2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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关于汽车配件的设计方案
摘要
本文针对汽车配件生产的问题进行了探讨，在考虑生产成本，生产数量之后，为使各厂能够得到最大收益，利用规划模型而得出汽车配件生产的设计方案。
在探讨汽车配件生产方案的时候，利用图表对方案进行说明，将各个图表进行比较从而得出最优设计方案。
主要问题的结论：
1、三个厂在对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下同时生产配件，使得自身收益最大。建立线性模型，列目标函数为：
333222111c q pq c q pq c q pq L -+-+-=
当生产数量变化的时，产品的成本价会改变，销售价会改变，最后各厂所得的收益也会改变。建立模型后利用软件进行求解，然后做比较可得：当
20000;20000;25000321≤≤≤q q q ；6.0;55.0;55.0321===c c c 时，三个厂的收益
最大。此时一厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元；二厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元；三厂的生产数量为10415件，收益为12330.96 元。
2、一厂改变决策，重新确定生产方案。在二厂、三厂遵循以往的决策，已知二厂、三厂生产数量分别为9993件、10415件时，建立线性规划模型来求解。目标函数为：
111c q pq M -=
用软件求解得到，当一厂生产汽车配件的数量为25001件时，此时一厂的最大收益为17091.68元。相对于以前的决策，提高了收益。
3、二厂、三厂改变决策，使得两厂的总利润最大。已知一厂的数量为25001件时二厂、三厂合作生产。使得两厂的总利润最大。利用生产分配模型进行求解：目标函数为：
323222c q pq c q pq N -+-=
当生产利润最大时，确定总的生产数量。当总的生产量为20001件时，两厂的总利润为13999.1 元。对生产数量20001件再进行分配，得到两种方案： 当二厂生产20001件，三厂不生产时，二厂的收益为13999.1元； 当三厂生产20001件，二厂不生产时，三成的收益为13999.1元。
4、当三个厂选择合作时，建立合作模型。列如下目标函数：
112233()()()Q p c q p c q p c q =-+-+-
再利用软件求解，得到各自的生产数量和收益，结果为：
总的生产数量为31250件，总的收益为39062.5元，各自厂的收益均为13020.8元。
关键词 软件求解 线性模型 合作模型 利润最大
一 问题重述
某汽车配件生产集团公司有三个分厂，设三个分厂生产配件数量（单位：件）分别为1q 、2q 与3q ，成本（单位：元/件）分别为：
1110.55,25000
0.50,25000q C q ≤?=?
>? 2220.55,20000
0.50,20000q C q ≤?=?
>? 3330.60,20000
0.50,20000
q C q ≤?=?
>? 配件的销售（市场）价格为
123
1231233,7500025000
0,75000q q q q q q p q q q ++?-
++≤?=?? ++>?
根据以上所给出的信息，需要解决以下几个问题：
（1）第一厂、第二厂和第三厂同时生产，且三个厂对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下求各自的决策，那么三个厂应该如何确定他们的生产数量才能使得他们所获得的收益最大。
（2）在第二厂和第三厂按上述决策执行的时候，第一厂没有按上述决策执行，而是等其它两方生产后再决定生产数量。此时第一厂能否提高收益？其产量及收益分别是多少？
（3）如果第二厂与第三厂知道了第一厂上述“计谋”，因此根据他们自己的生产量23q q +，就可以推算出第一厂的生产量，从而推算出市场价格以及自己的利润。第二厂与第三厂为使他们的总利润最大，应该选择怎样的生产数量？在确定总的生产数量后，他们两厂之间应如何划分生产数量？收益各是多少？
（4）若三个厂决定合作，问应如何合作？各自和产量及收益分别是多少？
二 模型的假设和符号说明
（一）模型的假设
1、在生产汽车配件的过程中，不考虑由于意外使配件废弃的数量。
2、在完成汽车配件生产的过程中，不考虑剩余材料的成本价。
3、假设生产的每个汽车配件都是合格的。 （二）符号说明
p 配件的市场销售价格
1q 一厂生产汽车配件的数量
2q 二厂生产汽车配件的数量
3q 三厂生产汽车配件的数量 1c 一厂生产汽车配件的成本价
2c 二厂生产汽车配件的成本价 3c 三厂生产汽车配件的成本价
i L 各厂的收益（1，2，3；分别表示一厂，二厂，三厂的最大收益） M 一厂的收益
N 二厂和三厂的收益
Q 三厂合作时候的收益
三 模型的建立与求解
3.1 问题一
问题的分析：三个厂在对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下同时生产配件，使得自身收益最大。每个厂的成本价都会随着生产配件数量的变化而取不同的值。建立多目标模型。列目标函数为：
333222111c q pq c q pq c q pq L -+-+-=
约束条件为：
??
