空间几何体
编制人：王炜，王美霞使用时间：2015.1.16
【基础梳理】
1. 多面体
(1)有两个面,其余各面都是_________,并且每相邻两个四边形的公共边都____________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(2)有一个面是___________,其余各面都是_________________的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做________
2. 旋转体
(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做________
(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体体叫做_________
(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做_____,简称____. 3. 三视图和直观图
(1)三视图是从一个几何体的_________________________三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为_________________________
(2)三视图的排列顺序:先画_________,俯视图放在正视图的_________,侧视图放在正视图的______________.
(3)三视图的三大原则:________________________________.
(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：
①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的_______________________,两轴相交于O′,且使___________________________________,用它们确定的平面表示______________
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于______________的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中_____________________；平行于y轴的线段,在直观图中_________________________
5．旋转体的表面积
(1)圆柱的表面积S＝__________(其中r为底面半径，l为母线长)．
(2)圆锥的表面积S＝________(其中r为底面半径，l为母线长)．
(3)圆台的表面积公式S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r′、r为上、下底面半径，l为母线长)．
(4)球的表面积公式S＝____(其中R为球半径)．
6．几何体的体积公式
(1)柱体的体积公式V＝___(其中S为底面面积，h为高)．
(2)锥体的体积公式V＝(其中S为底面面积，h为高)．
(3)台体的体积公式V＝1
3(S＋SS′＋S′)h(其中S′、S
为上、下底面面积，h为高)．
(4)球的体积公式V＝(其中R为球半径)．
题型一空间几何体的结构特征
1.下列说法正确的是（）
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分
解析：A、B中不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以不是棱柱；C中，不满足各个三角形有唯一的公共顶点.所以选D.
答案:D
2．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
解析：①不符合圆柱母线的定义；③不符合圆台母线的定义．
答案：D
3．下列结论不正确的是（）
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
解析：①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几
何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不
是直角边，所得的几何体都不是圆锥.
③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.
④正确.选C．
考点二空间几何体的三视图
4.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
解析：通过正视图及俯视图可看出，该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D. 答案：D
5．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A ．球
B ．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱
解析：选D 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同．
6．(2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5
B ．30＋6 5
C ．56＋12 5
D ．60＋12 5
解析：选B 该三棱锥的直观图，如图所示，其中侧面P AC ⊥底面ABC ，PD ⊥AC ，AC ⊥BC ，可得BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC .故S △P AC ＝1
2×5×4
＝10；S △ABC ＝12×5×4＝10；PC ＝5，所以S △PBC ＝1
2
×4×5＝10；由于PB ＝
PD 2＋BD 2＝16＋25＝41，而AB ＝52＋42＝41，故△BAP 为等腰三角形，取底边AP 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥P A ，又AE ＝12P A ＝5，所以BE ＝41－5＝6，所以S △P AB ＝1
2×25
×6＝6 5.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋6 5.
7.如图，E 、F 分别是正方体面ADD 1A 1、面BCC 1B 1上的中点，则四边形D 1EBF 在该正方体的
面上的投影可能是 .（把可能的序号填上，少填、多填均不给分）
解析：四边形D 1EBF 在该正方体的面AD 、BC 1内的射影均为图①，在面AC 、A 1C 1、A 1B 、D 1C 内的射影均为图③，故应填①③. 答案：①③
8. (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.
(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
[思路点拨] 将三视图还原为直观图后求解．
[规范解答] (1)由三视图可知，该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体，长方体的长、宽、高分别为4、3、2，四棱柱的高为4，其上、下底面为两底长分别为1、2，高为1的直角梯形，故组合体的体积
V ＝3×4×2＋1
2
×(1＋2)×1×4＝30.
(2)根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.
[答案] (1)30 (2)38
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.8π
3 B ．3π C.10π3
D ．6π
解析：选B 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从一平面截去了1
4
，
所以V ＝3
4
×π×12×4＝3π.
考点三 空间几何体和直观图
10：如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′=6 cm ，O ′C ′=2 cm ，则原图形是 （）
A. 正方形
B. 矩形
C. 菱形
D. 一般的平行四边形
解析:因为在直观图中，平行于x 轴的边的长度不变，平行于y 轴的边的长度变为原来的2
1，所以原图中，OA=6 cm,OD=42 cm,所以OC=6 cm,BC=AB=6 cm,所以原图形为菱形. 答案:C
11. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于________．
12. 关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）
A.原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B.原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2
1 C.在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
12. 分析：在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C 不正确.
