目录
1 技术指标 (1)
1.1 初始条件 (1)
1.2 技术要求 (1)
1.3 主要任务 (1)
2 基本理论 (1)
2.1 高斯光波的基本理论 (1)
2.2 耦合波理论 (2)
3 建立模型描述 (4)
4 仿真结果及分析 (5)
4.1 角度选择性的模拟 (5)
4.1.1 不同光栅厚度下的角度选择性 (6)
4.1.2 不同光栅线对下的角度选择性 (7)
4.2 波长选择性的模拟 (8)
4.2.1不同光栅厚度下的波长选择性 (8)
4.2.2不同光栅线对下的波长选择性 (9)
4.3 单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (10)
4.4 多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (11)
5 调试过程及结论 (12)
6 心得体会 (13)
7 思考题 (13)
8 参考文献 (14)
高斯光束经透射型体光栅后的光束传输
特性分析
1 技术指标
1.1 初始条件
Matlab软件，计算机
1.2 技术要求
根据耦合波理论，推导出透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系式；数值分析平面波、谱宽和发散角为高斯分布的光束入射条件下，衍射效率受波长和角度偏移量的影响。
1.3 主要任务
1 查阅相关资料，熟悉体光栅常用分析方法，建立耦合波分析模型；
2 利用matlab软件进行模型仿真，程序调试使其达到设计指标要求及分析仿真结果；
3 撰写设计说明书，进行答辩。
2 基本理论
2.1 高斯光波的基本理论
激光谐振腔发出的基膜场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，称之为高斯脉冲光波。如图1所示为高斯脉冲光波及其参数的图。
图1 高斯脉冲光波及其参数图
沿z 方向传播的基膜高斯脉冲光波，其表达式的一般形式为：
()()()???
? ????????-???? ??+-???? ??-=f z a r c t g R r z k i z r z c z y x 2e x p e x p ,,22200ωωψ （1） 公式（1）中，各个符号的含义：
0ω: 基膜高斯脉冲光束的腰班半径；
f ：高斯脉冲光波的共焦参数；
()z R ：与传播轴线相交于z 点的高斯脉冲光波等相位面的曲率半径；
()z ω：传播曲线相交于z 点的高斯脉冲光波等相位面的光斑半径。
公式（1）中，各符号的具体表达式：
()()2022222001;1;2;;;??? ??+=??????????? ??+==+===z f z z f z z R k y x r f f ωωλ
πλπωπλω
2.2 耦合波理论
如图2是用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。光
栅矢量K 垂直于边界平面，其大小为Λ=/2πK ，Λ为光栅周期，θ为入射角。
图2 布拉格光栅模型
R---入射波，S---信号波，Φ---光栅的倾斜角，0θ---再现光波满足布拉格条件时的入射角（与z 轴所夹得角）；K---光栅矢量的大小，d---光栅的厚度，r θ和s θ---再现光波和衍射光波与z 轴所夹的角度，Λ---光栅周期。
光波在光栅中的传播由标量波动方程描述
02
2=+?E k E （2） 公式（2）中()z x E ,是y 方向的电磁波的复振幅，假设为与y 无关，其角频率为ω。公式（2）中传播常数()z x k ,被空间调制，且与介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ相关： ωμσεωj c k -=22
2 （3）
公式（3）中，在自由空间传播的条件下，c 是自由空间的光速，μ为介质的渗透率。在此模型中，介质常量与y 无关。布拉格光栅的界面由介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ的空间调制表示：
()()
????+=?+=X K X K cos cos 1010σσσεεε （4） 公式（4）中，1ε和1σ是空间调制的振幅，0ε是平均介电常数，0σ是平均传导率。假设对ε和σ进行相位调制。为简化标志，我们用半径矢量X 和光栅矢量K
??????????=x y x X ； ????
??????ΦΦ=cos 0sin K ； Λ=K /2π 结合公式（3）和公式（4）
()
X jK X jK e e j k ?-?++-=κβαββ2222 （5） 此处引入平均传输常数β和平均吸收常数α
()λεπβ/2210=； ()21002/εσμαc = （6）
耦合常数κ定义为
()()??
