Q p p /2)d (7d )d ()d (m ,A ===
A )2/7(T R Q A ??=?
A 部净吸收的热量
J Q A 4.334=? A 部的温度改变 K 5.11)2/7/(A =?=?R Q T
对于B 部，由于隔板是绝热的，所以 0)d (B =Q ， 0B =?Q 。
B 部状态不变化，其温度不变。
4. 5. 5 室温下定量理想气体氧的体积为 l 3.2（升），压强为 MPa 101.0，经过某一多方过程后
体积变为 l 1.4，压强为 MPa 050.0。试求：(1) 多方指数 n ；(2) 内能的变化；(3) 吸收的热量；
(4) 氧膨胀时对外界所作的功。设氧的 2
/5.,R C m V =。。
〖解〗： （1）多方过程方程为 C pV n =，两边取对数，则有
2.1)/ln()/ln(1221==
V V p p n （1）
（2）)(12m ,T T νC u V -=?，而
222RT νV p =， 111RT νV p =， （3）
由此得到
J 63-=?u （ 内能减少 ） （4）
（3）多方过程热容 )1/(,,--=n R C C m V m n （5）
多方过程中吸收的热量
)
(12,T T C νQ m n -= （6）
联立（3）、（5）、（6）式得到 J 63=Q （ 吸收热量 ）。
（4）气体膨胀，它对外作的功 'W
J 126J )]63(63['=--=?-=-=u Q W W
4.5.8 利用大气压随高度变化的微分公式 z RT g M p p d )/(/d m -=，证明高度 h 处的大气压
强为
)1/(0m ,m 0)1(--=γγT C gh M p p p
其中0T 和0p 分别为地面的温度和压强，m M 为空气的平均摩尔质量。假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。
〖分析〗： 在课本中推导的大气压强公式是假定整个大气处于温度处处相等的平衡态的。实际上大
气温度是随高度而变化的。在贴近地面的对流层中，如果不考虑大气环流，则影响大气温度垂直变化的原
因是重力和上升空气的准静态绝热膨胀。
〖解〗： 因为上升空气的膨胀是准静态绝热过程，满足准静态绝热方程
1001--=γγγγ
p T p T （1）
大气压随高度变化的微分公式
z RT g M p p d )/(/d m -= （2）
由（1）式、（2）式化简，两边积分，
??=?--h p p z p
p gp M RT 0/1/)1(0m 0
d d 0γγγ
可以得到 0/)1(0m 101)(1RT ghp M p p γ
γγγγγγγ---=--
最后得到 )1/(0m ,m 0)1/(0m 0)1()]1[1(---=--
=γγγγT C gh M p RT )γ/(γgh M p p p
4.5.11 用绝热壁做成一圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可动活塞，活塞两侧各有 mol ν 的理想气体。设气体定体摩尔热容 m ,V C 为常数，5.1=γ。将一通电线圈放在活塞左
侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为 0)8/27(p 。试问：(1) 对活塞右侧气体作了多少功? (2) 右侧气体的终温是多少? (3) 左侧气
体的终温是多少? (4) 左侧气体吸收了多少热量?
〖分析〗： 圆柱形容器和活塞都是绝热的，所以活塞右方气体经历的是绝热过程；而活塞左侧有通
电线圈加热。左方气体吸收热量后不仅增加它自己的内能，同时还对右方气体做功。这个功全部用来增加
右方气体的内能（或者说使得它的温度升高）。另外，可以认为在初始时刻活塞位于圆柱形容器的正中央，左、右方气体的物质的量、体积、压强都相等，因而温度也相等。
〖解〗： （1）显然初始时刻活塞左、右侧气体的压强都 是
0p ，最终左、右侧气体压强分别为 1p 、2p ，
温度分别 1T 、2T ，体积分别为 1V 、2V 。
该过程中左侧气体对右侧气体（视作理想气体）所做准静态绝热压缩功为
]1)[(1/)1(0200--=-γγp p γV p W
0003/100182715.1RT νV p V p ==????????-??? ???-=
（2）绝热过程中有如此关系：11/C T p =-γγ，所以右侧气体的终温为
0/1010222
3T T p p T =????????????? ??=-γγγ
（3）左侧气体经历的既不是绝热也不是等压过程，要求出终温，必须知道 1p 、1V ，然后通过状态方程求出 1T 。但是如果要求出 1V ，必须先知道 2V ，（ 因为 0212V V V =+ ）。而右侧气体的绝热过程有 γγ2200V p V p =关系，所以
003/2000/1202948/27)(V V p p V p p V =????? ??=?=γ
9/149/422000201V V V V V V =-=-=
又 ， 111000//T V p T V p =
由此我们可以得到左侧气体的这最终温度为
000000000111421)9/14()8/27(T T V p V p T V p V p T =??=?=
4.6.1 已知某种理想气体在 V p - 图上的等温线与绝热线的斜率之比为 0.714，现一摩尔该种
理想气体在 T p - 图上经历如右图所示的循环。试问：(1) 该气体的 m ,V C 是多少? (2) 循环功是多少? (3) 循环效率是多少?
