概率论计算：
1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45
2897108)1|2()1()21(=?=
=A A P A P A A P
(2) 45
191102)1|2()1()
2,1(=?=
=A A P A P A A P
(3)
45
169810292108)1|2()1()1|2()1()
21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5
19110292108)1|2()1()1|2()1()
2(=???=
+=A A P A P A A P A P A P
2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？
解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式
0125
.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()
2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式
24
.00125
.002.015.0)
()
1|()1()|1(=?==
A P
B A P B P A B P
3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12131025=
=C C P ; （2）
201
310
2
4==C C P
4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。
解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型5
336
1
224==C C
C P 5．设随机变量X 具有概率密度??
??
?≤>-=0
,00,
3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）
解：（1）由1)(=∞
-+∞?dx x f 有33
3303301==-+∞
=-+∞-??k k x
d x
e k dx x ke 所以（2）
7408.0331
.0)1.0(=-+∞=>?
dx x
e x P
6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一
时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？
解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）
0729.039.021.025
)2(===C X P
（2）
9995
.051.0559.041.045[1)]5()4([1)
3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P
（3）
40951
.059.001.0051)0(1)1(=-==-=≥C X P X P
7．设随机变量X 的概率密度为,,
0,
40,
8
)(??
???<<=其它
x x
x f
求)31(≤ 2 183)31(==≤ x x P 8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。 解：由题意，所以为 0456.0)]2(1[2)]06 .012 .0()06.012.0( [1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P 9．设X~N （3，22）求：（1）) 3(),2|(|), 104(),52(>>≤<-≤ 5328 .0)5.0()1()232()235( )52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ .0)5.3()5.3() 2 3 4()2310() 104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P 6977.0)] 2 3 2()232([1) 22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P 5 .0)0(1)3(=Φ-=>X P （2）由P>c=P(x ≤c)，即 3,02 3 21)23()23 ()23( 1==-= -Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以 求Y=X 的分布律。 解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=5 1， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30 715161= +， P （Y=4）=P （X=-2）=5 1， P （Y=9）=P （X=3）=30 11故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度?? ?? ?>>+-=其它 ,00 ,0, )2(2)(y x y x e x f （1）求分布函数F （x ，y ）； （2）求概率P （Y ≤X ） 解：（1） ???? ?>>----=?? ???>>+-=∞ -∞-=???? 其它其它, 00 ,0),1)(21(,00 ,0)2(200),(),(y x y e x e y x dx y x e x dy y dxdy y x f y x y x F （2） 3 1])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤?? ??dy dx y x e y dxdy y x f X Y P 求X 及Y 的边缘分布律。 Y 13．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为? ? ?≤≤=其它 , 010, 6),(x y x f ，边缘概率密度)(),(y y f x x f 。 解： ???? ?≤≤-=?? ?????≤≤=∞ -+∞ =?? 其它其它, 010),2(6, 010,62),()(x x x x dy x x dy y x f x x f ???? ?≤≤-=?? ?????≤≤=∞ -+∞ =?? 其它其它, 010), (6, 010,6),()(y y y y dx y y dx y x f y y f 14．