教学设计案例一
《等比数列（第课时）》教学设计提纲：
.教学任务分析
学情分析
教材分析
教材地位和作用
教学任务和目标
教学重点和难点
.教材教法和学法分析
教材的处理
教材的教法和手段
教材的学法
教学基本流程
.教学情境设计
等比数列的定义
通项公式的推导
例题讲解
总结与作业布置
.板书设计
.教学设计反思
设计反思
教学反思
《等比数列（第课时）》
.教学任务分析
学情分析
本节课的授课对象是我校学生，数学水平参差不齐，依赖性强，接受能力一般，
灵活性不够。因此本节课采用低起点，由浅到深，由易到难逐步推进，热情地启发学
生的思维，让学生在欢愉的气氛中获取知识和运用知识的能力。
教材分析
教材地位和作用
所用的教材是人教版《必修》，教材通过日常生活中的实例，讲解等比数列的概念，特别地要体现它是一种特殊函数，通过列表，图像，通项公式来表达等比数列，把数列融于函数
之中，体现了数列的本质和内涵。等比数列的定义与通项不仅是本章的重点和难点，
也是高中阶段培养学生逻辑推理的重要载体之一，为培养学生思维的灵活性和创造性
打下坚实的基础。
同时本节课是在学生已经系统地学习了一种常用数列，即等差数列的概念、通项
公式和前项和公式的基础上，开始学习另一种常用数列，即等比数列的相应知识，我认
为本节教材对于进—步渗透数学思想，发展逻辑思维能力，提高学生的品质素养均有较
好作用。众所周知，数列是中学数学的重点内容之一，也是高考的考查重点之一，其中
等差数列和等比数列尤为重要，有关数列的问题，大多数都是归结为这两种基本数列加
以解决的：而且这两途中数列在实际问题中有着广泛的应用，这说要求教学中高度重视，并有新的突破，拓展和引深。
教学任务和目标
教学任务分析：通过观察、归纳、猜想、类比等思维品质，正确理解等比数列的定义、等比数列通项公式。以及具体的知识运用及实际应用。
本堂课内容的编者按：首先注意前后知识的区别与联系，加强对比和类比，展示等比数列概念的形成和和指数函数的对应等深化过程，使得后进生部有发言权，优生也不乏味，从而达到面向全体的目的，激发学生学习数学兴趣。其次体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊→一般，重温数学家发现数学概念和数学公式的思维活动过程，沿着数学家寻求真理的足迹，再现与前人类似的创造过程。
教学目标：
知识目标：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。
能力目标：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以
及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思
维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
品质素养目标：在传授知识培养能力的同时，培养学生勇于探求，敢于创新的精神，
同时帮助学生树立克服困难的信心，培养学生良好的学习习惯意志品质。教学重点和难
点
教学重点：等比数列、等比中项的概念的形成与深化；等比数列通项公式的推导及应用。
教学难点是：等比数列概念深化：体现它是一种特殊函数，等比数列的判定、证明及初
步应用。
.教材教法和学法分析
教材的处理
鉴于学生已基本上掌握数列概念，等差数列概念及通项公式（有利因素），但于由学生对教师，书本对于依赖，独立探索的信心和能力尚显不足（不利因素），故应稀释、放大、拉长等比数列概念的形成，展示深代过程和通项公式的推导过程，体现过程教学法。讲完课本例、例，例，把等比中项的概念安排到第二课时教学。本节着重体现等比数列概念形成的过程及
通项公式的推导与运用。
教材的教法和手段
教材教法：
遵循“教为主导，学为主体，练为主线”的教育思想，我所采用的教学方法主要是启发
引导探究法，并以讨论法，讲授法相佐。具体表现为：教师边展示，边讲解，边提问；学生
边观察，边思考，边回答，整堂课既要充分体现教师的主导作用，“导演”出一台引人入胜的
“好戏”，更要最大限度地发挥学生的主体作用，使“演员” 能充分展示出自己的“表演才华” ，激发学生的兴趣；培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。