???++-=≤++25000375000..321321q q q p q q q t s
此方程式为多目标方程，应该转化为单目标方程。转化后的方程式为：
112233123()()()..32500p c q L p c q L
p c q L q s q q t p ->->->++=-????
??
???
根据取值不同进行组合，共有8种情况，将8种情况分别带入软件求解，结果如(表一)所示：
表一 问题一根据生产数量范围的变化列出如下表格
一厂 二厂 三厂 生产数量 收益
???=≤55.02500011c q ???=≤55.02000022c q ??
?=≤6.0200003
3c q
?????===1041599939993
321q q q
?????===96.1233096.1233096.12330321L L L ① ??
?=≤55
.025000
11c q
???=≤55.02000022c q ??
?=>5.0200013
3c q
?????===200011031210312
321q q q
???
??===4.85074.85074.85073
21L L L ②
??
?=≤55
.025000
11c q
???=>5.02000122c q ???=≤6
.02000033c q
???
??===104602000198363
21q q q
???
??===8243.7358243.7358243.7353
21L L L ③
??
?=≤55
.025000
11c q
???=>5.02000122c q ??
?=>5.0200013
3c q
?????===200012000110624
321q q q
???
??===4514.7754514.7754514.775
3
21L L L ④
???=>55.02500111c q ???=≤55.02000022c q ??
?=≤6
.020000
33c q
???
??===9203858025001
3
21q q q ???
??===6337.5316337.5316337.5313
21L L L ⑤
???=>55.02500111c q ???=≤55.02000022c q ??
?=>5.0200013
3c q
?????===20001812425001
321q q q
???
??===2639.9752639.9752639.9753
21L L L ⑥
???=>55.02500111c q ???=>5.02000122c q ??
?=≤6
.020000
33c q
???
??===74992000125001
3
21q q q ???
??===2249.4002249.4002249.4003
21L L L ⑦
???=>55.02500111c q ???=>5.02000122c q ??
?=>5
.020001
33c q
不存在
不存在
⑧
由上表可得：①中三个厂的收益取得最大；不存在⑧这种情况应该舍去；而②③④⑤⑥⑦所得到的收益相对于①种情况较低。因此在三个厂在对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下同时生产配件。三个厂的收益最大的生产方案为：
一厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元； 二厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元； 三厂的生产数量为10415件，收益为12330.96 元。
3.2 问题二
问题的分析：在问题一中得到三个的收益最大的生产方案为：
一厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元； 二厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元；
三厂的生产数量为10415件，收益为12330.96 元。
二厂，三厂按照以上方案生产，而一厂是等二厂，三厂生产后再决定自身的生产数量。此时10415;999332==q q 。目标是使得一厂得到最大效益。目标函数为：
111c q pq M -=
当确定了32,q q 的值后，为使一厂得到最大效益，根据目标函数求最值模型可以得到一厂生产汽车配件的数量为多少时，收益最大。 1） 当250001≤q 时，有如下约束条件：
??
???
++==2500010415
999355.0..11q p c t s 利用软件求解可得：
?
?