设（X ，Y ）的概率密度为 ?? ? ??<<<<--=其它,04 2,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求P （X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(x x f 解：（1） 81 ,18,8)6(2 4 02),(= ==--=∞-+∞ ∞-+∞????k k k dy y x k dx dxdy y x f 得由 （2） 8 3)6(812301)3,1(=--=< （3） ???<<-=?????<<--=∞ -+∞ =?? 其它 其它, 01026,010,)6(81 24),()(x x x dy y x dy y x f x x F 求)523(),2(),(+X E X E X E 解： 2 .03.023.004.02)(-=?+?+?-=X E 8 .23 .0223 .0204.02)2()2(=?+?+?-=X E 4 .135)2(3)523(=+=+X E X E 16．设X —b(n,p),求E(X),D(X) ) 1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1) ,...,2,1(,0,1,...21:p np n X D X D X D X D np n X E X E X E X E n X X X n i i i X n X X X X -=+++==+++==?????=+++=于是相互独立且反之次发生第其中 设解 17．设随机变量X 在(a,b)上服从均匀分布，求E （X ），D （X ）。 解：X 的概率密度为 12 2)(42 )(3222)]([)2()(232212)(2)2(2 21 )()(,0,1 )(a b b a b ab a x E X E X D b b ab a dx a b x dx x f x X E b a b dx a b x dx x xf X E b x a a b x f -= +- ++=-=+=-=∞ +∞-=-=-∞+∞-==?? ? ??<<-=????其它 18．设随机变量X 服从分布，其概率密度为 2 2222 )]([)2()(02212)2(01)(:). (),(,0,0 ,00,1)(θθθθθθθ θ θθθθ=-=-=∞+=-==∞+-=>???? ??? ≤>-=??X E X E X D dx x e X X E dx x e X X E X D X E x x x e x f 解求常数是 其中 19．已知X —N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。 2 2222 )]([)2()(2222)(21) (2)(212 )2(2)(21) (2)(21)(:2 2 2 2 2 2 σμμσμσμσπ σ μ σμπσ μμσπ σ μσμπσ =-+=-=+=∞+∞-- +==-=∞+∞--===∞ +∞-- += -=∞+∞--=????X E X E X D dt t e t t x dx x e x X E dt t e t t x dx x e x X E 设 设为解 20．在总体N （52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 8293 .0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263 .6528.50)8.538.50(:=-Φ-Φ=? ??? ??-Φ-???? ??Φ=??? ?????????-<-<-= < 21．已知X —t(n)，求证X 2—F(1，n) ) ,1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:n F x F n V U V V U x V U n x V N U n V U X n t X -== = -分布定义即知由于是相互独立与且其中必有由证明 22．设n X X X ,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。 ∑∑∏∑∑∏====+=-==-= =-= ==-+=+-==+-= >?? ? ??≤≤-=>>?? ???≤>+-=n i i X n n i i x n d L d n X X X n n i x L n i c n i X n n i i x c n n d L d n X X X n c n n i i x c L x x x f c c x c x x c x f 12)ln (2?,01 ln 21 2)(ln 1)....21(211 )()2(1 ln ln ?,1 0ln ln )(ln )1()...21(1 ) 1()()1(:,0, ,010,1)()2(, 0,0, ,0,)1()()1(θ θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解得似然方程为 似然函数为解得似然方程为似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数 为已知其中 23．设总体为随机变量X ，且E （X ）=a （常数，未知），试说明样本平均值X 是a 的无偏估计量。 的无偏估计量 是即解a X n i a na n i X E n n i i X n E X E ∑∑==?==?? ? ? ??==11 )(111)(: 24．设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，a,b 未知，n X X X ,...2,1是一个样本，试求a,b 的矩估计量。 2)1 2(3(?2)12(3(?2 1 24/2)(12/2)(12/)(4 /2)(12 /2)()2(22 /)()(1:A A X b A A X a i X n A b a a b X A b a b a a b X E b a X E -+=--=????? ???? ==++-==+++-==+==∑解得令解μμ 25．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1,6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,5.0。