下载文档原格式
数学七年级下册第七章《三角形》教学设计一. 教材分析《数学七年级下册》第七章“三角形”是学生在学习了平面几何基本概念和直线、圆等基本几何图形的基础上，进一步深入研究三角形的性质和分类。
本章主要包括三角形的概念、三角形的性质、三角形的分类和三角形的判定等内容。
通过本章的学习，使学生了解三角形的有关性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在进入七年级下册之前，已经学习了平面几何的基本概念，对直线、圆等基本几何图形有一定的了解。
但部分学生对几何图形的认知仍较模糊，空间想象能力和逻辑思维能力有待提高。
此外，学生在学习过程中可能对一些概念和性质的理解存在困难，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的有关概念、性质和分类，能运用所学知识解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形的有关概念、性质和分类。
2.难点：三角形性质的证明和运用，以及对一些特殊三角形的认识。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同完成探究任务，提高学生的团队合作意识。
4.归纳总结法：在教学过程中，引导学生总结三角形的性质和分类，加深对知识的理解。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：制作课件，展示三角形的相关图片和动画，辅助教学。
3.练习题：准备一些有关三角形性质和分类的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中常见的三角形图片，如自行车三角架、自行车的三角形车架等，引导学生关注三角形在生活中的应用。
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第七章 三 角 形7.1.1三角形的边教学目标： 1、能说出三角形的有关概念，认识三角形的基本要素(边、角、顶点) 2、会用数学符号表示三角形3、会从较为复杂的图中寻找不同的三角形4的关系5、会应用“三角形三边之间关系”解决一些实际问题教学过程：一、认识三角形12、观察下面的屋顶框架图问题：⑴、你能从图中找出3个不同的三角形吗？并把它们画下来 (设计思路：从具体事物中，抽象出数学图形，培养数学思想) ⑵、这些三角形有什么共同的特点?(设计思路 ：回顾已有知识：边、角、顶点，同时也为引入概念作铺垫)3、三角形的概念：让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是三角形。
(学生可以自由发言)在学生充分交流的基础上得：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 4、三角形的表示：以学生在寻找屋顶框架图中的三角形时出现“所指三角形不能明确区分”这一现象引入问题：有什么方法能明确区分三角形？(让学生思考、交流)可得：用三角形的三个顶点字母来表示在学生回忆角与平行线的表示方法的基础上得：“三角形”的符号表示“△”最终得：上图三角形可表示为：△ABC5、练习： ⑴、你能表示刚才所找出的三角形吗？⑵、图中以AB 为边的三角形有哪些？(有无好的寻找方法，培养学生正确的数学思维) ⑶、图中以A 为顶点的三角形有哪些？ (在学生回答的基础上让学生思考有无好的寻找方法，培养学生正确的数学思维)6、想一想：小明在纸上画了四点，如果把这些点彼此用线段连结，连成一个图形，则图形中有几个三角形？并把它们一一表示出来。
(先让学生试一试，并让学生把产生不同结果的图形在黑板画出、交流，引导学生思考有无其它情况，共有多少种情况，培养学生正确、科学的思考方法)二、三角形三边的关系1、活动：用长度分别为4cm 、5cm 、6cm 、10cm 的四根木棒，用其中三根首尾相连搭三角形，你能搭成几个三角形？(先让学生任意搭，并把产生能搭与不能搭情况写在黑板，让学生讨论：还有其它情况吗，为什么？从而培养学生正确的分类思想。
《七年级下第七章三角形（单元复习）》教案【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1、更进一步了解三角形的内角、外角及其主要线段；2、能熟练运用刻度尺和量角器准确画出任意三角形的角平分线、中线和高；3、能熟练运用刻度尺和量角器准确画出任意三角形的角平分线、中线和高；4、更进一步理解多边形、正多边形及多边形的内角、外角、对角线等概念；5、熟练掌握多边形的内角和与外角和公式，并能正确运用公式解决相关的计算问题。
【教学重点】：1、进一步整理归纳三角形的有关知识点；2、进一步熟练运用多边形的内角和与外角和公式解决相应的问题。
【教学难点】：1、能够熟练运用三角形的有关知识解决实际问题；2、能够熟练运用多边形的有关知识解决现实中遇到的各种问题。
【教学工具】：直尺、课堂练习卷◆教学情景导入本章学习的知识是来源于现实生活，但高于现实生活，最后又应用到现实生活的。
因此要求们同学认真观察，仔细体会，善于探索和总结，并把发现的规律和所学的知识很好地应用到一些数学或实际问题中去。
◆教学过程设计首先，我们来共同看一下本章都学习了哪些知识。
◆课堂板书设计第七章三角形◆练习作业设计（课堂作业设计、课下作业设计）《七年级下第七章三角形（单元复习）》课堂作业1、判断题：（1）三角形中至多有一个钝角。
（）（2）直角三角形只有一条高。
（）（3）钝角三角形的内角和大于外角和。
（）答案及解析：（1）正确。
三角形内角和等于180°，所以最多有一个钝角。
（2）错误。
直角三角形仍然有三条高，只不过有两条和直角三角形的两条直角边重合了。
（3）错误。
钝角三角形的内角和等于180°，小于外角和360°。
2、已知ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：6，则ΔABC是三角形，其中∠C= 。
答案及解析：钝角三角形，108°。
设∠A为x度，则∠B=3x度，∠C=6x度；由题意可知：x+3x+6x=180°，求得x=18°，所以∠C=108°，ΔABC为钝角三角形。
三角形7.1.1. 三角形的边教案目标知识与技能1、结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素。
2、会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类3、理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，并会初步运用这一性质来解决问题。
过程与方法在探索三角形三边的过程中，让学生经历观察、实验、推理、交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力。
情感态度与价值观在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的与他人沟通的能力教案重点：三角形三边的关系教案难点：三角形的三边关系教案过程：一、创设情景，引入新课教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：在小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？教师出示教具，提出问题。
