第四章 线性系统的根轨迹分析
一、填空题
1．以系统开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为＿＿＿＿，以非开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为＿＿＿＿。（常规根轨迹、参数根轨迹）
2．绘制根轨迹的相角条件是＿＿＿＿，幅值条件是＿＿＿＿。 （∠G(s)H(s)=2k ∏,|G(s)H(s)|=1）
3．系统根轨迹的各分支是＿＿＿的，而且对称于＿＿＿。（连续、实轴）
4．根轨迹起始于＿＿＿，终止于＿＿＿＿；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有＿＿＿条根轨迹终止于无穷远处。（开环极点、开环零点、n-m ） 5. 开环传递函数为 )
12()
1()(++=
s s s K s G ,此根轨迹有＿＿＿条分支,实轴上根轨迹区域为＿＿＿＿.(2、[-∞，-1]∪[-1/2，0])
6．正反馈回路的根轨迹被称为＿＿＿根轨迹。（零度）
二、选择题
1. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（ ）在s 复平面上的位置 A 开环零点 B 开环极点 C 闭环零点 D 闭环极点
2. 根轨迹法是利用 （ ）在s 平面上的分布，通过图解的方法求取（ ） 的位置 A 开环零、极点；闭环零点 B 开环零、极点；闭环极点 C 闭环零、极点；开环零点 D 闭环零、极点；开环极点
3. 与根轨迹增益有关的是（ ）
A 闭环零、极点与开环零点
B 闭环零、极点与开环极点
C 开环零、极点；闭环零点
D 开环零、极点；闭环极点 4. 相角条件是全根轨迹存在的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分又非必要条件 5. 已知系统的开环传递函数
则全根轨迹的分支数是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4 6. 已知控制系统的闭环传递函数是
则全根轨迹的分支数是（ ）
A G (s )H (s ) 的极点
B G (s )H (s ) 的零点
C 1+ G (s )H (s ) 的极点
D 1+ G (s )H (s ) 的零点 7. 上题中的根轨迹终止于（ ）
A G (s )H (s ) 的极点
B G (s )H (s ) 的零点
C 1+ G (s )H (s ) 的极点
D 1+ G (s )H (s ) 的零点
8. 实轴上根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为（ ）；实轴上补根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为（ ）
A 偶数奇数
B 偶数偶数
C 奇数偶数
D 奇数奇数
9. 给定下列开环传函，则其中系统根轨迹发散的是（）
10. 可能具有复分离点的系统是（）
A 一阶系统
B 二阶系统
C 三阶系统
D 四阶及以上系统
11. 给开环传递函数G(s)H(s) 增加极点，作用是（）
A 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变差
B 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变差
C 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变好
D 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变好
12. 给开环传递函数G(s)H(s) 增加零点，作用是（）
A 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变差
B 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变差
C 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变好
D 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变好
13. 开环传递函数G(s)H(s) 极点向右移动，相当于某些惯性或振荡环节的时间常数（），使系统稳定性（）
A 增大变坏
B 减小变好
C 增大变好
D 减小变坏
14. 开环传递函数G(s)H(s) 零点向右移动，相当于某些惯性或振荡环节的时间常数（），使系统稳定性（）
A 增大变坏
B 减小变好
C 增大变好
D 减小变坏
15. 设系统开环传递函数为若系统增加开环极点，，则
对根轨迹分离点位置变化，描述正确的是（）
A 左移
B 右移
C 不移动
D 移动方向不确定
16. 上题中系统极点变化前后，对系统动态特性的的影响是（）
A 调节时间加长，振荡频率减小
B 调节时间缩短，振荡频率减小
C 调节时间加长，振荡频率增大
D 调节时间缩短，振荡频率增大
17. MATLAB 的控制系统工具箱中绘制根轨迹的函数是
A pole
B roots
C rlocus
D rlocfind
答案：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D 11.A 12.D 13.A 14.B 15.B
16.A 17.C
三、简答题
1.简述根轨迹的概念
答：开环系统传递函数某一参数变化时，闭环系统特征方程的根在s平面上的变化曲线称为根轨迹。
2．简述闭环零、极点与开环零、极点的关系
答：闭环零、极点与开环零、极点具有以下关系：
①闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹
增益等于开环系统根轨迹增益。
②闭环零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通路的极点组成；对于单位反馈系统，闭环零点
就是开环零点。
③闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K 。
3.什么叫最小相位系统？什么叫非最小相位系统？
答：当系统的所有开环零、极点都位于s 平面左半部时，系统称为最小相位系统。如果系统具有s 平面右半部的开环零、极点时，系统称成非最小相位系统。
四、计算题
1．已知单位负反馈系统的开环传函为()
3
22
2)(s s s K s G k ++=
（1） 画出系统根轨迹（关键点要标明）。
（2） 求使系统稳定的K 值范围，及临界状态下的振荡频率。
答案：解：①1,2,33 ,0n P ==