〖分析〗： （1）它的等温过程方程为 1C pV =，绝热过程方程为
2C pV =γ，只要分别对上述方程的两边取微分，就可以求出在 V p - 图上过程曲线的斜率。（2）在求循环功和循环效率时应该注意到，上图画的是 T p - 图，而不是 V p - 图。 若要避免错误，可以先把它转换为 V p - 图，然后进行计算。
〖解〗： （1）分别对等温过程方程和绝热过程方程的两边取微分，可以得到它们在 V p - 图上
过程曲线的斜率，以下标‘T ’和下标‘S ’分别表示等温过程和绝热过程。
T p V p T
-=??? ????， T p γV p S -=??? ???? 比较这两个式子可以知道
m ,m ,m ,m ,C 714.01V V V p C R C C γ+=== ，
由此可得：R C V,5.2m
=。 （2）现在把循环曲线从 T p - 图转换为V p - 图，如右图所示。这
是顺时针循环，是热机。计算系统对外作的功 'W ，注意 W W -='（W 为
外界对系统作的功）：
21→ 等压膨胀过程， 21→ 111121'21)2()(2RT T T R V V p W =-=-=→
32→ 等体过程，0'
32=→W 13→ 等温过程, 2ln )/ln(1131'13RT p p RT W -==→ 对外作的循环总功 '1332''21'→→→++=W W W W = )2ln 1(1-RT
（2）计算系统吸收或者释放的热量：
21→ 等压膨胀过程（ 吸热 ）， 1m ,12m ,21)(T C T T C Q p p =-=→
32→ 等体降温过程（ 放热 ）， 1m ,32T C Q V -=→
13→ 等温压缩过程（ 放热 ）， 2ln 11
3RT νQ -=→ （3）热机效率 吸Q W η'==5)2ln 1(22ln 1(1m ,1-=-T C RT p ）
4.6.2 一摩尔单原子理想气体经历了一个在 V p - 图上可表示为一个圆的准静态过程( 如下页图所示 )，试求：(1) 在一次循环中对外作的功；(2) 气体从 A 变为 C 的过程中内能的变化；(3) 气体在 A －B －C 过程中吸收的热量；(4) 为了求出热机循环效率，必须知道它从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标，试导出过渡点坐标所满足的方程。
〖分析〗： 循环曲线是由一段段实线线段连接而成的闭合曲线，而每一线段都可以被认为是某一多
方过程的一部分。应该明确，对于在 V p - 图上可表示为一个实线圆的
过程，圆上任何一个有一定大小的有限线段，都不能被认为是某一多方过程
的一部分。但是它的任何一个微小线段却可以被认为是某一多方过程的微小
部分。从放热变为吸热的过渡点可以被认为是这样一个特殊点：在这一点既
不吸热也不放热，所以它也是某一条绝热曲线上的微小部分。既然该点是绝
热曲线的一微小部分，也是圆的一微小部分，则该点在这两条曲线上的斜率
也应该是相等的，或者说，绝热曲线和圆应该在该点相切。由此可以确定从
吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标。 还有一种确定从放热变为吸热的过渡点坐标的方法，这将在 4. B. 2 中介绍。
〖解〗：(1) 从题图可以看出，圆心的横坐标就是 A 点和 C 点的横坐标的和的一半，同样 B
点和 D 点的纵坐标的和的一半就是圆的纵坐标。若我们取 3-35m 101,Pa 101?? 分别作为纵坐标
和横坐标的单位，并且纵坐标和横坐标只标定数字而不标出单位，则这个圆和普通的 y x , 坐标图上的圆就没有什么区别了。从图上可以看出，该圆的半径是 “1”。状态方程可写为这样的圆方程
1)2()2(22=-+-V p 圆的半径 1=R 。在一次循环中对外作的功就是圆的面积，它应该等于纵坐标半径和横坐标半径的乘积
再乘上 π，所以 J 314'=W 。 （2） 要求出内能变化就要求出温度变化。由图知
A C p p =，A C 3V V =，根据盖-吕萨克定律得：A C 3T T =，又由理想气体状态方程得：A A A RT V p =，所以气体从 A 变为 C 的过程中内能的变化
为： J 60033)(A A A A C m ===-=?V p RT T T C U V,。
(3) 气体在 A －B －C 过程中对外做的功应该等于曲线 A －B －C 下面的面积
J 557J ]1021021010)/2π([3535'=???+??=--W
由热力学第一定律得吸收的热量：
J 1571'=+?=W U Q （4）吸热和放热的过渡点 ),(V p '' 是‘绝热点’，即过程曲线在该点的斜率与绝热线斜率相等。若要求出这一点，只要将状态方程两边对 V 求偏微商，偏微商的下标标以‘l ’，表示这是状态方程曲线上的斜率。得到
0)2(2)2(2l =-+??? ????-V V p p
即
22l
---=??? ????p V V p （1） 又将绝热过程 C pV =γ两边对 V 求微分，得
V p γV p -=??? ????S
（2） 从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点应该满足（1）式 =（2）式，从而得到满足这一等式的 ),(V p '' 坐标，显然它们应该满足如下关系
V p γp V ''=-'-'22
即 )2()2(-''=-''p p γV V （3）
因为 ),(V p '' 是圆上的点，所以 ),(V p '' 还应该同时满足
1)2()2(22=-'+-'V p （4）
（3）式和（4）式就是从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点所应该满足的联立方程。
4.7.2 某空调器是由采用可逆卡诺循环的制冷机所制成。它工作于某房
间( 设其温度为 2T ) 及室外 ( 设其温度为1T ) 之间，消耗的功率
为 P ，试问：
（1）若在 1 秒内它从房间吸取热量 2Q ，向室外放热 1Q ，则 2Q 是多大? ( 以1T ，2T 表示之 )。（2）若室外向房间的漏热遵从牛顿冷却定律，即 )()d /d (21T T D t Q --=，其中 D 是与房屋的结构有关的常数。试问制冷机长期连续运转后，房间所能达到的最低温度 2T 是多大? ( 以 1T 、P 、D 表示之)。（3） 若室外温度为 C 300，温度控制器开关使其间断运转 %30 的时间
( 例如开了 3分钟就停 7 分钟，如此交替开停 )，发现这时室内保持
C 200 温度不变。试问在夏天仍要求维持室内温度 C 200，则该空调器可允许正常运转的最高室外温度是多少? （4）在冬天，
致冷机从外界吸热，向室内放热，制冷机起了热泵的作用，仍要求维持室内为
C 200，则它能正常运转的最低室外温度是多少?
