二次函数的四种表达式求法推导
（1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2
，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。
（2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为：
k h x a y +-=2)( 推导如下：
a b ac a b x a a b ac a b x a a c
a
b a b x a a
c
a b a b x a b x a a c
x a b x a c
bx ax y 44)2(]44)2[(]
4)2[(]
)2()2([)(2
22
2
222222222-+
+=-++=+-+=+-++=++
=++= 则a
b a
c k a b h 44,22
-=-=
顶点式的变形：
设二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a
b x x -
=+21 ，a
c x x =
?21 点A 、B 的距离为d ，
a
ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(22222
12212
1212-=
-=--=?-+=-=-= 2
2222
22222222224
1
)2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(ad a b x a d a b x a a
ac
b a b x a a
c a
b a b x a a
c
a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++
=++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--= （3）二次函数两根式：如果二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和，则二次函数的表达式为：
))((21x x x x a y --= 推导如下：
设二次函数的图像交x )0(2
≠++=a c bx ax y 于点),(1o x 和)0,(2x ， 则21,x x 和是一元二次方程
)0(02≠=++a c x ax 的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：a b x x -=+21 ，a
c
x x =?21
所以，
)
)((])([)
(212121222x x x x a x x x x x a a
c
x a b x a c
bx ax y --=?++-=++=++=
（4）二次函数对称点式：
如果二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和（它们关于抛物线对称轴2
2
1x x x +=对称），则可以得到二次函数的表达式对称点式：)0())((21≠+--=a m x x x x y ，推导如下：
方法1 二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和，那么21x x 和是x 的一元二次方程
m c bx ax =++2（即02=-+m c bx ax ）的两根，则有 ))((212x x x x a m c bx ax --=-++
∴))((212
m x x x x a c bx ax +--=++ 即 m x x x x a y +--=))((21
方法2 二次函数c bx ax y ++=2
的图像经过点),(),(21m x m x 和，则有
?
??++=++=c
bx ax m c bx ax m 12122
2 解得
{
)(2121x x a b m
x ax c +-=+=
代入c bx ax y ++=2
中，得
m
x x x x a m
x x x x x a m
x ax x x a ax y +--=+++-=+++-=))((])([)(212121221221
3.求二次函数的表达式 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式
类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 2..已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
3.已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1.二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，则解析式为。 2.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。 3.已知一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．
二次函数的图像及其三种表达式 学生： 时间： 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 ＋bx ＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围． 例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习 1．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－ a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2 1
九年级数学：二次函数表达式的确定练习（含解析） 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21 (x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21 (x －1)2－3 D.y =21 (x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中 A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2 ，y =－0.5x 2 ，y =－x 2 中，y =2x 2 的图象开口最大，y =－x 2 的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45
二次函数表达式、图象、性质 及计算（讲义） 一、知识点睛 1． 一般地，形如__________________（_______________）的 函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质： ①由一般式通过______________可推导出顶点式． 顶点式：________________（其中h =______，k =_________）． ②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_______时，函数有最_____值，是____________； 当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图 象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________． 二、精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32 y x =-+； ④2 22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252 y x x =-+； ⑦215s t t =++；⑧2 20x y -+=． 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式（ ） A ．2 (3)5y x =-- B ．2 (3)5y x =+- C ．2 2(3)5y x =-+ D ．2 2(3)5y x =--
7．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（ 0， 4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ A ．y=﹣6x 2+3x+4 B ．y=﹣2x 2+3x ﹣4 C ．y=x 2+2x ﹣4 D ．y=2x 2+3x ﹣4 8．若二次函数 y=x 2﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上，则 c 等于（ ）A ．﹣1 B ．1 C ． ） D ．2 9．如果抛物线经过点A （2，0）和B （﹣1，0），且与y 轴交于点C ，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ） A ． 10． A ． 11． A ． y=x 2﹣x ﹣2 B ．y=﹣x 2﹣x ﹣2 或 y=x 2+x+2 C ．y=﹣x 2+x+2 D ．y=x 2﹣x ﹣2 或 y=﹣x 2+x+2 如果抛物线 y=x 2 ﹣6x+c ﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c 的值等于（ ） 8 B ．14 C ．8 或 14 D ．﹣8 或﹣14 二次函数 的图象如图所示，当﹣1≤x ≤0 时，该函数的最大值是（ ） 3.125 B ．4 C ．2 D ．0 当﹣2≤x ≤1 时，二次函数 y=﹣（x ﹣m ）2+m 2+1 有最大值 3，则实数 m 的值为（ ） A ． 或﹣ B ． 或﹣ C ．2 或﹣ D ． 或﹣ 13．如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=﹣ x 2 +2 重合，且顶点坐标为（4， 的解析式为 ． 14．二次函数的图象如图所示，则其解析式为 ． 15．若函数 y=（m 2﹣4）x 4+（m ﹣2）x 2的图象是顶点在原点，对称轴是 y 轴的抛物线，则 m= ． 16．二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x 轴的距离为 2， 则该二次函数的解析式为 ． 17．如图，已知抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，且与x 轴的一个交点为（3，0）， 那么它对应的函数解析式是 ． 18．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过 A （﹣1，0）、 B （0，﹣3）、 C （4，5）三点，求出 抛物线解析式 ． 19．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为 4，此函数关系式为 20．如图，一个二次函数的图象经过点A ，C ，B 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为 （4，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，且 AB=OC ．则这个二次函数的解析式是 ． 21．坐标平面内向上的抛物线y=a （x+2）（ x ﹣8）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若 1．把二次函数 y=x 2﹣4x+5 化成 y=a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）的形式，结果正确的是（ ） A ．y=（x ﹣2）2+5 B ．y=（x ﹣2）2+1 C ．y=（x ﹣2）2+9 D ．y=（x ﹣1）2+1 2．将 y=（2x ﹣1）?（x+2）+1 化成 y=a （x+m ）2+n 的形式为（ ） D ． 3．与 y=2（x ﹣1）2+3 形状相同的抛物线为（ )A ．y=1+ x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 4．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ A ．y=﹣2（x+2）2+4 B ．y=﹣2（x ﹣2）2+4 C ．y=2（x+2）2﹣4 D ．y=2（x ﹣2）2﹣4 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=﹣3（x ﹣1）2+3 B ．y=3（x ﹣1）2+3 C ．y=﹣3（x+1）2+3 D ．y=3（x+1）2+3 6．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数 y= x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） A ．y= （x+6）2 B ．y= （x ﹣6）2 C ．y=﹣ （x+6）2 D ．y=﹣ （x ﹣6）2 A ． B ． C ． ） 2），则它