1,22 , z 1m j ==-± 1n m -=
②渐近线1条π
③入射角111
1
180()n
m sr j i j i ββα-===+-∑∑
180(135135135)90=+++-
360135135=+=
同理2135sr β=- ④与虚轴交点
特征方程32220s ks ks +++=
3 1 2s k 2 2s k
21
22 0k s k
-
0 0s
由 22201k k k
-=?=
所以220k +=
所以s = 所以，当1k >时，系统稳定，
临界状态下的振荡频率为ω=
2．已知系统如下图所示，
（1） 画出系统根轨迹（关键点要标明）。
（2） 求使系统稳定的K 值范围，及临界状态下的振荡频率。
解答：
()
23
22k K s s W s
++=
① 3n =，1,2,30P =
1,22,1m Z j ==-±
1n m -=
②渐进线1条π ③入射角10
18000sr α=?+
-∑∑极
()18013513513590360135135=?+?+?+?-?=?+?=? 同理2135sr α=-?
④与虚轴交点，特方 3
2
220s Ks Ks +++=
222
K K -0=1K ?= 220
Ks +=
s =
所以当1K >时系统稳定，临界状态下的震荡频率为ω
3-2
3．单位负反馈系统的开环传递函数为
)
1s 25.0s
2
2
()
1s 2(K G(s)++=
，画出K 从∞→0变化时闭环系统的根轨
迹，并确定闭环系统稳定时K 的取值范围。
【解】
渐近线
22)4s (s )5.0s (K 32G(s)++=
??????
???±=-π+=?-=-+-?=σ180,6014)1k 2(5.2145.0)4(2a a
与虚轴交点
D(s)=s 2(s+4)2+32K(s+0.5)=s 4+8s 3+16s 2+32Ks+16K
令 0K 328)]j (D Im[0
K 1616)]j (D Re[3
24=ω+ω-=ω=+ω-ω=ω
解出K ＝3
ω＝32±
画出根轨迹如图4.1所示。由根轨迹及计算结果可以确定K 的稳定范围是 0＜K ＜3。
4．已知单位负反馈系统的闭环传递函数为
16as s as
(s)2++=
Φ
（a>0），要求：
（1） 绘出闭环系统的根轨迹（0≤a<∞）;
（2） 判断（-3，j ）点是否在根轨迹上；
由根轨迹求出使闭环系统阻尼比为ξ＝0.5时的a 值。
【解】（1）本题给出的是闭环传递函数，所以系统闭环特征多项式为
D(s)＝s 2
+as+16
构造等效开环传递函数
16s as (s)G 2+=
'
画出根轨迹如图4.2所示。它是以原点为圆心，半径为4的圆弧。
图 4.2 根轨迹图
5．某系统的结构图如下图所示，
（1） 绘制系统的根轨迹草图；
（2） 用根轨迹法确定使系统稳定的g K 值的范围；
（3） 用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的g K 的最大取值 解：（1）系统开环传递函数为)
5.0)(2()
21)(21()(-+--+-=
s s j s j s K s G g
开环增益 K = 5g K 系统类型 v = 0
)15()25.1()1()52()5.0)(2()(22-+-++=+-+-+=g g g g K s K s K s s K s s s D 分
离点：
2
112115.0121j d j d d d --+
+-=-++ 整理得：0112472
=--d d 解出 d = -0.4094
3.838（舍去） 与虚轴交点：
15)1()](Re[0)25.1()](Im[2=-++-==-=g g g K K j D K j D ωωωω
解出： 2.00==g K ω 75
.04
3
254.1711
====
g K ω
画出系统根轨迹：
（2）由（1）中计算结果可知，g K 稳定范围为：0.2 < g K < 0.75 （3）依题意，要求分离点 d = -0.4094处的g K 值： 用模值条件解得：24157.02
1215.02=--+--+=
j d j d d d d K g
6．两个系统的结构图分别如下图所示：
（a ） （b ）
（1） 画出当)0(∞→k 变动时，图（a ）所示系统的根轨迹；
（2） 画出当)0(∞→p 变动时，图（b ）所示系统的根轨迹（即广义根轨迹）； （3） 试确定k ，p 值，使得两个系统的闭环极点相同。
解：（1）2
)()
1()(s s k s G a += d = -2 画出系统根轨迹如图虚线部分 （2）)
(4)()(p s s s G b +=
4)(2
)(++=ps s s G b
构造等效开环传递函数4
)(*2)(+=
s ps
s G b 画出相应的根轨迹如图实线部分
（3）可见，两条根轨迹公共交点对应重极点22,1-=s ，所以令221)2()()(+==s s D s D
即：444222++=++=++s s ps s k ks s 比较系数得：k = p = 4 此时两系统具有相同的闭环极点
7．设系统结构图如图所示。
要求：（1）绘制K*从∞→0变化时系统的根轨迹；
（2）试求出系统呈现欠阻尼时的开环增益范围；
（3）在根轨迹图上标出系统最小阻尼比时的闭环极点（用21,s s 表示）。 解：)
1()
3)(2(*)(+++=
s s s s K s G 开环增益K = 6K* 系统类型 v = I
（1） 分离点：
3
121111+++=++d d d d ，整理得：03622=++d d 解出：
366
.2634.021-=-=d d
对应的K*值是：
928
.133
21*0718
.0321*2222211111=+++=
=+++=
d d d d K d d d d K d d
568.83*64308.0*62211====d d d d K K K K
（2） 由根轨迹可以确定使系统呈现欠阻尼状态的K 值范围为：0.4308 < K <83.568 （3） 复平面根轨迹是圆，圆心位于
5.1221-=+d d 处，半径是86
6.02
1
2=-d d 。在根轨迹图上做OA 切圆于A 点（A 点即为所求极点位置）。由相似三角形关系
AB BC BO AB = 5.05.1866.02
2
===BO AB BC
1
5.05.1=-=-=BC BO OC
707.05.0866.0222
2
=-=-=
BC AB AC
故对应最小阻尼状态的闭环极点为：707.012,1j s ±-=
8．已知)
2()
3(*)()(++=
s s s K s H s G
（1） 绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆； （2） 系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围； （3） 系统最小阻尼比时的闭环极点。 解：（1）绘根轨迹：
