习题解答——第一章
1－1
解：（1）C AB ；（2）ABC ；（3）C B A ；（4）C AB C B A BC A ；
（5）C B A ；（6）C B A C B A C B A C B A 。
1－2
解：（1）A B ì；（2）A B é；（3）A B C ì；（4）A B C é ()。 1－3
解：1＋1＝2点，…，6＋6＝12点，共11种；
样本空间的样本点数：n ＝6×6＝12， 和为2，{}1,1A =，1A n =，1()36
A n P A n ==
，
……
和为6，{}1,5;2,4;3,3;4,2;5,1A =，5A n =，5()36
A n P A n =
=
，
和为(2＋12)/2=7，{}1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1A =，6A n =，61()36
6
A n P A n ==
=,
和为8，{}2,6;3,5;4,4;5,3;6,2A =，5A n =，5()36
A n P A n ==
，
……
和为12，{}6,6A =，1A n =，1()36
A n P A n ==
，
∴ 出现7点的概率最大。
1－4
解：只有n ＝133种取法，设事件A 为取到3张不同的牌，则313A n A ，
（1）3
133
3
131211
132()13
13
169
A A n P A n
创==
=
=
；（2）37()1()169
P A P A =-=
。
1－5
解：
（1）()()()()()0.450.100.080.030.30P A B C P A P AB P AC P ABC =--+=--+= （2）()()()0.100.030.07P AB C P AB P ABC =-=-= （3）∵ ,,A B C AB C A BC 为互不相容事件，参照（1）有
()
()()()
()()()()()()()()()()()()
()()()2[()()()]3()0.450.350.302(0.100.080.05)0.090.73
P A B C AB C A BC P A B C P AB C P A BC P A P A B P A C P A B C P B P A B P B C P A B C P C P A C P B C P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C =++=--++--++--+=++-+++=++-+++=
（4）∵ ,,A B C AB C A BC 为互不相容事件，参照（2）有
()()()()()()()3()0.100.080.0530.030.14
P AB C A BC ABC P AB C P A BC P ABC P AB P AC P BC P ABC =++=++-=++- =
（5）
()()()()()()()3()0.450.350.300.100.080.0530.03
0.90
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+?
（6）()1()10.900.10P A B C P A B C =-=-= 。 1－6
解：设321,,A A A 为（1）、（2）、（3）的事件，由题意知 （1）2
5
13
10
1()12
C P A C ==
；（2）2
4
23
10
1()20
C P A C =
=
；（3）11
45
33
10
1()6
C C P A C ′=
=
1－7
解：5卷书任意排列的方法有n ＝5！种，设事件{}1,2,3,4,5i A i i ==第卷书放在两边，。 （1）{}1114!4!A A n ==+第卷书放在两边，
，124!2()5!
5
P A ′==；
（2）152!3!1()5!
10
P A A ′=
=
；
（3）151515217()()()()2510
10
P A A P A P A P A A =+-=?=
；
（4）15151519()()1()110
10P A A P A A P A A ==-=-=
。
1－8
解：这是一个几何概率问题，设折断点为y x ,，（x y <）。由题意及三角形的特点知：
（1） 折断点在棍内：0x y L <<<； （2） 折成三段后，每段小于棍的一半：111,,2
2
2x L y x L L y L
<-<
-<
；
（3） 任两段之和大于棍的一半：111,,2
2
2y L L x L L y x L >->-+>
；
整理条件：
0121212x y L y L x L y x L
ì<<????í?<
??????-<
????