答案：C
考点四 空间几何体的表面积和体积
13.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 （ ） A.2倍 B.22倍 C. 2倍 D. 32倍 解析：设球原来半径为r,则3
2
3
4,4r V r S ππ=
=,又设扩大后半径为R ，则2284r R ππ=,所以R=2r.所以.22,)2(34
3433===
V
V r R V 扩扩所以ππ 答案:B
14.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 ( )
解析：设圆柱的底面半径为r,则高为2r,S=2πr ×2r,所
答案：D
15.（2011·北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 ( )
解析：该空间几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为
其表面积是4×4+4×1
2
×4×答案：B
16.某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为
1
2
,则该几何体的俯视图可以是 ( )
解析：当俯视图是A 时，正方体的体积是1;当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积S=
π×2
12?? ???=4
π
，高为1，则体积是4π;当俯视图是C 时，该几何体是直三棱柱，故体积V=
12×1×1×1=12;当俯视图是D 时，该几何体由圆柱切割而成，其体积是V=4π×12×1=4
π
.故选C. 答案：C
17.（2011届·永安质检）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是
3
32
π，则这个三棱柱的体积是 （ ） A.963 B.163 C.243 D.483 解析：由ππ3
32
3
43
=
R ，得R=2.所以正三棱柱的高为h=4. 设其底面边长为a,则.34.22
3
31==?
a a 所以 所以.3484)34(4
3
2=??=
V 答案:D
18.一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则多面体的体积为 （ ）A.48 cm 3
B.24 cm 3
C.32 cm 3
D.28 cm 3
解析：结合图示三视图及尺寸可得该多面体为直三棱柱，
19. 已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm 和4 cm ，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为 cm 3
.
解析：所得的几何体如图所示，它是由两个圆锥将底面重合在一起组成的几何体， 设圆锥的底面半径为r,底面分原直角三角形的斜边为h 1,h 2，且斜边长为5，
则
12×3×4=12×5×r ?r=125.又h 1+h 2=5,所以得该几何体的体积为 V=13πr 2h 1+13πr 2h 2=13πr 2(h 1+h 2)= 13π×
212)5（×5=485
π（cm 3
). 答案：485
π 20. 四棱台的上下底面均为正方形，它们的边长分别为2 cm 和6 cm ，两底面之间的距离为 2 cm,则该四棱台的侧棱长为 （ ）
解析：构造一直角三角形，以棱台的高为一直角边，
另一直角边长为
2×6-2
×cm ），
=答案：C
21.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解:如图所示,正四棱锥S —ABCD 中高OS=3,
侧棱SA=SB=SC=SD=7, 在Rt △SOA 中,,222=-=
OS SA OA 所以AC=4.
所以AB=BC=CD=DA=22.作OE ⊥AB 于E,则E 为AB 中点.连结SE,则SE 即为斜高,SO ⊥OE. 在Rt △SOE 中,因为OE=2
1
BC=2,SO=3,所以.522=+=OE SO SE
22. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于3922
cm ,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.
点线面之间的位置关系
1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过 ，有且仅有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 . 平面基本性质的推论
推论1.经过一条直线和___________的一点，有且只有一个平面
推论2.经过两条___________直线,有且只有一个平面 推论3.经过两条___________直线，有且只有一个平面 2.空间中直线与直线的位置关系
(1)空间两条直线的位置关系有且只有三种: ?
??????
?有公共点。：不在任何平面内，没有公共点；：在同一个平面内，没且仅有一个公共点；：在同一个平面内，有_____________________
_____________________ (2)公理4：平行于同一条直线的 . 这一性质称为空间平行线
的 .
