广东省深圳市2020年高三第一次调研考试
数学（理）试题
本试卷共21小题，满分150分 考试用时120分钟 注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是
否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、
多涂的答案无效
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 参考公式：
若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为V =
1
3
Sh ． 若球的半径为R ，则球的表面积为S=4πR 2
，体积为V=43
πR 2，
回归方程为y bx a =+u r ， 其中：()()
()
1
2
1
,.n i i i n i i x x y y a y bx x x
===-=--∑∑r u r u r r r 一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的．
1．化简sin 2020o
的结果是
A ．sin 33o
B ．cos33o A ．-sin 33o B ．-cos33
o
2．已知i 是虚数单位，则复数i 13
（1+i ）= A ．l+i B ．l －i C ．-l+I D ．-l －i 3．图l 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是
A ．32π、
128
3π B ．16π、32
3
π
C ．12π、
163π D ．8π、16
3
π
4．双曲线2
2
1x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则rn= A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
5．等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中
的任何两个数不在下表的同一列。
第一列 第二列 第三列 第一行 2 3 5 第二行 8 6 14 第三行 11 9 13
则a 4的值为 A ．18 B ．15 C ．12 D ．20 6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2020是“六合数”），则“六合
数”中首位为2的“六合数”共有 A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个
7．函数y = 1n|x －1|的图像与函数y=-2 cos πx （-2≤x ≤4）的图像所有交点的横坐标之
和等于 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 8．函数y=f （x ），x∈D，若存在常数C ，对任意的x l ∈D，仔在唯一的x 2∈D，使得
12()()f x f x C =，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为C ．已知f （x ）=x 3，x ∈[1，
2]，则函数f （x ）=x 3
在[1，2]上的几何平均数为
A 2
B ．2
C ．4
D ．2
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必
做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．若52345
012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++则a 3= 。
10．容量为60的样本的频率分布直方图共有n （n>1）个小矩形，若其中一个小
矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的
15
，则这个小矩形对应的频数是____ ．
11．已知Ω= {（x ，y ）|x+ y ≤6，x≥0，y ≥0}，A={（x ，y ）|x ≤4，y>0，x －
y 2
≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是 ． 12．若执行图2中的框图，输入N=13，则输出的数等于 。（注：“S=0”，
即为“S←0”或为“ S .
.=0”．）
13．设集合A={（x ，y ）|（x 一4）2
+y 2
=1}，B={（x ，y ）|（x －t ）2
+（y －at+ 2）2
=l}，如果命题
“t ?∈R，A B ≠?I ”是真命题，则实数a 的取值范围是 。
（二）选做题：第14、1 5题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的
得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为1
x t
y t ?=??
=+??（t 为参数），曲线C 2的
极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ =3，则C l 与C 2交点在直角坐标系中的坐标
为 。
15．（几何证明选讲选做题）如图3，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，
EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB=6，CF ·CB=5，则AE= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=2 sin 63x ππ??
+
???
（0≤x ≤5），点A 、B 分别是函数y=f （x ）图像上的最高点和最低点． （1）求点A 、B 的坐标以及OA u u u r ·OB uuu r
的值；
（2）没点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan （2αβ-）的值．
17．（本小题满分12分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 数学（x 分 89 91 93 95 97 物理（y 分） 87 89 89 92 93
（1）请在图4的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程；
（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）的值．
18．（木小题满分14分）
?BC 如图5，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CA B=45o，∠DAB=60o，F为
的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图6）．
（1）求证：OF//平面ACD；
（2）求二面角C- AD-B的余弦值；
?BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD?若存在，试指出点G的位置，并求直（3）在
线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知数列{a n}满足：a1=1，a2=（a≠0），a n+2=p·
2 1
n
n
a
a
+（其中P为非零常数，n∈N *）（1）判断数列{1
n
n
a
a
+}是不是等比数列？
（2）求a n；
（3）当a=1时，令b n=2
n
n
na
a
+，S
n为数列{b n}的前n项和，求S n。
20．（本小题满分14分）
已知两点F1（-1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图7，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．
21．（本小题满分14分） 已知f （x ）=x-a
x
（a>0），g （x ）=2lnx+bx 且直线y=2x －2与曲线y=g （x ）相切． （1）若对[1，+∞）内的一切实数x ，小等式f （x ）≥g（x ）恒成立，求实数a 的取
值范围；