????-=21012101//241εσμεελπκc j （7） 耦合常数κ描述了入射光波R 和衍射光波S 之间的耦合光系。耦合常数是耦合波理论的中心参量。当耦合常数0=κ时，入射光波R 和衍射光波S 之间不存在耦合，因此也没有衍射存在。
光学介质通常由他们的折射率和吸收常数来表征。当满足如下条件时，运用平均传输常数β、平均吸收常数α和耦合常数κ等参量就十分方便。
αλπ>>n 2；()z n 12αλ
π>>；1n n >> （8） 公式（8）适用于几乎所有的实际情况。公式（8）中，n 为平均折射率，1n 是折射率空间调制的振幅，1α是吸收常数空间调制的振幅。其中，λ是自由空间的波长。在以上的条件下，可以写出具有较高精确度的平均传输常数β
λπβ/2n = （9）
和耦合常数κ
2//11αλπκj n -= （10）
3 建立模型描述
基于Kogelnik 耦合波理论，探讨高斯光束经过透射体光栅后的传输特性，推导透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系式，推导出两组变量之间的关系，即角度选择性与光栅线对、波长选择性与光栅线对，角度选择
性与光栅厚度、以及波长选择性与光栅厚度之间的光线。
同时，要数值分析平面波、谱宽和发散角为高斯分布的光束入射条件下，衍射效率受波长和角度偏移量的影响。
本次课程设计是利用matlab 软件对实验结果进行模拟的。
4 仿真结果及分析
4.1 角度选择性的模拟
讨论角度选择性时，假定波长的偏移量λ?等于零，即不考虑光栅的波长选择性。角度的选择性讨论主要分为两种情况。
1角度选择性曲线中的水平选择角，即角度选择性曲线的主瓣半宽度。若角度选择性曲线中的水平选择角越大，则光栅的角度选择的范围越宽；若角度选择性曲线中的水平选择角越小，则光栅的角度选择的范围越窄。
2角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度，即衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小。若角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越高，则旁瓣对角度选择的影响越大；若角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越低，则旁瓣对角度选择的影响越小。
衍射效率随角度偏移量的变化而变化，这两者的关系由下式表示:
()()???????????Λ?==++=θθθπξθλπξξ
ηcos cos cos /1sin 0
1221222d n v v v (11)
公式（11）中各符号的意义，以及运用matlab 进行数值模拟计算时所取数值如下： η----光栅的衍射效率；
n----所用介质的折射率，取值为1.76；
1n ----折射率调制度，取值为4104-?;
λ----写入光栅时的入射光波在真空中的波长，取值为610064.1-?m ；
d----记录介质的厚度，即光栅厚度，讨论其取值范围（1mm--1.8mm ）；
Λ----光栅周期，讨论起取值变化范围（800线对/mm —1600线对/mm ）；
θ?----光波入射角，其大小为布拉格角度与角度偏移，即为所考察的角度选择性，讨论起变化范围为（ .101.0--）；
θ----光波入射角，其大小为布拉格角度与角度偏移之和，即θθθ?+=0；
0θ----布拉格角，由介质折射率、入射光波长λ以及光栅周期Λ，其表达式为Λ=2/sin 0λθn 。
4.1.1 不同光栅厚度下的角度选择性
对公式（11）在matlab 上进行模拟，选取光栅线对为定值（1200线对/mm ），光栅的厚度在1mm —1.8mm 范围内变化。图3中图（a ）--图（d ）依次为光栅厚度d=1mm ，1.3mm ，
1.5mm ，1.8mm 下的角度选择性与衍射效率关系的曲线。
（a ） （b ）
（c ）
（d ） 图3 不同光栅厚度下的角度选择性 对比这4个图形，比较光栅的水平选择角和旁瓣高度随光栅厚度的曲线变化趋势，可
以得出结论：
当光栅厚度变大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变大。
4.1.2 不同光栅线对下的角度选择性
对公式（11）在matlab上进行模拟，选取d=1mm,为固定值。光栅线对在800线对/mm—1400线对/mm范围内变化。图4中图（a）-（d）依次为线对为800/mm、1000/mm、1200/mm、1400/mm下的角度选择性与衍射效率关系的曲线。
(a) (b)
(c) (d)
图4不同光栅线对下的角度选择性
对比这4个图形，比较光栅的水平选择角和旁瓣高度随光栅线对数目曲线变化趋势，可以得出结论：
当光栅线对增大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变化不明显。
4.2 波长选择性的模拟
讨论光栅的波长选择性时，假定角度的偏移量θ?等于零，即不考虑光栅的角度选择性。对波长选择性曲线邪恶分析，主要讨论两个方面：
1 波长选择性曲线中的波长变化，若波长选择性曲线中的波长变化越大，则光栅的波长选择的范围越宽；若波长选择性曲线中的波长变化越小，则光栅的波长选择范围越窄。
2波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度，即衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小。若波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越高，则旁瓣对波长选择的影响越大；若波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越低，则旁瓣对波长选择的影响越小。
衍射效率随波长的偏移量的变化而变化，这两者的相互变化关系可由下式表示。
()()???????????Λ?==++=θλπξθλπξξηcos 2cos /1sin 21221222n d
d n v v v （12）
公式（12）中各符号的意义，以及运用matlab 进行数值模拟计算时所取得数值如下： η----光栅的衍射效率；
n----介质的折射率，取值为1.52；
1n ----介质的折射率调制度4104-?；
λ----写入光栅时的入射光波在真空中的波长，取值为610064.1-?m;
θ----光波入射角；
Λ----光栅周期，讨论其取值变化范围（800线对/mm —1600线对/mm ）；
d----记录介质的厚度，即光栅厚度（1mm —1.8mm ）；
λ?----波长偏移，即波长选择性，其取值范围为（6101-?m--6103-?m ）；
0θ----布拉格角，由介质折射率、入射光波长以及光栅周期确定，其表达式为Λ=2/sin 0λθn 。
4.2.1不同光栅厚度下的波长选择性
对公式（11）在matlab 上进行模拟，选取光栅线对为定值（1200线对/mm ），光栅的
厚度在1mm—1.8mm范围内变化。图5中图（a）--图（d）依次为光栅厚度d=1mm，1.2mm，1.4mm，1.6mm下的波长选择性与衍射效率关系的曲线。
（a） (b)
(c) (d)
图5 不同光栅宽度下的波长选择性
对比这4个图形，总结图中光栅的波长变化和旁瓣高度随光栅厚度的曲线变化趋势，可以得出结论：
当光栅厚度变大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变大。
4.2.2不同光栅线对下的波长选择性
对公式（11）在matlab上进行模拟，选取d=1mm,为固定值。光栅线对在800线对/mm—1400线对/mm范围内变化。图6中图（a）-（d）依次为线对为800/mm、1000/mm、1200/mm、1400/mm下的波长选择性与衍射效率关系的曲线。
（a ） （b ）
（c ）
（d ） 图6 不同光栅线对下的波长选择性 对比这4个图形，总结图中光栅的波长变化和旁瓣高度随光栅线对数目变化的曲线变化趋势，可以得出结论：
当光栅线对增大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变化不明显。
4.3 单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性
透射型体光栅的布拉格条件是
Λ=2/sin λθn m （13） 单色发散的高斯光束，如果在光束的传播方向上满足透射型体光栅的布拉格条件，即公式（13），则归一化光束强度公式可以写为
???
