模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式 ：
三角形面积二底高2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 ?
如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）;
这说明当三角形的面积变化时 ，它的底和高之中至少有一个要发生变化 ?但是，当三角形的底和高同时
发生变化时，三角形的面积不一定变化?比如当高变为原来的
3倍，底变为原来的-,则三角形面积与原来
3
的一样?这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积
，而不仅仅取决于高或底的变
化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状
?
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论 ① 等底等高的两个三角形面积相等 ；
② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如
图 S ：S 2 二a: b
④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）；
⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ；
⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等
，面积比等于它们的高之比
③夹在一组平行线之间的等积变形
反之，如果 ACD = BCD ,
,如右上图 ACD = S A BCD ； 则
可知直线AB 平行于CD ?
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形：⑵4个面积相等的三角形
⑶6个面积相等的三角形。
【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形ABD的面积=12高＜2-6高
三角形ABC的面积（12 4）高"2=8高三角形ADC的面积=4高“2=2高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4倍；
3
三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_______ 平方厘米。
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3一：一2=6（平方厘米）。
巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示,平行四边形的面积是
50平方厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米。
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半 等于平
行四边形面积的一半 ，为50 - 2 =25平方厘米。
巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形 ABCD ，
它内部阴影部分的面积是 _________
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 连接BH 、CH 。
?/AE =EB ,
…AEH - S ^BEH -
冋理，S ^ BFH -S ^ CFH , S cGH =S_DGH ,
1 1 、
?'?S 阴影 S 长方形ABCD 56 =28（平方厘米）.
2 2
巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点
的面积是 ________
，所以阴影部分的面积也
长方形ABCD 的长是20,宽是12，则
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半
1
，为—20 12 =120。
2
【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、
AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为
,如果正方形的边长是 12 ,那么阴影部分
B
E
C
【解析】把另外三个三等分点标出之后 ，正方形的
3个边就都被分成了相等的三段 。把H 和这些分点以及正 方形的
顶点相连，把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形 。这9个三角形的底边分别是 在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一
。阴影部分被分割成了 3个三角形，
右边三角形的面积和第 1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第4个三角形相等；左边三角 形的面积和第5个第6个三角形相等。 因此这3个阴影三角形的面积分别是
ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就
等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例5】长方形ABCD 的面积为36 cm 2，
积是多少？
这样阴影部分的面积就是 厶DEF 的面积，根据鸟头定理，则有
:
E 、
F 、
G 为各边中点，
H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH HC ，如下图：
可得：S EHB S AHB 、
2 即 S EHB ' S BHF ' S D HG
S FHB S CHB 、
2
丄
(S AHB ' S CHB 2 - -
1
S D
S.D HC ，而 S A BCD =S^HB +S 店HB * SfHD =36 1
■ S CHD ) 36=18 ；
2 所以阴影部分的面积是
C 丄C 1 11 1 1
二 So ■ S EBF ， S EBF BE BF ( AB) ( BC) 36=4.5。
2 2 2 2 8
:S 阴影=18 - s EBF =18-4.5=13.5
解法二：特殊点法。找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图
【解析】（法1）特殊点法。由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，贝U 阴
影部分变为如上中图所示 ,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的
-和-,所以阴影部 4 6
S
阴影
=S AB CD —'S AED —S BEF —'S CFD 1 1 =36
36
2 2
111 11 36
36 = 13.5。
2 2 2
2 2
【例6】长方形ABCD 的面积为36 , E 、 F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
【解析】（法1）特殊点法。由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上
图），那么阴影部分的面积就是 JAEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形
ABCD 面积的-和-，所以阴影部分面积为长方形
ABCD 面积的丄」，为36 - =13.5 。
8
4
8 4 8
8
（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、 可得:S EHB AHB 、 即 S EHB ' S BHF ' S DHG 而 S
.EHB ' S
.BHF ' S
DHG
HC ，如右上图。
1
S DHG S.DHC ，而 S AB CD = S.AHB ' S.Q HB ' S ￡HD = 36，
1
■ S CHD )
36 = 18 ；
1 11 1 1 S FHB =】S CHB 、
2
1
(S.AHB ■ S CHB
所以阴影部分的面积是 二 S 阴影■ S EBF ， S-EBF
BE BF
(— AB) (— BC) 36=4.5。 2
2 2 2 8
:S 阴影=18 - S EBF =18 - 4.5=13.5。
巩固】在边长为6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分 ，另一组对边三等分，分 别与P
点连接，求阴影部分面积。
分的面积为62 （-」）=15平方厘米。
4 6 （法2）连接PA 、PC 。
由于 PAD 与PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积 之和等于正方形 ABCD 面积的1 ,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD 面
4 积的1
，所以阴影部分的面积为 62 （丄-
）=15平方厘米。
6 4 6
如右图，E 在
AD 上, AD 垂直BC , AD =12厘米，DE =3厘米.求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的
几倍？
因为AD 垂直于BC,所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高，
是：三角形ABC 的面积=BC 12-〉2=BC 6
三角形EBC 的面积二BC 3"2=BC 1.5
【解析】3 个， AEC 、n BED 、n DEC.
巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对 ？
【例7】 【解析】
所以三角形ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的4倍.
【例8】 如图，在平行四边形ABCD 中, 共有哪几个三角形？
EF 平行AC ,连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一
【解析】
n AEC 、n AFC 、「ABF . 巩固】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，
E 是AD 中点，连结BE 、CE,那么与3 ABE 等积的三角形一共有哪
几个三角形？
C
C
【解析】□ ABD 与| ACD , ABC 与 DBC , ABO 与 DCO .
【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形
ABC 的面积为1,其中AE=3AB , BD=2BC ,三角形BDE 的面积是多
少？
【解析】 连接 CE ，: AE =3AB ,??? BE=2AB , S BCE =2S A CB 又 T BD =2BC ,? S B DE = 2S BCE =4S ABC =4 .
【例10】
（2008年四中考题）如右图，AD 二DB , AE 二EF 二FC ,已知阴影部分面积为 5平方厘米，
ABC 的面积是 ________ 平方厘米.
【解析】 连接
CD .根据题意可知，DEF 的面积为 DAC 面积的-,DAC 的面积为?\ABC 面积的-,所
3
2
以ADEF 的面积为 UBC 面积的-1=4 .而 DEF 的面积为5平方厘米，所以 ABC 的面积为
2 3 6
1
5
30 （平方厘米）. 6
巩固】图中三角形 ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍.
那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米 ？
【解析】ABD , L ABC 等高，所以面积的比为底的比，有_S ^匹二
BD
,
S
ABC
BC 2
1
1
AE
1
所以S ABD =— S ABC
180 =90 （平方厘米）.同理有S ABE S ABD 90 =30 （平方厘米）, 2
2
AD 3
FE 3
S AFE
S ABE 30 =22.5 （平方厘米）.即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米.
BE
「
4
巩固】如图，在长方形 ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC =8厘米，求 三角形
ZCY