教学手段
充分利用电化教学手段，采用多媒体和投影仪，加大课堂容量，有效地利用时间，
提高课堂教学质量，使教学过程更直观，更紧凑。
教材的学法
其一，要使学生领会和初步熟悉研究数学概念的方法和探求数学概念的一般步骤：展直观，引入概念；抓本质，理解概念；挖内涵，掌握概念；破难点，强化概念；强训练，巩固
概念；拓外延，深化概念。
其二，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，故应引导学生将它们对比起来学习，以构建起自己对这两种基本数列的正确理解。
教学基本流程
创设情境，由实例引入等比数列
自主探索等比数列的通项公式
类比等差数列，探求通项公式的推广
创设问题，指出与指数函数的关系
分析实际问题，解决相应问题
回顾终结，作业布置
.教学情境设计
意图：这节课我努力尝试将数学教学作为思维活动教学，在思路教学实践中采取三条途径：深钻教才，追踪数学家的思路；模拟发现，稚化教师的思路；激励探索，激活学生的思路。使学生学得有情、有趣、有味。具体教学过程分为复习引新、新课教学、练习反馈与总结提高三个阶段。
、复习引新
问题问题设计意图师生互动
、回答等差数列的定义温故而知新，承上启下师：提出问题，引导回忆
、回答等差数列的通项公式生：思考并回答。
意图：在复习上节等差数列概念及其通项公式的基础上，紧接着让学生观察三个特殊数列，分析特点，通过类比得出等比数列概念，由此引入新课，这样既复习了前面知识，又对学生
进行方法论教育，从而揭开了这堂课研究等比数列的序幕。
新课教学
等比数列概念的教学
具体分为六个环节
㈠展直观，引入概念
教师：观察数列：（），，，??
（），，，??
1 1 1
（），，，，??
2 4 8
引导学生归纳其共同特点：
学生：发现从第项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，分别、1、1。
5 2
意图：从而很自然的引出等比数列的概念，这里应让学生自行给出等比数列的定义，它与
等差炸毁列定义仅一个关键字之差。
教师：由学生讲，教师板书，写出等比数列的定义。
㈡抓本质，理解概念
意图：在等比数列概念中特别要对学生指出：（）等比数列实质上是“比相等”的数列，但公比是指后一项与它前一项的比值，而不是前一项与它后一项的比值。（）要正确理解常数的含义，这个常数是相对于项数而言的，也就是说这个常数与项数无关。
教师：举例：已知数列a n的通项公式 a n 3 2n
8
（）计算az，a3，a4，a5
a1a2a3a4
（）计算an1
a n
（）这个数列是不是等比数列？
（）这个数列与什么函数类似？关系是什么？
学生：第（），（）的答案都是，（）根据定义，该数列是等比数列。
（）与指数函数相似，是函数 f ( x) 3 2x的图像上自变量从开始的自然数的一系列点。
8
㈢挖内涵，掌握概念
意图：对一个数学概念除了要充分地理解和搞清这个概念的引入，本质意义，定义式等
基本要素外，还必须挖掘其更深的内涵，特别要澄清一些迷惑点和易错点。
教师：例：已知等比数列a n
（） a1能不能是零？（）公比能不能是零。
意图：造成上述问题迷惑的根本原因是没有真正理解和掌握等比数列的概念。所以在教学中，教师应综观教学过程全局，把握数学概念的本质，既要正面阐述，又要反面纠错，既要居高
临下，还要明察秋毫，既要防漏，更要补缺，使学生切实掌握概念。
学生：经过思考，回答首项与公比均不能为零。
㈣破难点强化概念
意图：等比数列的判定和证明是一个难点，因此，通过问题的训练和辨析可以突破难点。
教师：举例：数列3，3，，，? 3 2n 3?是否为等比数列，如时是其公比其公比是多少？
4 2
若数列 a 的通项为 a n 3 2
n
3 ，求证 a
n
是等比数列。
n
学生：是等比数列，公比为1 ，依照定义证明：当 n 2
时，
a n 1 ，所以是等比数
列。
2 a n 1 2
㈤强训练，巩固概念
意图：数学概念只有经过学生的一定练习，不断辨析，反复纠错，才能真正理解，
领会、掌握和巩固。
教师：思考：判断—列哪些说法是正确的：
() 如果—个公比为等比数列的各项均改为它本身的相反数，所得到的数列是否成等比数列? （）如果—个等比数列的各项均改为它本身的倒数，所得到的数列是否成等比数列?