1）开环零，极点 2,0,3211-==-=p p z （n = 2 ，m =1）
2) 实轴上根轨迹 ），），（，（∞---320
3）分离点
3
1
211+=++d d d 解得 72.4,26.121-=-=d d 令 ωσj s +=为根轨迹上任意一点，
代入特征方程 )3(*)2()(+++=s K s s s D
则有： 0
*220
)3(*222=++=-+++ωωσωωσσσK K
整理得 222)3()3(=++ωσ 作出的根轨迹如图：
可见复平面根轨迹为圆，圆心坐标为（-3，j0），半径为3。
（2）求系统欠阻尼时K 的范围。先由特征方程求出分离点处的K*
)3(*)2()(0)3(*)2()(2222
211111=+++==+++=d K d d d D d K d d d D
解得 464.7*,536.0*21==K K 因为 *23K K =
所以 2.11*2
3
,8.0*232211====K K K K 即欠阻尼状态时的开环增益范围为 0.8 （3）求最小阻尼比时的闭环极点。在根轨迹图上作圆的切线OA 于A 点（A 点即为 所求极点位置），由相似三角形关系： AB BC BO AB = 得 13 32 ===BO AB BC 又213=-=-=BC BO OC 所以 414.12132 2==-=-= BC AB AC 故对应最小阻尼状态时的闭环极点为 414.122,1j s ±-= 9．若下图所示控制系统的闭环极点为j 102±（即j 16.32±），试确定增益K 和速度反馈系数T ；并对求出的T 值画出根轨迹图；确定使系统稳定的K 值范围。 解：开环传递函数 ) 3() 1()(++= s s Ts K s G ，K s KT s s D +++=)3()(2 令144)102)(102()(2+-=+---=s s j s j s s D 比较系数，解出K ，T 为 K = 14，T = -1/2 此时有 )3() 2(2)3()121()(+--=++-=s s s K s s s K s G 当K 从∞→0变化时，应画 0根轨迹。 分离点：2 1311 -=++ d d d ，整理得：0642=--d d ，解出：16.5,16.121=-=d d 与虚轴交点：K s K s s K s s s D +-+=--+=)2 3()2(2)3()(2 令： 0 )2 3()](Im[0 )](Re[2=-==+-=ωωωωK j D K j D 联立解出：K = 6，ω=6 画出根轨迹： 可以确定使系统稳定的K 值范围为：0 < K < 6 10．已知单位负反馈系统的闭环传递函数为 16 )(2 ++=as s as s φ（a > 0） 要求：（1）绘出闭环系统的根轨迹（∞<≤a 0）； （2）判断（j ,3-）点是否在根轨迹上； （3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比5.0=ξ时的a 值。 解：（1）本题给出的是闭环传递函数，所以系统闭环特征多项式为：16)(2 ++=as s s D 构造等效开环传递函数16 )(*2+= s as s G ，画出根轨迹： 它是以原点为圆心，半径为4的圆弧。 （2）点（j ,3-）到原点的距离为4213≠=+，故不在根轨迹上。 （3）2 22216)(n n s s as s s D ωξω++=++= n n a ωξω24 16= == 令=ξ0.5，得a = n ω= 4 11．已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 12)(15.0()15.0()(2 -+-=s s s K s G 要求：（1）当K 从+∞→0变化时，概略绘制系统的闭环根轨迹图； （2）确定保证系统稳定的K 值范围； （3）求出系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达到的最小绝对值min ss e 。 解：（1）) 5.0)(2()2(41 )(2 -+-=s s s K s G ， 分离点： 2 2 5.0121-=-++d d d 整理并解出：d = -0.182 与虚轴交点： )1()5.1()4 1()2(41)5.0)(2()(22-+-++=-+ -+=K s K s K s K s s s D 令： 0 )1()4 1()](Re[0 )5.1()](Im[2 =-++-==-= K K j D K j D ωωωω 联立求解可得： 603.0021±==ωω 5 .11 21==K K 画出根轨迹如图： （2）由根轨迹图可以看出，K 值稳定范围对应于根轨迹与虚轴的两个交点， 所以有 1 < K < 1.5 （3）系统的静态位置误差系数为：K s G K s p -==→)(lim 0 由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有： 25 .111 1111m a x m i n m a x =-=-=+=K K e p ss 12．已知比例—微分控制系统如下， 试绘制1K 与a T （01≥K ，0≥a T ）同时变化时的根轨迹族。 解：图示系统的闭环特征方程为 023112 3 =++++s T K K s s s a 即有02311 2 31=++++ K s s s s T K a 系统的等效开环传递函数为 1 2311123)()(K s s s s T K s H s G a +++= 系统的开环特征方程为 0)2)(1(1=+++K s s s 进而得0) 2)(1(11 =+++ s s s K 设) 2)(1()()(1 22++= s s s K s H s G 根据常规根轨迹的绘制法则，由)()(22s H s G 得到等效开环系统开环特征根的轨迹为： 其中分离点 d = - 0.423，与虚轴的交点为2±=ω 当a T 变化时，系统根轨迹的起点都位于上图所示的根轨迹上。 由幅值条件，当s = d = - 0.423时，求得385.0211=++=d d d K 当385.01≤K 时，等效系统的开环有限极点皆为实数；当385.01>K 时，等效系统的开环有限极点有一对为复数。就上述情况分别做出根轨迹族（略）。 13．已知反馈控制系统的开环传递函数为 ) 52)(22(* )()(22++++= s s s s K s H s G （0*>K ） 但反馈极性未知，欲保证闭环系统稳定，试确定根轨迹增益K*的范围。 