所包含的区域如图，故2
2
1
1
8()142
A
L
m P A m L =
==
。 1－9
解：设 {},{},{}A AA B Aa C aa ===。
200460012501(1)
(),(),()20060050
17
2006005017
20060050
17
415(2)()()()()017
17
17P A P B P C P A C P A P C P AC =
=
=
==
=++++++=+-=+-=
1－10
解：设A ＝{活到20岁}；B ＝{活到25岁}，()0.8,()0.4P A P B ==
显然,A B AB A B B ?= ，由题意得 ()()(|)0.5()
()
P AB P B P B A P A P A =
=
=
1－11
解：设i A ＝{第i 次取到次品}，1,2,3i =。由题意得
123121321908910()()(|)(|)0.8256
100
99
98
P A A A P A P A A P A A A ==
创=
1－12
解：设i A ＝{第i 人译出密码}，1,2,3i =。由题意得
123123123423()1()1()()()10.6
53
4P A A A P A A A P A P A P A =-=-=-创=
1－13
解：设i A ＝{第i 道工序的合格品}（1,2,3,4i =），且1234,,,A A A A 相互独立。由题意得
123412341234()()()()()[1()][1()][1()][1()](10.005)(10.002)(10.001)(10.008)0.984
P A A A A P A P A P A P A P A P A P A P A ==----=----=
1－14
解：这是贝努里概型：()(1),(0,1,,)k k n k n n P k C p p k n -=-= ，由题意
(1)
1(0)1(1)0.95
(1)0.05
99
n
n
n n P k P k p p n ?-==--侈-＾
1－15
解：设A 1、A 2、A 3分别为从甲袋取到1个红、白、黑球，设B 1、B 2、B 3分别为从乙袋取到1个红、白、黑球，由题意知
112233112233112233()()()()()()()()()()763101590.3312
2525
2525
2525
P A B A B A B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++=
???
1－16
解：设321,,A A A 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B 表示为正品。
321,,A A A 构成一个完备事件组，且有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A ===； 123(/)9/10,(/)14/15,(/)19/20
P B A P B A P B A ===。
（1）由全概率公式
91419()()(/)0.50.30.20.92
10
15
20
i i P B P A P B A =
=?
?
?
?
（2）由贝叶斯公式
111()(/)
0.50.945(/)()
0.92
92
P A P B A P A B P B ′=
=
=
1－17
解：设A i ＝{第一次取到i 个新球}，（i ＝0，1，2，3）；B ＝{第二次取到3个新球}。则A 0，A 1，A 2，A 3构成完备事件组，其中
312
21
3
393939
01233
333
12
12
12
12
(),(),(),()C C C C C C P A P A P A P A C
C
C
C =
=
=
=
由全概率公式
3
3
12
3
21
3
3
3
3
3
9
938
937
9
6
3
3
3
3
3
3
3
3
12
1212
12
121212
12
()()(/)18427561083584207056
0.146
220220
220
220
220
220
220
220
220220
k k k C C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C C ==
=?
?
?
=
??
??
=′?
由贝叶斯公式
3331680
()(/)
220220(/)0.2387056()
220220
P A P B A P A B P B ′=
==′
1－18
解：设21,A A 分别表示甲、乙击中目标，由题意知12,A A 相互独立。
121212121212121212121212121()()()0.80.9
0.72
2()()()
()()()()0.80.1
0.90.2
0.26
3()1()1()()10.20.10.98
4()()()0.20.1
0.02
P A A P A P A P A A A A P A A P A A P A P A P A P A P A A P A A P A P A P A A P A P A ==?=+=+=??=-=-=-?==? （）（）（）（）
1－19
解：与1－10题类似。()()0.85(|)0.9239()
()
0.92
P AB P B P B A P A P A ==
=
=
1－20
解法1：设Ai ＝{3000小时未坏}，（i ＝1，2，3），A 1，A 2，A 3相互独立，所以
3
1231232
123123123123123123123123(1)()()()()0.80.512
(2)()3()()()30.8
0.20.384
(3)()0.5120.3840.896
P A A A P A P A P A P A A A A A A A A A P A P A P A P A A A A A A A A A A A A =====创==+=
解法2：这是n 重贝努里概型，()(1)k k n k n n P k C p p -=-，n ＝3，p ＝0.8
3333
32
2
32
3(1)(3)(1)
(0.8)(10.8)
0.512(2)(2)(1)(0.8)(10.8)
0.384
(3)(2)
(2)(3)0.5120.3840.896
k
k
n k n n k
k n k
n n n n n P k C p p C P k C p p C P k P k P k ----==-=-===-=-=?=+==+=
1－21
解：这是贝努里概型，()(1)k k n k n n P k C p p -=-，n ＝12，p ＝7
事件设A ＝{≥9台同时使用} 12
9
()()0.4925n k P A P k ==
?
