偏差分为绝对偏差和相对偏差、标准偏差和相对标准偏差来表示。
1、绝对偏差：是指某一次测量值与平均值的差异。
2、相对偏差：是指某一次测量的绝对偏差占平均值的百分比。
3、标准偏差：是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。
4、平均偏差：是指单项测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。
5、相对标准偏差：是指标准偏差占平均值的百分率。平均偏差和相对平均偏差都是正值。
例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差。
解：平均值：
各次测量的偏差分别是：0.11,-0.14,0.16,-0.04,-0.09
平均偏差：
相对平均偏差：
标准偏差：
=0.13%
相对标准偏差：RSD=(0.13/37.34)×100%=0.4%
相对偏差：是指某一次测量的绝对偏差占平均值的百分比。相对偏差只能用来衡量单项测定结果对平均值的偏离程度。
若两份平行操作，设A、B为两次测得值，则其相对偏差如下式计算：
其中，d
r表示测定结果的相对偏差；d i表示测定结果的绝对偏差；表示n次测定结果的平均值。
标准偏差与相对标准偏 差公式 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
标准偏差 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20- 30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l i X 1 σ = l2X 2 …… σn = l n X 我们定义标准偏差(也称)σ为 （1）
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 中定义S2为 数学上已经证明S2是σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
相对标准方差的计算公式 相对标准方差的计算公式 准确度：测定值与真实值符合的程度 绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。 相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。 绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。 例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。 例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？ 答：称量样品量应不小于0.2g。 真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。 偏差：单次测量值与样本平均值之差： 平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。 相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。 标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。相对标准偏差（变异系数） 例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。 准确度与精密度的关系： 1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。 2）精密度高不能保证准确度高。 换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的 标准偏差在Excel里面的函数是STDEV 相对标准偏差在Excel里面的函数是STDEV（）/AVERAGE（）。