解：若反馈极性为负时，使系统闭环稳定的K*的范围为（a ，b ），若反馈极性为正时，使 系统闭环稳定的K*的范围为（c ，d ），则选择),(*f e K ∈，而（e ，f ）为（a ，b ）和（c ，d ）的公共区间，即可保证系统闭环稳定。 反馈极性为负时，需作常规根轨迹。系统开环有限极点为 j j ±-±-121和。 实轴上无根轨迹。根轨迹有四条渐近线，且 315,225,135,45,1=-=a a ?σ 根轨迹的起始角为 90 ,90,1270,270,2143214,32,1-==±-=-==±-=p p p p j p j p θθθθ 根轨迹的分离点方程为 05 2) 1(222)1(22 2=+++++++s s s s s s 解得 581.11,13,21j d d ±-=-= 由根轨迹方程得 4*1 -==d s K 25.2*2 ==d s K 故3,2d 为常规根轨迹的复分离点。 系统闭环特征方程为： 010*14114*)52)(22()(23422=+++++=+++++=K s s s s K s s s s s D 列劳斯表： 4s 1 11 10 + K* 3s 4 14 2s 7.5 10 + K* 1s 5 .7* 465K - 当K* = 16.25时，劳斯表中1 s 行的元素全为零。 由辅助方程025.16105.7)(2 =++=s s A 解得根轨迹与虚轴的交点为871.12,1j s ±= 概略绘制系统反馈极性为负时的根轨迹如图： 反馈极性为正时，需作零度根轨迹。实轴上的根轨迹区间为),(+∞-∞ 根轨迹有四条渐近线，且 270,180,90,0,1=-=a a ?σ 根轨迹的起始角为 270,270,90,904321-==-==p p p p θθθθ 根轨迹的分离点由前求得 1-=d 。 系统闭环特征方程为：0*1014114)(2 3 4 =-++++=K s s s s s D 由劳斯判据可知，K* = 10时，系统闭环临界稳定，根轨迹与虚轴的交点为0=s 。 做反馈极性为正时的根轨迹（略） 由两个根轨迹图可知，反馈极性为负时，使系统闭环稳定的K*范围为 [ 0 ，16.25 ]，反馈极性为正时，使系统闭环稳定的K*范围是 )10,0[。因此反馈极性未知时，使系统闭环稳定的K*范围为)10,0[。 14．设反馈控制系统中，1)(,) 5)(2(* )(2=++= s H s s s K s G 要求：（1）概略绘制系统根轨迹图，判断系统的稳定性。 （2）如果改变反馈通路传递函数使s s H 21)(+=，试判断)(s H 改变后系统的稳定性， 研究)(s H 改变所产生的效应。 解：（1）系统无开环有限零点，开环有限极点为 5,2,04321-=-===p p p p 实轴上根轨迹区间为 ]0,0[],2,5[--。 根轨迹渐近线条数为4，且 315,225,135,45,75.1=-=a a ?σ 由分离点方程 05 1 212=++++s s s 得0)4)(54(=++s s 经检验根轨迹的分离点为 4-=d 。概略绘制系统根轨迹如图： 由图知，无论K*为何值，闭环系统恒不稳定。 （2）当s s H 21)(+=时，系统开环传递函数为) 5)(2() 5.0(*)()(21+++= s s s s K s H s G 其中*2*1K K =。H （s ）的改变使系统增加了一个开环零点。 实轴上的根轨迹区间为 ],5,(--∞]0,0[],5.0,2[--。 根轨迹渐近线条数为3，且 300,180,60,17.2=-=a a ?σ 系统闭环特征方程为 0**2107)(2 3 4 =++++=K s K s s s s D 列劳斯表： 4 s 1 10 K* 3s 7 2K* 2s 7 * 270K - K* 1s * 270*) 491(*K K K -- 当75.22*=K 时，劳斯表1 s 行元素全为零。 由辅助方程 025.1595.24*7*)270()(22=+=+-=s K s K s A 解得根轨迹与虚轴的交点为55.22,1j s ±=。概略绘制系统根轨迹图： 由图知，当75.22*0< 附加的开环零点5.01-=z ，使系统根轨迹向s 平面的左半平面弯曲，因而闭环系 统可在K*的一定范围内稳定，改善了系统的稳定性。 15．已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为： 4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++- 4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。 第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 116 4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16m 。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。要求： (1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图； (2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。 (b) 图4-47 轧钢机控制系统 解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。 (1) 绘系统根轨迹图 电机与轧辊内回路的传递函数 ()()()12 0.250.25 10.250.5G s s s s = = +++ 令0T =，系统开环传递函数为 ()()()() ()() 2 2 2 0.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s * += = ++++ 式中，0.5a K K *=。概略绘制根轨迹图的特征数据为： 渐近线：交点与交角 2.5 0.6254 a σ-= =- 45,135a ?=±± 分离点：由 11200.51 d d d ++=++ 解出 0.212d =-。 根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程 ()()2 0.51s s s K *+++ 4322.520.50s s s s K *=++++= 列劳思表 117 4s 1 2 K * 3s 2.5 0.5 2s 1.8 K * 1s 0.9 2.51.8 K * - 0s K * 令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。令 21.80s K *+= 代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。