高等数学（上）重要知识点归纳
第一章 函数、极限与连续
一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）
,,0lim N a x n n ?>??=∞
→ε当N n >时，ε<-||a x n
2、性质
(1) )()()(lim 0
x A x f A x f x
x α+=?=→，其中)(x α为某一个无穷小。 (2)(保号性）若0)(lim 0
>=→A x f x
x ，则,0>?δ当),(0δx U x o
∈时，0)(>x f 。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim
=??→? (2)e =?
+?
∞
→?)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0→?时
（1)??~sin （2）??~tan （3）??~arcsin （4)??~arctan （5）??+~)1ln( （6）?-?~1e （7）221
~cos 1??- （8）n
n ?-?+~11
4、分子或分母有理化法
5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*
)(x f 在a 点连续
)()()()()(lim 0lim 0
a f a f a f a f x f y a
x x ==?=?=??-+→→?
2、间断点的分类??
??
?
?
??????????
?其他震荡型（来回波动）
）
无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）
第一类 3、曲线的渐近线*
a
x x f A
y A x f a
x x =∞===→∞
→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(
五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理
第二章 导数与微分
一、导数的概念 1、导数的定义*
a
x a f x f x a f x a f x y dx dy a f y a
x x x a x a x --=?-?+=??==
'='→→?→?==)
()(lim
)()(lim lim |)(|00
2、左右导数 左导数a
x a f x f x y a f a x x --=??='-
-
→→?-)
()(lim
lim
)(0 右导数a
x a f x f x y a f a x x --=??='+
+
→→?+)
()(lim
lim
)(0 3、导数的几何意义*
k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=
4、导数的物理意义
加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。可导→ 二、导数的运算
1、四则运算 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( 2
)(v
v u v u v
u
'
-'=
' 2、复合函数求导 设)]([x f y ?=，一定条件下x
u u y dx
du
du dy dx dy ''== 3、反函数求导 设)()(1y f x x f y -==和互为反函数，一定条件下：y
x x y '=
'1 4、求导基本公式*（要熟记）
5、隐函数求导* 方法：在0),(=y x F 两端同时对x 求导，其中要注意到：y 是中间变量，然后再解出y '
6、参数方程确定函数的求导* ???==)
()
(t y y t x x 设，一定条件下
3
)
()(,t t t t t t t
t
t x x t t x x x y x y x x y dx y d y x y dx dy y ''''-'''=''''='=''''=='（可以不记） 7、常用的高阶导数公式 （1）...)2,1,0(),2
sin(sin )(=+=n n x x n π
（2）
...)2,1,0(),2
cos(cos )
(=+=n n x x n π （3）...)12(,)
1()!
1()
1()1(ln 1
)
(=+--=+-n x n x n
n n （4）...)2,1,0(,)
1(!)1()11(1
=+-=++n x n x n n n （5）（莱布尼茨公式）∑=-=n
k k k n k n n v u C uv 0
)()()
()(
三、微分的概念与运算 1、微分定义 *
若)(x o x A y ?+?=?，则)(x f y =可微，记Adx x A dy =?= 2、公式：dx x f x x f dy )()('=?'= 3、可微与可导的关系* 两者等价
4、近似计算 当较小时，
||x ?dy y ≈?，x x f x x f x f ?'+?+≈)()()(
第三章 导数的应用
一、微分中值定理* 1、柯西中值定理*
)
()()
()()()(),,,0)(3),()()()2(],[)()()1(a g b g a f b f g f b a x g b a x g x f b a x g x f --=
''∈?≠ξξξ使得：（则：
）（内可导在、上连续在、
当取x x g =)(时，定理演变成： 2、拉格朗日中值定理*
))(()()()
()()(),,a b f a f b f a
b a f b f f b a -'=-?--=
'∈?ξξξ使得：（
当加上条件)()(b f a f =则演变成： 3、罗尔定理* 0)(),,='∈?ξξf b a 使得：（ 4、泰勒中值定理 在一定条件下：
)()(!)(...))(()()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+=
其中ξξ),)(()()!
1()
()(010)1(n n n n x x o x x n f x R -=-+=
++介于x x 、0之间. 当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理. 当00=x 时，公式变成:
5、麦克劳林公式 )(!
)0(...)0()0()()(x R x n f x f f x f n n
n +++'+=
6、常用麦克劳林展开式
（1）)(!