() 如果一个等比列的各项均改为它本身的平方，所得到的数列是否成等比数列?
（）如果把二个项数相同的公比不同分别为q1 , q2等比数列的对应项相乘，所得到的数列是否成等比数列 ?
学生：（）是，公比为（）是，公比为1；（）是，公比为 q 2；（）是，公比为q1q2。
q
㈥拓外廷·深化概念
意图：许多数学慨念既有本质不同的一面，又有内在联系的一面。既要挖掘某一概念的
本身内涵，又要拓展概念的外延，对相近、相似、相关慨念采用找联系，抓区别的方法，进
一步揭示概念的内涵，循序渐进，使概念掌握更加深化、精确、透切。例如等差列、等比数
列，是二个既有区别又有联系的数学概念。通过问题的训练和辩析，可以达到等比数列等概
念的进一步强化、深化、活化。
教师：思考题：
（）常数列是等比数列，对吗 ?
（）非零常数列既是等差列又是等比数列。
学生：（）不对，常数为零的不是等比数列，非零常数列既是等差数列又是等比数列。（）
对，公差为，公比为 .
效果：这样使在教学中，重点突出，难点分散。这里突出了方法论的教育，教师的主导
作用也充分本现，同时使课堂上做到人人参与，个个争答，眼瞄齐用，气氛热烈，于是造
成
学生积极思维的气氛，形成—个有利于概念教学，启发思维的课堂情境，达到本课堂的第
一
次高潮。
等比数列通项公式的推导
观察，归纳，猜想。
意图：通项公式是定义的自然延伸，老师及时引导并启发：在—个等比数列里，从第二
项起，每一项与它的前一项的比都等于公式，所以每一项都等于它的前一项乘以公比。让
学
生从首项起，写出，，?，让学生进行观察、归纳，猜想出等比数列的通项公式。真正做到授
之鱼不如授之以渔。
教师：如果一个等比数列的首项为，公比为，请写出这个数列的前项，且归纳出其通项
公式。
学生：等比数列，，，?的公比为，那么
a3a2q (a1q) a1q2
a4a3 q (a
1
q2 ) a1q3，等比数列 a n的通项公式是 a n a1q n 1
教师：以上的方法是不完全归纳法，证法是不严密的，只能适用于探究与猜想，不能作为证明的根据。能否用严密的推理来论证呢？
意图：刺激学生的求知欲。
演绎推理论证
意图：这时教师要鼓励学生根据问题的起因和内部联系的条件，自由思考，大胆设想别的
推导方法，例如，可引导学生围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用各式
相乘，来导出公式（演绎法），有时学生难以想到的路，教师可以为学生架座桥，当然也可以直接让学生完成。
教师：设，，?是公比为的等比数列，则由定义得：
a2q ??????????????
（）
a1
a3q ??????????????
（）
a2
?????