交点处 20.72a K K *== 系统概略根轨迹图如图(a)所示。 图(a) 概略根轨迹图 (2) 确定使系统0.707ζ≥的a K 在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点 1,20.1550.155s j =-± 利用模值条件，得1s 处的0.0612K * =；分离点d 处的0.0387K *=。由于2a K K *=，故取0.07740.1224a K <≤，可使0.7071ζ≤<；取0.0774a K ≤，可使1ζ≥。 ()()20.51010.5a K s s s +=++ 第四章线性系统的根轨迹法 一、教学目的与要求： 本章讲述用闭环系统的特征根随系统参数变化的轨迹，来分析控制系统的特性，因此要求学生要掌握根轨迹作图方法的规则，并熟练运用这些规则绘制控制系统的根轨迹图。要让学生会利用根轨迹图分析系统的稳定性、动态特性、稳态特性。掌握怎样改善系统性能的方法。着重讨论根轨迹图的绘制，明确闭环传递函数极点与瞬态响应的关系，了解改变开环增益，增加开环传递函数零、极点对系统质量的影响。 二、授课主要内容： 1．根轨迹法的基本概念 1）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 2）根轨迹方程 2．根轨迹绘制的基本法则 3．广义根轨迹 1）参数根轨迹 2）零度根轨迹 4．系统性能的分析 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）（1）重点掌握的内容 1）熟练运用常规根轨迹的绘制法则。 2）熟练运用零度根轨迹的绘制法则。 3）正确理解单输入-单输出系统闭环零、极点和开环零极点与常规根轨迹的关系。 （2）一般掌握的内容 1）根轨迹上估计控制系统的性能。 2）广义根轨迹的概念。 3）偶极子、可略零极点的概念，主导极点的概念。 （3）一般了解的内容：根轨迹法则的证明推导过程。 四、主要外语词汇 根轨迹 root-locus 特征方程 characteristic equation 分离点 breakaway point 闭环极点 closed-loop poles 幅角条件 angle condition 模值条件 magnitude condition 实轴 real axis 虚轴 imaginary axis 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 1.什么是根轨迹? 它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？ 2.利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么? 3.在根轨迹作图中，确定渐近线和分离点附近的根轨迹很关键，如何理解 有关它们的计算公式？ 4.如何绘制零度根轨迹？ 5.如何绘制参数根轨迹？ 6.控制系统的质量指标在根平面上该怎样表示? 7.什么是闭环主导极点？为什么可以用主导极点来估算闭环系统的质量？ 8.闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状 如何？ 9.开环零、极点的变化对控制系统的质量有什么影响？ 10.增加系统的开环零点（开环极点）对系统的性能有何影响？ 七、参考教材（资料） 1．《现代控制工程》绪方胜彦著（卢伯英佟明安罗维铭译）科学出版社参考该书第四章有关内容。 2．《自动控制原理》天津大学李光泉主编机械工业出版社 实验四 控制系统的根轨迹分析 一. 实验目的: 1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。 2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。 二. 实验内容: 1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。 2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。 3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。 4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。（实验方法参考实验二） 5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。 三. 实验原理: 根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。假定某闭环系统的开环传递函数为 ) 164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。 b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量 a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数 a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数 a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数 a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。 p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。 [k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应 线性系统的根轨迹 一、 实验目的 1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、 实验容 1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++= s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。 2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并 观察增加极、零点对系统的影响。 三、 实验结果及分析 1.