〖分析〗： 这是现在正在广泛使用的热泵，它既能在夏天用来降温，又能在冬天用来取暖的一个理
想模型（ 认为制冷机是可逆卡诺制冷机 ）。通常制冷机是采用交替开停的方法来控制温度， 使房间达到基本恒温的。在达到稳定状态时，在相同时间内，冬天时制冷机向房间传递的热量应该等于房间向外的漏热；夏天时外界向房间的漏热应该等于制冷机从房间取出的热量。
〖解〗： （1）对于可逆卡诺制冷机，有：
)/()/(211211T T T Q Q Q -=-，
经过变换可以得到
)/()/(212212T T T Q Q Q -=- （1）
又由于 W Q Q =-21，而
t W P d /d = ?=22d /d Q t Q
考虑到在运行稳定时 P Q W Q //22?=, 因而（1）式可表示为 )/(/2122T T T P Q -=?，)/(2122T T P T Q -=? （2）
（2）当制冷机长期连续运转后，房间达到的最低温度 2T 时制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功率。制冷机的制冷功率是由制冷机的效率公式决定的。房间的漏热功率是由牛顿冷却定律决定的，因而利用（1）式,有
)/()(21221T T P T T T D -=- （3）
0)(2221=--P T T T D
即：
0)2(212122=++-DT T P DT DT []
D DT D P DT P DT T 24)2()2(212112?-+±+=
因为 12T T <，所以上式中只能取负号，所以有 )4)(212(1212D P T D P D P T T +-+= （4） （3）当室外温度为
C 300，制冷机长期运转 %30 时间并且达到稳态时，这时的房间温度为 ='2T C 200。我们可以利用这一条件求出
D 。因为在达到稳定状态时，单位时间内外界向房间的漏热 )()d /d ('21T T D t Q --= 应该等于制冷机从房间取出的热量，而后者可以用（2）式来求出，不过其中的 P 应该用 P 3.0 来代替。这样，就有 )/(3.0)('21'2'21T T T P T T D -?=- （5）
将 301=T ℃，20'2=T ℃ 代入（5）式，可以得到
P D 3.093.2?= （6）
到了夏天仍要求维持室内温度 C 200，若该空调器可允许正常运转的最高室外温度（ 设为 '1T ），
而室内温度仍为 C 200'2=T 。这时达到稳态的条件同样是：制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功
率。但是现在空调器是不间歇地连续运转, 在（5）式中的P 应改为 P 3.0，即
)/()('
2'1'2'2'1T T T P T T D -?=- （6） 得到 11.38K 26.311'1=≈T ℃ （7）
（4）在冬天要求维持室内温度 C 200''1=T ，设它能正常运转的最低室外温度为 ''2T ，则参考（6）
式，有
)/()(''2''1''2''2''1T T T P T T D -?=- （8）
将（5）中的 P D 3.093.2?= 代入，可以得到
§3．5 典型例题分析 例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB 将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB 受到表面张力作 用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d ，线AB 的长度为l (l ＞πd/2)，肥皂液的表面张力系数为σ。 解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在l ＞πd/2的情况下，线会形成长度为 ) 2/(21 d l x π-=的两条直线段和半径为d/2的半圆， 如图3-5-2所示。线在C 、D 两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然 ∑=i f T 2 式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，∑i f 指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r △θ，与x 轴的夹角均为方θ，显然 θσ??==r f f 221 而这两个力的合力必定沿x 轴方向，(他们垂直x 轴方向分力的合力为零)，这样 θθσ??==cos 221r f f x x 所以 图3-5-1 图3-5-2
∑∑==?=d r r f i σσθθσ24cos 2 因此d T σ= 说明对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。 例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180o计算，已知水银密度 33106.13m kg ?=ρ，水银的表面张力系数m N a 49.0=。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h 的数值大约是多少(取一位有效数字)？ 分析：取圆饼侧面处宽度为△x ，高为h 的面元△S ，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对△S 侧压力F ，由F 作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表面张力的合力的水平分量必与F 反向，且大小相等。△S 两侧表面张力43,f f 可认为等值反向的。 解： x gh S p F ?= ??=2121 ρ F f f =+21cos θ x gh x a ?= +?221 )cos 1(ρθ g a h ρθ)cos 1(2+= 由于0<θ<90o,有 m h m 3 3104103--?<
A9\A10A 班初中物理竞赛热学训练试题 班级________学号_________姓名_________得分________ （时间：60分 满分100分） 1.液体表面分界线单位长度上的表面张力叫作表面张力系数， 用下面方法可以测量液体的表面张力从而求得液体的表面张 力系数.如图所示，容器内盛有肥皂液，AB 为一杠杆，AC=15cm ， BC=12cm.在其A 端挂一细钢丝框，在B 端加砝码使杠杆平衡. 然后先将钢丝框浸于肥皂液中，再慢慢地将它拉起一小段距离 (不脱离肥皂液)，使钢丝框被拉起的部分蒙卜一层肥皂膜，这时需将杠 杆B 端砝码的质量增加5.0×10－4kg ，杠杆才重新平衡(钢丝框的钢丝很 细，在肥皂中受到的浮力可不计).则肥皂液的表面张力为( ).c (A)6×10－3N (B)14×10－3N (C)4×10－3N (D)3×10－3N 2.如图所示，若玻璃在空气中重为G 1，排开的水重为G 2，则图中弹簧 秤的示数为( ). (A )等于G 1 (B )等于G 2 (C )等于(G 1－G 2) (D )大于(G 1－G 2) 3. 