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 3.2.3 定位误差的分析与计算 在成批大量生产中，广泛使用专用夹具对工件进行装夹加工。加工工艺规程设计的工序图则是设计专用夹具的主要依据。由于在夹具设计、制造、使用中都不可能做到完美精确，故当使用夹具装夹加工一批工件时，不可避免地会使工序的加工精度参数产生误差，定位误差就是这项误差中的一部分。判断夹具的定位方案是否合理可行，夹具设计质量是否满足工序的加工要求，是计算定位误差的目的所在。 1.用夹具装夹加工时的工艺基准 用夹具装夹加工时涉及的基准可分为设计基准和工艺基准两大类。设计基准是指在设计图上确定几何要素的位置所依据的基准；工艺基准是指在工艺过程中所采用的基准。与夹具定位误差计算有关的工艺基准有以下三种： （1）工序基准在工序图上用来确定加工表面的位置所依据的基准。工序基准可简单地理解为工序图上的设计基准。分析计算定位误差时所提到的设计基准，是指零件图上的设计基准或工序图上的工序基准。 （2）定位基准在加工过程中使工件占据正确加工位置所依据的基准，即为工件与夹具定位元件定位工作面接触或配合的表面。为提高工件的加工精度，应尽量选设计基准作定位基准。 （3）对刀基准（即调刀基准）由夹 具定位元件的定位工作面体现的，用于调 整加工刀具位置所依据的基准。必须指出， 对刀基准与上述两工艺基准的本质是不 同，它不是工件上的要素，它是夹具定位 元件的定位工作面体现出来的要素（平面、 轴线、对称平面等）。如果夹具定位元件是 支承板，对刀基准就是该支承板的支承工 a) 作面。在图3.3中，刀具的高度尺寸由对 导块2的工作面来调整，而对刀块2工作 面的位置尺寸7.85±0.02是相对夹具体4 的上工作面（相当支承板支承工作面）来 确定的。夹具体4的上工作面是对刀基准， 它确定了刀具在高度方向的位置，使刀具 加工出来的槽底位置符合设计的要求。图 3.3中，槽子两侧面对称度的设计基准是工 b 图3.21 钻模加工时的基准分析
2012年12月20日不详 关键字： 六西格玛机械公差设计的RSS分析 1.动态统计平方公差方法 RSS没有充分说明过程均值的漂移，总是假设过程均值在名义设计规格的中心，这就是为什么能力最初看起来比较充分，但实际中这种情况是很少的原因，特别是在制造过程中工具受到磨损的时候。因此就有必要利用C来调整每一个名义设计值已知的或者估计的过程标准偏差，以此来说明过程均值的自然漂移，这一方法就称为动态统计平方公差方法(Dynamic Root-Sum-of-Squares Analysis, DRSS)。实际上，这种调整会使标准偏差变大，因而会降低装配间隙概率。 调整后就以一个均值累积漂移的临界值是否大于等于4.5来衡量六西格玛水平，即时，DRSS模型就简化为一个RSS模型，这一特征对公差分析有许多实际意义。从这一意义上讲，DRSS模型是一个设计工具，也是一个分析工具。因为DRSS模型考虑均值随时间的随机变异的影响，所以称之为动态模型。 2.静态极值统计平方公差方法 当假设的均值漂移都设定在各自的极值情况时，这种方法称为静态极值统计平方公差方法( Worse-Case Static Raot- Surn- of-Squares Anlysis, WC-SRSS)，这一方法可以认为是一种极值情况的统计分析方法。为了有效地研究任意假定的静态条件，需要将公式(2-10)分母项中的偏倚机制转移到分了项中(注意:当均值漂移大于2σ时，就不能应用上述转换)，同时必须用Cp，代替分母中的Cpk:
实际上，所有偏倚机制都可以利用来表示，但是当过程标准偏差改变时，如果利用作为转换日标，名义间隙值也会改变，这样就违背了均值和方差独立的假设。也就是说，用作为描述均值漂移的基础使得均值和方差之间正相关。而利用k为动态和静态分析提供了一个可行的和灵活的机制，同时保证了过程均值和方差的独立性。 3.设计优化 利用IRSS作为优化基础，当考虑5RS5和WC-SRSS作为基础时其逻辑和推理是相同的。（1)优化零部件的名义尺寸 在任一给定的需求条件和过程能力条件下，重新安排公式（2-10）就得到该优化方程的表达式:
问题5-1：公差计算 1.题目内容：配合件尺寸计算，根据所列已知条件，求其它各项填入表中。 2.公差与配合计算公式： 孔的上偏差ES=D max-D 孔的下偏差EI=D min-D 轴的上偏差es=d max-d 轴的下偏差ei=d min-d 孔的公差T h= D max- D min=ES-EI 轴的公差T s= d max - d min=es-ei 配合公差：T f=T h+T s 极限间隙X max= ES-ei，X min= EI-es 极限过盈Y max= EI-es，Y min= ES-ei 3.分析解答： 公差与偏差的计算，带入上面对应的公式，公式中只要已知两个值就可