1－22
解：
（1）为贝努里概型，设Ai ＝{第i 个人的血型为O 型}，（i ＝1，2，3，4，5），则恰有2人血型为O 型的概率为
2252
2
52
5(2)(1)
(1)
100.46
(10.46)
0.3333
k k n k
n n P k C p p C p p ---==-=-=创-=
（2）设Bi ＝{第i 个人的血型为A 型}，（i ＝1，2，3，4，5）， 因 321234512345()()()()()()0.460.40P A A A B B P A P A P A P B P B == 而5人中有3人为O 型、2人为A 型的排列有3510C 种，故所求概率为
3
3
2
50.460.40
0.1557
P C =?
（3）设Ci ＝{第i 个人的血型为AB 型}，（i ＝1，2，3，4，5），则没有AB 型的概率为
1234512345123455
()()()()()()()(10.03)0.8587
P C C C C C P C C C C C P C P C P C P C P C ===-=
1－23*
解：设Ai ＝{第i 次摸到黑球}，（i ＝1，2，…，a+b ），由题意知
1121121212121121323231231231231231211(),()2
()(())()()()(/)()(/)11
1
3
()()()()()()()()(/)(a b k P A P A a b
a b
k P A P A A A P A A P A A P A P A A P A P A A a a b a a a b
a b a b
a b a b
k P A P A A P A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A P A A P ==
=
++===+=+-=
?
?
++-++-+==+=+++= 312121312121312121312/)()(/)(/)()(/)(/)()(/)(/)1211
212
111
2
1
2
A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A a a a b a a a b a b a b a b a b a b a b a b b a a a b
a b a b a b
a b a b a b
+++---=创+创++-+-++-+---+
创
+
创
=
++-+-++-+-+
依此类推可得 (),(1)k a P A k
a b a b
=＃++
1－24*
解：设Ai ＝{第i 次按对号码}，（i ＝1，2，3），所求概率为
112123112123112123()()()()()()()()()()191981310109
109
810
P A A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A P A P A P A =++=++=+?创=
若已知最后一位数为偶数，则其概率为
112123112123112123()()()()()()()()()()1414313554
54
35
P A A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A P A P A P A =++=++=+?创=
1－25*
解：设A ＝{从甲袋中取一白球}，B ＝{从乙袋中取一白球}，由已知得
(),
()N M P A P A M N
M N
=
=
++
由全概率公式得
()()()()(/)()(/)
11
1
(1)()(1)
P B P A B P AB P A P B A P A P B A N n M n M N
m n M N
m n M n N n M N m n =+=++=?
++++++++=
+++
1－26*
证明：∵
()()()()(|)()(|)
()(|)()(|)(|)
()()(|)()()
P B P AB P AB P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A P B A P AB P A P B A P A P B =+=+=+=\
==
故由定义知，B A ,相互独立。
1－27*
解：设Ai ＝{甲在第i 次射中}，Bi ＝{乙在第i 次射中}，由已知，P(Ai)=p 1,P(Bi)=p 2。 甲射中的概率为
1112112231112112231
1120
12()()()()()()()()()()(1)(1)1(1)(1)
k k
k P A A B A A B A B A P A P A P B P A P A P B P A P B P A p p p p p p ￥
==+++=
--=
---?
同理，乙射中的概率为
1111221111222112120
12()()()()()()()(1)(1)(1)(1)1(1)(1)
k k
k P A B A B A B P A P B P A P B P A P B p p p p p p p p ￥
==++-=
---=
---?