（2）当a=l 时，求最大的正整数k ，使得对[e ，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k 个实数x 1，x 2，…，x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤L 成立；
（3）求证：
*
2
1
41(21)()41
n
i i n n n N i
=>+∈-∑．
参考答案
说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9． 80； 10． 10； 11．278； 12．1213
； 13．3
4
0≤
≤a ； 14．)5,2(； 15．1． 三、解答题 16．（本小题满分12分）
已知函数)50)(3
π
6πsin(2)(≤≤+=x x x f ，点A 、B 分别是函数y f x =（）
图像上的最高点和最低点．
（1）求点A 、B 的坐标以及?的值；
（2）设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求)2tan(βα-的值． 解：（1）50≤≤x Θ， ππ7π
3
636
x π
∴≤
+≤
， …………………………………1分
∴1ππ
sin()1263x -
≤+≤． ……………………………………………………………2分 当πππ632x +=，即1=x 时，ππsin()163x +=，)(x f 取得最大值2；
当ππ7π636x +=，即5=x 时，ππ1sin()632
x +=-，)(x f 取得最小值1-． 因此，点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -． (4)
分
152(1)3OA OB ∴?=?+?-=u u u r u u u r
． ……………………………………………………6分
（2）Q 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上，
tan 2α∴=，51
tan -=β， …………………………………………8分
Θ212()
55tan 21121()5
β?-=
=---， ………………………………………………10分 ∴52()
2912tan(2)5
2
12()12
αβ---=
=+?-． ………………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(?ω+=x A x f 的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．
图4
17．（本小题满分12分）
一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：
（1）请在图4的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程； （2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望)(X E 的值． 解：（1）散点图如右图所示．…………1x =
5
97
95939189++++=93，
y =5
9392898987++++=90，
,
4042 0)2()4()(222
225
1
2=+++-+-=-∑=i i
x x
303422)1(0)1()2()3()4())((5
1
=?+?+-?+-?-+-?-=--∑=i i i
y y x x
，
30
0.7540
b =
=，69.75bx =，20.25a y bx =-=． ………………………5分
故这些数据的回归方程是：?0.7520.25y
x =+． ………………………6分
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2． ……………………………………7分
22241(0)=6C P X C ==；1122242(1)=3C C P X C ==；2
22
41
(2)=6
C P X C ==
． …………10分 故X 的分布列为：
……………11分
()E X ∴=610?+3
21?+61
2?=1． …………………………………………………12分
【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等
基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力． 18．（本小题满分14分）
A
B
C
D
?O ?F
图5
图6
如图5，O ⊙的直径4=AB ，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠o
，
∠DAB 60=o
，F 为?BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如
图6）．
（1）求证：//OF 平面ACD ；
（2）求二面角C -AD-B 的余弦值；
（3）在?BD
上是否存在点G ，使得FG //平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
（法一）：证明：（1）如右图，连接CO ，οΘ45=∠CAB ，AB CO ⊥∴， 又F Θ为?BC
的中点，ο
45=∠∴FOB ， AC OF //∴．
?OF Θ平面ACD ，?AC 平面ACD ， ∴//OF 平面ACD ．……………………3分 解：（2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ． AB CO ⊥Θ，平面ABC ⊥平面ABD ． ∴CO ⊥平面ABD ． 又?AD Θ平面ABD ， AD CO ⊥∴，
⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，
则∠CEO 是二面角C -AD-B 的平面角． ………………………………5分
Θο60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE ．
由CO ⊥平面ABD ，?OE 平面ABD ，得CEO ?为直角三角形，
Θ2=CO ，∴7=CE ．
∴CEO ∠cos =
7
3=721． …………………………………………………………8分
（3）设在?BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ， Θ//OF 平面ACD ， ∴平面//OFG 平面ACD ，
AD OG //∴，==60BOG BAD ∠∠o ．
因此，在?BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为?BD 的中点．……10分 连AG ，设AG 与平面ACD 所成角为α，点G 到平面ACD 的距离为h ． ΘACD S ?=
CE AD ??21=7221??=7，OAD GAD S S ??==322
1
??=3，
∴由ACD -G V =AGD -C V ，得h ??73
1
=233
1??，得7
21
2=
h ． …………12分
在AOG ?中，2==OG AO ，ο
120=∠AOG ，由余弦定理得AG =32，…13分
AG h =
∴αsin =7
7．
…………………………………………………14分 （法二）：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．
)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC
，
Q 点
F 为?BC
的中点，∴点F 的坐标为(
，)2,2,0(=． 2
OF AC ∴=
u u u r u u u
r ，即//OF AC ． ?OF Θ平面ACD ，?AC 平面ACD ，
∴//OF 平面ACD ． …………………………………………………………3分
解：（2）60DAB ∠=o
Q ，∴点D
的坐标()
013,,D -，AD =u u u r ．
设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =u r
为平面ACD 的一个法向量．
由110,0,n AC n AD ??=???=??u r u u u r
u
r u u u r
有()()())
,,0,2,20,,,0,x y z x
y z ??=???=??