以计算出第三个值。 (1)Φ40 6 7 s H ，基本尺寸为40。 (2)对于孔H7，可判断它的下偏差EI=0,且已知孔公差T h = 根据孔的公差T h = D max - D min =ES-EI 得ES= T h +EI=，D max =， D min =40, （3）对于轴s7，已知es=,轴公差T s = 根据轴的公差T s = d max - d min =es-ei ， 得ei=es-T s = d max =， d min =, （4）配合公差 T f =T h +T s =+= （5）因为是过渡配合，所以存在最大间隙和最大过盈 极限间隙X max = ES-ei=极限过盈Y max = EI-es== （6）画公差带图 公差带图的关键是零线和孔轴的公差带。 4.总结拓展：公差计算的题目很多，这类问题是考核的一个重要部分，学生在考试中有关公差配合计算题答题情况不理想。学生在遇到这类问题时，往往会放弃答题。其实这类题目很简单，只要记住公式，将已知数据带入公式进行简单的运算，就可以得到所要答案。计算非常简单，在运算的过 +41 +16
定位误差的计算方法： （1）合成法 为基准不重合误差和基准位移误差之和； （2）极限位置法 工序基准相对于刀具（机床）的两个极限位置间的距离就是定位误差； （3）微分法 先用几何方法找出工序基准到定位元件上某一固定点的距离，然后对其全微分，用微小增量代替微分，将尺寸误差视为微小增量代入，就可以得到某一加工尺寸的定位误差。 注：基准不重合误差和基准位移误差它们在工序尺寸方向上的投影之和即为定位误差。 例如：用V 型块定位铣键槽，键槽尺寸标注是轴的中心到键槽底面的尺寸H 。T D 为工件定位外圆的公差；α为V 型块夹角。 1. 工序基准为圆柱体的中心线。 表示一批工件依次放到V 型块上定位时所处的两个极端位置情形，当工件外圆直径尺寸为极大和极小时，其工件外圆中心线分别出于点 O '和点O ''。 因此工序基准的最大位置变动量O O '''，便是对加工尺寸 H 1所产生的定位误差： 故得： O E O E H H O O 11DH 1 ''-'='-''='''=ε O A E Rt 1''?中： max 1 D 2 1A O ='' 2 sin A O O E 1α''= ' O A E Rt 1''''?中：min 1 D 2 1 A O ='''' 2 sin A O O E 1α''''= '' 2 sin 2T 2sin 2T 2sin A O A O O E O E D D 11DH 1 α=α=α''''-''=''-'=ε 2. 工序基准为圆柱体的下母线：
工件加工表面以下母线C 为其工序基准时，工序基准的极限位置变动量 C C '''就是加工尺寸H2所产生的定位误差。 C S C S C O O O H H 22DH 2 '-''=''-'''='-''=ε C O C O O O ) C O O S ()C O O S (' '-''''+'''=''+'-'''+'= 而 2 sin 2T O O D α= ''' min D 2 1C O ='''' max D 2 1C O ='' 所以： C O C O O O 2 DH ''-''''+'''=ε ) 12 sin 1(2T 2T 2sin 2T 2D D 2 sin 2T )D (21 )D (212sin 2T D D D max min D max min D DH 2 -α=-α=-+ α=-+α=ε 3. 工序基准为上母线 如果键槽的位置尺寸采用上母线标注时，上母线K 的极限位置变动量为 K K '''，就是对加工尺寸H 3 所产生的定位误差。
