第四章不定积分试题与答案

第四单元 不定积分

一、填空题

1、?

dx x x =___________。 2、?x x

dx 2=_____________。 3、?+-dx x x )23(2=_____________。

4、

?-dx x x x sin cos 2cos =___________。

5、?+x dx 2cos 1=____________。

6、dt t t ?sin =___________。

7、?xdx x sin =___________。

8、?xdx arctan =__________。

9、=+?dx x x 2sin 12sin ____________。

10、?

=''dx x f x )(____________。 11、?=++dx x x 1)3(1________________。

12、

?=++__________522x x dx 。 二、单项选择

1、对于不定积分

()dx x f ?，下列等式中（ ）是正确的.

（A ）()()x f dx x f d =?； （B ） ()()x f dx x f ='?； （C ） ()()x f x df =?

； （D ） ()()x f dx x f dx d =?。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ?等于（ ）

（A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。

3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ）

（A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ；

（C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。

4、若?+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ）

（A ）c x +35

56；（B ）c x +35

59；（C ）c x +3

；（D ）c x +。

5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=?dx x xf )(（ ）

（A ）c x x ++)ln 41

21

(2；（B ）c x x ++)ln 21

41(2；

（C ）c x x +-)ln 21

41(2；（D ）c x x +-)ln 41

21(2。

6、设c x dx x f +=?2)(，则=-?dx x xf )1(2（ ）

（A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2；

（C ）c x +--22)1(21

；（D ）c x +-22)1(21

。 ７、=+-?dx e e x x 11

（ ）

（A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ；

（C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。

８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ）

（A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。

９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（

）

（A ）12--x ； （B ）12+-x ； （C ）12+-x ； （D ）12--x 。

10、=?-??dx x x

x 23223（ ）

（A ）C x x

+?-)23(23ln 23； （B ）C x x x +?--1)23

(23；

（C ）C x +?--)23

(2ln 3ln 2

3； （D ）C x x +?--)23

(2ln 3ln 23。

11、dx e x x ?

3=（ ） （A ）

C e x x +33ln 1；（B ）C e x x ++33ln 11；（Ｃ）x x e 33ln 1 ； （

D ）x x e 33

ln 11+。 12、?dx x

x 1sec 122=（ ） （Ａ）C x +1tan ； （Ｂ）C x +-1tan ； （Ｃ）C x +1cot ； （Ｄ）C x +-1cot 。 三、计算解答

1、计算下列各题 (1)dx x a x ?

-22； (2)dx x x x ?+++13412； (3)、dx x

x

x ?-21arccos ； (4)dx e xe x x ?-1； (5)、?xdx x 2sin ； (6)()dx e e x

x

?+1ln 。 2、设()

x x x f 22tan 2cos sin +='，当10<

3、 设()x F 为()x f 的原函数，当0≥x 时有()()x x F x f 2sin 2=，且()()0,10≥=x F F ，

求()x f 。

4、 确定A 、B 使下式成立 ()??+++=+x dx B x x A x dx cos 21cos 21sin cos 212

5、设()x f 的导数()x f '的图像为过原点和点()0,2的抛物线，开口向下，且()x f 的极小值

为2，极大值为6，求()x f 。

第四单元 不定积分测试题详细解答

一、填空题

1、C x +2552 C x dx x dx x x +==??25

2352。 2、C x +--2332 C x dx x x x dx +-==--??23

25232。

3、C x x x ++-2233123 C x x x dx x x ++-=+-?22

331)23(232。 4、C x x +-cos sin ??--=-dx x

x x x dx x x x sin cos sin cos sin cos 2cos 22 C x x dx x x +-=+=?

cos sin )sin (cos 。 5、C x +tan 21 C x x d x x dx x dx +==-+=+???tan 21sec 211cos 212cos 122。 6、C t +-cos 2 C t t d t dt t t +-==??cos 2sin 2sin 。

7、C x x x ++-sin cos ???+-=-=x d x

x x x xd xdx x cos cos cos sin C x x x ++-=sin cos 。 8、C x x x +-arctan arctan

??-=x d x x x d x a r c t a n a r c t a n a r c t a n C x x x +-=arctan arctan 。

9、C x ++)sin 1ln(2 ??+=+dx x x x dx x x 22sin 1cos sin 2sin 12sin

C x x

x d ++=+=?)sin 1ln(sin 1sin 222。 10、C x f x f x +-')()( ???'-'='=''dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()(