1－28*
解：Ai ＝{甲在第i 次投中}，Bi ＝{乙在第i 次投中}，（i ＝1，2，3），由已知
12()0.7,
()0.6
i i P A p P B p ====。甲、乙投中都是贝努里概型
甲：33311()(1)(0,1,2,3)k k k P k C p p k -=-=；乙：33311()(1)
(0,1,2,3)
m
m
m
P m C p p m -=-=
二人进球数相等的概率为
3
3
1
2
12
221233123
113
223
1
13
2
21
2
(0,01,12,23,3)(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)
(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)P k m k m k m k m P k m P k m P k m P k m P k P m P k P m P k P m P k P m p p C p p C p p C p p C p p p p ====================+==+==+===--+--+--+= 0.0270.0640.1890.288
0.4410.432
0.3430.216
0.32076
??? =
概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第二章
2－1 解：
不能。因为 12(1)(1)0.50;(2)()0.850i P X P X x =-=-<== ?。 2－2 解：
2－3 解：
取法：45n C =，X 的取值：0，1，2，3。所以
4312
415
()(0,1,2,3)k
k
C C P X k k C -×==
=，分布列为
2－4 解：
由概率的规范性性质
()1P X k ==
?
，得：
11
1
1
(1)()1;1
(2)
()1;
1
2
N N
k k k
k k a P X k a a N a P X k a a ==ゥ
====
==\===
==\
=邋邋
2－5 解：
1
21
21
2
1
1
31()(1,2,)
4431(2)(1,2,)
441
313
14
()(2)4
445
114k n n k k P X k k
P X n n P X P X n ---ゥ
==骣÷
?==?÷
?÷
?桫骣÷
?==?÷
?÷
?桫骣÷
?==
==
=?
÷?÷
?桫骣÷?-÷?÷?桫邋 偶数
2－6 解：
11(4)(710)6
2
P X P X ?＃=
。
2－7 解：n 重贝努利试验，~(20,0.1)X B 解法一：
（1）3317
20
(3)(1)0.1901P X C p p ==-=； （2）(3)
1(2)
1(0)(1)(2)0.3231P X P X P X P X P X ?-?-=-=-==；
（3）最可能值：[(1)0.1]
2k n =+?；(2)0.2852P X ==。
解法二：利用泊松定理，()(0,1,)!
k
P X k e
k k l
l
-=蛔
= ，200.12np l ==?
（1）3
2
2
(3)0.18043!
P X e
-===；
（2）(3)
1(2)
1(0)(1)(2)0.3233P X P X P X P X P X ?-?-=-=-==
（3）最可能值：[(1)0.1]2k n =+?；(2)0.2707P X ==
2－8 解：
1~(,),730
10,
0.1365
X B n p n p =
>=<
，令 2np l ==
由泊松定理知 ()(0,1,)
!
k
P X k e k
k l
l
-=蛔=
2
(2)1(1)130.5940
P X P X e -?-?-=
。
2－9 解： 1010~(20,0.2),
()(1)
(0,1,)
(4)
1(3)
0.1209
k k k
X B P X k C p p k P X P X -==-=?-?
2－10 解：
~(100,0.01),10010,0.010.1
1X B n p np l =>=<==
近似看作 ~()
X P l ，设同时出现故障的设备数为X ，N 为需要的维修工数，由题意 ()0.01P X N >
<
，故
1
()1()10.01!!
k
k
N
k k N P X N P X N e
e
k k l
l
l
l
￥
--==+>=-；-
=
<邋
查泊松分布表得 N+1＝5，即 N ＝4。 2－11 解：
~(50000,
0.0001)
5X B np l ==
泊松定理知 5
5
()(
0,1,)
!
!
k
k
n P X k e
e
k k k l
l
--=蛔
=
?
5
3
5
5
(0) 6.73810
0!