（1） ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： num=[1]; den=[1 8 27 38 26 0]; rlocus(num,den) [r,k]=rlocfind(num,den) grid xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') 运行结果： 选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得： selected_point = 0.0021 + 0.9627i k = 28.7425 r = -2.8199 + 2.1667i -2.8199 - 2.1667i -2.3313 -0.0145 + 0.9873i 实验二 线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。 二、实验仪器设备 Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容 1、已知一负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51) K G s H s s s s = ++求： （1）绘制根轨迹。 （2）选取根轨迹与徐州的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （3）确定分离点的超调量p M 及开环增益K 。 （4）用时域响应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （5）分析根轨迹的一般规律。 2、已知系统的开环传递函数为： 22(431) ()(351) K s s G s s s s ++= ++ 求： （1）绘制系统的根轨迹。 （2）选择系统当阻尼比ξ=0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K 值。 （3）分析系统性能。 四、实验结果 负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51)K G s H s s s s = ++ 1、根轨迹 2、理论计算： 根轨迹的基本性质和绘制规则如下： 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。 规则二 当K=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K→∞，有m 条分支趋向于开环零点，另外有n-m 条分支趋向无穷远处。 可知，K=0时，3条根轨迹分别从开环极点（0, j0）、（-10,j0）和（-2,j0）出发，由于无开环零点，3条根轨迹趋向于无穷远处。 规则三 在s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 可知，根轨迹在实轴上存在的部分为[-∞,-10]和[-2,0]。 规则四 根轨迹中趋向于无穷远处的n-m 条分支的渐近线的相角为： (21)180a q n m φ+?=± - 0,1,2,,q n m =-- 可知，两条根轨迹无穷远时趋向的渐近线斜率相角为±60°。 规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为： 11 ( ,0)n m i j i j p z j n m ==--∑∑。 可知，渐近线与实轴交点为1020 ( ,0)(6,0)2 j j ---=- 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 武汉工程大学自动控制原理实验报告 专业班级：指导老师： 姓名：学号： 实验名称：系统根轨迹分析 实验日期：2011-12-01 第三次试验 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB仿真软件（版本6.5或以上） 实验内容 1．根轨迹的绘制 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一 的根轨迹及其绘制 程序 注意：在这里，构成系统s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中s最高 次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 r locfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。图 3.4 给出了函数 r locfind 的用法。 2．实验内容 图3.5 闭环系统二 1） 对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当 （1） G(s)= )2(+s s K , （2） G(s)= ) 4)(1(++s s s K , 习题 4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图4.1所示。 课程名称： 控制理论乙 指导老师： 成绩： 实验名称： 控制系统的根轨迹分析 实验类型： 同组学生姓名： 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1. 掌握用计算机辅助分析法分析控制系统的根轨迹 2. 熟练掌握Simulink 仿真环境 二、实验内容和原理 1. 实验内容 一开环系统传递函数为 22)34() 2()(+++=s s s k s G 绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。 2. 实验原理 根轨迹是指，当开环系统某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益k ）从零变到无穷大时，死循环系统特征方程的根在s 平面上的轨迹。因此，从根轨迹，可分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。同时，对于设计系统可通过修改设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，因此根轨迹对系统设计也具有指导意义。在MATLAB 中，绘制根轨迹有关的函数有：rlocus ，rlocfind ，pzmap 等。 3. 实验要求 （1）编制MA TLAB 程序，画出实验所要求根轨迹, 求出系统的临界开环增益，并用闭环系统的冲击响应证明之。 （2）在Simulink 仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统单位阶跃响应曲线并记录之。 