六西格玛机械公差设计的RSS分析 2012年12月20日不详 关键字： 六西格玛机械公差设计的RSS分析 1.动态统计平方公差方法 RSS没有充分说明过程均值的漂移，总是假设过程均值在名义设计规格的中心，这就是为什么能力最初看起来比较充分，但实际中这种情况是很少的原因，特别是在制造过程中工具受到磨损的时候。因此就有必要利用C来调整每一个名义设计值已知的或者估计的过程标准偏差，以此来说明过程均值的自然漂移，这一方法就称为动态统计平方公差方法(Dynamic Root-Sum-of-Squares Analysis, DRSS)。实际上，这种调整会使标准偏差变大，因而会降低装配间隙概率。 调整后就以一个均值累积漂移的临界值是否大于等于4.5来衡量六西格玛水平，即时，DRSS 模型就简化为一个RSS模型，这一特征对公差分析有许多实际意义。从这一意义上讲，DRSS
模型是一个设计工具，也是一个分析工具。因为DRSS模型考虑均值随时间的随机变异的影响，所以称之为动态模型。 2.静态极值统计平方公差方法 当假设的均值漂移都设定在各自的极值情况时，这种方法称为静态极值统计平方公差方法( Worse-Case Static Raot- Surn- of-Squares Anlysis, WC-SRSS)，这一方法可以认为是一种极值情况的统计分析方法。为了有效地研究任意假定的静态条件，需要将公式(2-10)分母项中的偏倚机制转移到分了项中(注意:当均值漂移大于2σ时，就不能应用上述转换)，同时必须用Cp，代替分母中的Cpk: 实际上，所有偏倚机制都可以利用来表示，但是当过程标准偏差改变时，如果利用作为转换日标，名义间隙值也会改变，这样就违背了均值和方差独立的假设。也就是说，用作为描述均值漂移的基础使得均值和方差之间正相关。而利用k为动态和静态分析提供了一个可行的和灵活的机制，同时保证了过程均值和方差的独立性。 3.设计优化 利用IRSS作为优化基础，当考虑5RS5和WC-SRSS作为基础时其逻辑和推理是相同的。（1)优化零部件的名义尺寸
一、问题的提出 2002年，中国机械工业协会提出对1989年发布的8个《电工电子产品环境试验设备技术条件》进行修订，目前，该项工作正在进行之中。 在标准修订过程中，涉及到环境试验及环境试验设备的重要技术指标温度偏差、温度均匀度问题，新标准还提出了温度梯度问题。这对于环境试验设备用户和生产厂家来说，都是十分重要的问题。 本文试图通过对温度偏差与温度均匀度、温度梯度数值上的相关性的讨论，希望引起环境试验设备用户和生产厂家的重视，恰当理解和规定温度偏差、温度均匀度、温度梯度指标及测试计算方法。 本文仅限于在30分钟内对试验箱规定的测试点，测试15次(或16次、30次、31次)所得的数据进行讨论，因为温度偏差、温度均匀度、(新标准征求意见稿中提出的)温度梯度都使用这同一组数据，也就是说，温度偏差、温度均匀度、温度梯度只是从不同角度描述工作室温度参数的状况，它们在数值上的相关性是必然的。 二、GBlll58-89中温度偏差与温度均匀度数值上的相关性 GBlll58-89《高温试验箱技术条件》采用后面的方法计算温度偏差和温度均匀度。测试方法则是在试验箱温度达到设定温度2h后，30min内每隔2min测一次，共测15次，测试点根据工作空间大小分别为9个点或13个点。 GBl0586-89《湿热箱技术条件》GBl0589-89《低温试验箱技术条件》GBl0590-89《低温／低气压试验箱技术条件》、GBl0591-89《高温／低气压试验箱技术条件》的测试计算方法与GBll58-89基本相同，但个别标准所取系数有差异。 GBlll58-896.3.5规定的温度偏差、温度均匀度计算公式如下： 6.3.5f列出了计算温度均匀度的计算公式 △Tj=ThTL十0.55(σh+σL) (1) 式中： △T j——温度均匀度，℃ Th——平均最高温度，℃ TL——平均最低温度，℃ σh——平均最高温度的标准偏差 σL——平均最低温度的标准偏差 6.3.5h列出了温度偏差的计算公式 （△Th）=Th-T+2.14σh （2） （△TL）=TL-T+2.14σh 式中： △Th——温度上偏差，℃ △TL——温度下偏差，℃ T——标称温度，℃ 温度偏差与温度均匀度数值上的相关性，可以用计算值之比来讨论。 温度均匀度与温度上偏差之比： 温度均匀度与温度下偏差之比： GB11158-89对温度偏差、温度均匀度测试计算采用了平均值和标准差，这与GB/T5170.1-1995是有区别的。计算温度偏差则以标称温度T为基准，这与GB/T5170.1-1995