两个相同的轻金属容器里装有同样质量的水。一个重球挂在不导热的细线上。放入其中一个容器内，使球位于容器内水的体积中心。球的质量等于水的质量，球的密度比水的密度大得多。两个容器加热到水的沸点，再冷却。已知：放有球的容器冷却到室温所需时间为未放球的容器冷却到室温所需时间的k 倍。试求制作球的物质的比热与水的比热之比c 球:c 两个完全相同的金属球a 、b,其中a 球放在不导热的水平面上,b 球用不导热的细线悬挂起来。现供给两球相同的热量，他们的温度分别升高了△ta 、△tb ，假设两球热膨胀的体积相等，则 A.△ta>△tb B.△ta<△tb C.△ta=△tb D.无法比较 4.水和油边界的表面张力系数为σ=1.8×10-2N ／m ，为了使1.0×103kg 的油在水内散成半 径为r =10－6m 的小油滴，若油的密度为900kg ／m 3，问至少做多少功? 5.炎热的夏季，人们通过空调来降低并维持房间较低的温度，在室外的温度为1T 时，要维持房间0T 的温度，空调每小时工作0n 次。已知一厚度d ，面积为S 的截面，当两端截面处的温度分别为a T 、b T ，且b a T T >，则热量沿着垂直于截面方向传递，达到稳定状态时，在t ?时间内通过横截面S 所传递的热量为： t S d T T K Q b a ?-= （其中K 为物质的导热系数。）
一、判断题 （ 对 ） 1 X ( X 1 , X 2 ,L , X p ) 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 （ ） 2 标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 对） 3 典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4 多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据 分析方法。 （ 错）5 X (X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X , S 分别是样本均值和样本离 差阵，则 X , S 分别是 , 的无偏估计。 n （ 对） 6 X ( X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X 作为样本均值 的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错） 7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对） 8 因子载荷阵 A ( ij ) ij 表示第 i 个变量在第 j 个公因子上 a 中的 a 的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中， 若两个总体的协差阵相等， 则 Fisher 判别与距离判别等价。 （对） 10 距离判别法要求两总体分布的协差阵相等， Fisher 判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、 样本相关系数矩阵． 2、 设 是总体 的协方差阵， 的特征根 ( 1, , ) 与相应的单 X ( X 1,L , X m ) i i L m 位 正 交 化 特 征 向 量 i ( a i1, a i 2 ,L ,a im ) ， 则 第 一 主 成 分 的 表 达 式 是 y 1 a 11 X 1 a 12 X 2 L a 1m X m ，方差为 1 。 3 设 是总体 X ( X 1, X 2 , X 3, X 4 ) 的协方差阵， 的特征根和标准正交特征向量分别 为： 1 2.920 U 1' (0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U 2' (0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U 3' (0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 4 0.007 U 4' ( 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930) ，则其第二个主成分的表达式是
第二章 气体分子运动论的基本概念 2-1 目前可获得的极限真空度为10-13mmHg 的数量级，问在此真空度下每立方厘 米内有多少空气分子，设空气的温度为27℃。 解： 由P=n K T 可知 n =P/KT=)27327(1038.11033.1101023 213+?????-- =3.21×109(m –3 ) 注：1mmHg=1.33×102N/m 2 2-2 钠黄光的波长为5893埃，即5.893×10-7m ，设想一立方体长5.893×10-7m ， 试问在标准状态下，其中有多少个空气分子。 解：∵P=nKT ∴PV=NKT 其中T=273K P=1.013×105N/m 2 ∴N=6 23375105.5273 1038.1)10893.5(10013.1?=?????=--KT PV 个 2-3 一容积为11.2L 的真空系统已被抽到1.0×10-5mmHg 的真空。为了提高 其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.0×10-2mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子。 解：设烘烤前容器内分子数为N 。，烘烤后的分子数为N 。根据上题导出的公式PV = NKT 则有： )(0 110011101T P T P K V KT V P KT V P N N N -=-= -=? 因为P 0与P 1相比差103 数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此 00T P 与 1 1T P 相比可以忽略 1823 2 23111088.1) 300273(1038.11033.1100.1102.11??+???????=?=?---T P K N N 个