?==69.166********M q
即：当一厂生产汽车配件的数量为20421件时，此时一厂的最大收益为16680.69元。
2）当250011≥q 时，有如下约束条件：
??
???
++==250001041599935.0..11q p c t s
利用软件求解可得：
??
?==68
.1709125001
1M q 即：当一厂生产汽车配件的数量为25001件时，此时一厂的最大收益为17091.68元。
将1）和2）的结果进行比较可得，当一厂生产汽车配件的数量为25001件时，一厂所得到的收益最大，为17091.68元。
3.3 问题三
问题的分析：从“第二厂与第三厂知道了第一厂上述‘计谋’，因此根据他们自己的生产量23q q +，就可以推算出第一厂的生产量，从而推算出市场价格以及自己的利润。”这句话，可以知道此时250011=q 件是确定的值，在确定一厂生产量的情况下，求二厂和三厂的总产量为多少的时候，他们两厂的总利润最大。在得到总的生产量后，如何分配生产数量，两厂的收益分别为多少？
当250011=q 件时，为使二厂和三厂的总利润最大，其目标函数为：
333222c q pq c q pq N -+-=
在1q 确定的情况下，如何确定32,q q 使得总利润最大。根据目标函数求最值可得到，二厂、三厂的总生产量为多少时，他们的总利润取得最大值。
1） 当20000;2000032≤≤q q 时，有如下约束条件：
???
????
++-
===250002500136.055.0..3232q q p c c t s
利用软件进行求解得：
??
?
??===9.1313901812432N q q 即：当二厂生产量为18124件，三厂的生产数量为0件时，两厂的总利润最大，为：13139.9元；
2） 当20000,2000032≤>q q 时，有如下约束条件：
?
??
?
?
??
++-===250002500136
.05.0..3232q q p c c t s 利用软件求解得：
??
?
??===1.139********
32N q q 即：当二厂的生产量为20001件，三厂的生产数量为0件时，两厂的总利润最大，为：13999.1元；
3） 当20000,2000032>≤q q 时，有如下的约束条件：
?
??
?
?
??
++-===25000q 2500135
.055.0..3232q p c c t s 利用软件求解可得;
??
?
??===1.139********
32N q q 即：当二厂的生产数量为0件，三厂的生产数量为20001件时，两厂的总利润最大，为：13999.1元；
4） 当20000,2000032>>q q 时，此时的销售价格会小于成本价，不但不会有利润还会亏本，所以这种情况不存在。 综上所述：将1），2）和3）的结果进行比较可得，二厂、三厂合作的时候，两厂的总利润最大为13999.1元；此时有两种方案：
当二厂的生产数量为20001件，三厂的生产数量为0件时，二厂的利润为：13999.1元；
当二厂的生产数量为0件，三厂的生产数量为20001件时，三厂的利润为：
13999.1元。
3.4 问题四
问题的分析：当三个厂进行合作，使得三个厂的总的收益最大。每个厂的成本价会随着生产数量的变化而改变。市场销售价格也会随着产品数量的变化而改变。要求三个厂的总收益最大，可列目标函数为：
112233()()()Q p c q p c q p c q =-+-+-
约束条件为：
??
???++-=≤++25000375000..321321q q q p q q q t s
根据每个厂的生产数量的不同，其成本价不同，销售价也会发生改变。因此可分
为八种情况，结果如（表二）所示：
表二 问题四根据生产数量范围的变化列出如下表格
一厂 二厂 三厂 生产数量 总收益
???=≤55.02500011c q ???=≤55.02000022c q ??
?=≤6.0200003
3c q
?????===01531215312321q q q
7.37515=Q
①
??
?=≤55
.025000
11c q
???=≤55.02000022c q ??
?=>5.0200013
3c q
?????===3125000
321q q q
5.39062=Q
②
??
?=≤55
.025000
11c q
???=>5.02000122c q ???=≤6
.02000033c q
???