尺寸链计算 一.基本概念 尺寸链是一组构成封闭尺寸的组合。 尺寸链中的各个尺寸称为环。零件在加工或部件在装配过程中，最后得到的尺寸称为封闭环。组成环又分为增环和减环，当尺寸链中某组成环的尺寸增大时，封闭环的尺寸也随之增大，则该组成环称为增环。反之为减环。 补偿环：尺寸链中预先选定的某一组成环，可以通过改变其大小或位置，使封闭环达到规定要求。 传递系数ξ：表示各组成环对封闭环影响大小的系数。增环ξ为正值，减环ξ为负值。通常直线尺寸链的传递系数取+1或-1. 尺寸链的主要特征： ①.尺寸连接的封闭性;②.每个尺寸的变化（偏差）都会影响某一尺寸的精度。 二.尺寸链的分类 1.按应用范围分 工艺尺寸链：在零件加工过程中，几个相互联系的工艺尺寸形成的封闭链。 装配尺寸链：在设计或装配过程中，由几个相关零件的有关尺寸形成的封闭链。 2. 按构成尺寸链各环的空间位置分 线性尺寸链：各环位于平行线上 平面尺寸链：各环位于一个平面或相互平行的平面，各环不平行排列。 空间尺寸链：各环位于不平行的平面，需投影到三个座标平面上计算。 3.按尺寸链的形式分 a)长度尺寸链和角度尺寸链 b)装配尺寸链装、零件尺寸链和工艺尺寸链 c)基本尺寸链与派生尺寸链 基本尺寸链指全部组成环皆直接影响封闭环的尺寸链 派生尺寸链指一个尺寸链的封闭环为另一个尺寸链组成环的尺寸链。
d)标量尺寸链和矢量尺寸链 三. 基本尺寸的计算 把每个基本尺寸看成构成尺寸链的各环，验算其封闭环是否符合设计要求。是设计中尺寸链计算时首先应该进行的工作。 目前产品生产中经常出现错误的环节，大部分是基本尺寸链错误。特别是测绘设计的产品。由于原机的制造误差，测量系统的误差以及尺寸修约的误差，往往会使测绘设计与原设计产生很大的偏差，所以必须进行基本尺寸链的计算 四.解尺寸链的主要方法 根据零件尺寸的要求和相关标准确定零件尺寸公差，然后按照解尺寸链的最短途径原理的方法对尺寸公差进行验算和修正。 为了提高零件的装配精度，与其有关各零件表面形成的尺寸链环数必须最少。 a)极值法(完全互换法) 各组成环的公差之和不得大于封闭环的公差 即Σδi≤δN 不适合环数很多的尺寸链 b)概率法(不完全互换法) 设A表示组成环的算术平均值，σ表示均方根偏差，则一般各环的公差取±3σ。 σ＝∑- i n A Xi/) ( c)选配法 将尺寸链中组成环的公差放大到经济可行的程度，然后选择合适的零件进行装配。 尺寸链计算程序 ①基本尺寸计算依据产品标准、产品装配图、零件图 ②公差设计计算可以先按推荐的公差等级标准选取公差值，然后按互换法进 行计算调整，决定各组成环的公差与极限偏差。 ③公差校核计算校核封闭环公差与极限偏差。 五. 计算举例
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error） m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
标准偏差 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i?X σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有
(2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义S2为样本方差
常见定位方式定位误差得计算 ⑴工件以平面定位 平面为精基面 基准位移误差△基=０ 定位误差△定=△不 、⑵工件以内孔定位 ①工件孔与定位心轴（或销)采用间隙配合得定位误差计算△定= △不+ △基 工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位。由于孔与轴有配合间隙,有基准位移误差,分两种情况讨论: a、心轴（或定位销)垂直放置,按最大孔与最销轴求得孔中心线位置得
变动量为: △基= δD+ δｄ＋△min = △max =孔Dmａｘ－轴dmin (最大间隙) b、心轴(或定位销）水平放置,孔中心线得最大变动量(在铅垂方向上）即为△定 △基=OO'=1/2（δD+δｄ+△mi ｎ)=△max／2 或△基＝(Dmax/２)-(ｄmin ／２)＝△mａx/2 = (孔直径公差+轴直径公差) / ２ ②工件孔与定位心轴(销)过盈配合时(垂直或水平放置)时得定位误差
