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高考数学定比分点与向量中常见的结论

教案5：定比分点与向量中常见的结论

一、课前检测

1.（丰台一模理6）在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知

3,4==AB OA ,则AC → ·OB →

的值为（ D ）

（A ）0 （B ）7 （C ）25 （D ）7-

2.（宣武一模理4）已知两个向量a =（1，2），b =（x ，1），若（a+2b ）//（2a —2b ），则x 的值是（ C ）

A.1

B.2

C.2

D.3

3.设向量(1,1)a x =-，(3,1)b x =+，则“2x =”是“a b ⊥”的（ A ）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

二、知识梳理

1.线段定比分点公式：如图，设→

--→--λ=21PP P P . （注：终分，分起→→）

1）则定比分点向量式：→

--→--→

--+++=

21111OP OP OP λ

λλ 2）定比分点坐标式：设P （x,y ）（分点），P 1（x 1,y 1）（起点），P 2

（x 2,y 2）（终点）。

则???

???

λ+λ+=λ+λ+=1y y y 1x x x 2121

特例：当λ=1时，就得到中点公式：

)OP OP (21OP 21→

--→--→--+=，???

???

+=+=2y y y 2

x x x 2

11211

实际上，对于起点相同，终点共线三个向量→--OP ，1OP →--，2OP →

--（O 与P 1P 2不共线），总有→

--OP =u 1OP →

--+v 2OP →

--，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。

???

?+=+=.2,2

2121y y y x x x ？（三角形内角平分线定理）解读：

2.设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，则OP =λOA +μOB 且λ

+μ=1，

λ、μ∈R.

①OA ，OB 不共线，若OP =λOA +μOB ，且λ

+μ=1，λ∈R ，μ

∈R ，求证：A 、B 、P 三点共线.

提示：证明AP 与AB 共线.

②当λ=μ=2

1时，OP =2

1（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是

向量的中点公式. 解读：

3．已知向量起点与终点坐标，求向量的坐标：向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则→--OA =（x,y ）；当向量起点不在原点时，向量→

--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2），则→

--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) 解读：

4.向量模的坐标形式：︱︱22

11a a x y ?+解读：

5.求向量的夹角：cos θ=

a b a b

??1

x x y ?+

注：,a b ??为锐角0a b ??>,,a b 不同向；,a b ??为直角0a b ??=；,a b ??为钝角0a b ??<,,a b

不反向. 解读：

6.平面两点间的距离公式：已知A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）

,A B d =||AB AB AB =?

=解读：

7.与向量→a 同向的单位向量：→

→

a e ；与向量→a 平行的单位向量：→

→

a e 。

与向量y)(x,a =→

平行的单位向量为：)y x y ,

y x x (2

++±

与向量y)(x,a =→

垂直的单位向量为：)y

x x ,

x y (-2

++±。

解读：

8.三角形的五个“心”：重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 解读：

9.三角形中向量性质：

① 1）AB AC +过BC 边的中点.2）||

(

)(

)AB AC AB AC AB AC AB AC +

⊥-

；

②13

()0PG PA PB PC GA GB GC G =++?++=?为ABC ?的重心；

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（Ａ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9）设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10）设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

三角形的定比分点公式及应用

三角形的定比分点公式及应用河南驻马店郭新华本文从有向面积的定义推导出三角形的定比分点公式及其推论，并揭示该公式和梅涅劳斯定理，塞瓦定理，凡·奥贝尔公式以及调和点列公式的内在关系，同时举例说明其应用。 1. 预备知识定义三角形的有向面积是指通常所知的面积大小加上正负号。当三个顶点逆时针排列时有向面积为正，反之为负，三点共线时为零。为简化叙述，约定AB 表示有向线段AB 的数量，ABC ?表示△ABC 的有向面积。由定义，△ABC 的有向面积表达式有下列关系： ABC ?=BCA ?=CAB ?=BAC ?-=ACB ?-=CBA ?-. 对于△ABC 所在平面上任意点P ，AP 的连线交边BC 所在直线于D ，如图1-1，图1-2所示，有 PCA PBC PAB ABC ?+?+?=? . 及 AD PD ABC PBC =?? 2. 三角形的定比分点公式

设点P 在△ABC 所在平面上，直线AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 所在直线于D ，E ，F ，如图2-1，图2-2所示，则 111 11113 21=+++++λλλ （1）其中PD AP =1λ，PE BP =2λ，PF CP =3λ. 证明：因为 AD PD ABC PBC =??PD AP PD +=1 11 λ+= 类似地 BCA PCA ??211λ+=，CAB PAB ??3 11 λ+=. 所以321111111λλλ+++++=ABC PBC ??+BCA PCA ??+CAB PAB ??=1 变形1 21113 32211=+++++λλλλ λλ （2）变形2 3213212λλλλλλ=+++ （3）式（1）展开既得式（3） 3 三角形的定比分点公式的推论如图2-1所示，当点P 在△ABC 内时，321λλλ，，均为正数，记 321λλλ++=U ， 313221λλλλλλ++=V ， 321λλλ=W .

3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式

5．3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式要点透视： 1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 2．遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件． 3．线段的定比分点公式，要注意求定比分点A 的值，以便顺利求出分点坐标．活题解析：例1．(2002年天津卷)平面直角坐标系中， O 是坐标原点，已知两点A (3， 1)，B (－1，3)，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程是( ) A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －2)2=25 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2 y －5＝0 要点精析：I 设OC =(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB =(－1，3)， α· OA =(3α，α)，βOB =(－β，3β)，又αOA +βOB =(3α－β，α+3β)， ∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴ 33x y αβαβ=-??=+? ，又α＋β＝1，因此得x ＋2y ＝5，所以选D ．思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法．例2．(2003年江苏卷)已知常数a >0，向量c =(0，a )，i ＝(1，0)，经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A (0，a )以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ，试问是否存在两个定点E ，F ，使得|PE |＋|PF |为定值？若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，说明理由．要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．解：根据题没条件，首先求出点P 满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P 到两定点的距离之和为定值．因为i =(1，0)，c ＝(0，a )，所以c +λi =(λ，a )，i －2λc ＝(1，－2λa )．因此直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax ，消去参数λ，得点P (x ，y )的坐标满足y (y －a )=－2a 2x 2，整理得222 ()211()82 a y x a -+= ① 因为a >0，所以得（1）当a =2 2时，方程①表示圆，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（2）当0