三、主要仪器设备 计算机一台以及matlab 软件，simulink 仿真环境 四、实验源代码 >> A=[1 2]; >> B=conv([1 4 3],[1 4 3]); >> G=tf(A,B) G = s + 2 ------------------------------- s^4 + 8 s^3 + 22 s^2 + 24 s + 9 Continuous-time transfer function. >> figure >> pzmap(G) 《自动控制理论》 实验报告 专业：电气工程及其自动化班号：1406111 学号：1140610319 姓名：赵元胜 电气工程及其自动化实验中心 二〇一六年十二月 实验六线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法； 二、实验设备 Pc 机一台，MA TLAB 软件。 三、实验举例 已知系统开环传递函数为 ) 2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。 解：1、绘制控制系统的根轨迹图 MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den) 在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号?表示回车） >>k=[1]? >>z=[]? >>p=[0 -1 -2]? >>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)? 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)? 绘制控制系统的根轨迹图 >>grid ? 绘制坐标 屏幕显示系统的根轨迹图形 2.分析根轨迹的一般规律 1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。 2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。 3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。 4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 《自动控制原理》课程实验报告 实验名称系统根轨迹分析 专业班级 *********** ********* 学 号 姓名** 指导教师李离 学院名称电气信息学院 2012 年 12 月 15 日 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上） 三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制 利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下： 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序 图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法 注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某 第四章 线性系统的根轨迹分析 一、填空题 1．以系统开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为＿＿＿＿，以非开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为＿＿＿＿。（常规根轨迹、参数根轨迹） 2．绘制根轨迹的相角条件是＿＿＿＿，幅值条件是＿＿＿＿。 （∠G(s)H(s)=2k ∏,|G(s)H(s)|=1） 3．系统根轨迹的各分支是＿＿＿的，而且对称于＿＿＿。（连续、实轴） 4．根轨迹起始于＿＿＿，终止于＿＿＿＿；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有＿＿＿条根轨迹终止于无穷远处。（开环极点、开环零点、n-m ） 5. 开环传递函数为 ) 12() 1()(++= s s s K s G ,此根轨迹有＿＿＿条分支,实轴上根轨迹区域为＿＿＿＿.(2、[-∞，-1]∪[-1/2，0]) 6．正反馈回路的根轨迹被称为＿＿＿根轨迹。（零度） 二、选择题 1. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（ ）在s 复平面上的位置 A 开环零点 B 开环极点 C 闭环零点 D 闭环极点 2. 根轨迹法是利用 （ ）在s 平面上的分布，通过图解的方法求取（ ） 的位置 A 开环零、极点；闭环零点 B 开环零、极点；闭环极点 C 闭环零、极点；开环零点 D 闭环零、极点；开环极点 3. 与根轨迹增益有关的是（ ） A 闭环零、极点与开环零点 B 闭环零、极点与开环极点 C 开环零、极点；闭环零点 D 开环零、极点；闭环极点 4. 相角条件是全根轨迹存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 5. 已知系统的开环传递函数 则全根轨迹的分支数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6. 已知控制系统的闭环传递函数是 则全根轨迹的分支数是（ ） A G (s )H (s ) 的极点 B G (s )H (s ) 的零点 C 1+ G (s )H (s ) 的极点 D 1+ G (s )H (s ) 的零点 7. 上题中的根轨迹终止于（ ） A G (s )H (s ) 的极点 B G (s )H (s ) 的零点 C 1+ G (s )H (s ) 的极点 D 1+ G (s )H (s ) 的零点 8. 实轴上根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为（ ）；实轴上补根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为（ ） 姓名: 学号: 得分: 实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 1121 0111()()m m m m n n n n b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成 01()0KG s += 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为: rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向 量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1:已知系统的开环传递函数32(1) ()429 s G s K s s s * +=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下: num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。 