????? ?-=12exp ,b b G θ （14） 其中，m θθ-为角度变化量，b 为发散角，对于一个有限的衍射光束直径为D 的光束，它的发散角可表示为 D
b πλ02= （15） 结合公式（11）与公式（13），可以得出单色发散的高斯光束的衍射效率公式：
()()()?
=θθθηπηθd b G b b ,121 （16） 根据公式（16），在matlab 上编写程序进行仿真，可以得到发散角与衍射效率的关系图。
图7 单色发散光束经透射型体光栅衍射效率与发散角关系图
4.4 多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性
多色平面波经透射型布拉格体光栅满足布拉格条件，则它的归一化光束强度公式可以写为
??????
?? ?-=22exp ,w w G λ （17） 公式（17）中w 为角谱宽度，0λλ-为波长变化量。结合公式（12）与公式（17）可以得出多色平面波经透射型布拉格体光栅后的衍射效率公式：
()()()λλληπηλd w G w
w ,122?= （18） 根据公式（18），在matlab 上编写程序进行仿真，可以得到发散角与衍射效率的关系图。
图8 多色平面波衍射效率与角谱宽度关系图
5 调试过程及结论
通过耦和波理论的学习及理解，以及在matlab 软件上的不断调试与验证，调试过程中遇到不少困难，有matlab 程序出错的，也有出图但是与结果不符合的，但通过不断的尝试以及不断查找资料，终于得到了透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系，得出如下结论：
1当光栅厚度变大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变大。
2当光栅线对增大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变化不明显。
3当光栅厚度变大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变大。
4当光栅线对增大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变化不明显。
与此同时，通过学习高斯光束的两种不同形式--单色发散光束和多色平面波，在matlab软件上不断调试，学习用数值积分函数quad来解决积分问题，最终得到光束衍射效率与谱宽及发散角的关系。
衍射效率随着发散角以及谱宽的增大而减小。
6 心得体会
经过这一个多星期的努力，此次课程设计终于接近尾声了，这一多星期，我们通过查资料、学习新知识、预答辩、编程序、仿真调试以及最后的报告的书写，虽然辛苦，但收益良多。
首先，此次课程设计帮助我们巩固了信息光学的知识，进一步理解光栅、高斯光束等一系列知识。其次，此次课程设计有设计到许多新的知识，这又是对自己的一种挑战，对自己自学能力的挑战。这次课程设计涉及到耦合波理论、体光栅等一系列新知识，都需要自学，我只能通过老师给予的资料以及网络尽可能得去理解它；与此同时，此次课设需要用matlab来编写，由于之前matlab没学好，这也得重新学习，这样负担很重。但是，我们都坚持下来了，不懂的同学间讨论以及向老师咨询，尽可能去理解。终于我们有对新知识有一定的理解，这样一步步完成课设的技术要求。此次课设虽然遇到了许多困难与艰辛，但是学到了很多知识。
最后，我想这次的课程设计也是一种锻炼自己学习能力的过程，体现了我们自主学习，自主分析，自我督促的态度。这一过程弥补了被动教学的不足，对我们的个人能力的提升也有很大的作用。自主设计程序、自主学习新的知识、学习使用新的软件，学会了使用matlab软件，这为以后的学习以及进一步的学习都有很大的帮助。
7 思考题
1透射型体光栅的布拉格条件是什么？
答：透射型体光栅的布拉格条件是Λ=2/sin λθn m
2 体光栅有哪些应用领域？
答：体光栅可作为透镜，用于制作基本光学元件，如平板透镜元件、波面变换器件、波分复用器件等；还可以与其他器件组合可在光电集成系统、激光收发器系统中有广泛应用前景。
8 参考文献
[1] 苏显渝,李继陶.信息光学.科学出版社，2007年12月.
[2] 谢敬辉,赵达尊，阎吉祥.物理光学.北京理工出版社，2007年10月.
[3] Igor V. Ciapurin , Leonid B. Glebov ,. Modeling of phase volume diffractive gratings . Optical Engineering ，January 2006.
[4]周炳琨,高以智.激光原理.国防工业出版社，2009年1月.
[5]常巍,谢光军，黄朝峰.MATLAB 基础与提高.电子工业出版社，2007年9月.