a n
q ??????????????（）
a n 1
问：结合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项公式？
学生：以上各式相乘得a n q n1，即 a n a1q n 1
a1
教师： ()问等比数列中任意两项a m , a n之间的关系式是什么？能否得到更一般的通项公式?意图：乘胜追击，直捣黄
龙。
学生： a n a1q n 1 , a m a1 q m 1 ,a n q n m，所以更一般的通项公式为 a n a m q n m ,
a m
效果：这个过程中教师要放慢教学节奏，不要急于下结论，而让学生充分思考讨论，这样有利于启发学生发散性思维，整个过程有讨论，有讲解，有回答学生思维处于活跃状态，达到本节课第二次高潮。
例题讲解
精讲例题
例题、在等比数列 a n中，（）已知 a13, q2, 求 a6；
（）已知 a320, a6160 ，求 a n
学生讲教师写：第（）小题只要代入等比数列通项公式即可，
即 a 3 ( 2)6196 ；
6
第（）题，先求a1, q ，即a3a1q 220
，解得 a1 5,q 2 ，所以 a n 5 2n 1 。a6a1q 5160
教师：（引探）本题（）还有其他解法吗？
学生：有，可以用推广的通项公式，先解出q3a68, q 2 ，所以通项公式为
a3
a n a3 2 n 320 2n 3，即 a
5 2 n 1。
n
教师点评：此法很妙，可以大大降低计算量，寻求最佳的解题技巧恰是当今科学发展的需
要。下面我们一起再探究一个问题，
教师：探究由一个等比数列a n中的任意 a m和 a k是否可以确定这个等比数列的通项公式？为什么？
意图：这个过程教师不要急于下结论，适时点拔，要让学生有充分的展示机会，这样培
养学生的独立解决问题的能力大有好处的。
学生：因为q m k am ，当 m k 为奇数时，唯一解，所以可以确定这个等比数列；当 m k
a k
为偶数时，有两个不同互为相反数的解，所以不可以确定这个等比数列。
教师：说的非常好！只有当已知两项的项数奇偶性不同时，可以确定这个数列，否则有
两个数列满足题意。
效果：在教师大力表扬学生的同时，也激发起学生的求知欲望，从而本堂课达到第三次高
潮。
学生板演
习题，组题第题共个小题
请四位同学板演，其余学生的座位上做，教师通过课堂巡视了解学生做的情况和
答疑，板演后老师讲评，修正做题中的误病，强调解题规范格式。
总结与作业布置
课堂小结：
知识小结：等比数列的定义，其通项公式及推广公式的推导和其应用。
思想方法小结：类比思想，函数思想，整体思想。
能力小结：培养观察、归纳，猜想能力，演绎推理能力和计算的技巧能力。
意图：师生共同归纳本节课的主要内容及方法，小结采用提问的形式，让学生思
考，这节课主要学习什么知识？解决什么问题？在学生回答的在基础上，老师总结。
作业布置
（）阅读课本（目的培养学生的良好习惯）
（）《必修》第页习题组，，， .
.板书设计
.教学设计反思
设计反思
思想方针：一切从学生的实际出发，要以教材为核心，但不拘泥于课本，做到承上
启下，有的放矢，由浅到深，又表及里。在教材设计中力争做到有梯度，有广度，有深
度，有难度的统一，而不是教材的死板教条。
一堂满意的数学课，首先取决于课前的教学设计，首先要研究该内容在本章中的地
位和作用；其次研究所教的学生认知的结构和数学的水平；最后研究本节课教学内容的
合理安排，而不是照搬宣科，对所上的内容进行扩充与丰满，从正与反，广与深，变与
换等多角度出发，精心设计教学内容。
一堂满意的数学课，要以学生为主体去设计，根据学生的实际情况以及确立的教学
目标，精心地设计课堂提问，质疑，答辩，板演，讲解，与测试等活动内容。力争做到
有的放矢，进退自然，自主探究，把知识进行深加工，将其美化，使所学的内容易学、
易记、易用。上课知识点安排力争做到环环相扣，自然通畅。
一堂满意的数学课，还要从教师本身出发，要以极大的热情投入课堂，让学生感
到情同父母，真正让把学生的热烈的气氛调动起来，使学生想学、乐学、善学。因此要
求教师不但要有极大的激情投入，还要求语言幽默风趣，表扬一切可以表扬的同学，真
正地变教为诱，变学为思，师生互动，使学生的潜能得到极大发挥。使整个教学过程做
到环环相扣，衔接自
然，有张有弛，前后呼应，上下紧凑，师生融洽，氛围热烈，从而达到教学的“色味俱佳”。教学反思
在上完一堂课后，要自觉地进行教学反思，认真总结教学的全过程，分析得与失，
寻求成功与失败的原因，发扬优点，改进缺点，反复实践，提高教师自身的素质的提高。
本堂课自我感到成功之处有：首先我自始至终坚持以学生为主体，除了课前的精心
设计，在课堂上都由学生来完成，学生的配合度好，发言踊跃，体现了学生是课堂中学
习的主体。
其次在整个课堂教学过程中，突出了对学生的思维训练和思维品质的培养，如对
等比数列的定义的教学进行六个环节的深化，极大地训练了学生思维的全面性与深刻
性。又如我设计了该堂课的三个高潮，在实际中恰如其分地引导学生学习知识的高潮，
所以我在每节课的设计中，极力探求本节课的闪光点，高潮点，精心设计，把握课堂教学的脉搏，推向课堂教
学的高潮。
最后，由于班级中学生的数学水平参差不齐，尽管我课前准备充分，但还是出现有几位
落后生接受不了，而一些优等生不够吃的现象，这对教师来说是最大的困惑。我采取的方法是：抓中间顾两头，设计时尽可能考虑中等水平的学生，选几个比较难问题让优等生的潜能
得以发挥，对落后生多加以启发和爱护，以及加强课后辅导。
( 此教学案例获省首届高中数学青年优质课比赛一等奖)
人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息零碎的时间实
在可以成就大
事业
珍惜时间可以
使生命变的更
有价值
时间象奔腾澎湃的急
湍，它一去无返，毫
不流连一个人越知道
时间的价值，
就越感到失时的痛苦得到时间，
就是得到一
切
用经济学的眼光来
看，时间就是一种
财富
时间一点一滴凋
谢，犹如蜡烛漫
漫燃尽
我总是感觉到时间的巨
轮在我背后奔驰，日益
迫近夜晚给
老人带
来平静，给年轻人带来希望不浪费时间，每时每刻都做
些有用的事，戒掉一切不必
要的行为
时间乃是万物中最宝贵的东西，
但如果浪费了，那就是最大的浪
费
我的产业多么
美，多么广，
多么
宽，时间是我的财产，我的田地是时间时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，
用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐
趣。
新想法常常瞬
息即逝，必须集
中精力，牢记在心，及时捕获。每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识
啊！” 不要为这个世
界而惊叹，
要让这个世
界为你而惊
叹！如
果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗
水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个
丰收。
藏书再多，倘若不读，只是一
种癖好；读书再多，倘若不
用，
只能成为空谈。学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕
果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后
悔莫及了。不渴望能够一跃千里，只希望
每天能够前进一步，学习的
成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向
第五届全国高中青年数学教师优秀课大赛 教学设计 课题: 等比数列 (第一课时) 执教人: 韩灵 单位: 山西省太原市育英中学
1.1.1 正弦定理 教学目标︰ 1、通过实例，理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一， 探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：等比数列与其对应函数的关系。 教学过程： 一、 创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例1。 ● 实例分析1：在《数学3》(必修)中，我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构 成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位(bit)”，每一位只能存储一个“0”或一个“1”，所以1个位可以存储0、1两种不同的信息.如果有2个位，就可以存储00、01、10、11四种不同的信息.我们记n 个位共能储存的不同信息 n a 种，写出{ n a }的前5项。 【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含义，并画出树状图形象的表示。 【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到{ n a }的前5项为2,4,8,16,32。 ① ● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？ 【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。
《等比数列的前n项和》教学设计 教材：人教版必修五§2.5.1 教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n项和公式并能运用公式解决一些简单问题； （2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方 法，渗透方程思想、分类讨论思想； （3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式； （2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教具：多媒体 教学过程： 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式。 （1）等比数列定义：（， （2）等比数列通项公式： （3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入： 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式 回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 （1）
（2） （1）+（2）得： 探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？ 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义： 变形： 具体： …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现： 由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。
《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比
课时达标检测（十） 等 比 数 列 一、选择题 1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4 的值为( ) A.14 B.12 C.18 D ．1 解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14 . 2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312 是此数列的第( ) A ．2项 B ．4项 C ．6项 D ．8项 解析：选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列， 可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， 解得x ＝－1或－4. 又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为32 的等比数列， 其通项a n ＝－4????32n －1， 由－4????32n －1＝－1312 ，得n ＝4. 3．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．－4 解析：选D 由题意，得????? 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ， a ＋3 b ＋ c ＝10， 解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8. 4．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )
A ．必有两个不等实根 B ．必有两个相等实根 C ．必无实根 D ．以上三种情况均有可能 解析：选C ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＞0. 又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0， ∴方程无实数根． 5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2n － 1) C ．(－2)n D ．－(－2)n 解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0， 从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1. 二、填空题 6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2 ＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ； 当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n . 答案：(－2)n 或－2n 7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：6 8．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1 ＝－1(n ≥2)．