即220,
0.y z y +=??+=
取1=x ，解得3-=y ，3=z ．
1n ∴u r
=()
331,,-． ……………………………………………5分
取平面ADB 的一个法向量2n u u r
=()100,,， ………………………………………6分
12
12cos 7n n |n ||n |θ?∴===
?u r u u r
u r u u r ．………………………8分 （3）设在?BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ， Θ//OF 平面ACD ，
∴平面//OFG 平面ACD ，则有AD OG //．
设(0)OG AD λλ=>u u u r u u u r
，AD =u u u r
Q
，)
0OG ,,λ∴=
u u u u u r ．
又2OG =u u u r Q
，2=，解得1λ=±（舍去1-）．
)
10OG ,∴=
u u u r ，则G 为?BD
的中点． 因此，在?BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为?BD 的中点．……11分 设直线AG 与平面ACD 所成角为α，
(0,2,0)AG =--=u u u r
Q ，
根据（2
）的计算(11n =u r
为平面ACD 的一个法向量，
1
1sin cos(90)||||
AG n AG n αα?∴=-===
?o
u u u r u r u u u
r u r 因此，直线AG 与平面ACD
． ……………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 满足：11=a ，2(0)a a a =≠，n
n n a a
p a 2
12
++?=（其中p 为非零常数，
*N n ∈）．
（1）判断数列}{1
n
n a a +是不是等比数列？ （2）求n a ；
（3）当1=a 时，令2
n n n
na b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ． 解：（1）由n
n n a a p a 2
1
2++?
=，得n n n n a a p a a 112+++?=． ……………………………1分 令1
n n n
a c a +=
，则1c a =，1n n c pc +=． Q 0≠a ，10c ∴≠，p c c
n
n =+1（非零常数），
∴数列}{1n
n a a
+是等比数列． ……………………………………………………3分
（2）Q 数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，
∴111n n n c c p a p --=?=?，即11n n n
a
ap a -+=． ……………………………4分
当2n ≥时，230
121121
()()()1n n n n n n n a a a a a ap ap ap a a a -----=????=????L L
232
12
n n n a p
-+-=， ………………………………………………6分
Q 1a 满足上式， 232
1*2
,N n n n n a a p
n -+-∴=∈． …………………………7分
（3）1221221
1()()n n n n n n n n n
a a a ap ap a p a a a --++++=?=?=Q
， ∴当1=a 时，212
n n n n
na b np pa -+=
=． …………………………………………8分 132112n n S p p n p -∴=?+?++?L ， ① 232121 1(1)n n n p S p n p n p -+=?++-?+?L ② ∴当21p ≠，即1p ≠±时，①-②得：
221321
21
212
(1)(1)1n n n n n p p p S p p p
np
np p
-++--=+++-=--L ， 即221
222
(1),1(1)1n n n p p np S p p p
+-=-≠±--． …………………………11分
而当1p =时，(1)
122
n n n S n +=+++=
L ， …………………………12分 当1p =-时，(1)
(1)(2)()2
n n n S n +=-+-++-=-L ．………………………13分
综上所述，221
222
(1)
,1,2(1)
,1,2(1), 1.(1)1n n n n n p n n S p p p np p p p +?+=?
?+?=-=-??
?--≠±?--?
……………………………14分 【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位
求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想． 20．（本小题满分14分）
已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、
2PF 构成等差数列．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图7，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点,M N 是直线l 上的两点，且l M F ⊥1，l N F ⊥2． 求四边形12F MNF 面积S 的最大值．
解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为22
221x y a b +=．
Q 1122PF F F PF 、、构成等差数列， ∴1122224a PF PF F F =+==， 2a =．
又1c =Q ，2
3b ∴=．
∴椭圆C 的方程为
22
143
x y
+=． ……………………………………………………4分 图7
(2) 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程22
3412x y +=中，得
01248)34(222=-+++m kmx x k ． …………………………5分
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2
2
2
2
644(43)(412)0k m k m ?=-+-=， 化简得：2
2
43m k =+． …………………………7分
设11d F M ==
，22
d F M =（法一）当0k ≠时，设直线l 则12tan d d MN θ-=?，
12
d d MN k
-∴=，
221212121()22d d d d S d d k k --=+==m m 14
+
+Θ2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，33
4
3131=+>+
m m ，32
（法二）Θ2222
2
2
2
1
2222()2(53)
11m k k d d k k +++=+==++， 22
2122233
311m k k d d k k -+=
===++． MN ∴===
．
四边形12F MNF 的面积121
()2
S MN d d =+)(1
1212
d d k ++=， …………11分
2
2
2212
22122
)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S
12)21
1(
4162
2
≤-+-=k ． ………………………………………………13分
当且仅当0k =时，2
12,S S ==max S =
所以四边形12F MNF 的面积S 的最大值为 …………………………14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想． 21．（本小题满分14分）
已知)0()(>-=a x
a
x x f ，bx x x g +=ln 2)(，
且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切．
（1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，求最大的正整数k ，使得对]3,[e （ 2.71828e =???是自然对数的底数）内的任意k 个实数k x x x ,,,21Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-Λ成立； （3）求证：
)12ln(1
441
2
+>-∑=n i
i n
i )(*
N n ∈． 解：（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点，则有
22ln 2000-=+x bx x ． （*）
b x
x g +='2
)(Θ，220=+∴b x ． （**）
由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=． ……………………………2分
由)()(x g x f ≥整理，得x x x
a
ln 2-≤，
1≥x Θ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．
设x x x x h ln 2)(2
-=，2ln 22)1(ln 22)(--=?+-='x x x
x x x x h ，
x
x h 2
2)(-=''Θ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ，则)(x h '是增函数，
0)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．…………………5分