?-'=)()(x df x f x C x f x f x +-'=)()(

11、C x ++)2

1arctan(2 令t x =+1，则12-=t x 原式??+=-?+=dt t t d t t 22)1()2(1222

C t t d +=+=?)2arctan(2)2(1)2(1

22C x ++=)21arctan(2 12、C x ++21arctan 21 C x x dx x x dx ++=++=++??2

1arctan 214)1(5222。 二、选择题

1、选（Ｄ）。由()()dx x f dx x f d =?，()()C x f dx x f +='?，()()C x f x df +=?知（A ）

、

（B ）、（Ｃ）选项是错的，故应选Ｄ。

2、选（Ｂ）。由微分的定义知dx x f dx x f d )(])([=。

3、选（Ｃ）。函数)(x f 的任意两个原函数之间相差一个常数。

4、选（B ） 两边对?+='C x

dx x f 33)(微分得 32

233)(,3)(t t f x x f ='='

C x dx x dx x f x f +=='=∴??35

32593)()( 5、选（B ） 原式???-===xdx x x x

x x xd x xdF ln ln )ln ()(2 C x x dx x x x x ++=+-=?)4

1ln 21(2ln 2222 6、选（C ） ??+--=---=-C x x d x f dx x xf )1(2

1)1()1(21)1(2222 ７、选（D ） ???+-=+-+=+-dx e dx e e dx e e x x x x x 1

2112111 ??+-=+-=x x x x x x de e e x dx e e e x )

1(12)1(2 C e x x de e e x x x x x +++-=+--=?|1|ln 22)1

11(2 C e x x +++-=|1|ln 2

8、选（B ）由题意知x x f sin )('=，1cos )(C x x f +-=∴，

2)(x f ∴的原函数为C x C x dx x f ++-=?1sin )(，

取1,021==C C ，故选B 。

9、选（C ）由2)()(x x xf x F +=两边求导得

x x xf x f x F 2)(')()('++=，又)()('x f x F =，所以2)('-=x f ，

所以?

+-=-=C x dx x f 22)(，又因为1)0(=f ，所以12)(,1+-==x x f C 。 10、选（Ｄ）C x dx dx x x x x x +??-=?-=?-???)23(2

3ln 123])23(23[23223

C x x +?-?

-=)2

3(2ln 3ln 123。 11、选（B ）x x x x x x e e e dx e dx e 33

ln 11)3(3ln 1)3(3+===??。 12、选（Ｂ）???+-=-=--=C x x d x dx x x dx x x 1tan 11sec 1sec )1(1sec 122222。 三、计算解答

1、计算下列各题

(1)解：??+--=---=--C x a x a d x a dx x a x 222221

2222)()(21； (2) 解：????+++-++++=++-+=+++2222223)2()2(134)134(21134242211341x x d x x x x d dx x x x dx x x x C x x x ++-++=3

2arctan 31)134ln(212； (3) 解：??--=-)1(arccos 1arccos 22x xd dx x x

x

?--?-+--=dx x x x x )11

(1arccos 1222

C x x x +---=arccos 12；

(4) 解：dx e xe x x

?-1 令t e x =-1，则)1ln(2+=t x

得 ?+?+?+dt t t t t t 1

2)1()1ln(222 ??+-+=+=dt t t t t dt t 122)1ln(2)1ln(222

2

2 C t t t t +--+=)arctan (4)1ln(22

C e e x e x x x +-+--?-=1arctan 41412；

(5) 解：??

