《向量的减法运算及几何意义》说课稿
各位专家，您们好！
今天我说课的题目是《普通高中课程标准实验教科书·北师大版·数学·必修4》第二章第二节《从位移的合成到向量的加法》的第二节课《向量的减法》。现在我就教材分析、目标定位、教法与学法分析、教学程序、板书设计五个方面进行说明，恳请各位专家批评指正。
一、教材分析
1、教材所处的地位和作用
《向量的减法运算及几何意义》是高中必修四第二章第二节内容，是平面向量线性运算的一种。在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转换。通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义，培养了学生的化归思想和数形结合思想。这样，不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
2、学情分析
学生已经学习了平面向量的加法运算及几何意义，会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定的作图能力。这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减数”的理解。
3、教学目标
知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）
通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位
移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边
形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
4、教学重点和难点
教学重点：向量减法的运算和几何意义
教学难点：减法运算时差向量方向的确定
二、教学方法及教学手段
教学方法：类比法、探究法、讲练结合
教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。
三、教学过程
（一）回顾旧知
通过提问，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则）
1．已知a，b。求作a b
(用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？
)
引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢
设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。并自然引出本节课所研究的内容。
（二）引入新课
问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A 点,香港记作B 点,那么这辆飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
0AB BA +=
引出相反向量的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a - 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
1、若 向量a ,b 是互为相反向量,那么, a 与b 满足什么关系
2、 – （ – a ) = ________
设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。也能使学生更容易理解相反向量的定义及相关性质
（1） 引入利用相反向量，通过向量加法定义向量减法。通过数的减法运算的定义类比得到向量的减法运算的定义：向量()a b a b -=+-.文字语言：
如图：已知a 和b 求作a b -
作法：在平面内取一点O ，作=a ， OB = b 则BA = a b - 即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量
注意：1? BA 表示a b -强调：差向量“箭头”指向被减数
2? 用“相反向量”定义法作差向
O
A
B
a
B
b
-
b
B
a +
a
b
量，()a b a b -=+-显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
然后思考若果把向量AE 平移会有什么发现。得出向量的减法运算的三角形法则：两个向量的起点相同，两个向量的差向量等于减数的终点指向被减数的终点。
设计意图：通过对相反向量的理解，结合学生在初中所学的数的运算法则，通过老师的引导与学生的自主探索。总结归纳出用相反向量，通过向量的加法运算定义向量的减法运算。能极大程度的提高学生的参与度。加深学生对知识点的理解和把握。培养学生的自学思维和自信心。再通过向量的平移引出“用向量加法的逆运算来定义向量减法”这一方式。过程自然，便于让学生接受并理解。
探究：1）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a -
2）若//a b ， 如何作出a b - ？
例题：
例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -；a b c ++
解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作， DC ， 则= a b -， DC = c d -
例2、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：
= a b +， = - =a b -
变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）
A
B
C
b
a
d c
D
O
a -b
A A
B
B
B’
O
a -
b a a b b
O A O
B
a -b
a -
b B
A O
-b
变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直）
变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 例3、已知6a =，8b =，且a b a b +=-，求a b - （三）课堂练习
1.在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于
A.a +b
-a +(-b
a -b
b -a
2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =0
3.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：
a +
b = ，b +
c = ，c -
d = ，a +b +c -d =
4、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =，c -d =，并画出b -c 和a +d .
设计意图：通过对例题的讲解及习题的练习。便于让学生加深对知识点的理解，并帮助学生提高对知识点得灵活运用的能力。
（四）课堂小结
1.相反向量的概念及其应用；
2.向量减法的定义及其运算法则：三角形法则；
3.同起点、连终点、指向被减向量
4.解决向量加法，减法问题，数形结合必不可少
5.用多媒体列出向量加法运算与减法运
算法则的比较表格
设计意图：通过学生的总结，帮助学生
回顾梳理本节所学内容，形成知识框架。帮助学生更好的区别向量加减法的运算法则。
（五）作业设计：
（六）知识迁移及提升：
在确保学生对上述知识点掌握后思考：
向量a －b 与b －a 是什么关系？|a －b |与|a |＋|b |、|a |－|b |的大小关系如何？
1、互为相反向量
2、|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；
3、|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.