一、课程设计题目： 用matlab 仿真光束的传输特性。 二、任务和要求 用matlab 仿真光束通过光学元件的变换。 ① 设透镜材料为k9玻璃，对1064nm 波长的折射率为1.5062，镜片中心厚度为3mm ，凸面曲率半径，设为100mm ，初始光线距离透镜平面20mm 。用matlab 仿真近轴光线（至少10条）经过平凸透镜的焦距，与理论焦距值进行对比，得出误差大小。 ② 已知透镜的结构参数为101=r ，0.11=n ，51=d ，5163.121=='n n （K9玻璃），502-=r ，0.12=' n ，物点A 距第一面顶点的距离为100，由 A 点计算三条沿光轴夹角分别为10、20、30的光线的成像。试用Matlab 对以上三条光线光路和近轴光线光路进行仿真，并得出实际光线的球差大小。 ③ 设半径为1mm 的平面波经凸面曲率半径为25mm ，中心厚度3mm 的平凸透镜。用matlab 仿真平面波在透镜几何焦平面上的聚焦光斑强度分布，计算光斑半径。并与理论光斑半径值进行对比，得出误差大小。（方法：采用波动理论，利用基尔霍夫—菲涅尔衍射积分公式。） 2、用MATLAB 仿真平行光束的衍射强度分布图样。（夫朗和费矩形孔衍射、夫朗和费圆孔衍射、夫朗和费单缝和多缝衍射。）
3、用MATLAB仿真厄米—高斯光束在真空中的传输过程。（包括三维强度分布和平面的灰度图。） 4、（补充题）查找文献，掌握各类空心光束的表达式，采用费更斯-菲涅尔原理推导各类空心光束在真空中传输的光强表达式。用matlab 对不同传输距离处的光强进行仿真。 三、理论推导部分 将坐标原点选在透镜中心处，θ1=arcsin(y1/r),由n1*sinθ1=n2*sinθ2可得出θ2=arcsin(n1/n2)*(y1/r)，由几何关系可得到θ=θ2－θ1，则出射光线的斜率k=tan(θ2－θ1),当入射直线y=y1时，x1=d－(r－(y r )，并设出射直线为y=k*x+b;由直线经过（x1,y1）即可求2^ )2^1 出b值，从而就可以求出射直线。由单透镜焦点计算公式1/f=－(n-1)*(1/r1－1/r2)可求得f=193.6858。
成绩评定表 学生姓名吴宪班级学号1109020117 专业光信息科学 与技术课程设计题目拉盖尔高斯光束经 透镜传输光场计算 评 语 组长签字： 成绩 日期20 13 年12 月 27 日
学院理学院专业光信息科学与技术 学生姓名吴宪班级学号1109020117 课程设计题目拉盖尔高斯光束经透镜传输光场计算 实践教学要求与任务: 要求： 1）角向节线0，径向节线2的拉盖尔高斯光束（共焦参数=12000倍波长）通过薄透镜； 2）薄透镜（前置圆形光阑）焦距=1500倍波长，光腰在透镜处； 3）光阑半径=120倍波长。 任务： 1）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后时的轴上光强变化，分析焦点变化； 2）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数； 3）计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化； 4）撰写设计论文。 工作计划与进度安排: 1. 第一周教师讲解题目内容、任务和论文要求，学生查阅资料，星期四提出设计方案； 2. 第一周星期四到第二周星期三（包括星期六星期日）完成设计； 3. 第二周星期四上交论文； 4. 星期四教师审查论文，合格者星期五论文答辩。 指导教师： 2013年月日专业负责人： 2013年月日 学院教学副院长： 2013年月日
目录 摘要 (4) 设计原理 (5) 一．普通球面波的传播规律 (5) 二．高斯光束的基本性质及特征参数 (6) 三．柯林斯（Collins）公式 (7) 四．基模高级光束的特征参数 (6) 计算结果10 一. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的轴上光强变化，分析焦点变化 (10) 二. 计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜前时的径向光强变化，计算截断参数 (11) 三．计算该拉盖尔高斯光束经过薄透镜后的径向–轴向光强变化 (12)
实验三 高斯光束的透镜变换实验 一 实验目的 1.熟悉高斯光束特性。 2.掌握高斯光束经过透镜后的光斑变化。 3.理解高斯光束传输过程. 二 实验原理 众所周知，电磁场运动的普遍规律可用Maxwell 方程组来描述。对于稳态传输光频电磁场可以归结为对光现象起主要作用的电矢量所满足的波动方程。在标量场近似条件下，可以简化为赫姆霍兹方程，高斯光束是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以足够好地描述激光光束的性质。使用高斯光束的复参数表示和ABCD 定律能够统一而简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。 在缓变振幅近似下求解赫姆霍兹方程，可以得到高斯光束的一般表达式： ()2 22()[] 2()00,() r z kr i R z A A r z e e z ωψωω---=? （6） 式中，0A 为振幅常数；0ω定义为场振幅减小到最大值的1e 的r 值，称为腰斑，它是高斯光束光斑半径的最小值；()z ω、()R z 、ψ分别表示了高斯光束的光斑半径、等相面曲率半径、相位因子，是描述高斯光束的三个重要参数，其具体表达式分别为： ()z ωω=（7） 000()Z z R z Z Z z ?? =+ ??? （8） 1 z tg Z ψ-= （9） 其中，2 00Z πωλ =，称为瑞利长度或共焦参数（也有用f 表示）。 （A ）、高斯光束在z const =的面内，场振幅以高斯函数22() r z e ω-的形式从中心向外平滑的减小， 因而光斑半径()z ω随坐标z 按双曲线：
22 00 ()1z z Z ωω-= （10） 规律而向外扩展，如图四所示 高斯光束以及相关参数的定义 图四 （B ）、 在（10）式中令相位部分等于常数，并略去()z ψ项，可以得到高斯光束的等相面方程： 2 2() r z const R z += （11） 因而，可以认为高斯光束的等相面为球面。 （C ）、瑞利长度的物理意义为：当0z Z = 时，00()Z ω。在实际应用中通常取0z Z =±范围为高斯光束的准直范围，即在这段长度范围内，高斯光束近似认为是平行的。所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。 （D ）、高斯光束远场发散角0θ的一般定义为当z →∞时，高斯光束振幅减小到中心最大值1e 处与z 轴的交角。即表示为： 00 () lim z z z ωθλ πω→∞ == （12） 高斯光束可以用复参数q 表示,定义2111i q R πω =-，由前面的定义，可以得到0q z iZ =+，因而（6）式可以改写为