??===03125003
21q q q
5.39062=Q
③
??
?=≤55
.025000
11c q
???=>5.02000122c q ??
?=>5.0200013
3c q
?????===20001200010
321q q q
6.35998=Q ④
???=>55.02500111c q ???=≤55.02000022c q ??
?=≤6
.020000
33c q
???
??===0031250
3
21q q q
5.39062=Q
⑤
???=>55.02500111c q ???=≤55.02000022c q ??
?=>5.0200013
3c q
?????===20001025001
321q q q
8.31497=Q
⑥
???=>55.02500111c q ???=>5.02000122c q ??
?=≤6
.020000
33c q
???
??===020********
321q q q 8.31497=Q
⑦
???=>55.02500111c q ???=>5.02000122c q ??
?=>5
.020001
33c q
不存在
不存在 ⑧
由上表可知：②③⑤种情况的收益最大，⑧种情况应该舍去。①④⑥⑦种情况相对于②③⑤的收益较低。因此在三个厂相互合作的情况下，总的生产量为31250件的时候，收益最大。不论是一厂生产31250件汽车配件，还是二厂生产31250件汽车配件，更或者是三厂生产31250件配件，总的收益为39062.5元，各自厂的收益均为：13020.8元。
四 模型的比较和评价
此题属于多目标规划模型。问题一主要运用了多目标规划模型，问题二运用了线性模型，问题三运用了生产分配模型，问题四运用了合作模型。对于问题的解答并没有固定的模型进行求解，可同时运用到多个模型进行求解。
在问题三和问题四的解答结果可知，使得收益达到最大值，会有的厂生产汽车配件，而另外的厂不生产汽车配件。这个不符合实际情况。问题四所建立的模型是合作模型，最后每个厂收益均为13020.8元，而涉及到一个厂生产汽车配件，而另外两个厂不生产，虽然是合作关系，可不符合按劳分配利润，所以此种生产方案有待改进。
五 附录
【参考文献】： [1] ：姜启源 谢金星， 数学建模案例选集， 高等教育出版社， 北京，2006 [2] ：颜文勇 ，数学建模， 高等教育出版社，北京 ，2011 【问题的编程和结果】：
皮匠网—开放、共享、免费的咨询方案报告文库
咨询人士学习成长与交流平台
（问题一）
（最大利润）
:
;
p*q11*q1>L;
P*q22*q2>L;
p*q33*q3>L;
c1=0.552=0.553=0.6;
q1<=25000;
q2<=20000;
q3<=20000;
3-(q123)/25000;
(q1)(q2)(q3);
.
: 12330.96
: 12330.96
: 0.123311101
: 9
: 188
L
12330.96
P
1.783960
Q1
9993.000
C1
0.5500000
Q2
9993.000
C2
0.5500000
Q3
10415.00
C3
0.6000000
1 12330.96
2 0.654888802
3 0.654888802
4 -0.123311101
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 15007.00
9 10007.00
10 9585.000
11 0.000000
:
;
p*q11*q1>L;
P*q22*q2>L;
p*q33*q3>L;
c1=0.552=0.553=0.5;
q1<=25000;
q2<=20000;
q3>20001;
3-(q123)/25000;
(q1)(q2)(q3);
.
: 8507.400
: 8507.400
: 0.121144708
: 1
: 46
L 8507.400
P 1.375000
Q1 10312.00
C1 0.5500000
Q2 10312.00
C2 0.5500000
Q3 20001.00
C3 0.5000000
1 8507.400
2 -0.121144708
3 -0.121144708
4 8993.475
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 14688.00
9 9688.000
10 0.000000
11 0.000000 :
;
p*q11*q1>L;
P*q22*q2>L;
p*q33*q3>L;
c1=0.552=0.53=0.6;
q1<=25000;
q2>20001;
q3<=20000;
3-(q123)/25000;
(q1)(q2)(q3);
.
: 8243.735
: 8243.735