(5)1(5)
110.5595
!
k
k P X e P X P X e
k l
l
--￥
-==蛔
= <=-郴-
=-?
2－12 解：
8
9
11
~()
4
(1)(8)(8)
(9)
0.0297
!!
(2)(10)0.00284
!
k
k
k k k
k X P P X P X P X e
e
k k P X e
k l
l
l
l l l
l
l
ゥ
--==￥
-====??-=>=
=邋?
2－13 解：
（1） 由概率的规范性 1
1
1()2
f x d x
c x
d x
c +
-
===蝌
，得 c ＝2；
（2） 0.7
0.3
(0.30.7)20.4
P X xdx <<==ò
；
（3） 由题意知 对01a
＃ 有
10
22a
a
xdx xdx =
蝌
得 221a a =- ∴
a =（4） 分布函数定义式：()()x
F x f t dt
-
=
ò
当 0x < 时， ()0F x = ； 当 01x
? 时， 2
2
()02x
F x tdt x
=+
=ò
；
当 1x 3 时， ()1F x =
∴
2
0()0111
x F x x
x x ì
2－14 设随机变量X 的概率密度为
1,[0,1]32(),
[3,6]90,
x f x x other
ì?
???????
?= í
?????????
若k 使得2()3
P X k ?，则k 的取值范围是多少？
解：由题意知
2()
()3
k
P X k f x d x
+ =?
ò
当x<1时，1
6
3
1
2212()()00(1)39
3
3
3
k k
P X k f x dx dx dx k + ?=
+++=
+
->
蝌
；
当x>3时，6222()()0(6)9
9
3
k
k P X k f x dx dx k +
?=
+=
-<
蝌
。
所以，当13x
＃时，6
3
22()
()009
3
k
P X k f x dx dx +
?=+
+=
蝌
2－15 解：由概率的规范性
1
1
212
11()sin 1111()
()2
663
f x dx x t
cdt c c P X p p p
p
p p p
p +
-?
-
=
=
==\=
?
+=蝌
ò
2－16 解：
（1）当 0x < 时， ()'()0f x F x == ；
当 0x > 时， ()'()x f x F x e -==；
当 0x = 时， '()'(0)0,(0)0F x F f =\=存在，且
0()00
x
e
x f x x -ì?>?=í
?￡??
（2）4
1
(4)(4)1,(1)1(1)
1(1)P X F e
P X P X F e
--?=->=-?-=
2－17 2－18 2－19
2－20 解：
0.11
10
20
0.11
2
10
~()
0.1
(1)(10)0.100.36788
(2)(1020)0.10.2325
x
x
X e P X e
dx e
P X
e dx e e
l l +
-----=?=-=＃=
=-=ò
ò
2－21 解：
2
~(160,
0.06)
(0.050.12)2X N m s
?
(0.050.12)1(2)
1(22)
10.95450.0455
P X P X P X m s m s m s ->=-- =--＃+=-=
2－22 解：20~(160,)X N s
200120(120200)(
)()
404040(
)()2(
)10.8
P X
m m s
s
s
s
s
--＃=F -F =F -F -=F -=
40(
)0.9s
F =，查表得
40 1.28s
?
得 031.25
s ? 2－23
2－24 设随机变量2~(3,2)X N 。 （1）求(25),(||2)P X P X = ； （3）设d 满足()0.9P X d > ，问d 至多为多少？ 解：
（1）
（2）由条件 ()()P X c P X c >=
得
()
1()1(),
()
0.5P X c P X c P X c P X c ?->=- ?
已知 2~(3,2)X N ，图形关于(3)x m ==轴对称，即()
0.5P X m ?
∴ 3x m == （3） 2－25
2－26* 证明：
∵ X 服从几何分布，∴ 1()(1,1,2,)
k P X k q p
q p k -===-=
11
1
1
1
1
1
()(|)
()
1
(1)
1()
111n k n k n
n k k n k k n
P X n k q
p
q
p
P X n k X n P X n p q q q
p
q
p
q
p P X k q
p
q
+-+---=+--=+=+?==?++-=
===---?