2019中考物理经典易错题100例－热学部分 一、物理概念（物理量）：比热（C）、热量（Q）、燃烧值（q）、内能、温度（t）。 二、实验仪器：温度计、体温计。 三、物理规律：光在均匀介质中沿直线传播的规律，光的反射定律，平面镜成像规律，光的折射规律，凸透镜成像规律，物态变化规律，内能改变的方法，热量计算公式： Q=cmDt及燃烧值计算Q=qm，分子运动论。 第一类：相关物理量的习题： 例1：把一杯酒精倒掉一半，则剩下的酒精（） A. 比热不变，燃烧值变为原来的一半 B.比热和燃烧值均不变 C. 比热变为原来的一半，燃烧值不变 D.比热和燃烧值均变为原来的一半 [解析]：比热是物质的一种特性。它与该种物体的质量大小无关；与该种物体的温度高低无关；与该种物体吸热还是放热也无关。这种物质一旦确定，它的比热就被确定。酒精的比热是2.4×103焦/（千克?℃），一瓶酒精是如此，一桶酒精也是如此。0℃的酒精和20℃的酒精的比热也相同。燃烧值是燃料的一种性质。它是指单位质量的某种燃烧完全燃烧所放出的热量。酒精的燃烧值是3.0×107焦/千克，它并不以酒精的质量多少而改变。质量多的酒精完全燃烧放出的热量多，但酒精的燃烧值并没有改变。所以本题的准确答案应是B。 例2：甲、乙两个冰块的质量相同，温度均为0℃。甲冰块位于地面静止，乙冰块停止在10米高处，这两个冰块（）。 A. 机械能一样大 B.乙的机械能大 C.内能一样大 D. 乙的内能大 [解析]：机械能包括动能、势能，两个冰块的质量相同，能够通过它们的速度大小、位置高度，判断它们的动能和势能的大小，判断物体内能大小的依据是温度和状态。根据题意，两个冰块均处于静止状态，它们的动能都是零，两冰块质量相同，乙冰块比甲冰块的位置高，乙冰块的重力势能大。结论是乙冰块的机械能大。两个冰块均为0℃，质量相同，物态相同，温度相同，所以从它们的内能也相同。选项B、C准确。 第二类：相关温度计的习题： 例1：两支内径粗细不同下端玻璃泡内水银量相等的合格温度计同时插入同一杯热水中，水银柱上升的高度和温度示数分别是（） A. 上升高度一样，示数相等。 B. 内径细的升得高，它的示数变大。
物理竞赛热学专题40题刷题练习（带答案详解) 1．潜水艇的贮气筒与水箱相连，当贮气筒中的空气压入水箱后，水箱便排出水，使潜水艇浮起。某潜水艇贮气简的容积是2m 3，其上的气压表显示内部贮有压强为2×107Pa 的压缩空气，在一次潜到海底作业后的上浮操作中利用简内的压缩空气将水箱中体积为10m 3水排出了潜水艇的水箱，此时气压表显示筒内剩余空气的压强是9.5×106pa ，设在排水过程中压缩空气的温度不变，试估算此潜水艇所在海底位置的深度。 设想让压强p 1=2× 107Pa 、体积V 1=2m 3的压缩空气都变成压强p 2=9.5×106Pa 压缩气体，其体积为V 2，根据玻-马定律则有 p 1V 1=p 2V 2 排水过程中排出压强p 2=9.5× 106Pa 的压缩空气的体积 221V V V '=-， 设潜水艇所在处水的压强为p 3，则压强p 2=9.5×106Pa 、体积为2V '的压缩空气，变成压强为p 3的空气的体积V 3=10m 3。 根据玻马定律则有 2233p V p V '= 联立可解得 p 3=2.1×106Pa 设潜水艇所在海底位置的深度为h ，因 p 3=p 0+ρ gh 解得 h =200m 2．在我国北方的冬天，即便气温很低，一些较深的河 流、湖泊、池塘里的水一般也不会冻结到底，鱼类还可以在水面结冰的情况下安全过冬，试解释水不会冻结到底的原因？ 【详解】 由于水的特殊内部结构，从4C ?到0C ?，体积随温度的降低而增大，达到0C ?后开始结冰，冰的密度比水的密度小。 入秋冬季节，气温开始下降，河流、湖泊、池塘里的水上层的先变冷，密度变大而沉到水底，形成对流，到达4C ?时气温如果再降低，上层水反而膨胀，密度变小，对流停止，“漂浮”在水面上，形成一个“盖子”，而下面的水主要靠热传导散失内能，但由于水
第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,, ,)p X X X =X 、(2)(2)(2) (2) 12(,, ,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1)()(1) ()(1) ()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=++ +a X ()(2)()(2) ()(2) ()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠ 2. 0(,1,2,,) (,)0 ()0() i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X =X
初三物理《热学》易错题分析 一：常规易错题 1：把一杯酒精倒掉一半，则剩下的酒精（） A. 比热不变，燃烧值变为原来的一半 B.比热和燃烧值均不变 C. 比热变为原来的一半，燃烧值不变 D.比热和燃烧值均变为原来的一半 2：甲、乙两个冰块的质量相同，温度均为0℃。甲冰块位于地面静止，乙冰块停止在10米高处，这两个冰块（）。 A. 机械能一样大 B.乙的机械能大 C.内能一样大 D. 乙的内能大 3：两支内径粗细不同下端玻璃泡内水银量相等的合格温度计同时插入同一杯热水中，水银柱上升的高度和温度示数分别是（） A. 上升高度一样，示数相等。 B. 内径细的升得高，它的示数变大。 C. 内径粗的升得低，但两支温度计的示数相同。 D. 内径粗的升得高，示数也大。 4下列说法中正确的是（） A. 某一物体温度降低的多，放出热量就多。 B.温度高的物体比温度低的物体含有热量多。 C. 温度总是从物体热的部分传递至冷的部分。 D.深秋秧苗过夜要灌满水，是因为水的温度高。 5：一个带盖的水箱里盛有一些0℃的冰和水，把它搬到大气压为1标准大气压0℃的教室里，经过一段时间后，水箱里（）。 A. 都变成冰了，连水气也没有 B.都变成水了，同时也有水气 C. 只有冰和水，不会有水气 D.冰、水和水气都存在 6：下列现象中，不可能发生的是（） A. 水的沸点低于或高于100℃ B. 湿衣服放在温度低的地方比放在温度高的地方干得快 C. －5℃的冰块放在0℃的水中会溶化 D. 物体吸收热量温度保持不变 7：质量和初温相同的两个物体（） A吸收相同热量后，比热大的物体温度较高B.放出相同的热量后比热小的物体温度较低 C. 吸收相同的热量后，比热较小的物体可以传热给比热较大的物体 D. 放出相同的热量后，比热较大的物体可以向比热较小的物体传播 8：指明下列事物中内能改变的方法：⑴一盆热水放在室内，一会儿就凉了________；⑵高温高压的气体，迅速膨胀，对外做功，温度降低________；⑶铁块在火炉中加热，一会热得发红________；⑷电烙铁通电后，温度升高________；⑸用打气筒给车胎打气，过一会儿筒壁变热。⑹两手互相摩擦取暖________。 9：甲、乙两金属球，质量相等，初温相同，先将甲球投入冷水中，待热平衡后水温升高t℃，取出甲球（设热量与水均无损失），再迅速把乙球投入水中，这杯水热平衡后水温又升高t℃，设甲、乙两球的比热分别为C甲和C乙，则有（） A. C甲=C乙 B.C甲>C乙 C.C甲 大学物理竞赛训练题 热学(2) 一、选择题 1. 一定量的理想气体分别由初态a 经①过程ab 和由初态a ′经②过程a′cb 到达相同的终态b ，如p －T 图所示，则两个过程中气体从外界吸收的热量 Q 1，Q 2的关系为： (A) Q 1<0，Q 1 > Q 2． (B) Q 1>0，Q 1> Q 2． (C) Q 1<0，Q 1< Q 2． (D) Q 1>0，Q 1< Q 2． ［ ］ 2. 