本科毕业设计论文 设计(论文) 题目高斯光束通过梯度折射率介质中的传输特性 指导教师 姓名___________ 辛晓天________ ____ 学生 姓名___________ 赵晓鹏________ ____ 学生 学号_________ 200910320129___ ___ _院系_______理学院________ _ 专业 ____ 应用物理_____ _ 班级____ 0901___ _
高斯光束通过梯度折射率介质中的传输 特性 学生姓名：赵晓鹏指导教师：辛晓天 浙江工业大学理学院 摘要 本文利用广义惠更斯-菲涅耳衍射积分(Collins公式)法，导出了高斯光束在均匀介质和梯度折射率介质中传输的解析表达式。对高斯光束在均匀介质和梯度折射率介质中传输特性进行了分析，重点分析了梯度折射率系数和传输距离对传输特性的影响。结果表明，高斯光束在梯度折射率介质中传输时，随着梯度折射率的变化，轴上光强分布呈周期性变化；在梯度折射率系数一定时，其轴上光强分布关于光强最大位置是对称的。 关键词：广义衍射积分法、高斯光束、均匀介质、梯度折射率介质、传输特性 - 1 -
Propagation properties of Gaussian beams in Gradient-Index medium Student: Zhao Xiao-Peng Advisor: Xin Xiao-Tian College of Science Zhejiang University of Technology Abstract Using the generalized Huygens Fresnel diffraction integral (Collins formula), this paper deduces the analytical expression of Gauss beam in a homogeneous medium and gradient refractive index medium.The Gauss beam propagation in homogeneous media and the gradient refractive index medium are analyzed, and analyze the influence of gradient refractive index coefficient and transmission distance of the transmission characteristics.The results show that Gauss beams in the gradient index medium transmission, along with the change of gradient refractive index, light intensity on axis changes periodically;In the gradient refractive index coefficient is fixed, the axial intensity distribution of light intensity maximum position is symmetrical. Keywords：Generalized diffraction integral; Gaussian beam; homogeneous medium;Gradient-index media; Propagation properties - 2 -
目录 1 基本原理 (1) 1.1耦合波理论 (1) 1.2高斯光波的基本理论 (9) 2 建立模型描述 (10) 3仿真结果及分析 (10) 3.1角度选择性的模拟 (10) 3.2波长选择性的模拟 (13) 3.3单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (15) 3.4多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (17) 4 调试过程及结论 (18) 5 心得体会 (20) 6 思考题 (20) 7 参考文献 (20) 8 附录 (21)
高斯光束经透射型体光栅后的光束传输 特性分析 1 基本原理 1.1耦合波理论 耦合波理论分析方法基于厚全息光栅产生的布拉格衍射光。当入射波被削弱且产生强衍射效率时，耦合波理论分析方法适用耦合波理论分析方法适用于透射光栅。 1.1.1耦合波理论研究的假设条件及模型 耦合波理论研究的假设条件： (1) 单色波入射体布拉格光栅； (2) 入射波以布拉格角度或近布拉格角度入射； (3)入射波垂直偏振与入射平面； (4)在体光栅中只有两个光波：入射光波 R 和衍射光波 S； (5)仅有入射光波 R 和衍射光波 S 遵守布拉格条件，其余的衍射能级违背布拉格 条件，可被忽略； (6)其余的衍射能级仅对入射光波 R 和衍射光波 S 的能量交换有微小影响； (7)将耦合波理论限定于厚布拉格光栅中； 图1为用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。光栅矢量K垂直于边界平面，其大小为2/ =Λ，Λ为光栅周期，θ为入射角。 Kπ 图1布拉格光栅模型
一、课程设计题目: 用matlab 仿真光束的传输特性。 二、任务与要求 用matlab 仿真光束通过光学元件的变换。 ① 设透镜材料为k9玻璃,对1064nm 波长的折射率为1、5062,镜片中心厚度为3mm,凸面曲率半径,设为100mm,初始光线距离透镜平面20mm 。用matlab 仿真近轴光线(至少10条)经过平凸透镜的焦距,与理论焦距值进行对比,得出误差大小。 ② 已知透镜的结构参数为101=r ,0.11=n ,51=d ,5163.121=='n n (K9玻 璃),502-=r ,0.12='n ,物点A 距第一面顶点的距离为100,由A 点计 算三条沿光轴夹角分别为10、20、30的光线的成像。试用Matlab 对以上三条光线光路与近轴光线光路进行仿真,并得出实际光线的球差大小。 ③ 设半径为1mm 的平面波经凸面曲率半径为25mm,中心厚度3mm 的平凸透镜。用matlab 仿真平面波在透镜几何焦平面上的聚焦光斑强度分布,计算光斑半径。并与理论光斑半径值进行对比,得出误差大小。(方法:采用波动理论,利用基尔霍夫—菲涅尔衍射积分公式。) 2、用MATLAB 仿真平行光束的衍射强度分布图样。(夫朗与费矩形孔衍射、夫朗与费圆孔衍射、夫朗与费单缝与多缝衍射。) 3、用MATLAB 仿真厄米—高斯光束在真空中的传输过程。(包括三维强度分布与平面的灰度图。)