2－27* 略。
2－28 解：
（1）
（2）
2－29 解：
101
()0x f x ì＃??=í
???其它
1
2
1
2
2ln ,(01)(),(0),
1[()]2y y y x x x g y e y g
y e
----=-＃?=<<+ =-
∴ 2
10()2
00
y e
y y y j -ì??>?=í??￡???
2－30 解：
106
()6
0x f x ì??＃?
=í????
其它
当 03y ＃时，1
'
113[()]1
()(11)6
3
x y
g
y y j --=鞭=盶=+=
当 y 为其它时，()0y j =，综合得
103
()3
0y y j ì??＃?
=í????
其它
2－31 解：
（1
）21
1
'
21(1)()[()]
y x y
g
y g
y --=+?=?
∴ 当1y >时
114
4
()y y y j ---
-轾=
=
当1y ￡时 ()0y j =， 综上得
14
1()0
1
y y y y j --ì??>??=í???￡??
（2）1
1
(0)(),[()]'
1y x y
g
y y g
y --=蕹=?
∴ 当0y >时
2
2
2
2
()(11)y
y
y j --
=
+=
当0y ￡时 ()0y j =， 综上得
2
2
0()0
y
y y y j -ì??
>?
?=í???￡??
另一解法：
()0()()
()
Y P y X y y F y P Y y P X y y ì-＃ ??=??í?
而
2
2
2
2
()()x
x
y
y
y
X y
y
P y X
y f x dx e
dx e
dx -
-
---＃=
=
=
蝌
∴
2
2
'
0()()0
y
Y Y
y f y F y y -ì??
>?
?==í???￡??
2－32* 解：
当 41k n =-时，Y ＝1；当42k n =-或4k n =时，Y ＝0；当43k n =+时，Y ＝-1。
∴ 41
11
1
2(1)(41)2
15
n n n P Y P X n ゥ
-===-=
=-=
=
邋
42
4
11
43
1
1
111(0)[(42)(4)][
]2
2
3
18(1)(43)2
15
n n n n n n n P Y P X
n P X n P Y P X n ゥ
-
==ゥ-====
=-+==
+===
=-=
=
邋邋
Y 的分布列：
2－33* 略。
概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第三章
3－1 解： 3
(12,35)(2,5)
(1,5)(2,3)
(1,3)
128
P X Y F F F F
3－2 解：
3－3 解：
3－4 解：
X 的取值：3，4； Y 的取值：1，2。所以
43
2
45
(4,)(1,2)j
j
C C P X j Y j j C
-=-==
=
3－5 解：
（1） 由归一性
(34
)
3
4
(,)1
12
x y x y
A f x y dxdy Ae
dxdy A e
dx
e
dy +?
?
?
?
?
-+---?
=
==
=
蝌
蝌
蝌
∴ A ＝12
（2） 当 0,0x y >>时 (34
)3
4
00
(,)(,)12(1)(1)x
y x
y
u v x y
F x y f u v dudv e
dudv e
e
-+---?
=
==--蝌
蝌
当 y x ,为其它时，(,)0F x y =
∴ 34(1)(1)0,0(,)0x
y
e e
x y F x y --ì?-->>?=í???
其它
（3） 1
2
(34)
3
8
(01,02)
12(1)(1)
x y P X Y e
dxdy e e
-+--
3－6
解：由分布函数的性质
(,)
l i m (
a r c t a n )(a r c t a n
)()()1
23
22
(,)
l i m (
a r c t a n )(a r c t a n )(
)(
a r c t a n
)02323
(,)
l i m (
a r c t a n )(
a r c t a n
)
(a r c t a n )(
)
2
3
22
x y x y x y F A B C A B C x y y F y A B C A B C x y x
F x A B C A B C p
p
p
p
? ?
?
?
+?