若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。 实验报告 课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________ 实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 实验十一 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。 2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。 二、实验原理 1、根轨迹分析方法 所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。在无零极点对消时，闭环系统特 征方程的根就是闭环传递函数的极点。 根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性 当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K 值就是临界稳定开环增益。 (2) 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。 (3) 动态性能 当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。 同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。 2、根轨迹分析函数 在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。 (1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。 专业：_____________________ 姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________ 实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 n n n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()( 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 1）绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为： rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增 益向量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 第五课 线性系统的根轨迹法 教学目的： 1．熟练掌握使用MATLAB 绘制根轨迹图形的方法。 2．进一步加深对根轨迹图的了解。 3．掌握利用所绘制根轨迹图形分析系统性能的方法。 教学内容： 1．用实验的方法求解根轨迹。 在Matlab 控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，来绘制根轨迹，rlocus()的调用格式为： r=rlocus(g,k); 式中的g 为线性系统的数学模型；k 为用户自己选择的增益向量；返回的变量r 为根轨迹上对应向量k 的各个增益点的闭环系统的根。 如果用户不给出k 向量，则该函数会自动选择增益向量，在这种情况下，该函数的调用格式为： [r,k]=rlocus(g); 式中向量k 为自动生成的增益向量，r 仍为对应各个k 值的闭环系统的特征根。 例1 系统1的开环传递函数为：) 15.0)(12.0()(++=s s s K s G K 要求：（1）绘制并记录根轨迹； （2）确定根轨迹的分离点与相应的根轨迹增益； （3）确定临界稳定时的根轨迹增益。 （1）参考程序： K=1; z=[]; p=[0,-5,-2]; [num,den]=zp2tf(z,p,K); rlocus(num,den) Matlab运行时出现的根轨迹图形窗口中，可以用鼠标单击所关心的根轨迹上的点，就出现有关这一点的信息，包括相应增益、极点位置、阻尼参数、超调量、自然频率。 例2系统开环传递函数)2()(2 n n s s K s G ?ωω+=中引入一个附加的极点s=-a ，即系统的 开环传递函数变为) )(2()(2 a s s s Ka s G n n ++=?ωω 给出5.0,/2==?ωs rad n ，a 分别为1，3，5时系统的根轨迹变化曲线。 参考程序： clear clc wn=2; xita=0.5; a=[1,3,5]; for i=1:length(a) G=tf(a(i)*wn^2,conv([1,2*xita*wn,0],[1,a(i)])); rlocus(G); axis([-8,5,-5,5]) hold on disp('press any key to continue.') pause%系统暂停，按任意键继续 end自动控制原理 题库 第四章 线性系统根轨迹 习题
第4章根轨迹分析法知识题解答
第四章 线性系统的根轨迹法(下)
线性系统的根轨迹法
控制系统的根轨迹分析
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
线性系统的根轨迹分析
第4章根轨迹分析法习题解答
自动控制原理(系统根轨迹分析)
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实验六-线性系统的根轨迹分析
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自动控制原理Matlab实验3(系统根轨迹分析)
第四章 线性系统的根轨迹分析
实验四 线性系统的根轨迹
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《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
线性系统的根轨迹法
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