4、(补充题)查找文献,掌握各类空心光束的表达式,采用费更斯-菲涅尔原理推导各类空心光束在真空中传输的光强表达式。用matlab对不同传输距离处的光强进行仿真。 三、理论推导部分 将坐标原点选在透镜中心处,θ1=arcsin(y1/r),由n1*sinθ1=n2*sinθ2可得出θ2=arcsin(n1/n2)*(y1/r),由几何关系可得到θ=θ2－θ1,则出射光线的斜率k=tan(θ2－θ1),当入射直线y=y1时,x1=d－(r－r ),并设出射直线为y=k*x+b;由直线经过(x1,y1)即可求出b (y 2^ )2^1 值,从而就可以求出射直线。由单透镜焦点计算公式1/f=－(n-1)*(1/r1－1/r2)可求得f=193、6858。
目录 1 技术指标 (1) 1.1 初始条件 (1) 1.2 技术要求 (1) 1.3 主要任务 (1) 2 基本理论 (1) 2.1 高斯光波的基本理论 (1) 2.2 耦合波理论 (2) 3 建立模型描述 (4) 4 仿真结果及分析 (5) 4.1 角度选择性的模拟 (5) 4.1.1 不同光栅厚度下的角度选择性 (6) 4.1.2 不同光栅线对下的角度选择性 (7) 4.2 波长选择性的模拟 (8) 4.2.1不同光栅厚度下的波长选择性 (8) 4.2.2不同光栅线对下的波长选择性 (9) 4.3 单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (10) 4.4 多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (11) 5 调试过程及结论 (12) 6 心得体会 (13) 7 思考题 (13) 8 参考文献 (14)
高斯光束经透射型体光栅后的光束传输 特性分析 1 技术指标 1.1 初始条件 Matlab软件，计算机 1.2 技术要求 根据耦合波理论，推导出透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系式；数值分析平面波、谱宽和发散角为高斯分布的光束入射条件下，衍射效率受波长和角度偏移量的影响。 1.3 主要任务 1 查阅相关资料，熟悉体光栅常用分析方法，建立耦合波分析模型； 2 利用matlab软件进行模型仿真，程序调试使其达到设计指标要求及分析仿真结果； 3 撰写设计说明书，进行答辩。 2 基本理论 2.1 高斯光波的基本理论 激光谐振腔发出的基膜场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，称之为高斯脉冲光波。如图1所示为高斯脉冲光波及其参数的图。
- 108 - 第19期2018年10月No.19October，2018 无线互联科技 Wireless Internet Technology 激光器自产生以来，已广泛应用于科学技术、通信、医学等各个领域。高斯光束在激光器中的研究是更好地利用激光器的关键。高斯光束(如厄米-高斯光束、拉盖尔-高斯光束[1]，可用于描述矩形和圆形对称下的高阶激光模，其性质已被人们深入研究。高斯光束的束腰半径和位置、远场发散角、衍射放大系数和高斯光束通过透镜的变换规律是描述高斯光束基本特性的重要物理量和规律，也是激光物理教学的重要内容。1 设计思想 本文激光实验采用等距四点采光测量法[2]，激光光束被定义为垂直于光轴的截面上，强度分布为最大值e 的平方分之一。在坐标轴上任意取4个点，其中一个点等于c ，其他3个点与该点差的绝对值相等，并且值相等，该值小于所测的光束半径，经过计算可得到强度分布。通过搭建实验平台并调试，能够接收到高斯光斑。这种方法的优势在于，它可以较为准确地判断这一被测量的光束是否为高斯光 束，而且还能求出此光束的束径和径向强度分布。系统方案流程如图1所示。 图1 系统方案流程 2 实验结果2.1 实验原理 等距四点采光测量法其实是一种基于等距离三点采光测量方法的新原理。根据这个原理，只需要同时测量光束截 面中任意相等间隔的4个点的光强，就可以定量地确定被测光束是否为高斯光束。在高斯光束的情况下，可以根据四点强度给出高斯光束的光束直径和径向强度分布。高斯光束的鉴别测量仪是一种基于四点法原理的新型仪器。这种发明将阵列接收元件以及计算机技术有机地结合起来，可以同时对光束截面中等距坐标点的光强进行采光测量，并且可以对测量数据以及光谱图进行打印和说明，从而达到定量判别和 测量高斯光束的目的[3] 。2.2 界面设计 实验中采用CCD 来接收光斑，利用Matlab 对激光的输出特性进行GUI 界面设计，界面中可以对像素值、波长、束腰半径、传播距离等进行选择，通过设置不同的参数值，可以 得到高斯光束传播距离不同时，振幅强度分布的示意图[4] 。 当输入的像素值为500，波长为0.568 μm ，束腰半径为1 mm ，传播距离为1 m 时，高斯光束传播强度分布仿真如图2所示。 图2 传播距离1 m时高斯强度分布 作者简介：田园（1984— ），女，陕西西安人，讲师，硕士；研究方向：测试计量技术与仪器。 高斯光束强度分布特性研究 田 园1，周 勖2 （1.西安工业大学北方信息工程学院，陕西 西安 710025；2.西安电力高等专科学校，陕西 西安 710032） 摘 要：随着高科技的发展和物理光学的研究和探索不断深入，高斯光束的研究产品已广泛应用于科技、通信和医学等各个 领域。文章在GUI 界面下完成对高斯光束强度分布的仿真，能够通过Matlab 软件比较准确地分别获得高斯光束传播1 m ，10 m ，20 m 时不同强度分布图，以及能够通过系统程序显示输出的参数值。通过高斯光束强度分布的仿真图能够比较直观地看到不同传播距离时高斯光束强度分布的不同变化。这一系统能够将抽象的高斯光束传输特性以及强度分布的理论知识，通过一步一步模拟仿真，将其形象化，因而易学易懂。关键词：高斯光束；Matlab ；强度分布