1...!212n n
x
x o x n x x e +++++=
（2）)()!12()1(...!5!3sin 21
2153n n n x o x n x x x x +--+
+-=-- （3）)()!
2()1(...!4!21cos 12242++-+
+-=n n
n x o x n x x x （4）)()1(...32)1ln(132n n
n x o x n
x x x x +-++-=+-
二、罗比达法则*
记住：法则仅能对∞
∞,00型直接用，对于,,0,1,,000∞∞-∞∞?∞转化后用. 幂指函数恒等式*f g g e f ln = 三、单调性判别*
1、,0↑?>'y y ↓?<'y y 0
2、单调区间分界点：驻点和不可导点. 四、极值求法*
1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.
2、求出可疑点后再加以判别.
3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.
4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大. 五、闭区间最值求法*
找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.
六、凹凸性与拐点* 1、,0??>''y y ??<''y y 0 2、拐点：曲线上凹凸分界点),(00y x .
横坐标0x 不外乎不存在或)(,0)(00x f x f ''=''，找到后再加以判别0x 附近的二阶导数是否变号. 七、曲率与曲率半径 1、曲率公式2
3
2)
1(||y y K '+''=
2、曲率半径K
R 1
=
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
三角函数公式
等比数列的求和公式： x x=x1?x x x 1?x = x1(1?x x) 1?x 等差数列求和公式： x x=x(x1?x x) 2 =xx1+ x(x?1) 2 x 立方和差公式： x3?x3=(x?x)(x2+xx+x2) x3+x3=(x+x)(x2?xx+x2)
x x?x x=(x?x)[x x?1+xx x?2+?+xx x?2+x x?1] 对数的概念： 如果x（x>0，且x≠1）的x次幂等于x，即x x=x，那么数x叫做以x为底x的对数，记 作：log x x=x. 由定义知： （1）负数和零没有对数； （2）x>0，且x≠1，x>0； （3）log x 1=0，log x x=1，log x x x=x，x log x x=x. 对数函数的运算法则： （）log x (x?x)=log x x+log x x （）log x (x÷x)=log x x?log x x （）log x x x=x log x x （）log x x=log x x log x x （）log x x x x=x x log x x 三角函数值
导数公式： （1）(x)′=0（2）(x x)′ =xx x?1 （3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=?sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=?csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=?csc x cot x （9）(x x)′ =x x ln x（10）(x x)′=x x （11）(log x x)′=1 x ln x （12）(ln x)′=1 x （13）(xxx sin x)′= √1?x2 （14）(xxx cos x)′= √1?x2 （15）(xxx tan x)′=1 1+x2 （16）(xxx cot x)′=?1 1+x2 基本积分表： （1）∫x d x=xx+x（x是常数）， （2）∫x x d x=x x+1 x+1 +x(x≠1) （3）∫d x x =ln|x|+x （4）∫d x 1+x2 =xxx tan x+x （5）∫tan x d x=?ln|cos x|+x （6）∫cot x d x=ln|sin x|+x
高等数学上册,必背的 知识点,期末考试备考 的重点知识 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =? 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=? 变换后原积分变成了有理函数的积分 二 泰勒多项式 若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称
第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考） 空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ： 多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22 知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则， lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数重要知识点讲解：变限积分求 导 在考研复习的初期，打好基础是学好数学的关键。下面，考研高数重要知识点讲解之变限积分求导，希望能帮助到大家。 数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。特别为广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是变限积分求导。 变限积分求导是考研试卷中每年必考的内容，该知识点可以和高等数学中所有内容都可以结合起来考查综合题，重点是考查变限积分函数求导，其基本原理是如下三个公式： 在这三个公式中，被积函数中不含有参数x，而考试的时候经常被积函数中间含有参数x，处理的时候有两种情况，第一种情况是参数x和积分变量t是可以分离;第二种情况参数x 和积分变量t是没法分离的，用定积分的换元法来处理。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢 第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤ 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点， 是某一正数， 与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的 空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。高等数学知识点归纳
高等数学(下)知识点总结
专升本高等数学知识点汇总
高等数学知识点(重点)
微积分知识点归纳
考研高数重要知识点讲解：变限积分求导
《高等数学》-各章知识点总结——第1章
考研高等数学知识点总结
高等数学高数知识点总结
高等数学 各章知识点总结——第9章
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