设 干燥时间总体服从正态分布N （μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6 （小时）；（2）若σ为未知。) 4416.6,5584.5() 8(025.03 5745 .00.6) 1(2)1(2,)2() 392.6,608.5(96 .12.00.622,)1(:所以置信区间为现在置信区间为 未知时所以置信区间为现在置信区间为已知时解t n a t n X n a t n S X a z n X a z n X ±=-± ????? ??-±?±=± ????? ? ?±σ σσσσ 26．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11（m/s ），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。 ) 1.21, 43.7(,)1(222)1(,)1(2 22)1(95.0,:查表计算得代入有关数值的置信区间为置信度为标准差由题条件解???????? ? ? ?----n a x S n n a x S n σ 27．某种电子元件的寿命x （以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05） 小时 于认为元件平均寿命不大故接原假设由于计算得拒绝域为 此检验如下解225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0) 1(/0225:1225:0::H t t n a t n S x t H H <==-≥-=>=≤μμμμ 求X 及Y 的边缘分布律 8 .23.0223.0204.02)2()2(2 .0=?+?+?-=-=X E 30．盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个， 那么乙取到新球的概率是多少？ 9 5923164622164)|()()|()()(2;1:=+=?+?=+=B A P B P B A P B P A P B 件由全概率公式 次取到新球的事表示第事件次取到新球的表示第设解 31．对于正态总体的大样本（n>30），S 近似服从正态分布N(σ，σ2/2n)，其中σ为总全的标准差，试证：σ的100（r 2）%的置信区间为 n x Z S n x Z S x Z n S x Z x x Z n S x Z P N n S n N S n x Z S n x Z S 2/2 12/2122/2122/2) 1,0(2/)2/2,(::2/2 12/21-<<+<-<-∴-=??? ?? ?? ???<-<--∴ -< <+σσσ σσσσ σσσ即则近似服从近似服从证解 32．总体X~N （μ，σ2）n X X X ,...2,1是来自总体区的容量n=16的样本，S 2是样本方差{}4375 .0475.195.075.1)15(95 .0)4)116((1616/) (:95.0)(.16 1 2)(11612=∴=-=<∴=>-=??? ? ????? ? >-+>=+>=--= ∑k k t P k t P k s u Z P ks u X P K ks u X P i Z i Z S 有解值的试求满足 33．已知离散型随机变量X 服从对数为2的泊松分布，即...2,112)(===K K k K Z P 求X=3X-2的数学期望E （X ）。 4 )(42232)(3)23()(2 )(:=∴=-?=-=-=∴=X E X E X E X E X E 解 34．设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2）Y~N （0，1）试求X=2X-Y+3的概密度。 18)5(231)(9)()(4)32()(53)()(2)32()(:2-- = ∴=+=+-==+-=+-=x e g z f Y D X D Y X D X D Y E X E Y X E X E π 解 35．设随机变量的分布律为P （Z=K ）=0....)2,1,0(1 >=λλk k k a ，确定a 。 λ λλλ e a ae k k i k a k k k a k K Z P =∴=∞==∞ =∞ ===∑∑ ∑01010 1 )(: 解 36．设（X ，Y ）的密度函数为?????>>-=其它 ,0,0,),(x y x y e y x f 求X ，Y 的边缘密度函数判别其独立性。 不独立 与其它同理 其它时当解Y Z y y f x z f y x f y y ye y y f x x e y x f x e x dy y e dy y x f X z f X ∴≠???? ?>-=?????>-=∴-=∞ +-=∞ +∞-=>??)()(),(,00 ,)(,00 ,),(),()(, 0: 37．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ??? >>+-=其它,00 ,0,)43(),(y x y x Ce y x f 求：常数C 及联合分布主数F （X ，Y ）。 ?????>>----=∴----=∞+∞-∞+∞ -==∴∞+∞ += ?--=∞+∞-∞+∞ -∴+∞∞-+∞ ∞-=????????其它 解,00,0)41)(31() ,()41)(31(),(),(12 12003),(1 ),(:y x y e x e y x F y e x e dxdy y x f y x F C c dy y e dx x e C dxdy y x f dxdy y x f 38．设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数???? ?≥≥--+----= 其它 当,00,03331),(y x y x y x y x F 求二维随机变量（X ，Y ）的联合φ（x,y ） 解：可验证F （x,y ）是连续型二维随机变量的分布函数，则 ?????≥≥--=∴--=???----=?????= 其它 ,00 ,0,)3(ln 3 ),(2)3(ln 323ln 33ln 32),(2 y x y x y x y x y x F y x x X F y x F y x φφ 39．测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ2为总体方差试在水平a=0.05下检验假设 H 0:σ=0.04%, H 1:a<0.04%。 H S h x x n x x x H H 接受现在 拒绝域为 解∴>=?