?
++=++=-?++=-+=-?
++=++= 三式联立解得
2
1,,
2
2
A B C p p p
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
11(,)116
3
2
(,)(4)(9)
1()
1()
23
F x y f x y x
y
x y
x y p
p
?=
=
鬃
=
抖++++
3－7 解：
11211
2
1
(1)(,)1
2
x
y
x
x y P X Y f x y dxdy e
dxdy e e
--
--+ +?=
=+-蝌
3－8 解：
（1） 当 01x <<时 2
2
2
2()(,)()23
3
X xy f x f x y dy x dy x x
+
-
=
=
+
=+
蝌
当 01x x
３或时，∵(,)0f x y =∴()0X f x =
22201
()3
0X x x x f x ì?
?+<
=í????
其它
（2） 当02y <<时，1
2
11()(,)()3
6
3
Y xy f y f x y dx x dx y +
-
=
=
+
=
+
蝌
当y 为其它时，∵(,)0f x y =∴()0Y f y =
1102
()63
0Y y y f y ì??+<
=í????
其它
3－9 解：所包含的面积为 2
1
1
2
011()6
x D x
S dxdy x x dy =
-=蝌
∴ 6(,)(,)0
x y D
f x y ì??
?=í
???其它
（1）当01x
＃时，2
2
()(,)66()x
X x
f x f x y dy dy x x +
-
=
=
=-蝌
当 x 为其它时，()0X f x =
∴26()01
()0X x x x f x ì?-＃?=í
???
其它
（2）当01y
＃时，()(,))Y y
f y f x y dx dx y +
-
=
=
=蝌
当y 为其它值时，()0Y f y =
∴)01
()0Y y y f y ì?＃?=í
???
其它
3－10 解：
（1） 当01x <<时，()(,)12x
X x
f x f x y dy dy x +
-?
=
=
=蝌
当 x 为其它时，()0X f x = ∴
201
()0
X x x f x ì<
（2） 当1y x <<时，1
()(,)11Y y
f y f x y dx dx y
+
-
=
=
=-蝌
当y 为其它值时，()0Y f y = ∴
11()0Y y
y x f y ì-<
其它
一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
概率论浙大第四版答案 【篇一：概率论(浙大第四版)课后答案】 p> 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） o1n?100?s???,???，n表小班人数 n??nn （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） s={10，11，12，???，n，???} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的 盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就 停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一] (3)） s={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列事件。（1）a发生，b与c不发生。 表示为： a或a－ (ab+ac)或a－ (b∪c) （2）a，b都发生，而c不发生。 表示为： ab或ab－abc或ab－c 表示为：a+b+c （3）a，b，c中至少有一个发生 （4）a，b，c都发生，表示为：abc （5）a，b，c都不发生，表示为：或s－ (a+b+c)或a?b?c （6）a，b，c中不多于一个发生，即a，b，c中至少有两个同时 不发生相当于,,中至少有一个发生。故表示为：??。 （7）a，b，c中不多于二个发生。相当于：,,中至少有一个发生。 故表示为：??abc （8）a，b，c中至少有二个发生。 相当于：ab，bc，ac中至少有一个发生。故表示为：ab+bc+ac
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
第一讲 1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率. 2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率. 3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率: (1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子. 4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率: (1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张; (2) (2) 有4张同花色; (3) (3) 5张同花色; (4) (4) 3张同点数且另2张也同点数. 思考题: 1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。 I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有 一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率； 若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。 2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率： （1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10. 第二讲 1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于 2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的. 3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率. 4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件: (1) (1) 四个事件至少发生一个; (2) (2) 四个事件恰好发生两个; (3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生; (4) (4) 这四个事件都不发生; (5) (5) 这四个事件至多发生一个; (6) (6) 这四个事件至少发生两个; (7) (7) 这四个事件至多发生两个. 5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率. 6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率. 7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ?===, 求)(B A P 及)(B A P . 思考题 1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==