2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间和通过近轴光学元件的传输变换。 2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传输。 任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离L 均匀空间的变换 我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L 的传输，如图2-22所示，假定光线从入射参考面P 1出发，其初始坐标参数为r 1和θ1，传输到参考面P 2时，光束参数变为r 2和θ2，由几何光学的直进原理可知 图2-22 近轴光线通过长度L 均匀空间的传输 1 2112θθθ=+=L r r （2.7.1） 这个方程组可表示成下述矩阵形式 ???? ?????? ? ?=???? ??1122101θθr L r （2.7.2） 即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离L 时所引起的坐标变换 ??? ? ??=???? ??101L D C B A （2.7.3） 2. 近轴光线通过薄透镜的变换 如图2-23所示，近轴光线通过一个焦距为f 的薄透镜。设透镜的两个主平面（此处为两参考面P 1和P 2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由透镜成像公式，可写成如下关系式
高斯光束传输理论 研究光与光纤耦合的时候，必须清楚的知道高斯光束在自由空间中是如何传输的，还有光束经过光学元件后高斯光束如何变化。 高斯光束的传输规律 激光光束具有方向性好的特点，光束的能量在空间的分布高度的集中在光的传播方向上，其光束具有一定的发散角，光束分布有着特殊的结构。由球面波构成谐振腔产生的激光束，在它的横截面上，光强是以高斯函数型分布的，称为高斯光束。高斯光束在光学设计中有着广泛的应用。 沿z 轴方向传播的基模高斯光束可以表示为如下的一般形式： ??? ???-+--=])2([exp ))(exp()(),,(222200f z arctg R r z k i z r z E z y x E ωωω （1） 其中E 0为常数因子，z f z z f f z f z f z z R R 2 2)(])(1[)(+=+=+== 20)(1)(f z z +=ωω； 222y x r +=； λ π 2= k ； λ πω20=f ； π λωf = 0；（2） ω0为基模高斯光束的腰斑半径；f 为高斯光束的共焦参数；R(z)为与传播轴相较于z 点的高斯光束等相位面的曲率半径； 由上式我们可以看出，高斯光束具有下述基本性质： （1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数)) (exp(22 z r ω-所描述的规律从中 心（即传输轴线）向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e 的点所定义的光斑半径为 2 2 020)( 1)(1)(πωλωωωz f z z +=+= 可见，光斑半径随坐标z 按照双曲线规律增大 1)(22 2 2=-f z z ωω
激光光束漂移特性研 究综述
激光准直中光束漂移的特性研究综述 引言：从产生的原因来看，激光光线主要存在三种不同类型的漂移，分别是：激光器本身发射的激光存在光线漂移；固定激光发射器的调整装置存在机械位移，导致激光光线缓慢漂移； 空气扰动或折射率不均匀造成的光线漂移或者光线弯曲。而针对这三种漂移提出的补偿方案也有很多。本文将从实用性、价格因素以及可操作性三个方面分析各种方案总结并提出最佳方案。 一、光漂的抑制 双光束准直法：采用特别设计的光学系统，将激光器发出的光束分成两束光，且当激光束发生光漂时，这两束光朝相反的方向变化，其能量中心即两路光的对称中心线不变，用具有双光电座标的检测靶检测出这条中心线的相对位置，以此作为基准线，从而起到抑制光漂的作用。 优点：受大气扰动的影响小，光束漂移小，准直基线的稳定性较好，精度达到10-6 缺点：所用元件较多，调整困难。
单模光纤法: 激光束经显微镜聚焦，将光点耦合进入单模光纤，光纤出射端位于准直物镜的焦点上，使出射光为准直光束，即采用一根光纤建立新的光发射基准。理论计算表明，光束经单模光纤后，其模式重新分布，激光束的平漂、角漂只会影响耦合效率，不会影响出射光强分布。精度达到1.5x10-6 优点：，此方法可以完全消除光漂，而且，在保证单模传输情况下，通过光纤后的光束质量也有提高；成本相当低。 缺点：由于机械装置的漂移，长时间后光束会偏离光纤，需重新耦合。 固定点补偿法：采用两个或多个光靶来实时测量激光的漂移量，然后据此对测量值进行修正以实现补偿。 缺点：，光漂监测和测量不能同时进行，使得各测量点的光漂相关性降低。光线弯曲和大气抖动的影响造成的误差会随着测量距离的增加而增大。 莫尔条纹激光准直法：激光器、空间滤波器、扩束镜和锥镜形成无衍射光，利用无衍射光所形成的、不随传播距变化的贝塞耳函数光环作直线基准Z轴。该光圆环光栅相迭，产生的莫尔条纹被CCD采集后存储于计算机。被测物移动过程中相对贝塞耳函数中心线的偏移将会改变莫尔条纹，计算机根据莫尔条纹中心的二维偏移量就可以直接测量出贝塞耳函数光束中心与圆环光栅中心的距离。从
matlab仿真光束的传输特性
一、课程设计题目： 用matlab 仿真光束的传输特性。 二、任务和要求 用matlab 仿真光束通过光学元件的变换。 ① 设透镜材料为k9玻璃，对1064nm 波长的折射率为1.5062，镜片中心厚度为3mm ，凸面曲率半径，设为100mm ，初始光线距离透镜平面20mm 。用matlab 仿真近轴光线（至少10条）经过平凸透镜的焦距，与理论焦距值进行对比，得出误差大小。 ② 已知透镜的结构参数为101=r ，0.11=n ，51=d ，5163.121=='n n （K9玻璃），502-=r ，0.12=' n ，物点A 距第一面顶点的距离为100，由 A 点计算三条沿光轴夹角分别为10、20、30的光线的成像。试用Matlab 对以上三条光线光路和近轴光线光路进行仿真，并得出实际光线的球差大小。 ③ 设半径为1mm 的平面波经凸面曲率半径为25mm ，中心厚度3mm 的平凸透镜。用matlab 仿真平面波在透镜几何焦平面上的聚焦光斑强度分布，计算光斑半径。并与理论光斑半径值进行对比，得出误差大小。（方法：采用波动理论，利用基尔霍夫—菲涅尔衍射积分公式。） 2、用MATLAB 仿真平行光束的衍射强度分布图样。（夫朗和费矩形孔衍射、夫朗和费圆孔衍射、夫朗和费单缝和多缝衍射。）
3、用MATLAB仿真厄米—高斯光束在真空中的传输过程。（包括三维强度分布和平面的灰度图。） 4、（补充题）查找文献，掌握各类空心光束的表达式，采用费更斯-菲涅尔原理推导各类空心光束在真空中传输的光强表达式。用matlab对不同传输距离处的光强进行仿真。 三、理论推导部分 将坐标原点选在透镜中心处，θ1=arcsin(y1/r),由n1*sinθ1=n2*sinθ2可得出θ2=arcsin(n1/n2)*(y1/r)，由几何关系可得到θ=θ2－θ1，则出射光线的斜率k=tan(θ2－θ1),当入射直线y=y1时，x1=d－(r－)2^1 (y r )，并设出射直线为y=k*x+b;由直线经过 ^ 2 （x1,y1）即可求出b值，从而就可以求出射直线。由单透镜焦点计算公式1/f=－(n-1)*(1/r1－1/r2)可求得f=193.6858。