(3)定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 。
3.空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： (1)直线在平面内：有 个公共点；
(2)直线在平面外：①直线与平面相交：有 个公共点
②直线与平面平行：有 个公共点
4．空间中平面与平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有两种：
两个平面平行—— ； 两个平面相交—— ； 5.直线与平面平行 ⑴定义：若_________________________________，则这条直线和这个平面平行。 ⑵判定方法： ①定义
②判定定理：
_____________________________________________ ③其他方法： ⑶性质定理：
___________________________ __________________ 6. 平面与平面平行
⑴定义：若__________________________________，就说这两个平面互相平行。 ⑵判定方法：
①定义 ②判定定理： _____________________________________________ ③其他方法： ⑶性质定理： 7、直线与平面垂直
⑴直线与平面垂直的判定方法 ①定义法：
②判定定理：
⑵直线与平面垂直的性质
8、平面与平面垂直
⑴平面与平面垂直的判定方法
①定义法：
②判定定理：
⑵平面与平面垂直的性质
1.下列四个命题中，真命题的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若M∈α,M∈β,α∩β=l，则M∈l;
(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：命题（1）（2）（4）错误，只有(3)是真命题.
答案:A
2. 如图所示各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是（）
解析：由正方体的性质可证A中PS∥QR；B中PQ∥RS；在正四
面体中，由三角形中位线性质及公理4可证C中PQ∥RS.
答案：D
3.若直线a∥b,b∩c=A，则直线a与c的位置关系是
( )
A.异面
B.相交
C.平行
D.异面或相交
解析：容易判断a,c不平行，它们可能相交或异面，故选D. 答案：D
4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.无数条
解析：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，故选D.
答案：D
5.a,b,c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交;
④若a?平面α,b?平面β,则a,b一定是异面直线;
⑤若a,b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的是（只填序号）.
6. 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线只和这个平面
内的（）
A.一条直线不相交
B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
解析：由线面平行的定义易知，选D.
答案：D
7. 下列说法正确的是
（）
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a∥b,b?α，则a∥α
D.若直线a∥b，b?α，则直线a平行于平面内的无数条直线
解析：对于A有可能l?α；对于B有可能a∩α=A；对于C应
强调a?α.
答案：D
8. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶
EB=CF∶FB=1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是
（）
A.平行
B.相交
C.在平面内
D.不能确定
解析：如图：由AE CF
=得AC∥EF.
EB FB
EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥面DEF.
答案：A
9.（2011届·宁德质检）给出下列关于互不相同的直线l、m、n
和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l?α,m?β,则α∥β；
②若α∥β, l?α,m?β,则l∥m；
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n, l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为
（）
A.3
B.2
C.1
D.0
解析：①中，当α与β不平行时，也能存在符合题意的l,m.
②中，l与m也可能异面.
③中，l∥γ, l?β,β∩γ=m?l∥m，同理l∥n,则m∥n正确.
答案:C
10.设α、β、γ为平面，a、b为直线，给出下列条件：
①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能使α∥β成立的条件是
（）
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
解析：②正确，易知平行于同一平面的两平面平行；④正确，a
⊥α，a∥b?b⊥α.又b⊥β，所以α∥β.
答案:C
11．(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面()
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
12.已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为()
①α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；
②α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③m⊥α，m⊥β，则α∥β；
④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①②B．③④
C．②③D．②④
13.已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
[思路点拨]对每一个命题进行逐一分析、判断，看其是否满足相关定理的条件．
[规范解答](1)由面面垂直判定定理可知，①错误；若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m或n∥m，故②错误．
(2)若m∥n，n?α，则m与α可平行也可在α内，故①错误；l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m⊥β，所以α∥β，故②正确；
③中若m与n相交则命题成立，否则不成立，故③错误；由面面垂直的性质定理可知④正确，综上可知②④正确，①③错误．[答案](1)B(2)B
14.如图所示，在正三棱柱ABC—
A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶
AB=2∶1，则异面直线AB1与BD
所成的角为 .
解析：取A1C1的中点D1，连结B1D1,
因为D 是AC 的中点,所以B 1D 1∥BD,
所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角. 连结AD 1,设AB=a,则AA1=2
a,
所以AB 1=3a,B 1D 1=
23
a,.2
3241221a a a AD =+=. 所以,212
3
3249433cos 2
2211=??-+=
∠a
a a a a D AB 所以∠AB 1D 1=60°. 答案:60°
15.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,点M 是BC 的中点,点N 是AA 1的中点. (1)求证:MN ∥平面A 1CD;
(2)过N,C,D 三点的平面把长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.