??-=-?=xdx x xdx dx x x xdx x 2cos 212122cos 1sin 2 C x x x x x xd x +--=-=?2cos 812sin 41412sin 414122； (6) 解：????+++-=+-=+---dx e e

e e e e d e dx e e x x x x x x x x x 1)1ln()()1ln()1ln(

dx e e e e e x x

x x

x ?+-+++-=-11)1ln( C e x e e x x x ++-++-=-)1ln()1ln(。

2、解：x x x x x x f 222

22sin 1sin sin 21tan 2cos )(sin -+-=+=' 112121)(---=-+

-='∴x x x x x x f 1sin 02<

12()()(2 C x x +---=)1ln(2

3、解：对x x F x f 2sin )()(2=两边积分：

??=dx x dx x F x f 2sin )()(2??-=?dx x x dF x F 2

4cos 1)()( C x x x F +-=4sin 8

12)(212 由1)0(=F 知1=C 又0)(≥x F 得14sin 41)(+-=

x x x F )4cos 1()14sin 4

1(21)()(21x x x x F x f -?+-='=∴- 4、解：由??+++=+x dx B x x A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2整理得

?++=+--C x

x A dx x x B B cos 21sin )cos 21(cos 212 由不定积分的定义：有2)

cos 21(cos 21)cos 21sin (x x B B x x A +--='+ 即2222)

cos 21(cos 21)cos 21(2cos )cos 21(sin 2)cos 21(cos x x B B x A x A x x A x x A +--=++=+++ 对此导数：???-=-=B

A B A 122?32=A ，31-=B （也可直接两边求导求解） 5、解：设c bx ax x f ++='2)( )0(

由0)0(='f ，0=?c .由0240)2(=+?='b a f a b 2-=?

ax ax x f 2)(2-='∴

令?='0)(x f 驻点01=x ，22=x

又a ax x f 22)(-=''

02)0(>-=''a f ，0=∴x 为极小值点，2)0(=∴f 02)2(<=''a f ，2=∴x 为极大值点，6)2(=∴f 而??+-=-='=c ax x a dx ax ax dx x f x f 2323

)2()()( 由??

???==+-?2483c b c a a ???=-=?23c a 23)(23++-=∴x x x f

大学高等数学第四章 不定积分答案

第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

高等数学第四章 不定积分教案

第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】

一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(

不定积分例题及参考答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

高等数学 第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)

思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?

不定积分的常用求法(定稿)[1]

郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日

摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions

§4不定积分习题与答案

第四章 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3)23( ２） ? -3 32x dx ３）dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx

５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122x dx 12）dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan

3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７） ?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）? xdx x ln 2 ４）dx x e x ? -2 sin 2

高等数学 第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题41 1、求下列不定积分: 知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。 思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。 解: ★(2)

思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（- +-）2 ★(8) 思路:分项积分。 解: 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++? ? ★★(9) 思路:？瞧到,直接积分。

第4章不定积分(自测题答案)

《高等数学》单元自测题答案 第四章 不定积分 一、填空题： 1、2ln 2 22 x x ； 2、2 2 ； 3、C x +-2 2 )1(21 ； 4、C x ++1tan 2； 5、C x x ++3 3 1ln 31． 二、选择题： 1、C ； 2 、C ； 3、B ． 三、计算下列不定积分： 1、解 ?? ??+- = +-+= += +x x x x x x x x x x de e de e e de e e dx e e )111(111112 C e e e d e de x x x x x ++-=++- = ??)1ln()1(11 。 2、解 ? ?? +- += +-dx x x dx x x dx x x x 2 2 2 1arctan 11arctan C x x x xd x x d +- += - ++= ??2 2 2 2 )(arctan 2 1)1ln(2 1arctan arctan 1)1(2 1。 3、解 令t x sin =，则tdt dx cos =，且 ??? ? -+-= +=-+= -+dt t t t t dt t t t tdt x dx )cos 1)(cos 1() cos 1(cos cos 1cos sin 11cos 112 2 ? ? ? ?? -- = - = -= dt t t t t d dt t t dt t t dt t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 1sin sin sin cos sin cos sin cos cos C x x x x C t t t ++-+ - =+++-=arcsin 11cot sin 12。 4、解 令12-= x t ，则)1(2 12 += t x ，tdt dx =，且 ?? ?? +- = +-+= += +-dt t dt t t dt t t dx x )1 11(1 111 1 121 C x x C t t +-+--=++-=)121ln(12|1|ln 。 5、解 ????? - =- ==dx x e x e x d e x e de x dx x e x x x x x x 2 1 2cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin )2 c o s 2c o s (212s i n 2c o s 21 2 s i n ??- -=- =x d e x e x e de x x e x x x x x ?-- =dx x e x e x e x x x 2sin 4 12 cos 212 sin 所以，C x e x e dx x e x x x +- = ?)2 cos 2 12 sin (542 sin 。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

