2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)试题及参考答案
一.选择题
1.已知集合{}2|0log 2A x x =<<,{}
|32,x B y y x R ==+∈,则A B 等于( )
A .{}|24x x <<
B .{}|14x x <<
C .{}|12x x <<
D .{}|1x x >
2.执行如图所示的程序框图,则输出结果为( ) A .15 B .16 C .25 D .36
3.21x x π
?
?- ??
?展开式的二项式系数和为64,则其常数项为( )
A .-20
B .-15
C .15
D .20
4.某校为了解本校高三学生学习心里状态,采用系统抽样方法从800人中
抽取40人参加某种测试,为此将题目随机编号1,2,,800,分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18,抽到的40人中,编号落入区间[]
1,200的人做试卷A ,编号落入区间
[]201,560的人做试卷B ,其余的人做试卷C ,则做试卷C 的人数为( )
A .10
B .12
C .18
D .28
5.是已知双曲线C 的中心在原点,焦点再x 轴上,若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60°,则双曲线C 的离心率等于( ) A .
23
B .
2 C . 3
D .2
6.函数()cos sin y x =的图像大致是( )
7.已知集合()()()(){}
22210,,|30,,,|22,01x y A x y x y B x y x y R R x ?+-≤?
????
=--≤-+-≤>??????≥???
.且
A B φ≠, R 的最小值为( )
A .
23
2
B .5
C .3
D .5
8.在ABC ?中,3AB =,4AC =,5BC =,若I 为ABC ?的内心,则·CI CB 的值为( )
A .6
B . 10
C . 12
D .15
9.()n A n N ∈系列的纸张规格如图,其特点是: ①012,,,
n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同;
②0A 对裁后可以得到两张1A 。1A 对裁后可以得到两张21,n A A -对裁后可以得到两张n A 若每
平方厘米重量为B 克的012,,,
n A A A A 纸各一张,其中4A 纸的较短边的长为a 厘米,记这
()n+1张纸的重量之和为1n S +,则下列判断错误的是( )
A .存在n N ∈,使得21322n S a b +=
B .存在n N ∈,使得21162n S a b +=
C .对于任意n N ∈,都有21322n S a b +=
D .对于任意n N ∈,都有21162n S a b +=
10.定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()()'xf x f x x -=,且()11f =。现给出关于函数()f x 的下列结论:①函数()f x 在1,e ??+∞ ???
上单调递增;②函数()f x 的最小值为2
1e -;③函数()f x 有且只有一个零点 ;④对于任意0x >,都有()2f x x ≤。 A .6 B . 10
C . 12
D .15
二.解答题
11.已知z C ∈且()1+z i i =,则z 等于_________。
12.设等差数列n a 的前n 项和为n S ,且2412a a +=,则5=S _______。 13.在ABC ?中,6
ABC π∠= ,3AB = ,3BC =,若在线段BC 上任取一点D ,则BAD ∠为
锐角的概率是______。
14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则三棱锥111B A B C -公共部分的体积等于_______。 15.定义在R 上函数()f x 满足:()()f x f x -=,()()22f x f x +=-,若取芯()y f x =在
1x =处的切线方程30x y -+=,该曲线在5x =的切线方程为________。
三、解答题:
16.已知函数()1
sin cos cos 22
f x x x x =+
, (Ⅰ)若tan 2θ=,求()f θ的值;
(Ⅱ)若函数()y g θ=的图像是由函数()y f x =的图像上所有的电向右平移4
π
个单位长度而得到,且()g x 在()0,m 内是单调函数,求实数m 的最大值。
17.如图,四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,AD BC ,BAD ∠=90°,PD ⊥平面
ABCD ,3AD AB PD ===,1BC =,过AD 作一平面分别相交PB ,PC 于电,E F 。
(Ⅰ)求证AD EF ; (Ⅱ)设1
3
BE BP =,求AE 于平面PBC 所成的角的大小。
18.“抢红包“的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味。”掐女红包“有多种玩法,小明参
1,9,加一种接龙红包游戏:小明在红包里装了9元现金,然后发给朋友A,并给出金额所在区间[]
让A猜(所猜金额为整数元;下同),如果A猜中,A将获得红包里的金额;如果A未猜中,A
6,9,让B猜,如果B猜中,A和B可将当前的红包转发给朋友B,同时给出金额所在区间[]
以评分红包里的金额;如果B未猜中,B要将当前的红包转发个朋友C,同时给出金额所在区8,9,让C猜,如果C猜中,A、B和C可以评分红包里的金额;如果C未猜中,红包里间[]
的资金将退回小明的账户。
(Ⅰ)求A恰好得到3元的概率;
(Ⅱ)设A所获得的金额为X元,求X的分布列及数学期望;
(Ⅲ)从统计学的角度而言,A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和?并说明理由。
19.已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F 及椭圆的短轴端点为顶点
的三角形是等边三角形,椭圆的右定点到右焦点的距离为1
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)如图,直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ,且交于y 轴于点P ,过点M 作垂直于
l 的直线交y 轴于点Q ,求证:12,,,,F Q P M P 五点共圆。
20.已知函数()()2*2
1
n nx ax
f x n N x -=∈+的图象在点()()0,0n f 处的切线方程为y x =-。 (Ⅰ)求a 的值及1()f x 的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数k ,使得射线()3y kx x =≥-与曲线()1y f x =有三个公共点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由; (Ⅲ)设12,,n x x x ,为正实数,且12,,
1n x x x =,证明:()()()120n n n n f x f x f x +++≥。
21.选做题
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知曲线C :22
3x xy y -+=
,矩阵222
2M ?
= - ??
,且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线'
C 。 (I )求曲线'
C 的方程;
(II )求曲线C 的离心率以及焦点坐标。
(2)选修4-4:极坐标与 参数方程
在平面直角坐标系xoy 中,点M 的坐标为(-1,2),在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=。 (I )判断点M 与直线l 的位置关系;
(II )设直线l l 与抛物线2
y x =相交于A ,B 两点,求点M 到A,B 两点的距离之积。
(3)选修4-5:不等式选讲 设函数()1f x x =+。
(I )若()()2
6f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立,求实数m 的取值范围;
(II )当14x -≤≤