（1）证明：设点P 为AD 的中点，连结MP 、NP ，
因为点M 是BC 的中点，所以MP ∥
CD.
因为CD ?平面A 1CD ，MP ?平面A 1CD ， 所以MP ∥平面A 1CD.
因为点N 是AA 1的中点，所以NP ∥A 1D. 因为A 1D ?平面A 1CD ，NP ?平面A 1CD ， 所以NP ∥平面A 1CD.
因为MP ∩NP=P,MP ?平面MNP ，NP ?平面MNP ，
所以平面MNP ∥平面A 1CD.因为MN ?平面MNP ，所以MN ∥平面A 1CD.
(2)解：取BB 1的中点Q ，连结NQ 、CQ 、ND ，
因为点N 是AA 1的中点，所以NQ ∥AB.因为AB ∥CD ，所以NQ ∥CD ， 所以过N 、C 、D 三点的平面NQCD 把长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC —NAD ，另一部分几何体为直四棱柱B 1QCC 1—A 1NDD 1， 所以QBC S ?=2
1QB ·BC=2
1×1×1=2
1.
所以直三棱柱QBC —NAD 的体积V1=QBC S ?·AB=2
1. 因为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积V=1×1×2=2， 所以直四棱柱
B 1QC
C 1—A 1ND
D 1的体积.3
1
2
321
.232112===-=V V V V V 所以
所以所截成的两部分几何体的
体积的比值为3
1
.
16．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，
AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝1
2 AB，PH为△PAD中AD边上的高．
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
(3)证明：EF⊥平面PAB.
解：(1)证明：因为AB⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD.
(2)因为E为PB的中点，所以E点到平面ABCD的距离为1 2
PH＝1
2，S△BCF＝
1
2×CF×AD＝
1
2×1×2＝
2
2.
所以三棱锥E－BCF的体积V＝1
3×
1
2×
2
2
＝
2
12.
(3)证明：如右图，取AB的中点M，连接
MF、EM，取PA的中点N，连接NE、DN.
因为AB∥CD，DF＝1
2AB，所以NE綊AM綊DF，所以四
边形DNEF为平行四边形，所以EF綊DN.
因为PD＝AD，所以DN⊥PA，又因为AB⊥平面PAD，所以DN⊥AB，PA∩AB＝A，所以DN⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
17.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得
到多面体CDEFG.
(1)求证：平面
DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体
CDEFG的体积．
解：(1)证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF 为矩形，
由GD＝5，DE＝4，
得GE＝GD2－DE2＝3，
由GC＝BC＝42，CF＝DE＝4，
得FG＝GC2－CF2＝4，
所以EF＝5，
在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，所以EG⊥GF.
因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，
所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，
即平面DEG⊥平面CFG.
(2)在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点
l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示：
n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示： 二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11
l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系：
夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。 内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m
空间向量与立体几何复习学案 教学目标：复习空间向量解立体几何 教学重点：空间角的求法 教学难点：空间角和距离 教学过程 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求． 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致． 例1 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论： ①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________． 利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题． (1)证明线面平行问题可以有以下三种方法： ①利用线线平行证明线面平行． ②向量p 与两个不共线的向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p ＝xa ＋yb .利用共面向量定理可以证明线面平行问题． ③设n 为平面α的法向量，a 为直线l 的方向向量，要证明l ∥α，只需证明 a·n ＝0. (2)证明线面垂直的常用方法有： ①设a 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则a ＝λn (λ为非零实数)?a 与n 共线?l ⊥α. ②l 是交线a ，b 所在平面α外的直线，a ，b 不共线，l ，a ，b 分别为直线l ，a ，b 的方向向量，则有l·a ＝0且l·b ＝0?l ⊥a 且l ⊥b ?l ⊥α. 例2 如图，在矩形ABCD 中AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：AQ ∥平面CEP ； (2)求证：平面AEQ ⊥平面DEP . 1．求异面直线所成的角． 设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 2．求二面角的大小． 如图，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 3．求斜线与平面所成的角． 如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 例3. 四棱锥PABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .
高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E
2018年高考备考+立体几何的逆问题、截面 问题学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.在长方体中，作图作平面ABC与平面DEF的交线。 2. 3. 4. B A C D E
7. 如图2，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫 经过的最短路程是 m.(结果不取近似数) 10米，母线PB长40米，节日期间，计划从A处开始 8.一个圆锥形建筑物高15 绕侧面一周到母线PA上的点C处都挂上彩带．已知PC=10米，问需要彩带多少 米（ 结果不取近似值。） 1.（2013昆明市市二统）如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=2， PC=6， （I）求证：PD⊥AC；
1 A （II）已知棱PA上有一点E，若二面角E—BD—A 的大小为45°，试求BP与平面EBD所成角的正弦值。 2. （2012昆明市市二统）如图长方体 1111 ABCD A B C D -中，P 上任意一点． （Ⅰ）判断直线 1 B P与平面 11 AC D的位置关系并证明； 值（Ⅱ）若AB BC =，E是AB 的中点，二面角 111 A DC D --的余弦 ，求直线 1 B E与平面 11 AC D所成角的正弦值． 3. （2013昆明市市二统）如图，四边形ABCD是正方形， PD MA ∥，MA AD ⊥，PM CDM ⊥平面， 1 2 MA PD =． （Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面AMPD； B C D P
立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体 考纲指要： 立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。 考点扫描： 1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。 2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。 3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。 4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。 考题先知： 例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。 解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四 面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。 证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF 交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距 离，利用体积的“割补法”知： PDF O PEF O PDE O DEF P V V V V ----++== r S r S r S PDF PEF PDE ?+?+?3 1 3131 BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++= =r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ?+?+?+?+?31 31313131，从而2 1表表S S V V ABC DEF DEF P =--。 例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？ （2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6== AC AB ， 13-=BC ，以∠BAC 为例。 解：（1）记Rt △ABC ，∠BAC=900 ，,,b AC c AB ==记直角顶点A 在平面上的正投影为A 1，，且AA 1=h ，则因为0)()()(2 2 2 2 2 2 2 2 12 1<+--+-=-+b c h b h c BC C A B A ，所以∠
第一章：空间几何体 教材分析 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。 本章我们从对空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 1.1空间几何体的结构（2课时） 第一课时（多面体、旋转体） 一、【学习目标】 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系； 2.能够运用几何体的特征判断几何体的名称。 二、【课前自主学习】 （一）、下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，然后回答以下问题:
1、这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？ (2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有什么样的特点？ 像这样的几何体称为______________ (3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有什么样的特点: 像这样的几何体称为______________ 2、定义 （1）、多面体：____________________________________。 ①、__________________________________面; ②、__________________________________棱； ③、_________________________________顶点； ④、按围成多面体的面数分为：__________________________ （2）、旋转体： _______________________________________________________________________________ _____________________________________. (二)、问题1：（1）、与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？ （2）、请同学们仔细观察下列几何体，说说他们的共同特点． 讨论结果： 特点：________________________________________________________________________。 1. 棱柱的结构特征： （1）定义：_________________________________________________________________. （2）棱柱的有关概念： _________________________________________底面（简称底），___________________________侧面，____________________________________顶点。
导学案（五）学习目标 1、理解平面的描述性概念。 2、掌握平面的基本性质与推论。 使用说明 1 导学案40分钟独立，规范完成 2 积极探究，合作交流，大胆质疑 知识梳理 一、平面的基本性质与推论 基本性质1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内. 基本性质2， 有且只有一个平面，这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面. 基本性质3 如果不重合的两个平面，那么它们有且只有. 推论1， 有且只有一个平面. 推论2， 有且只有一个平面. 推论3， 有且只有一个平面. 二.符号语言与数学语言的关系 1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 (1)相交直线: ; (2)平行直线: ; (3)异面直线: ; 2.判定异面直线的方法 (1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾. 3.基本性质4 ——空间平行线的传递性. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角. 5.异面直线所成的角 设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 典型例题 例1 证明共点问题 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G 分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G 的平面交AD于H，连接EH. （1）求AH:HD； （2）求证：EH，FG，BD三线共点. 小结：所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. （1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. 例2 点共线问题 在正方体 1111 ABCD A B C D 中,对角线 1 A C与平面 数学符号语言数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A 平面α,β相交于直线a