不在同一直线时考虑三角形的三边关系
|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？
对于非零向量a与b，向量a＋b与a－b可能相等吗？
七、板书设计
向量的减法运算及几何意义
1.相反向量的定义：
规定：零向量的相反向量仍是零向量2.向量的减法运算
定义：a-b=a+(-b)
三角形法则
3.小结例1 例2
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
7.2向量的减法运算（第3课时） 姓名： 班级： 【教学目标】 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。 【重点与难点】 重点：向量减法的概念和向量减法的作图法 难点：减法运算时方向的确定 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 一、 复习： 向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律： 二、 提出课题：向量的减法 1.向量的减法是向量加法的逆运算 即：)(b a b a -+=-，求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.向量的减法的作法 在平面内取一点O ，作a OA =， b OB = 则A B B O A O b a =-=- 注意：向量减法的关键：首同尾连，指向被减 3.探究：若a ∥b ， 如何作出b a - ？ O A c a B’ b -b b B a + (- b ) a b
b a 【例1】已知向量d c b a ,,,，求作向量d c b a --, 【例2】平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用b a ,表示向量AC 、DB . 变式一：当b a ,满足什么条件时，b a +与b a -垂直？ 变式二：当b a ,满足什么条件时，|b a +| = |b a -|？ 变式三：b a +与b a -可能是相等向量吗？ 三、 课堂反馈 P45 1,2,3,4 四、 课堂小结 五、 教学反思 【课后练习】 1．化简OP QP PS SP -++= （ ） A.QP B.OQ C. SP D. SQ 2. G 为ABC ?的重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，则GA GB GC +-=（ ） A.0 B.4GE C. 4GD D. 4GF 3.若向量a 与b 方向相同，且b a <，则b a -与a 的方向________。 4. 在正六边形ABCDEF 中，AE =m ,AD =n ,则BA =________。 5．作图：求作b a +，b a - 6．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB CB CD -+的模的长。 A B D C
学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识． 学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.
学习难点: 向量的加法运算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: . 2．向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量的和等于.
《向量的减法》教案 英德中学黄小玲 教学目标： 〈一〉知识目标 1、掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。 2、理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。 〈二〉能力目标 1、向量的运算能反映出一些物理规律，从而加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。 2、培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。 〈三〉德育目标 理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想。 〈四〉美育目标 通过学习体会数学的内在美及向量证明方法的逻辑美。 教学重点：向量减法的运算及其几何意义。 教学难点：向量减法定义的理解。 学法引导：类比向量加法运算与数的运算，培养学生的观察力，提高学习兴趣及探究精神。 教学过程： 一、创设情境 如图,已知a、b，求作向量c,使c =a ＋b。 (学生板演后，保留图形，方便后面对比) 向量是否有减法？如何理解向量的减法？ 我们知道，减法是加法的逆运算，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入？二、展示目标 三、自主探究 阅读课本p94---p96 2.2.2向量减法运算及其几何意义，回答下列问题： 1、小东从A地走10米到B地，又再从B地走10米到A地，他的位移是多少？ 2、什么叫做相反向量？相关性质？ 3、你如何理解向量减法的定义？ 4、已知两个向量a，b，如何作出两个向量的差？ 小试牛刀： （1）设b是a相反向量，则下列说法错误的是（ C ） A、a与b的长度必相等 B、a∥b C、a与b一定不相等 D、a是b的相反向量 （2）下列等式，①a + 0 =a ②、b +a = a +b ③、-(-a)= a ④、a +(-a)=0 ⑤、a +(-b)=a-b正确的有( )个？ A、2 B、3 C、4 D、5 （3）已知向量a, b怎样作出向量m，使m =a-b？ 四、共同探导 1、从上面习题（3）中，引导从之前的加法作图法中，归纳出作两向量差的方法。 三角形法则：①起点重合，连接两向量终点，箭头指向被减数（几何意义） ②、利用a－b＝a ＋（－b）(板书演示作图过程) 2、改变a、b的位置（如下图），该怎样作出 a－b？ 3、上题中，向量a、b不共线，若a、b共线时，怎样作a－b？（指名板演，师生共同评议）引导归纳作两共线向量差的方法：利用向量减法的几何意义。并与怎样作a +b比较。5、再展牛刀 a b a b a b a b
§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年级：高一 撰写教师：徐艳 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第 1 课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用. （2）教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情. 教学目标： （1）知识目标 ① 理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ② 掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③ 掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算. （2）能力目标 ① 经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程； ② 通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力. (3) 情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行” 的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. (2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流. 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源 1 名称：两岸直航视频 媒体格式：avr 媒体资源 2 名称：《爱的直航》 媒体格式：MP3