课 题 等比数列求和 学习内容与过程 知识点 1.等比数列前n 项和公式 （1）当{ EMBED Equation.3 |1 q 时， ① 或 ② （2）当q=1时， 注意：（1）知三求二：, q, n ，，五个中知道任意两个便可建立方程组求出另外两个； （2）当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②. （3）在判断是否为等比数列时需要注意讨论q 是否为零，例如a ，a ，a ，...；在利用等比数列求和公式时，需要讨论的是公比q 是否为1，例如 （4）等比数列求和公式的函数理解：当时，，它可以看作指数函数与常数函数的复合函数 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列它的前n 项和是 由 得 ∴当时， ① 或 ② 当q=1时， 公式的推导方法二： 有等比数列的定义， 根据等比的性质，有 即 （结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： ＝ ＝＝ （结论同上） 例1 已知等比数列的前n 项和为，若，求数列的公比 （答案：） 变式1：求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和. 解：由 ， 从第5项到第10项的和为-=1008 变式2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为： 变式3：等比数列中， （答案：） 2. 等比数列前n 项和的性质 （1）在等比数列中，，...，也成等比数列，公差为
注意：是，...，成等比数列，而不是，...； （2）若项数为2n ，则 （3） （4）为等比数列 例2 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数 （答案：2,8） 变式1 一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求 变式2 设是由正数组成的等比数列，是其前n 项和，证明；（2）求证：等比数列中有 变式3 已知等比数列中，求 3.等比数列常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为： .)1(1] )1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款： )1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1] )1(1)[1(12r r r a +-+-+. ⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1111111......11121-++=?-+=+?++++++=+--m m m m m m m r r ar x r r x r a x r x r x r x r a 例3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
3.4.1等比数列教案 临澧一中高一数学组 颜干清 课题 ：3.4.1等比数列(一) 教学目标 （一） 教学知识点 1、 等比数列的定义. 2、 等比数列的通项公式. （二） 能力训练要求 1、 掌握等比数列的定义. 2、 理解等比数列的通项公式及推导. （三） 德育渗透目标 1、 培养学生的发现意识. 2、 提高学生的逻辑推理能力. 3、 增强学生的应用意识. 教学重点 等比数列的定义及通项公式. 教学难点 灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法 比较式教学法 采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用. 教学过程 Ⅰ复习回顾 前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容 1、等差数列定义：a n -a n-1=d （n ≥2）(d 为常数) 2、等差数列性质： ①若a 、A 、b 成等差数列，则A= ②若m+n=p +q ，则，a m + a n = a p + a q , ③S k ，S 2k - S 3k ，S 2k …成等差数列. 3、等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n s n 2 )1(2)(21-+=+= Ⅱ新课讲授 下面我们来看这样几个数列，有何时共特点？ 1，2，4，8，16，…，263 ；① a +b 2
5，25，125，625，…； ② 1，- ， ，- ，…； ③ 仔细观察数列，寻其共同特点： 数列①：)2(2;21 1≥==--n a a a n n n n ； 数列②: )2(5;51 ≥==-n a a a n n n n 数列③: )2(2 1;21 )1(111≥-=?-=---n a a a n n n n n 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点) 1、定义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）,即：a n ：a n-1= q （q ≠0） 数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意公差①“d ”可为0，②公比“q ”不可为0. 2、等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得 a 2=a 1q a 3=a 2q =( a 1q )q = a 1q 2 a 4=a 3q =( a 2q )q =((a 1q )q )q = a 1q 3 …… a n =a n-1q = a 1q n-1（a 4，q ≠0），n=1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式可得：（n-1）个等式 1 2 1 8 1 2 1 4 a 2 a 1 = q a 3 a 2 = q ① ②