有两个相同的容器，容积固定不变，一个盛有氨气，另一个盛有氢气（看成刚性分子的理想气体），它们的压强和温度都相等，现将5J 的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氨气也升高同样的温度，则应向氨气传递热量是： ［ ］ (A) 6 J. (B) 5 J. (C) 3 J. (D) 2 J. 3. 某理想气体状态变化时，内能随体积的变化关系如图中AB 直线所示．A →B 表示的过程是 ［ ］ (A) 等压过程． (B) 等体过程． (C) 等温过程． (D) 绝热过程． 4.在所给出的四个图象中，哪个图象能够描述一定质量的理想气体，在可逆绝热过程中，密度随压强的变化？ ［ ］ 5. 气缸中有一定量的氦气(视为理想气体)，经过绝热压缩，体积变为原来的一半，则气体分子的平均速率变为原来的 ［ ］ (A) 24/5倍． (B) 22/3倍． (C) 22/5倍． (D) 21/3倍． 6. 对于室温下的双原子分子理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外所作的功与从外界吸收的热量之比W / Q 等于 ［ ］ (A) 2/3． (B) 1/2． (C) 2/5． (D) 2/7． 7. 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小(图中阴影部分)分别为S 1和S 2，则二者的大小关系是： (A) S 1 > S 2． (B) S 1 = S 2． (C) S 1 < S 2． (D) 无法确定． ［ ］ p ρ p (A) ρ p (C) ρ p (B)ρ p (D) 普通物理学教程《热学》（秦允豪编） 习题解答 第一章 导论 1.3.1 设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在下的冰点及下水的沸点时的压强分别为和，试问（1）当气体的压强为时的待测温度是多少（2）当温度计在沸腾的硫中时（ 下的硫的沸点为），气体的压强是多少 解： （1）C t i ?=0，MPa P i 0405.0=； C t s ?=100，MPa P s 0553.0= C =γ，()P p t ∝，i s i s P P t t tg k --= =α bP a t += ()()C P P P P P P Pi P t t t P P k t t i s i i s i s i i i v ??---?--+ =-+=100摄氏C C C ?-=??-=??--=4.20510048.104.31000405.00553.00405.00101.0 （2）由 ()i s i v P P C P P t -?? -=100 ()C t P P P P v i s i ?? -+=100C C ?? ?+?=1005.4441048.11005.444 ()254.1006.1106286.10-?=?=m N Pa Pa 1.3.2 有一支液体温度计，在下，把它放在冰水混合物中的示数t0＝－0.3℃；在沸腾的水中的示数t0＝ 101.4℃。试问放在真实温度为66.9℃的沸腾的甲醇中的示数是多少若用这支温度计测得乙醚沸点时的示数是为34.7℃，则乙醚沸点的真实温度是多少在多大一个测量范围内，这支温度计的读数可认为是准确的（估读到0.1℃） 分析：此题为温度计的校正问题。依题意：大气压为为标准大气压。冰点C t i ?=0，汽点 C t s ?=100，题设温度计为未经校证的温度计，C t i ?-=3.0'，C t s ?=4.101'，题设的温度 计在（1）标准温度为C t P ?=9.66，求示数温度?'=P t （2）当示数为C t P ?=7.34，求标准温度?=P t 解：x 为测温物质的测温属性量 设''i s t t -是等分的，故()x x t ∝(是线性的)，()x x t ∝' 对标准温度计i s i i s i p x x x x t t t t --= --……（1） 非标准温度计i s i i s i p x x x x t t t t --= --' '' ' (2) 热学经典题目归纳 一、解答题 1．（2019·山东高三开学考试）如图所示，内高H=1.5、内壁光滑的导热气缸固定在水 平面上，横截面积S=0.01m2、质量可忽略的活塞封闭了一定质量的理想气体。外界温度为300K时，缸内气体压强p1=1.0×105Pa，气柱长L0=0.6m。大气压强恒为p0=1.0×105Pa。现用力缓慢向上拉动活塞。 （1）当F=500N时，气柱的长度。 （2）保持拉力F=500N不变，当外界温度为多少时，可以恰好把活塞拉出？ 【答案】（1）1.2m；（2）375K 【解析】 【详解】 （1）对活塞进行受力分析 P1S+F=P0S. 其中P1为F=500N时气缸内气体压强 P1=0.5×104Pa. 由题意可知，气体的状态参量为 初态:P0=1.0×105Pa，V a=LS，T0=300K； 末态：P1=0.5×105Pa，V a=L1S，T0=300K； 由玻意耳定律得 P1V1=P0V0 即 P1L1S=P0L0S 代入数据解得 L1=1.2m＜1.5m 其柱长1.2m （2）汽缸中气体温度升高时活塞将向外移动，气体作等压变化 由盖吕萨克定律得 10V T =2 2 V T 其中V 2=HS . 解得： T 2=375K. 2．（2019·重庆市涪陵实验中学校高三月考）底面积S ＝40 cm 2、高l 0＝15 cm 的圆柱形汽缸开口向上放置在水平地面上，开口处两侧有挡板，如图所示．缸内有一可自由移动的质量为2 kg 的活塞封闭了一定质量的理想气体，不可伸长的细线一端系在活塞上，另一端跨过两个定滑轮提着质量为10 kg 的物体A .开始时，气体温度t 1＝7℃，活塞到缸底的距离l 1＝10 cm ，物体A 的底部离地h 1＝4 cm ，对汽缸内的气体缓慢加热使活塞缓慢上升．已知大气压p 0＝1.0×105 Pa ，试求： (1)物体A 刚触地时，气体的温度； (2)活塞恰好到达汽缸顶部时，气体的温度． 【答案】(1)119℃ (2)278.25℃ 【解析】 【详解】 (1)初始活塞受力平衡： p 0S ＋mg ＝p 1S ＋T ，T ＝m A g 被封闭气体压强 p 1()A 0m m g p S -=+ ＝0.8×105 Pa 初状态， V 1＝l 1S ，T 1＝(273＋7) K ＝280 K A 触地时 p 1＝p 2， V 2＝(l 1＋h 1)S 气体做等压变化， 高中物理竞赛热学习题 热学2 姓名： 班级： 成绩： 1. 如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的p-V 图中的状态A 出发，经过一缓慢的直线过程到达状态B ，已知状态B 的压强与状态A 的压强之比为1/2 ，若要使整个过程的最终结果是气体从外界吸收了热量，则状态B 与状态A 的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为 23RT ，R 为普适气体常量，T 为热力学温度. 2.有一气缸，除底部外都是绝热的，上面是一个不计重力的活塞，中间是一块固定的导热隔板，把气缸分隔成相等的两部分A 和B ，上、下各有1mol 氮气（52 U RT = ），现由底部慢慢地将350J 热量传送给缸内气体，求 （1）A 、B 内气体的温度各改变了多少？ （2）它们各吸收了多少热量。 3. 使1mol 理想气体实行如图所示循环。求这过程气体做的总功。仅用T 1，T 2和常数R 表示。 （在1-2过程，12P T α= ） 4.如图所示，绝热的活塞S 把一定质量的稀薄气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内．活塞可在气缸内无摩擦地滑动．气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热．气缸处在大气中，大气压强为p0．初始时，气体的体积为V0、压强为p0．已知1 摩尔该气体温度升高1K 时其内能的增量为一已知恒量。，求以下两种过程中电热丝传给气体的热量Q1与Q2之比． 1 ．从初始状态出发，保持活塞S 位置固定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为p1 . 2 ．仍从初始状态出发，让活塞处在自由状态，在电热丝中通以弱电流，也持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V 2 ． 5. 图示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔和大气相通，大气的压强为p0。用一热容量可忽略的导热隔板N和一绝热活塞M将气缸分为A、B、C三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气，气缸的左端A室中有一电加热器Ω。已知在A、B室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A、B两室中气体的温度均为T0，A、B、C三室的体积均为V0。现通过电加热器对A室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q0，试求B室中气体末态体积和A室中气体的末态温度。设A、B 两室中气体1摩尔的内能 5 2 U RT 。R为普适恒量，T为热力学温度。 热力学第一定律习题 一、单选题 1) 如图，在绝热盛水容器中，浸入电阻丝，通电一段时间，通电后水及电阻丝的温度均略有升高，今以电阻丝为体系有：( ) A. W =0，Q <0，?U <0 B. W <0，Q <0，?U >0 C. W <0，Q <0，?U >0 D. W <0，Q =0，?U >0 ?2) 如图，用隔板将刚性绝热壁容器分成两半，两边充入压力不等的空气(视为理想气体)，已知p右> p左，将隔板抽去后: ( ) A. Q＝0, W ＝0, ?U ＝0 B. Q＝0, W <0, ?U >0 C. Q >0, W <0, ?U >0 D. ?U ＝0, Q＝W??0 ?3）对于理想气体，下列关系中哪个是不正确的：( ) A. (?U/?T)V＝0 B. (?U/?V)T＝0 C. (?H/?p)T＝0 D. (?U/?p)T＝0 ?4）凡是在孤立孤体系中进行的变化，其?U 和?H 的值一定是：( ) A. ?U >0, ?H >0 B. ?U ＝0, ?H＝0 C. ?U <0, ?H <0 D. ?U ＝0，?H 大于、小于或等于零不能确定。 ?5）在实际气体的节流膨胀过程中，哪一组描述是正确的: ( ) A. Q >0, ?H＝0, ?p < 0 B. Q＝0, ?H <0, ?p >0 C. Q＝0, ?H ＝0, ?p <0 D. Q <0, ?H ＝0, ?p <0 ?6）如图，叙述不正确的是：( ) A.曲线上任一点均表示对应浓度时积分溶解热大小 B.?H1表示无限稀释积分溶解热 C.?H2表示两浓度n1和n2之间的积分稀释热 D.曲线上任一点的斜率均表示对应浓度时HCl的微分溶解热 ?7）?H＝Q p此式适用于哪一个过程: ( ) A.理想气体从101325Pa反抗恒定的10132.5Pa膨胀到10132.5sPa B.在0℃、101325Pa下，冰融化成水 C.电解CuSO4的水溶液 D.气体从(298K，101325Pa)可逆变化到(373K，10132.5Pa ) ?8) 一定量的理想气体，从同一初态分别经历等温可逆膨胀、绝热可逆膨胀到具有相同压力的终态，终态体积分别为V1、V2。( ) A. V1 < V2 B. V1 = V2 C. V1 > V2 D. 无法确定 ?9) 某化学反应在恒压、绝热和只作体积功的条件下进行，体系温度由T1升高到T2，则此过程的焓变?H:( ) A.小于零 B.大于零 C.等于零 D.不能确定 ?10) 对于独立粒子体系，d U＝?n i d? i＋?? i d n i，式中的第一项物理意义是: ( ) A. 热 B. 功 C. 能级变化 D. 无确定意义 ?11) 下述说法中哪一个正确：( ) A.热是体系中微观粒子平均平动能的量度 B.温度是体系所储存能量的量度 C.温度是体系中微观粒子平均能量的量度 D.温度是体系中微观粒子平均平动能的量度 ?12) 下图为某气体的p－V图。图中A→B为恒温可逆变化，A→C为绝热可逆变化，A→D 为多方不可逆变化。B, C, D态的体积相等。问下述个关系中哪一个错误？( ) A. T B > T C B. T C > T D C. T B > T D D. T D > T C ?13) 理想气体在恒定外压p?下从10dm3膨胀到16dm3, 同时吸热126J。计算此气体的??U。( ) A. -284J B. 842J C. -482J D. 482J ?14) 在体系温度恒定的变化过程中，体系与环境之间：( ) A.一定产生热交换 B.一定不产生热交换 C.不一定产生热交换 D. 温度恒定与热交换无关 热学试题集 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确） 1．下列说法正确的是［］ Ａ．温度是物体内能大小的标志Ｂ．布朗运动反映分子无规则的运动 Ｃ．分子间距离减小时，分子势能一定增大Ｄ．分子势能最小时，分子间引力与斥力大小相等 2．关于分子势能，下列说法正确的是［］ Ａ．分子间表现为引力时，分子间距离越小，分子势能越大 Ｂ．分子间表现为斥力时，分子间距离越小，分子势能越大 Ｃ．物体在热胀冷缩时，分子势能发生变化 Ｄ．物体在做自由落体运动时，分子势能越来越小 3．关于分子力，下列说法中正确的是［］ Ａ．碎玻璃不能拼合在一起，说明分子间斥力起作用 Ｂ．将两块铅压紧以后能连成一块，说明分子间存在引力 Ｃ．水和酒精混合后的体积小于原来体积之和，说明分子间存在的引力 Ｄ．固体很难拉伸，也很难被压缩，说明分子间既有引力又有斥力 4．下面关于分子间的相互作用力的说法正确的是［］ Ａ．分子间的相互作用力是由组成分子的原子内部的带电粒子间的相互作用而引起的 Ｂ．分子间的相互作用力是引力还是斥力跟分子间的距离有关，当分子间距离较大时分子间就只有相互吸引的作用，当分子间距离较小时就只有相互推斥的作用 Ｃ．分子间的引力和斥力总是同时存在的 Ｄ．温度越高，分子间的相互作用力就越大 5．用ｒ表示两个分子间的距离，Ｅｐ表示两个分子间的相互作用势能．