此时,由于工件孔与心轴（销)为过盈配合, 所以△基=0。 对Ｈ1尺寸:工序基准与定位基准重合,均为中心Ｏ，所以△不=0 对H2尺寸：△不＝δd/2 ⑶工件以外圆表面定位 Ａ、工件以外圆表面在V型块上定位 由于V型块在水平方向有对中作用。基准位移误差△基=0 Ｂ.工件以外圆表面在定位套上定位 定位误差得计算与工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位误差得计算相同。
⑷工件与"一面两孔"定位时得定位误差 ①“1”孔中心线在Ｘ,Y方向得最大位移为: △定（１x）=△定（1y)=δＤ１+δd １+△1mｉn=△1mａｘ(孔与销得最大间隙) ②“2”孔中心线在X,Ｙ方向得最大位移分别为: △定（2ｘ)=△定(1ｘ)+2δLd(两孔中心距公差) △定(２y)=δD2＋δd2＋△2min=△2ｍaｘ ③两孔中心连线对两销中心连线得最大转角误差：
常见定位方式定位误差的计算 ⑴工件以平面定位 平面为精基面 基准位移误差△基＝0 定位误差△定＝△不 .⑵工件以内孔定位 ①工件孔与定位心轴（或销）采用间隙配合的定位误差计算△定= △不+ △基
工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位。由于孔与轴有配合间隙，有基准位移误差，分两种情况讨论： a.心轴（或定位销）垂直放置，按最大孔和最销轴求得孔中心线位置的变动量为： △基= δD + δd + △min = △max =孔Dmax-轴dmin (最大间隙） b.心轴（或定位销）水平放置，孔中心线的最大变动量（在铅垂方向上）即为△定 △基=OO'=1/2(δD+δd+△min)=△max/2 或△基=(Dmax/2)-(dmin/2)=△max/2
= (孔直径公差+轴直径公差) / 2 ②工件孔与定位心轴(销)过盈配合时(垂直或水平放置)时的定位误差 此时，由于工件孔与心轴(销)为过盈配合， 所以△基=0。 对H1尺寸:工序基准与定位基准重合,均为中心O ,所以△不=0 对H2尺寸:△不=δd/2 ⑶工件以外圆表面定位 A、工件以外圆表面在V型块上定位
由于V型块在水平方向有对中作用。基准位移误差△基＝0
B．工件以外圆表面在定位套上定位定位误差的计算与工件以内孔在圆柱心轴、圆柱销上定位误差的计算相同。
⑷工件与"一面两孔"定位时的定位误差 ①“1”孔中心线在X，Y方向的最大位移为： △定（1x)=△定(1y)=δD1+δd1+△1min=△1max（孔与销的最大间隙） ②“2”孔中心线在X,Y方向的最大位移分别为: △定(2x)=△定(1x)+2δLd(两孔中心距公差) △定(2y)=δD2+δd2+△2min=△2max ③两孔中心连线对两销中心连线的最大转角误差:
六西格玛机械公差设计的RSS分析2012年12月20日不详 关键字： 六西格玛机械公差设计的RSS分析 1.动态统计平方公差方法 RSS没有充分说明过程均值的漂移，总是假设过程均值在名义设计规格的中心，这就是为什么能力最初看起来比较充分，但实际中这种情况是很少的原因，特别是在制造过程中工具受到磨损的时候。因此就有必要利用C来调整每一个名义设计值已知的或者估计的过程标准偏差，以此来说明过程均值的自然漂移，这一方法就称为动态统计平方公差方法(Dynamic Root-Sum-of-Squares Analysis, DRSS)。实际上，这种调整会使标准偏差变大，因而会降低装配间隙概率。 调整后就以一个均值累积漂移的临界值是否大于等于4.5来衡量六西格玛水平，即时，DRSS 模型就简化为一个RSS模型，这一特征对公差分析有许多实际意义。从这一意义上讲，DRSS 模型是一个设计工具，也是一个分析工具。因为DRSS模型考虑均值随时间的随机变异的影响，所以称之为动态模型。 2.静态极值统计平方公差方法 当假设的均值漂移都设定在各自的极值情况时，这种方法称为静态极值统计平方公差方法( Worse-Case Static Raot- Surn- of-Squares Anlysis, WC-SRSS)，这一方法可以认为是一种极值情况