向量减法运算及其几何意义教学设计 教学课题简介 学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4） 一、教学目标 1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法 则及其几何意义求两向量的差. 2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减 法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点， 体会向量减法的几何意义. 3、情感态度与 价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想. 二、教学重点和难点 1．重点：向量减法法则及其几何意义． 2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用． 三、教学方法：互动探究式授课 通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法． 四、教学使用工具 多媒体教学 五、课堂教学过程设计 （一）内容引入 类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学 习的主要内容． （二）、师生交流温故知新 1 回顾、类比、得新知——相反向量 问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？ 我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以
3、向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 法则：①三角形法则；②平行四边形法则． 运算律：交换律＋＝＋， 结合律(＋)＋＝＋(＋)． 4、向量的减法 向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量） 求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点． 二、重难点知识剖析 1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 在平面内任取一点O，作，则向量． 4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量． 只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题： （1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=. 特殊情况：两向量平行
2.2.2向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++AD BA CB . 解： =+=++ 二、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) O A a B’ b -b b B a + (- b ) a b O a b B a b a -b
2021年高中数学第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的 减法示范教案新人教B版必修4 教学分析 向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识． 三维目标 1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量． 2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差． 重点难点 教学重点：向量的减法运算及其几何意义． 教学难点：对向量减法定义的理解．
课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课． 思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现． 推进新课 新知探究 提出问题 1向量是否有减法？ 2怎样定义向量的减法运算？ 3如何理解向量的减法？ 4向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？ 活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？ 引导学生思考，相反向量有哪些性质？ 由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量． 于是－(－a )＝a . 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量． 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则 如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE → ＝a ＋(－b )＝a － b . 图1 又b ＋BC → ＝a ， 所以BC → ＝a －b . 由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则 如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b ，即a －b 可
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
第1页/共9页
（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
第2页/共9页
《向量的减法运算及其几何意义》教案 高三数学组王运洪 一．教学目标： 1.知识与技能： （1）了解相反向量的概念； （2）掌握向量的减法，会作两个向量的减向量的图示，并理解其几何意义； （3）认识向量的减法运算与向量的加法运算之间的转换方法，并会通过作图加强理解和运用。 2.过程与方法： （1）类比与联想在相反向量定义中的应用； （2）探究法、思考与分析、讨论与交流等方法在向量减法及其几何意义知识形成和实践过程中的有效运用。 3.情感态度与价值观： （1）通过对新知识的探究与形成与实践，培养学生基本的数学素养、科学的思考方法和思维习惯；通过课堂实践，让学生享受成长的喜悦、激发并养成学生学习数学的兴趣； （2）通过类比与联想的方法在课堂教学中的有效运用，培养学生“事物是广泛联系的” 辩证唯物主义认识观和“一切从实际出发”解决问题的实践观； （3）通过探究法、思考与分析、讨论与交流等方法在课堂教学过程中的合理运用，培养学生独立思考、勇于探究和创新的精神、积极上进与合作共进的精神面貌和思想方法；（4）通过与生活实际有关实例的引入，培养学生善于观察、善于思考的良好习惯和积极运用数学的思维习惯。 二．教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 三．教学难点：减法运算时方向的确定及准确表达。 四．教具准备：多媒体辅助教学。 五．教学过程设计 1. 情景导入1： 张华同学早上出门上学，在他离家大约五十米远时突然想起忘了关门（家中无人），为了安全起见，他应该---- 问题1：你能用两个不同的向量来表示张华同学这一去一回的两个运动过程和结果吗？ 问题2：请你描述一下这两个向量的关联特征？
教案
二、探究新知 （一）定义向量的减法 类比实数x 的相反数是-x ，定义向量a 的相反向量-a ，并说明相反向量的性质. 给出向量减法的定义是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （二）动手实践，理解向量减法的几何意义 问题1：已知向量a 和b ，如何作a - b 的图？追问向量的加法的两个法则都是有几何意义的，那么向量减法的几何意义是什么呢？ 探究：向量减法的几何意义. 讲解探究的过程，第一种探究方法: 选择向量b 的相反向量，使得-b 与向量a 能够共起 点.设OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OD =-u u u r b ，连接AB ，由向量 减法的定义，知 OA OD OC -=+-=+=u u u r u u u r u u u r （）a b a b ． 在四边形OCAB 中， OB OA P ，所以OCAB 是平行四边 形，所以BA OC ==-u u u r u u u r a b ． 最后概括出向量减法的作图步骤： 已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA =u u u r a ， OB =u u u r b ，则BA u u u r 就是-a b .强调向量减法的结果的方 向，明确向量减法的几何意义.