当ｒ＝ｒ０时两分子间的斥力等于引力．设两分子距离很远时Ｅｐ＝0 ［］ Ａ．当ｒ＞ｒ０时，Ｅｐ随ｒ的增大而增加Ｂ．当ｒ＜ｒ０时，Ｅｐ随ｒ的减小而增加 Ｃ．当ｒ＞ｒ０时，Ｅｐ不随ｒ而变Ｄ．当ｒ＝ｒ０时，Ｅｐ＝0 6．一定质量的理想气体，温度从0℃升高到ｔ℃时，压强变化如图2-1所示，在这一过程中气体体积变化情况是［］ 图2-1 Ａ．不变Ｂ．增大Ｃ．减小Ｄ．无法确定 7．将一定质量的理想气体压缩，一次是等温压缩，一次是等压压缩，一次是绝热压缩，那么［］ Ａ．绝热压缩，气体的内能增加Ｂ．等压压缩，气体的内能增加 Ｃ．绝热压缩和等温压缩，气体内能均不变Ｄ．三个过程气体内能均有变化 8．如图2-2所示，0．5ｍｏｌ理想气体，从状态Ａ变化到状态Ｂ，则气体在状态Ｂ时的温度为［］ 图2-2 全国中学生物理竞赛真题汇编---热学 1.（19Y4） 四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol 的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为 31He 4.00310kg mol μ--=?? 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量． 2．（20Y3）（20分）在野外施工中，需要使质量m ＝4.20 kg 的铝合金构件升温；除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0oC 的1.200kg 的热水外，无其他热源。试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t 0＝10.0oC 升温到66.0oC 以上(含66.0oC)，并通过计算验证你的方案． 已知铝合金的比热容c ＝0.880×103J ·(k g·oC)－1 ， 水的比热容c ＝ 4.20×103J ·(kg ·oC)－1 ，不计向周围环境散失的热量． 3．（22Y6）(25分)如图所示。两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中。 磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m 的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂 直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为 尺0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S 的小液柱(质量不计)，液柱将l mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中．已知温度升高1 K 时，该气体的内能的增加量为5R ／2(R 为普适气体常量)，大气压强为po ，现令细杆沿导轨方向以初速V 0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移． 4．（16F1）20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1.汽缸中气体的温度； 2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 5．（17F1）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管 的长度ｌ＝76ｃｍ，管内封闭有ｎ＝1．0×10－3 ｍｏｌ的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76ｃｍＨｇ，每摩尔空 气的内能Ｕ＝ＣＶＴ，其中Ｔ为绝对温度，常量ＣＶ＝20．5Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1 ，普适气体常量Ｒ＝8．31Ｊ·（ｍ ｏｌ·Ｋ）－1 31Kr 83.810kg mol μ--=??31Xe 131.310kg mol μ--=?? 9 选择题(共21 分，每题 3 分) 1、理想气体从p-V图上初态a分别经历如图所示的(1) 或(2) 过程到达末态b.已 知Ta 态a' cb 到达相同的终态b, 如图所示, 则两个过程中气体从外界吸收的热量Q1,Q2的关系为[ B ] (A) Q 1<0,Q1>Q2 ; (B) Q 1>0, Q 1>Q2 ; (C) Q 1<0,Q1 十年真题－热学（复赛） 1．（34届复赛7）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到A 为等温过程．双原子理想气体的定容摩尔热容为52 R ， R 为气体常量． （1）求直线AB 过程中的最高温度； （2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变 化的关系式，说明气体在直线AB 过程各段体积范围内 是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转 变时的温度T c ； （3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循 环过程中气体对外所作的净功． 解析：（1）直线AB 过程中任一平衡态气体的压强p 和体积V 满足方程p －p 0p 0－p 02＝V －V 02V 02 －V 0 此即 p ＝32p 0－p 0V 0 V ① 根据理想气体状态方程有：pV ＝νRT ② 由①②式得： T ＝1νR ????－p 0V 0V 2＋32p 0V ＝－p 0νR ????V －34V 02＋9p 0V 016νR ③ 由③式知，当V ＝34 V 0时， ④ 气体达到直线AB 过程中的最高温度为：T max ＝9p 0V 016νR ⑤ （2）由直线AB 过程的摩尔热容C m 的定义有：dQ ＝νC m dT ⑥ 由热力学第一定律有： dU ＝dQ －pdV ⑦ 由理想气体内能公式和题给数据有：dU ＝νC V dT ＝ν52 RdT ⑧ 由①⑥⑦⑧式得：C m ＝C V ＋p νdV dT ＝52R ＋????32 p 0－p 0V 0V 1νdV dT ⑨ 由③式两边微分得：dV dT ＝2νRV 0p 0(3V 0－4V ) ⑩ 由⑩式带入⑨式得：C m ＝21V 0－24V 3V 0－4V R 2 ? 由⑥⑩?式得，直线AB 过程中， 在V 从V 02增大到3V 04的过程中，C m ＞0，dV dT ＞0，故dQ dV ＞0，吸热 ? 在V 从3V 04增大到21V 024的过程中，C m ＜0，dV dT ＜0，故dQ dV ＞0，吸热 ? 在V 从21V 024增大到V 0的过程中，C m ＞0，dV dT ＜0，故dQ dV ＜0，放热 ?热学试题(2).doc
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