=-===--≤=<==325.3707.72 0004.02 00037.09202)1(2325.3)9(205.0)1(212%04.00:1%04.001:0:σσσσσ 40．设随机变量X 的概率密度为???? ?<≥-=0 ,00 ,32)(2 x x x e x x z P 求Y=X 2的概率密度函数P y (Y)。 { }?????<≥-==-=≤≤-=≥=<==≤?0 ,00,)(1)(0 232)(000)()()(:y y y ye y y F y y P y dx x e x y Z y P y y F y y y y F y y F y Y P 时解 41．设随机变量X 的分布函数为 ??? ? ???>≤≤<=1,110,20,0)(x x AX x x F 求常数 A 及X 的概率密度P （X ）。 ?? ?≤≤=??? ? ???>≤≤<==∴=+==+其它 求寻得解,01 0,2)()(1,11 0,20,0)(1 1)01()1()1()01(:x x x P x F x x AX x x F A F A F F F 42．设随机变量X 的概率密度函数是+∞<<-∞-=x x e x f ,||2 1)(求X 的分布函数F （x ） ?????? ?≥--<=∴--=∞-+= ≥=∞-= ?≥-<=??0,2110,2 1)(2112121)(02 121)(00,2 10,2 1)(:x x e x x e x F x e x dt t e x F x x e x dt t e x F x x x e x x e x f 时 当时当解 43．在长为a 线段上任取两点M 与N ，试求线段MN 长度的数学期望。 3 00)(00)(2100 2 1|||)(|,00,0,2 1 ),(: a a dx a dy a y a a dy y x a a a axay a y x Y Z E a y a x a y x P =??????-+??????-=-=-∴?????≤≤≤≤=??????其它解 44．设总体X 服从区间[θ，2θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，n X X X ,...2,1是来自总体X 的容量为n 的样本， 记∑==n i i Z n Z 11。证明：的无偏估计为θθZ 3 2?=。 θθθ θ θθθθθθθ =?==∴====∴?????≤≤=? 2 3 32)(3 2)32()?(23 )(2 32)(,02,1 )(:Z E Z E E EZ Z E dx x Z E x x P X 其它的分布概率密度函数解 45．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为? ? ?<<<<=其它 ,00,10,3),(x y x x y x P 求X=X-Y 的概率密度函数。 ?? ???≤≤-== =≥-=>--=≤-=<≤=<其它 时当时 当时 当解,010),2 1(23)()(1)(,132 123)(1)()(000 0:Z Z z z F dz d z z P Z z F Z Z Z Z Y X P Z Y X P z z F X Z z F X 46．设随机变量Z 的概率密度为+∞ <<∞--=x x e x P | |2 1)(求E （Z ）及D （Z ）。 2 02)(2)]([)(0 ||21)(:=∞ -=∞ +∞--==+∞ ∞--?=???dx x e x dx X P Z E X Z D dx x e x x Z E 解 47．对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望。 解：设圆直径为随机变量Z ，圆面积为Y 。 )22(12 124)]([)(,0,1 )(2 4 )(b ab a b a dx a b x X f E Y E b x a a b x z P Z Z f Y ++=-==∴??? ??≤≤-== =?πππ 其它则 48．随机向量（X ，Y ）在区域D={(x,y)|0 9 21814)(22)12()(18 1 )(2)2()(2 11 022)2(3 21 02)(,01 0,22)(10,0||10,1),(1 :=? ==+== -== ?== ?=?? ?<<=∴-==< ?<<<=∴???Z D Z D Z D Z E Z E Z D xdx x Z E xdx x Z E x x z P x x x dx x z P x x y x y x P 其它 时当其它 面积为解 49．设n X X X ,...2,1是来自参数为λ的泊松分布为总体的一个样本，试求λ的极大似然估计。 Z n i i x n n i n i x n i i i x n n i i x L n i i i X e xi L x e x x Z P =====-=--===-= -==∑∑∑∑∏ 1 1?1 011 ] )ln[(1ln )(ln 1)()(1 ][:λλλλλλλλ λ令解 50．已知随机变量Z 的分布函数为 ???????>≤<<=4 ,14 0,40,0)(x x x x x F 求E （Z ）和D （Z ）。 3 4 122)04()(2 2 4 0)(04[,04 0,41 )()(:= -==+=∴?? ???≤<== Z D Z E Z x dx x dF x P 上的均匀分布 服从其它 解 51．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ?<<<<--=其它 ,040,20),6() ,(y x y x k y x f (1)确定常数K ；（2）求P{Z<1.5} 32 275.1042)6(81 )5.1()2(8 1 18204 2 8)6(1),() 1(:=--=<= =∴=--∞+∞-∞+∞-=??????dy y x dx Z P K K k dy y x dx k dxdy y x f 即解 52．Z 的概率密度为 ?? ???>-=其它,00),22/(2 2)(x x e x x f θθ 其中θ>0，θ为未知参数，求θ的极大似然估计值。 ∑∑∑∑∏∏==∴==+-=-+=+ -==- === n i i x n n i i x n n i i x n i i x nLn L n i x e i x n n i i x f L i 12 21?0 12312) 12 22(1ln 2)(ln 1222 1 ) ,()(:22θ θθθθθθθθθ令解 53．