第二种探究方法：选择选择向量b 的相反向量，使得-b 与向量a 能够首尾相接，选择-b 的终点与向量a 的起点相接.探究出向量减法的几何意义. 第三种探究方法：选择选择向量b 的相反向量，选择-b 的起点与向量a 的终点首尾相接.探究出向量减法的几何意义. 思考：（1）如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ （2）如果改变向量a 的方向，使//a b ，怎样作-a b 呢？ 例题：如图，已知向量，，，a b c d ，求作向量-a b ，-c d . 作法：如图上图（2）在平面内任取一点O ，作OA u u u r =a ，OB u u u r =b ，OC u u u r =c ，OD u u u r =d .则BA -u u u r =a b ，DC -u u u r =c d . （三）,,-a b a b 之间的关系 问题2：,,-a b a b 之间有什么关系？ 由上节课我们学习的向量的加法我们得到了 ,,+a b a b 之间的关系，那么作两向量的差的图时 也形成了三角形，那么,,-a b a b 之间一定也有关系.一起探究,,-a b a b 的关系. 通过把减法运算转化成加法运算，再利用整体代换的数学思想把不等式-≤+≤+a b a b a b 中的向量b 用-b 替换，就得到了-≤-≤+a b a b a b .
1 / 3 向量的减法运算及其几何意义 教案 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b A B D C O a b B a b a -b
《向量的减法》教案 教学目标： 〈一〉知识目标 1、 掌握向量的减法运算，并理解其几何意义，会作两个向量的差向量。 2、 理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系。 〈二〉能力目标 1、向量的运算能反映出一些物理规律，从而加深学科之间的联系，提高我们的应用能力。 2、培养学生逻辑思维能力、发散思维能力及从多方位，多角度分析问题的能力，提高学生自身解题的能力。 〈三〉德育目标 理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想。 〈四〉美育目标 通过学习体会数学的内在美及向量证明方法的逻辑美。 教学重点：向量减法的运算及其几何意义。 教学难点：向量减法定义的理解。 学法引导：类比向量加法运算与数的运算，培养学生的观察力，提高学习兴趣及探究精神。 教学过程： 一、 创设情境 如图,已知a 、b ，求作向量c ,使c =a ＋b 。 (学生板演后，保留图形，方便后面对比) 向量是否有减法？如何理解向量的减法？ 我们知道，减法是加法的逆运算，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入？ 二、 展示目标 三、 自主探究 a b
阅读课本p94---p96 2.2.2向量减法运算及其几何意义，回答下列问题： 1、 小东从A 地走10米到B 地，又再从B 地走10米到A 地，他的位移是多少？ 2、 什么叫做相反向量？相关性质？ 3、 你如何理解向量减法的定义？ 4、 已知两个向量a ，b ，如何作出两个向量的差？ 小试牛刀： （1）设b 是a 相反向量，则下列说法错误的是（ C ） A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 （2）下列等式，①a + 0 =a ②、b +a = a +b ③、-(-a )= a ④、a +(-a )=0 ⑤、a +(-b )=a -b 正确的有( )个？ A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （3）已知向量a , b 怎样作出向量m ，使m =a -b ？ 四、 共同探导 1、从上面习题（3）中，引导从之前的加法作图法中，归纳出作两向量差的方法。 三角形法则：①起点重合，连接两向量终点，箭头指向被减数（几何意义） ②、利用a －b ＝a ＋（－b ）(板书演示作图过程) 2、改变a 、b 的位置（如下图），该怎样作出 a －b ？ 3、上题中，向量a 、b 不共线，若a 、b 共线时，怎样作a －b ？（指名板演，师生共同评议） 引导归纳 作两共线向量差的方法：利用向量减法的几何意义。并与怎样作a +b 比较。 5、 再展牛刀 (1)课本p95例3 (2)课本p96 第3题 (3) 课本p96 第2题 a b a b a b
向量的减法 黄岩第一职业技术学校朱永玲 教学目标 1．理解相反向量的概念，理解向量减法的定义，在理解掌握向量加法的基础上，认识向量的减法是转化为加法来进行的． 2．正确熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 教学重点和难点 重点：相反向量的定义、向量减法的定义、向量减法的三角形法则和平行四边形法则．特别要准确熟练掌握三角形法则． 难点：对向量减法的三角形法则和平行四边形法则的熟练掌握，要把法则记准，防止将向量的差向量搞颠倒． 教学过程设计 (一)复习向量加法的定义、向量加法的三角形法则和平行四边形法则． (二)导出新课：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－． 于是有：①－(－)＝． ②任一向量与它相反向量的和是零向量．＋(－)＝(－)＋＝． ③如果、是互为相反的向量，＝－，＝－，＝． ④零向量的相反向量仍是零向量．－＝． 同学们理解了相反向量的定义后，我们来研究向量的减法：向量加上的相反向量，叫做 与的差，即．我们把求两个向量差的运算，叫做向量的减法．下面我们来求在已知向量、向量的情况下，得到差向量的方法：已知向量，向量，与的差向量为．根据减法的定义，即找一向量，使把、
平移到共同起点O ，，，连BA 这样我们就得到求差向量的三角形法则： 把向量、平移到共同的起点，连结两个向量的终点得一线段，向量箭头所指的向量为被减向量．口诀：尾尾相连，谁被减指向谁。 例1．已知向量a ，b ，c 与d ，求 和 例2．如图，作出． O A B C D a b -c d -a b d c a b c a b -c d -d