等比数列 一教案描述 1.教案的背景 等比数列是另一类重要的特殊数列，研究方向、内容、方法与等差数列类似。首先，归纳出等比数列的定义，再导出等比数列的通项，最后是应用。我在教学设计中，通过创设一系列的问题情境把这些内容有机地串联起来，整个过程如一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。 教学目标 (1)理解等比数列的定义及通项公式。掌握通项公式的推导方 法 （2）通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。 （3）通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。 2.教学过程设计 2.1创设情境，自学质疑 教师先借助电脑投影几个数列 ①-2,1,4,7,10,13,16,19,… ②8,16,32,64,128,256,… ③3,3,3,3,3,3,3,… ④243,81,27,9,3,1, , ,… ⑤31,29,27,25,23,21,19,… ⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,… ⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,… 然后提出下列问题 问题1：①我们已学过等差数列，以上数列哪些是等差数列？②如果不是，那么数列的后一项与前一项又具有怎样的共同特征？③能为这类数列命名吗？ 设计意图：是让学生体验类比及从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法.这里教师的任务是：展示创设的问题情境，为学生观察、思考、讨论、交流等学习活动提供材料。 2.2合作交流，互动探究 （1）等比数列的定义 问题2：类比等差数列的概念，归纳等比数列的定义 讨论结果：①相邻两项的商是一个常数 ②每一项与前一项的比是同一个常数 ③从第二项起，后一项与前一项的比是同一个常数 对于这一问题，有了等差数列的基础，学生是可以概括出来的，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要着急地照本宣科或越俎代庖，要相信学生在经历了一番挫折后会逐步完善他们的表达语言，
课题: 2.4等比数列 授课类型：新授课 （第1） ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表
示（q ≠0即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q = 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q >0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。 [范例讲解] 课本P57例1、例2、P58例3 解略。 Ⅲ.课堂练习
2.5 等比数列的前n 项和 2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用 从容说课 师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的. 等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1 223211..., 再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q q q a a S n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间. 教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导 2.等比数列前n 项和公式的应用. 教学难点 等比数列前n 项和公式的推导. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题； 2.探索并掌握等比数列前n 项和公式； 3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一； 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动. 三、情感态度与价值观 1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力； 2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言. 师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求. 师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？ 生各持己见.动笔，列式，计算. 生能列出式子：麦粒的总数为 12…263=? 师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示： 12…263=? 师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法： 记S=13…263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示： S=13…263,① 2S=3…263264,② ②①得 2SS=2641. 2641这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是
等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.
分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列； （3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列： （1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2； （3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列； （3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列； （4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12 . 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。 （1）8442a a a ==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗
等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．
师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．
高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高一数学教案 编订：XX文讯教育机构
等比数列的前n项和(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高一数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标 1.把握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简单的问题. (1)理解公式的推导过程,体会转化的思想; (2)用方程的思想熟悉等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二; 2.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的练习,培养他们实事求是的科学态度. 教学建议 教材分析 (1)知识结构 先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.