数学分析8不定积分总练习题

第八章 不定积分 总练习题 求下列不定积分： (1)∫4 3x 1 x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫ x 1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ； (5)∫x e dx ；(6)∫1 x x dx 2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x -x dx ； (9)∫ x cos dx 4；(10)∫sin 4 xdx ；(11)∫4 x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100 2 x) -(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ??? ??+x -1x 1dx ；(18)∫x sinx cos dx 7；(19)∫e x 2 2x 1x -1??? ??+dx ； (20)I n =∫ u v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解. 解：(1)∫ 4 3x 1 x 2x --dx=∫41x dx-2∫12 1x dx-∫4 1x - dx =5445x -13241213x -3 4 ∫43 x +C. (2)∫xarcsinxdx=-2 1 ∫arcsinxd(1-x 2)=-2 1(1-x 2)arcsinx+2 1 ∫(1-x 2)darcsinx =-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21 ∫t sin -12dsint =-21(1-x 2)arcsinx+21∫cos 2tdt=-21(1-x 2)arcsinx+81 ∫(1+cos2t)d2t =-21(1-x 2)arcsinx+4t +81sin2t+C=-21(1-x 2)arcsinx+41arcsinx +4 1 sintcost+C =2x 2arcsinx-41arcsinx +2x -14 x +C. (3)∫x 1dx +=∫t 1dt 2+=∫t 12tdt +=2∫t 1t 1++dt-2∫t 1dt +=2t-2ln|1+t|+C =2x -2ln|1+x |+C. (4)∫e sinx sin2xdx=2∫e sinx sinxcosxdx=2∫sinxde sinx =2e sinx sinx-2∫e sinx dsinx

(数学分析教案)第八章

第八章 不定积分 (14学时) §1 不定积分概念与基本积分公式 教学目的要求： 掌握不定积分的概念和性质，会用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 教学重点、难点：重点不定积分的定义，用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 难点不定积分定义的理解. 学时安排: (2学时) 教学方法: 讲授法. 教学过程: 微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。 一 原函数与不定积分 （一） 原函数 定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。若 )()(x f x F ='， I x ∈， 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。 如：3 3 1 x 是2 x 在R 上的一个原函数；x 2cos 2 1 - ， 1 2cos 2 1 +x ， x 2 sin ， x 2 cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则 有多少个？ 问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 定理1 若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。 证明：在第九章中进行。 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设)(x F 是)(x f 在在区间I 上的一个原函数，则（1）设C x F +)(是)(x f 在在区间I 上的原函数，其中C 为任意常量（若)(x f 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2）)(x f 在I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证明：由定义即可得。 （二） 不定积分 定义2 函数)(x f 在区间I 上的原函数的全体称为)(x f 在I 上的不定积分，记作： ? dx x f )( 其中? - -积分号；--)(x f 被积函数； --dx x f )(被积表达式；--x 积分变量。 注1 ? dx x f )(是一个整体记号；

第四章不定积分1

东华理工学院高等数学课程建设组 第四章 不定积分 教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。 2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F ′(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )′=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=′, 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F ′(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )?F (x )=C (C 为某个常数).

第八章 不 定 积 分

第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容：1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质 重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质 一原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以求出它的导数，那自然会 想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了导数反过来就能求出，比如知道了物体的运 动速度，求路程，知道了加速度求速度？ 例1 一个静止的物体，其质量为m 在力的作用下沿直线运动，求物体的运动速度。 解由牛顿第二定理即 这就归结为已知求，由求导运算

得，其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 从而得 我们称这类由求的运算为积分法。 定义（原函数）如果在区间 I 上，则称为在区间I上的原函数。 例如例1中的是的原函数；是 的原函数，等等 因为常数导数为零，所以如果的原函数存在，则对任意常数C，都是的原函数。 这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。而且容易证明，的任意两个原函数之间相差一个常数。 换句话说>的原函数的全体为，C为任意常数。 定义（不定积分）>在区间I上原函数的全体称为在I上的不定积分。记作。 其中为积分号，为积分函数，为积分变量。 不定积分的几何意义

一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标系中的高低位 置不一样, 相差一个上下平移关系。 二基本积分公式 怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定积分：

这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。 不定积分的基本性质:以下设和有原函数. ⑴. (先积后导, 形式不变). ⑵. (先导后积, 多个常数) ⑶>时， ⑷ 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有 ( 当时,上式右端应理解为任意常数. ) 三．利用不定积分基本公式计算不定积分 例6 ，求.