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科） 一．平行问题 （一） 线线平行： 方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 （二） 线面平行： 方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三） 面面平行：6方法一：线线平行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l ， 方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二．垂直问题：（一）线线垂直 方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。） 方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?? ???⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 αα⊥??? ? ?????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥??? ????⊥=?⊥l l m l m , （面） 面面垂直： 方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥?? ???⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法：就是放到三角形中解三角形 四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）
空间立体几何——表面积、体积 编写： 审核： 考情解读 (1)考查空间几何体表面积、体积的计算．(2)考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题． 1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 2．球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面成的几何体叫做球体． 同一个平面截一个球，截面是圆面． 3．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12 ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)； ③S 台侧＝12 (c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2 (R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13 Sh (S 为底面面积，h 为高)；
③V 台＝13 (S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)； ④V 球＝43 πR 3(R 为球的半径). 热点一 几何体的表面积和体积 例1 (1)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过 点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝ x (0 立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD． （1）求证：平面SBD⊥平面SAD； （2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积． 【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=， 设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°， 由余弦定理可得AD==a， 则BD⊥AD， 由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为， 由AD=SD=a， 在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a， 由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=， 解得a=1， 由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a， 又AB=2a， 在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为=a， 则△SAB的面积为×SA×a=a=． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面， 高中文科数学立体几何部分整理 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 4 倍. 解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ． 3. 2.1立体几何中的向量方法（线线角） 教学目标： 1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法 2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法 3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质 重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程： 设疑自探： 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n ∥l 1 ， m ∥l 2，则l 1与l 2所成的角 α= 解疑合探： 1、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图E 、F 分别是BB 1，CD 的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）),cos(1CB EF 2.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， AA 1=1，E 、H 分别是A 1B 1和BB 1的中点.求： (1)EH 与AD 1所成的角； (2)AC 1与B 1C 所成的角. 3. 如图所示，ABCD 是一个正四面体，E 、F 分别为BC 和AD 的中点.求：AE 与CF 所成的角 质疑再探：请同学们踊跃发言提问，解除心中的疑问。 课堂练习： 1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小 构成的集合是 。 2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。 3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b 所成的角为 。 4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N 分别是 A 1 B 1，A 1 C 1的中点， 则AM 与CN 所成角为 。 A B D C B 1 D 1 C 1 B 1 E H A C D B F E A'A B C M N 立体几何学案一 空间几何体的结构及其三视图和直观图 主备人：施震宏 辅备人：常广胜 一、考点关注 考纲点击：1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台的结构特征； 2．能画出简单空间图形的三视图，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图和直观图； 4．能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。 考情分析：从近两年的考考试题来看，几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择、填空题，难度中低档题，主要考查几何体的三视图，及由三视图构成的几何体，在考查的同时，又考查学生的空间想象能力。 二、经典例题： 题型一 几何体的结构、几何体的定义 例1.（1）设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是____________. （2）下列结论正确的是（ ） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 题型二 几何体的直观图 例2．如图所示，直观图四边形 ' '''D C B A 是一个底角为45°， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 【规律方法】:已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中长度________，平行于y 轴的线段，长度变为 。 题型三 几何体的三视图 例3． (1)（2008,广东理）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1 线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC． 第一章立体几何初步 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 学习目标 1. 认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征； 2. 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 3. 