的统计分析方法。为了有效地研究任意假定的静态条件，需要将公式(2-10)分母项中的偏倚机制转移到分了项中(注意:当均值漂移大于2σ时，就不能应用上述转换)，同时必须用Cp，代替分母中的Cpk: 实际上，所有偏倚机制都可以利用来表示，但是当过程标准偏差改变时，如果利用作为转换日标，名义间隙值也会改变，这样就违背了均值和方差独立的假设。也就是说，用作为描述均值漂移的基础使得均值和方差之间正相关。而利用k为动态和静态分析提供了一个可行的和灵活的机制，同时保证了过程均值和方差的独立性。 3.设计优化 利用IRSS作为优化基础，当考虑5RS5和WC-SRSS作为基础时其逻辑和推理是相同的。（1)优化零部件的名义尺寸 在任一给定的需求条件和过程能力条件下，重新安排公式（2-10）就得到该优化方程的表达式:
测量中误差 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差=
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即： 。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权其中，为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差 （unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
标准偏差 标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。 标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。 样本标准差的表示公式 数学表达式： S-标准偏差（%） n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中某成分的各次测量值，1～n； 标准偏差的使用方法 z 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 如果价格保持平稳，这个指标值不高。 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很 低。 标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是： 步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 六个计算标准偏差的公式[1] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i?X σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
内螺纹小径的计算与公差 a. 内螺纹小径的基本尺寸计算(D1) 螺纹小径基本尺寸=内螺纹基本尺寸-螺距×系数 例:内螺纹M8的小径基本尺寸 8-1.25×1.0825=6.646875≈6.647 b. 内螺纹6H级的小径公差(以螺距为基准)及小径值计算 P0.8 +0. 2 P1.0 +0. 236 P1.25 +0.265 P1.5 +0.3 P1.75 +0.335 P2.0 +0.375 P2.5 +0.48 内螺纹6H级的下限偏差公式D1+HE1即内螺纹小径基本尺寸+偏差 注:6H级的下偏值为“0” 内螺纹6H级的上限值计算公式=D1+HE1+TD1即内螺纹小径基本尺寸+偏差+公差 例:6H级M8内螺纹小径的上限值 6.647+0=6.647 6H级M8内螺纹小径的下限值 6.647+0+0.265=6.912 c. 内螺纹6G级的小径基本偏差(以螺距为基准)及小径值计算 P0.8 +0.024 P1.0 +0.026 P1.25 +0.028 P1.5 +0.032 P1.75 +0.034
P2.0 +0.038 P2.5 +0.042 内螺纹6G级的小径下限值公式=D1+GE1即内螺纹基本尺寸+偏差 例: 6G级M8内螺纹小径的下限值 6.647+0.028=6.675 6G级M8内螺纹小径的上限值公式D1+GE1+TD1即内螺纹基本尺寸+偏差+公差 例: 6G级M8内螺纹小径的上限值是6.647+0.028+0.265=6.94 注:①内螺纹的牙高直接关系到内螺纹的承载力矩的大小,故在毛坯生产中应尽量在其6H级上限值以内 ②在内螺纹的加工过程中,内螺纹小径越小会给加工具——丝锥的使用效益有所影响.从使用的角度讲是小径越小越好,但综合考虑时一般采用小径的在中限至上限值之间,如果是铸铁或铝件时应采用小径的下限值至中限值之间 ③内螺纹6G级的小径在毛坯生产中可按6H级执行,其精度等级主要考虑螺纹中径的镀层,故只在螺纹加工时考虑丝锥的中径尺寸而不必考虑光孔的小径。