第四章不定积分试题与答案

第四单元 不定积分 一、填空题 1、? dx x x =___________。 2、?x x dx 2=_____________。 3、?+-dx x x )23(2=_____________。 4、 ?-dx x x x sin cos 2cos =___________。 5、?+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ?sin =___________。 7、?xdx x sin =___________。 8、?xdx arctan =__________。 9、=+?dx x x 2sin 12sin ____________。 10、? =''dx x f x )(____________。 11、?=++dx x x 1)3(1________________。 12、 ?=++__________522x x dx 。 二、单项选择 1、对于不定积分 ()dx x f ?，下列等式中（ ）是正确的. （A ）()()x f dx x f d =?； （B ） ()()x f dx x f ='?； （C ） ()()x f x df =? ； （D ） ()()x f dx x f dx d =?。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ?等于（ ） （A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。

3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ） （A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。 4、若?+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ） （A ）c x +35 56；（B ）c x +35 59；（C ）c x +3 ；（D ）c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=?dx x xf )(（ ） （A ）c x x ++)ln 41 21 (2；（B ）c x x ++)ln 21 41(2； （C ）c x x +-)ln 21 41(2；（D ）c x x +-)ln 41 21(2。 6、设c x dx x f +=?2)(，则=-?dx x xf )1(2（ ） （A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2； （C ）c x +--22)1(21 ；（D ）c x +-22)1(21 。 ７、=+-?dx e e x x 11 （ ） （A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ； （C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。 ８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。 ９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（ ） （A ）12--x ； （B ）12+-x ； （C ）12+-x ； （D ）12--x 。 10、=?-??dx x x x 23223（ ） （A ）C x x +?-)23(23ln 23； （B ）C x x x +?--1)23 (23； （C ）C x +?--)23 (2ln 3ln 2 3； （D ）C x x +?--)23 (2ln 3ln 23。

最新1不定积分汇总

1不定积分

第三章一元函数积分学 §1 不定积分 【考试要求】 1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1

2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法. 3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分. 一、基本概念 1．原函数与不定积分定义 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?是?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内的一个原函数.（一般地，“在区间?Skip Record If...?内”几个字常省略）. 若?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的一个原函数，则?Skip Record If...?也是?Skip Record If...?的原函数（其中?Skip Record If...?为任仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3

意常数），?Skip Record If...?的全体原函数称为?Skip Record If...?的不定积分，记作?Skip Record If...?. 若?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的一个原函数，则?Skip Record If...?. 2．不定积分与原函数的关系 （1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

最新4第四章不定积分答案汇总

4第四章不定积分答 案

不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、填空题 1.一阶导数?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 2.不定积分?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 3．?Skip Record If...?的原函数是?Skip Record If...?则?Skip Record If...? （?Skip Record If...?） 4．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?），?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） ?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 5．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 6．过点?Skip Record If...?且在横坐标为?Skip Record If...?的点处的切线斜率为?Skip Record If...?的曲线方程为（?Skip Record If...?） 7．设?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 8．设?Skip Record If...?的一个原函数为?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 9．?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 二、计算题：求下列不定积分： 1．?Skip Record If...?=?Skip Record If...? 2．?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 3．?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 4．?Skip Record If...?=?Skip Record If...? 5. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 6. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 7. ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? 8. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 9．?Skip Record If...??Skip Record If...? 10. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 11. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 12. ?Skip Record If...??Skip Record If...? 三、求?Skip Record If...??Skip Record If...?的一个适合?Skip Record If...?的原函数。 解：?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 换元积分法 填空题： 1．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 2．设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 3．若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（?Skip Record If...?） 4．若?Skip Record If...?则?Skip Record If...?（ ?Skip Record If...?） 计算题：计算下列不定积分 1．?Skip Record If...? =?Skip Record If...?