处理此类特殊情况，仍旧可以按照三角形法则处理。 课堂巩固：P64 ；练习A 第2题 例3．ABCD中，用、表示向量． 解： 课堂巩固：P64 练习A 第3题 做完此题，可提示学生不用画图，直接从字母上看出什么东西。 (三)小结 1．相反向量的概念 2．向量减法三角形法则的口诀 (四)作业：课本P64 练习B 一课一练 P34、P35．
向量的加法与减法课题：教案目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课1课时课时安排：教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入：向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1.ｂａ、①用有向线段表示；②用字母等表示；2.向量的表示方法：AB；③用有向线段的起点与终点字母：ABAB|④向量的大小――长度称为向量的模，记作|. 3.零向量、单位向量概念：00的向量叫零向量，记作①长度为0的方向是任意的零向量、单位向量的定义都是只限制大.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 小，不确定方向平行向量定义：4.①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；ｃｂｃａａｂ. 平 行，记作∥②我们规定0与任一向量平行.向量∥、、 5.相等向量定义：. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量ｂａａｂ 1（）向量＝与；相等，记作（2）零向量与零向量相等；来表示，并（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段. 且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．． 6.共线向量与平行向量关系：. 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（1. 2（）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 7.对向量概念的理解AB：起的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素向量.二个要素点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有：大小、方向. 不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；与起点无关：两个要素向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向三个只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向1 / 8 ，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段要素二、讲解新课：1求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量的加法：三角形法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的课本中采用了平行四边形法则（对于两个向量共线不适应））（“首尾相接，首尾连”和三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的a b ACbAB?aBC?A叫做、，则向量在平面内任取一点如图，已知向量，，作a bab?AC?a?b?AB?BC，即与的和，记作C
向量及向量加减法
学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的. 学习难点: 向量的加法运算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然 ，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则
初二数学春季班（教师版）
平面向量的加减法 内容分析 本节课对向量的概念和性质进行讲解，以及如何利用三角形小法则和平行四边形法则计算向量的加减运算，是平面向量的基础．在学习本章节的过程中，没注意零向量的特殊性以及向量的方向． 知识结构 模块一：平面向量的概念 知识精讲 1．有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段． 2．向量 既有大小又有方向的量叫做向量． 向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模） 3．向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向．
（2）常见的表示方法 ①向量AB，长度记为AB； ②向量a、b、c，长度记为a、b、c． 4．相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 5．相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量． 6．平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 例题解析 【例1】判断下列语句是否正确： （1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量； （2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同； （3）向量AB与向量BA是同一个向量； （4）相等向量一定是平行向量； （5）互为相反的向量不一定是平行向量； （6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量． 【难度】★ 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误；（6）错误． 【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量． 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．