让学生观察教具，然后给出三角形的定义。
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
A二、三角形的有关概念1、三角形的顶点及符号表示方法。
2、三角形的内角。
3、三角形的边。
教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念，学生注意记忆相关的概念三、探究三角形的分类问题1：小学中已经学过如何将三角形进行分类？分类标准是什么？三角形按角分类如下：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形问题2:如何将三角形按边分类？三角形按边分类如下：三角形不等三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形等边三角形四、探究三角形的三边关系1、做一做：画出一个厶ABC假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？同学们在画图计算的过程中,展开议论,并指定回答以上问题:（1）小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.a.从B^Cb.从B T A^C⑵ 从B沿边BC到C的路线长为BC的长.从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.经过测量可以说BA+AC>B（可以说这两条路线的长是不一样的2、议一议（1 ）在用一个三角形中, 任意两边之和与第三边有什么关系？（2）在同一个三角形中, 任意两边之差与第三边有什么关系？（3）三角形三边有怎样的不等关系？通过动手实验同学们可以得到哪些结论？三角形的任意两边之和大于第三边。
新人教版七年级数学下册
第7章第1.3节三角形的稳定性
教学目标
知识与能力:通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，让学生理解三角形的稳定性，培养学生的实践能力，推理能力和表达能力.
数学思考:经历探索过程认识三角形的稳定性.
解决问题:探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实列，解决前面的疑惑.
情感态度与价值观:引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的想象习惯和动手能力.
教学重点:理解三角形稳定性在日常生产与生活中的实际应用.
教学难点:能准确将三角形的稳定性应用到日常生产生活之中.
教学过程设计:
活动一.看一看，想一想.
看课本第73页如下对应内容,思考:
活动二.做一做.
1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它
的形状会改变吗？
活动三.议一议.
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流.
三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
活动四.试一试.
三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例.
活动五.练一练.
课本第74页小练习.
活动六.课堂小结.
谈一谈这节课你有哪些收获?
活动七.布置作业.
课本第76-77页第5,9题.。
2019-2020学年七年级数学下册第7章三角形小结与复习教案（新版）新人教版基础盘点1. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A. 2 cm，3 cm，5 cmB. 3cm，3cm，6 cmC. 5 cm，8 cm，2 cmD. 4 cm，5 cm，6 cm2. 在△ABC中，已知∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为（）A. 100°B.120°C.140°D.160°3. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形4. 在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积_________△ACD的面积.（填“＞”“＜”或“＝”）5. 如图1，在△ABC中，已知∠A＝60°，∠C ＝40°，延长CB到点D，则∠ABD＝_____．6. 一个正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点可以引_____条对角线.7. 如图2，在△ABC中，已知∠B=36°，∠C=76°，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC 的度数.课堂小练1. 已知线段BE是△ABC 的高线，下面四个图形所画的高线中正确的是（）BA CE BACEBACEBACE图2AB CD图1A B C D 2. 如右图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，若∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 的度数为（ ）A ．60° B．70°C ．80° D．90°3.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A ．10 B ．13 C ．17 D ．13或174. 若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ） A ．3 B ． 4 C ．5 D ．65. 若用大小、形状相同的正多边形地板铺设底面，已知每一顶点处由三块相同的地板组成，此时的正多边形只能是（ ）A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形6. 有下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°－∠B；④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC 是直角三角形的是 .7. 已知一个三角形的一个内角是另一个内角的23倍，第三个内角比这两个角的和大30°，求这个三角形的三个内角的度数.跟踪练习1. 若三条线段a 、b 、c 中，已知a=3，b=5，c 的值为奇数，由a 、b 、c 为边组成的三角形共有（ ）A. 1个B. 3个C. 无数多个D. 无法确定2. 如图1，已知B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点，DE∥AC， 若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB 的度数为（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．1203. 