了解棱柱、棱锥和棱台的概念。 活动方案 活动一：了解空间几何体背景：在我们的生活周围有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何思考：所举的建筑物基本上都是由一些简单几何体组合而成的，通过观察，你能根据某种标准对这些空间物体进行分类吗 活动二：了解棱柱的结构特征 观察下面的几何体，它们有哪些共同的特点 图（1）和图（3）中的几何体分别由和沿平移而得。 思考：图（2）和图（4）中的几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得来的棱柱的概念：（1）一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做平移起止位置的两个面叫做。多边形的边平移形成的面叫做多边形的 2 ） （4） 2）棱柱中一些常用名称的含义（如图） 侧棱：相邻侧 面的公共边 B C 思考：通过观察，你发现棱柱具有哪些特点 棱柱的分类： 底面为三角形、四边形、五边形??的棱柱分别称为 、 、 上图中的图形分别为三棱柱，六棱柱，并分别记作：棱柱 ABC ABC ,棱柱 ABCDEF ABCDEF 活动三：了解棱锥的结构特征 观察下面的几何体，思考它们有什么共同的特点与活动一中的图形比较前后发生了什么变化 上面的四棱锥可记为：棱锥 S ABCD 。 （3）通过观察，你发现棱锥具有哪些特点 （4）类比棱柱的分类，试将棱锥进行分类。 活动四：了解棱台的结构特征 试验：如果用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，想一想，截得的两部分几何体是什么样的几何体 棱台的概念： （1）棱台是棱锥被平行于 的一个平面所截后， （2）通过观察，棱台具有哪些特点 多面体的概念：棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体。由若干个平面多边形围成的几 何体称为 。 在现实生活中，存在形形色色的几何体，如食盐、明矾、石膏等晶体都呈 之间的部分。 形状。 1） 棱锥的概念： （ 1）当棱锥的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做 2）棱锥中一些常用名词的含义（如图） 第三讲 立体几何（文） 一、 知识网络 二、基础练习： 1、下列命题中正确的是（ ） Ａ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 Ｂ．棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面 Ｃ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 Ｄ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 2、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。 3、.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△C B A '''的面积为( ) A. 4 3a 2 B. 8 3a 2 C. 8 6a 2 D. 16 6a 2 4、 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A 、9π B 、10π C 、11π D 、12π 直线、 平面、 简单几何体三个公理、三个推论 平面 平行直线 异面直线 相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平直线与平面相空间两条直 概念、判定与性质 三垂线定理 垂斜直线与平面所成的角 空间直线 与平面 空间两个平面 棱柱 棱锥 球 两个平面平行 两个平面相 交 距离 两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 二面角 定义及有关概念 性质 综合应用 多面体 面积公式 体积公式 正多面体 5、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为( ) A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 6、下列命题中错误的是( ) A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面 D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 7、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 8、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 9、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ） （A ） 1010 (B) 1 5 (C) 31010 (D) 3 5 1．构成几何体的基本元素：点、线、面． ⑴点不考虑大小； ⑵线不考虑粗细；一条直线把平面分成两个部分． ⑶面不考虑厚薄；一个平面将空间分成两个部分． 2．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体． 凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，其余的各面都在这个平面的同一侧． 截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）． 3名称 侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V 棱 柱 棱柱 直截面周长l ? 2S S +侧底 S h ?底 直棱柱 ch S h ?底 棱 锥 棱锥 各侧面面积之和 S S +侧底 13S h ?底 正棱锥 1 2 ch ' 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S S S ++侧上底下底 () 13 h S S S S ++?上底下底上底下底 正棱台 ()1 2 c c h ''+ '' 4．旋转体的表面积和体积公式 名称 侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V 圆柱 2πrl ()2πr l r + 2πr h (即2πr l ) 圆锥 πrl ()πr l r + 21π3 r h 圆台 ()12πr r l + ()()221212ππr r l r r +++ ()2211221π3 h r rr r ++ 球 24πR 34π3 R 12径，R 表示球的半径． 5．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 画法：斜二测画法： 6．三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度 与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样； 知识点睛 14.1空间几何体 立体几何 三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 考点：空间几何体的体积与表面积 【例1】 ⑴ 若将一个棱长为a 的正方体，切成八个全等的小正方体，则表面积增加了______ ． ⑵ 已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S 等于_____． ⑶ 等体积的球和正方体，表面积的大小关系是S 球____S 正方体(填<，或)． ⑷ 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥体积为 83 π，则这个圆锥的表面积为______． 【解析】 ⑴ 26a ⑵ 200π ⑶ < ⑷ 12π 尖子班学案1 【拓1】 ⑴ 如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于_____ ； ⑵ 半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为______． ⑶ 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______； 【解析】 ⑴ 30? ⑵ 3a ⑶ 3:1:2 考点：三视图 【例2】 ⑴ 下列四个几何体中，各几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ） ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④半球 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③ ⑵ 一个几何体的俯视图是半径为2的圆，主视图和左视图都是一个宽为4，长为5的矩形，则该几何体的体积为______. ⑶ 已知某个几何体的三视图如下左图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是_______ ⑷ 如下右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为________． 俯视图 侧视图 正视图 11 2 2 2 2 正视图侧视图 俯视图 4 53 经典精讲 图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）高中数学立体几何大题练习(文科)
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