高斯光束介绍 通常情形，激光谐振腔发出的基模辐射场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，故称高斯光束。 我们常常会收到客户关于光斑大小的查询，其实问的就是光斑的束腰直径或束腰半径。束腰，是指高斯光绝对平行传输的地方。半径，是指在高斯光的横截面考察，以最大振幅处为原点，振幅下降到原点处的0.36788倍，也就是1/e倍的地方，由于高斯光关于原点对称，所以1/e的地方形成一个圆，该圆的半径，就是光斑在此横截面的半径；如果取束腰处的横截面来考察，此时的半径，即是束腰半径。沿着光斑前进，各处的半径的包络线是一个双曲面，该双曲面有渐近线。高斯光束的传输特性，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角，它与波长成正比，与其束腰半径成反比，计算式是：2*波长/（3.1415926*束腰半径），故而，束腰半径越小，光斑发散越快；束腰半径越大，光斑发散越慢。光斑描述如下图： 我们用感光片可以看到，在近距离时，准直器发出的光在一定范围内近似成平行光，距离稍远，光斑逐渐发散，亮点变弱变大；可是从光纤出来的光，很快就发散；这是因为，准直器的光斑直径大约有400微米，而光纤的光斑直径不到10微米。同时，对于准直器最大工作距离的定义，往往可理解为该准直器输出光斑的共焦参数，该参数与光斑束腰半径平方成正比，与波长成反比，计算式是：3.1415926*束腰半径*束腰半径/波长。所以要做成长工作距离（意味着在更长的传输距离里高斯光束仍近似成平行光）的准直器，必然要把光斑做大，透镜相应要加长加粗。 我们对于准直系统的计算，理论根据就是高斯光束的传输特性计算式。对于线度远大于输入光斑的透镜来讲，该输入光可视为点光源，其远场发散角就是该点光源的“边沿线”夹角；于是我们可根据透镜的具体参数，简单的用几何光学的方法计算该准直系统的光斑大小和最大工作距离。 而从高斯函数，我们可以计算当通光孔径多大时，光能的损失是多少。并不是通光区直径等于或略大于光斑直径时，光能就可以完全通过，事实上，此时的损耗高达0.6dB。简单的估计，是让通光直径是光斑的2倍或以上
高斯光束传播 激光束腰和分布 为了获得高斯光束光学的精确原理和限制，有必要理解激光束输出的特性。在TEM（横模和纵模为0）模式下，光是从激光开始辐射，就像一个含有高斯横截发光剖面的完美平面波，如下图显示。高斯形状被激光内部的尺寸或者某种光学序列的限制光圈在某个直径处被截断。为了指定和论述激光光束的传播特性，我们必须给它的直径下一些定义。普遍被采用的定义是光束发光（最强烈）峰值，轴向或者数值的地方的直径衰减1/e2（13.5%）。 高斯光束剖面图( TEM00 模式) 衍射效应使光在传播过程中向横向传播。因此它不可能有一个被精确校准的光束。激光光束的传播可以被纯衍射理论精确地预测。异常现象小到在这里可以统统不用去考虑。在非常平常的情况下，光束传播可以小到被忽略。下面的方程精确地描述了光束的传播，由此可以很容易地看出激光光束的能力和限制。 和
即使一个高斯TEM（横模和纵模为0）激光光束波阵面在某个平面可以保持非常的平坦，它也需要弯曲并且通过如下的公式传播 这里的z是当波阵面平坦时从平面上的传播路径，l是光的波长，w是当波阵面平坦时，在平面上1/e2发光轮廓的半径，w(z)是在波传播了距离z以后，1/e2轮廓的半径，R(z)是在波传播了距离z以后，波阵面的曲率半径。在z=0的条件下，R(z)是无穷大的，在某种有限的z的最小值内传播，并且当z进一步增大的时候，趋近于无穷大。Z=0平面标记了高斯腰的位置，或者表示波阵面是平坦的地方，这里w0叫做光束腰半径。 高斯TEM光束的发光分布按如下方式定义 这里的w=w(z)和P是光束的总功率，在所有的相交的部分是等值的。分布形式的恒定性是对在z=0的时候高斯分布预测的特殊结果。如果统一的发光分布在z=0时刻被预测，z=∞时刻的形式将与贝塞尔公式给出的艾利斑（Airy disc）形式相似，这里z值中间的形式将变得非常复杂。 这里假定z远大于pw0 /l，因此1/e2发光轮廓渐渐逼近一个圆锥形的角半径 这个值是一个高斯TEM光束的远场角半径。圆锥的顶点在腰的中心位置，如下图所示。 需要注意的是，在给定l值得条件下，不大可能表示出光束直径的变化和分布，
17章--高斯光束的物理特性 之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。 特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。 17.1 高斯光束特性 在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。 解析表达式 和在横向尺寸的平面波前R0=让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸ω ∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。 如图17.1所示：
在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程 复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系： 在真空中参数遵守传输定理： 有初始值
记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。 高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸ω 0和z z R ?比值用以下方程联系： 换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素ω （或者q0?，或者z R）为特点，还有在介质传输的波长λ。 光圈传输 在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应. 光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。 一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。 猜想我们定义一束光的总功率为P=?|u?|2dA ，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下： 有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：