下列判断：①五边形最少有两个钝角；②十二边形共有54条对角线；③一个多边形的内角和与其外角和相等，这个多边形一定是四边形.其中正确的有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 4. 用m 个正方形和n 个正八边形铺满地面，则m 、n 满足的关系是（ ）ABC D 40° 120°图1A. 2m+3n=8B. 3m+2n=8C. m+n=4D. m+2n=65. 已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c|＋|a －b －c|=_____________.6. 若m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有k 条对角线， h 边形的内角和与外角和相等，则式子h ·（m －k ）n＝ .7. 如图2，∠ABD的平分线BE 交AC 于点E ，∠ACD的平分线CF 交AB 于点F ，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=__________.8. 如图3，在△ABC 中，已知∠ABC、∠ACB 的角平分线相交于点O. （1）若∠ABC=40°， ∠A CB=50°，则∠BOC=_________； （2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=____________； （3）若∠A=76°，则∠BOC=_________； （4）∠BOC=120°，则∠A=_________.三角形小结与复习基础盘点：1. D 2. B 3. B 4. = 5. 100° 6. 9 7. 解：由已知，得∠BAC=180°-∠B -∠C=68°. 因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠DAC=21∠BAC=34°. 所以∠ADC=180°-∠C -∠CAD=70°.课堂小练：1. A 2. C 3. C 4. A 5. C 6. ①②③ 7. 解：设这个三角形的其中一个内角为x °，则另一个内角为23x °，第三个内角为（x °+23x °+30°）. 根据三角形内角和定理，有23x +x +（x+23x+30）=180，解得x =30. A BCO图3图2所以这个三角形的三个内角分别为45°、30°和105°. 跟踪练习：1. B 2. C 3. A 4. A 5. 2c6. 500 提示：由题意，得m=10，n=3，k=5，h=4，所以原式=4×（10-5）3=500. 7. 80° 提示：作射线AM 过点D ，则∠BDM=∠ABD+∠BAD ，∠CDM=∠ACD+∠CAD. 由此可得∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A=2∠ABG+2∠ACG+∠A . 同理可得∠BGC=∠ABG+∠ACG+∠A .所以∠A=2∠BGC -∠BDC=80°. 8.（1）135° 提示：∠OBC=21∠ABC=20°，∠OCB=21∠ACB=25°，则∠BOC=180°-20°-25°=135°.（2）122° 提示：由（1）得∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB）=180°-58°=122°. （3）128° 提示：由（1）得∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB）=180°-21（180°-∠A）=90°+ 21∠A=128°.（4）60° 提示：由（3）得90°+ 21∠A=120°，则∠A=60°.。
ca bAB C第一课时三角形的边一、新课导入1、三角形是我们早已熟悉的图形,你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？2、对于三角形,你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？二、学习目标1、三角形的三边关系。
2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。
三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
(一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程.研读一、认真阅读课本(P63至P64“探究”前，时间：5分钟）要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、的图形叫三角形。
2、如图线段AB，BC,CA是三角形的，点A，B,C是三角形的，∠ A、∠ B、∠ C是 ,叫做，简称。
3、用符号语言表示上图的三角形.顶点是的三角形，记作，读作：。
4、按照三个内角的大小，可以将三角形分为5、三角形按边可分为研读二、认真阅读课本( P64“探究”，时间:3分钟）要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边；游戏：用棍子摆三角形.检测练习二、6、在三角形ABC中，AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，有路线。
路线最近，根据是: ，于是有：（得出的结论） .8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？(1）3、4、8 （2)5、6、11 （3）5、6、10研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟）要求:(1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。
(2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的?(3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。
检测练习三、9、一个等腰三角形的周长为28cm。
①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长；②已知其中一边的长为6cm，求其它两边的长.（要有完整的过程啊！)解：（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？四、归纳小结(一）这节课我们学到了什么? （二）你认为应该注意什么问题?五、强化训练【A】组1、下列说法正确的是（1）等边三角形是等腰三角形（2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（3）三角形的两边之差大于第三边（4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形其中正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（ )A、1B、2C、3D、43、下列长度的各边能组成三角形的是（）A、3cm、12cm、8cmB、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6。