设总体Z 的概率密度为???? ? ≤≤-=其它 ,01 0,1)(x x x f θθ其中θ>0, θ为未知参数，求θ的矩估计量。 1 1 01) (:+=-==?θθθθdx x X Z E i w 解 2 1????? ? ?-=∴=+Z Z Z a θ θθ令 54．设随机变量Z 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在（0，4）内的概率分布密度函数f y (y)，求f y (y)。 ? ?? ??<<=∴==∞-=∞-=≤≤-=≤=≤=>?? ???<<=??其它 时其它解,040,41 )(41)(1)(2 1)(()2(][)(0,02 0,2 1 )(:y y y Y f y y Y F y Y f y dx y dx x z f y Z y P y Z P y Y P y y F y x x z f 55．已知 P(A)=P(B)=P(C)=4 1,P(AB)=6 1 ,P(AC)=P(B),求A ，B ，C 均不发生的概率。 12 7]6143[1)]()()()([)] ()()([1) (1)()(:= --=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解 56．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，丙的为0.7，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。 解：设A 为“甲投中”，B 为“乙投中”，C 为“丙投中”则 902 .0)()()(2)()() ()()()() (2) ()()() ()(,,7.0)(,8.0)(,9.0)(=--+=-++=++=+++===C P B P A p A P C P C P B P B P A P ABC p CA P BC P AB P CA BC AB P ABC CA BC AB P C B A C P B P A P 相互独立 显然 57．某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i ）第一次抽次品。（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品。 16170 198********)/()/()()(495 19941005)/()()(100 5)(:= ??===?=== AB C P A B P A P ABC P A B P A P AB P A P 解 58．若AB ，A>C,P(A)=0.9，7 .0)8.01(9.0)](1[)()](1[)()()()(,:)(8.0)(=--=+--=--=-=-∴>∴>>-=+C B P A P C B P A P BC P A P BC A P BC A C A B A B C A P C B P 解求 59．对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好的概率是多少？ 9.03 .025.09.075.09 .075.0) /()()/()() /()() /(75.0)(,3.0)/(,9.0)/(,"""":=?+??=+= ===B A P B P B A P B P B A P B P A B P B P B A P B A P B A 的概率为所求则调整良好机器为产品合格为设解 60．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号，求（1）最小号码为5；（2）最大号码煤矿的概率。 201 310 242)2(121 310251)1(:= === C C P C C P 解 61．一个工人看管12台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为101 ，求这段时间内至 少有两台机器需要工人维修的概率。 解：设k A 为“K 台机器需维修”，则 341 .011 )109(10212)109(111)109)(101(112 12)109(0)101(012 112)109()101(12 )(≈?--=--=-=C C k k k C k A P 62．制帽厂生产帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶。一个采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率。 解：设B 为“一盒帽子被买下”，Ai 为“一盒帽子中有I 顶帽子合格”。则 64 .04 22324)2.0()8.0(4 ) 4 /()()()4,3,2(242 )/()1,0(0)/() 4,3,2,1.0(4)2.0()8.0(4)(==-===∴=====-=∑∑i C i C x i x i x i C i A i B P i A P B P i C i C i A B P i i A B P i i i i C i A P 63．某种电子元件的寿命X （以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05），已知t 0.05(15)=1.7531。 解：此检验如下： . 225,0,7531.16685.07531.1)15(05.0,6685.0) 15(05.0)1(/0225 :1225 0:0小时认为元件平均寿命大于设故接受原假由于计算得拒绝域为 H t t t n a t n S x t H H <===-≥-=>=≤μμμ 四、综合题 1.对于正态总体的大样本（n>30），s 近似服从正态分布)2/2n N σσ，（，其中σ为总体的标准差，试证：)% 1100ασ-（的的置信区间为n z s n z s 22 1221α σα -<<+ 解： )2/2n N s σσ，（近世服从 )1,02/（近世服从N n s σσ -∴ 则αασσ α -=?? ? ???? ???<-< -122/2z n s z P 2 2/2 α σσα z n s z <-< -∴ 即 n z s n z s 22 1221α σα -<<+ 2.测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，2σ为总体方差试在水平α=0.05下检验假设%04.0:%,04.0:10<=σσH H 解:
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