汽轮机找中心 一、概述 汽轮机找中心工作，是机组安装检修过程中一个极其重要的环节。本节针对难度较大的机组轴系按联轴器找中心过程从理论推导到实践应用作了详细的介绍，并总结了其中的方法和规律。在生产实践中将测量数值代人相关公式，即可由计算结果的正负值判断调整量的大小和方向。1.找中心的目的 ●使汽轮发电机组各转子的中心线连成一条连续光滑曲线，各轴承负荷分配符合设计要求。 ●使汽轮机的静止部分和转子部件基本保持同心。 ●将轴系的扬度调整到设计要求。 2.找中心步骤 ●汽缸轴承座找正。通常只用水平仪检查汽缸、轴承座位置是否发生偏斜。汽缸和轴承座是汽 轮机安装过程中的重要工作之一。一般来说，除非基础变形或沉降，否则汽缸和轴承座的位置偏移不会太大，因而在一般的机组检修过程中，仅对汽缸、轴承座的位置做监视性测量，在不影响机组安全运行的情况下，可不做调整。 ●结合轴颈扬度值及转子对轴承座及汽缸的洼窝中心进行各转子按联轴器找中心，也叫预找中 心。 扬度改变值过大会影响轴系负荷分配、发电机负荷分配，在一定程度上也影响转子对轴承座及汽缸的洼窝中心不正，将会加大油档隔板及汽封套的调整量，所以进行各转子按联轴器找中心时，一定要结合扬度及洼窝中心进行，当三者发生矛盾时，以各转子按联轴器找中心为主。 ●轴封套及隔板套找中心。机组运行时，要求隔板汽封及转子之间的间隙要大小适当、均匀合 理。如果轴封套及隔板与转子之间间隙相差很多，则在以后进行的汽封间隙调整时，将具有很大难度，所以要将轴封套及隔板按转子找中心。 ●复查各转子中心（也叫正式找中心）。在汽轮机通流部分全部组合后，各转子联轴器中心值可 能发生一些变化，所以要复查汽轮机各转与子、汽轮机与发电机、发电机转子与励磁机转子之间的中心情况，如有变化，需重新找正。 一般说来，变化不会太大，如果由于某种特殊原因造成中心变化很大，则不能强行找正，因为此时通流部分径向间隙都已调整完毕，如转子调整量过大，将会造成动静之间的严重摩擦。只能揭汽缸，查明原因，重新调整。 二、中心不正的危害 1.造成个别支撑轴承负荷过重、轴承乌金磨损、润滑油温升高 2.使机组产生振动 如果转子不对中，转子连接后将受到强迫外力作用，引起轴系强迫振动。由于转子中心不正会使轴承个别轴承负荷减轻，轻载轴承失稳转速很低，很容易产生油膜自激振动，即平时所说的半速涡动（转速低于两倍转速时）和油膜振荡（转速高于两倍临界转速时）
定子中心偏差及圆度的调整 1.转子未吊入机坑时的定子调整。 定子中心偏差和圆度调整可在机坑内与水平、垂直等一起测量调整。具体调整工序如下： 1）以座环中心为基准悬挂中心钢琴线。见图7-3-43。需先制作一横梁（或三角架），通过横梁将求心器支承在定子的上空。求心器结构如图7-3-44所示，横梁应牢固、平稳。用求心器调整悬挂的中心钢琴锤线。钢琴线下挂一个能使钢琴线平直的重锤。为了使钢琴线的尽快稳定，可将重锤四周加上轮叶，并浸在盛有粘性油的油桶内如图7-3-45所示。重锤与油桶内壁应留有足够的间隙，以免钢琴线中心调整时与油桶壁相碰。
先用钢卷尺量出水轮机座环内壁X、Y方向对称四点至钢琴线的距离，再调整求心器)使对称两点半径误差在1mm以内，以初步找出水轮机座环中心，然后在带有千分尺测头的测杆上接上测中心的线路，用钢琴线耳机法（或电流表法如图7-3-46所示）测出四个测点到钢琴线的距离a、b、c、d，见图7-3-46。如果悬吊的钢琴线不在中心上，则根据下列公式： X、Y便是求心器向x、y方向移动的距离。待重锤稳定后，重新测量a、b、c、d 四个数值，直至a -b 和c-d 两值之差小于0.05mm为合格。 中心线确定以后，定子中心和圆度调整即以此线为准。在以后的调整过程中，求心器和钢琴线不得再有丝毫移动，否则就需重新检查校正中心线。 2）确定定子圆度测点。定子整体在每个测量断面上（一般为上、中、下三个断面）所测取的点不应少于8个。分瓣定子因合缝或端部易发生变形，因此要求在这些部位上标定测点。另外在定子铁心内径上下两个测量断面上，每瓣要标定3~5个测点，如图7-3-47所示。