(2)重点、难点分析 教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是要记住公式,更重要的是把握推导公式的方法. 等比数列前项和公式是分情况讨论的,在运用中要非凡注重和两种情况. 教学建议 (1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题. (2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生观察实例,发现规律,归纳总结,证实结论. (3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的爱好. (4)编拟例题时要全面,不要忽略的情况. (5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大. (6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题. 教学设计示例
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
七年级思品《创建新集体》教案 目标预设： 知识与能力：通过教学使学生认识到集体的重要性。树立共同的目标，各尽所能，发挥所长，奉献集体。 过程与方法：通过学生对心目中班集体的描绘，让学生了解到加强集体观念的重要性。 情感态度与价值观：使学生明白只有每个人热爱集体，团结协作、互相帮助、互相支持，创建出优秀的班集体，才能在集体中不断成长成材。 教学重难点： 重点：如何创建新集体 难点：如何创建新集体 教学准备：多媒体、图片、粉笔,学生课前准备好展示才艺的道具 教学过程： 一、导入新课 踏入初中生活，当每一位同学熟悉了新的班级、新同学之后，一个新的集体也就诞生了。通过学习，你们打算怎样去创造一个大家都为之自豪的班集体呢？ 二、新授 师：集体是个人成长的园地，我们知道一个良好的班集体对个人的成长发展确实太重要了，那么，同学们心目中的班集体是什么样子的？ 板书课题创建新集体 （一）共同的目标，前进的动力（板书） 活动1 想一想：你最喜欢的班级是怎样的？并说出自己的理由。（师生交流） 填一填： 我希望生活在、、的班集体中，因为在这样的集体中，我们。因此，我们都愿意生活在一个集体中。 提示：(1)可用“健康、活泼、团结、和谐、民主、奋进”或“目标一致，团结互助，人尽其才，民主和谐”之中任意三个词来描绘最喜欢的班级。因为，它能激发我们对学校生活的热爱，有助于同学间融洽关系的形成和纯洁友谊的建立，能为我们提供团结奋斗的不懈动力，能让我们认识到自己之所长，发挥自己的闪光点，能促进我们沟通协作、相互配合，在集体中不断成长。(只要言之有理即可) 师：我们生活在一个班级中，如果没有共同的期望，各想各的，各做各的，班级就像一盘散沙，不可能成为我们为之自豪的集体。所以我们首先要通过讨论总结出最喜欢的班级的模样，这样我们就有了共同的目标，就可以让我们的集体向着我们理想的方向发展，而共同的目标自然也就给了我们团结奋斗的不懈动力。 活动2 分组讨论：为创建优秀班集体提建议，并填表 我们心目中班集体的特点 创建优秀班集体可采取的措施 师：当然要想创建一个优秀的、理想的班集体并不是一件容易的事，这需要我们大家的共同努力：各尽所能，发挥所长，奉献集体 （二）各尽所能，发挥所长，奉献集体（板书） 活动3 看看你有哪些才智能为集体建设弹奏出美妙的“音符”。 如:我很热心，所以我可以做班级的收信员。
等比数列的前n项和 一、教学目标 1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。 二、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下： 四、教学过程 （一）创设问题情景 课前给出复习：等比数列的定义及性质 课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同
学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！] （二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：4652 30)301(3021'30=?+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探 究， 292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ② 若②式减去①式，可以消去相同的项，得到： 1073741823 123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 答案:穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿 以上方法推导） )1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S )2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=- （1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=- 推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法 后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发 言） ?? ???≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n
《等比数列的前n项和公式》教学设计说明 河南省开封市第二十五中学姜黎黎 《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。 教材分析 等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 学情分析
就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n 项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。 教学目标 在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。 在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。 在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。重点难点
重点：使学生掌握等比数列的前项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。 难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。 情境创设 《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求. 我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏，就问他想要什么。达依尔说：“请在棋盘的64个方格上，第一格放1颗麦粒，第二格放2颗麦粒，第三格放4颗麦粒，依次类推，每一格放的麦粒数都是前一格的两倍，直到第64格，请您给我足够的麦粒以实现上述要求。”选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱，同时也让学生明白数学和生活息息相关，把学
天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5第48-52页 2.4等比数列 理学院数学0801 刘瑞平
等比数列教案 一、 课题：等比数列 二、 课型：新授课 三、 教材分析 等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。 四、 学情分析 学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。 五、 教学目标： 1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个 数列是否为等比数列；利用通向公式求项。 2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法， 掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。 3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高 学生数学思维的情趣。 4) 教学重点与教学难点 教学重点：等比数列的概念 教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。 六、 教学方法：讲授法，讨论法 七、 教学过程： 1、导入，设问激疑 设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力
师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？ （师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 …… 可以猜想得出 ，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1?250 。lg 250 ≈15.05 ，也就是说250 是一个15位整数，2 50 ?0.1mm=1000 10001 .0250??km ，这个数字我们不 知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。而地球到月球的距离仅有 385400km （六位数）。（让学生感受事实与想象之间的差距） 2、新课引入 回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 ……