第七章 三角形【知识回顾】【知识回顾】练习题：练习题：1、①已知三角形两边长分别是2cm 和7cm 7cm，，问第三边a 的取值范围是的取值范围是__________ __________②已知三角形两边长分别是3和5,5,问周第的取值范围是问周第的取值范围是问周第的取值范围是___________ ___________ ③已知三角形两边长分别是2和8，第三边长是偶数，求第三边长x 的取值范围是围是________ ________④已知三角形两边长分别是7和1717，第三边长是奇数，求第三边长，第三边长是奇数，求第三边长y 的取值范围是范围是_______ _______2、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是A 、5，6，11B 11 B、、8，8，16C 、4，5，10D 10 D、、6，9，143、已知一个三角形的周长是18cm 18cm，且三边长之比是，且三边长之比是2:3:42:3:4，则三边长分别是，则三边长分别是______________4、若一个等腰三角形两边为3与7，则这个三角形周长为，则这个三角形周长为________ ________5、四条线段的长分别为5cm 5cm，，6cm 6cm，，8cm 8cm，，13cm 以其中任意三条线段为边可构成__________个三角形个三角形个三角形6、在三角形中，已知相邻的外角是内角的2倍，则它的外角为倍，则它的外角为_____________________，内角为，内角为_________7、等腰三角形的一个底角为500,则其顶角为则其顶角为______ ______8、三角形的三个外角度数之比为2:3:42:3:4，则对应内角之比为，则对应内角之比为，则对应内角之比为_________ _________ìïíïîìíîìïíïî定义定义::由不在由不在__________________三条线段三条线段三条线段__________________所组所组三角形 成的图形成的图形表示方法表示方法:_________________________:_________________________三角形两边之和三角形两边之和_______________第三边第三边三角形三边关系三角形两边之差三角形两边之差_______________第三边第三边中线中线________________________________三角形的三条重要线段高线高线________________________________三角形角平分线角平分线________________________内角和内角和____三角形的内角和与外角和多边形ìïïïïïïïïïïíïïìïïìïïííïîïïïîïïïïî__________1________外角性质2________外角和外角和________________________三角形面积三角形面积:______________________________:______________________________三角形具有三角形具有____________性性,四边形四边形______________________________性性多边形定义多边形定义______________________________________________________________多边形n 边形内角和为边形内角和为______________________________多多ìïïïïïïïïïïïïïïïïïïíïïïïïïïìïíïîìïïíïïîî边形外角和为边形外角和为________从n 边形一个顶点可作出边形一个顶点可作出_______________条对角线条对角线定义定义:__________________________________:__________________________________能用一图形镶嵌地面的有能用一图形镶嵌地面的有__________________________________平面镶嵌能用两种正多边形镶嵌地面的有能用两种正多边形镶嵌地面的有_______________和和__________________和和_______;______________;_______和和_____________ïïïïïïïïïïï9、一个三角形的三个内角度数之比为1:2:31:2:3，则这个三角形是，则这个三角形是，则这个三角形是________________________三角形三角形三角形11、①在ABC 中，1123A B C Ð=Ð=Ð，则A Ð=___________,________B C Ð=Ð=②在ABC 中,若020A B Ð-Ð=,2A C Ð=Ð, _____,_____,________A B C Ð=Ð=Ð=③在ABC 中，A Ð比B Ð大010，B Ð比C Ð大010则：_____,_____,A B C Ð=Ð=Ð= ④在ABC 中，A B C Ð+Ð=Ð，则ABC 是____________________三角形三角形三角形 1212、①一外多边形的内角和等于、①一外多边形的内角和等于0540则边数______n =②一个多边形的内角和与外角和相等，则边数______n =③如果一个多边形的每一个内角都等于0144，则它的内角和为则它的内角和为_______,_______,_______,它是它是________边形边形边形④已知一个多边形每一个外角都等于030则它是则它是__________________边形边形边形⑤若一个多边形边数增加一条边，那么它的内角和⑤若一个多边形边数增加一条边，那么它的内角和_______________________________________外角和外角和__________⑥一个多边形的内角中，最多有⑥一个多边形的内角中，最多有__________________个锐角，一个多边形的外中最多有个锐角，一个多边形的外中最多有________________个钝角个钝角个钝角⑦一个五边形的五个外角的度数比为1:2:3:4:5 1:2:3:4:5 ，则它的五个内角分别为，则它的五个内角分别为______________________它们的比等于它们的比等于它们的比等于______________ ______________⑧一个十边形十个内角都相等，则这个十边形每个内角等于____________ ⑨n 边形中所有对角线的条数是边形中所有对角线的条数是__________ __________ 1313、、①当围绕一点拼在一起的几个多边形内角加在一起恰好组成一个______________时，时，即____________度，就能镶嵌一个平面度，就能镶嵌一个平面度，就能镶嵌一个平面②能用一种正多边形拼成地面的是②能用一种正多边形拼成地面的是____________ ____________③能用两种正多边形镶嵌的有③能用两种正多边形镶嵌的有_________,______________,__________ _________,______________,__________ ④当用一块正三角形，一块正六边形，再加再加____________块正块正块正____________边形就能铺满地面，边形就能铺满地面，还有别的方法吗？还有别的方法吗？。
k l j CBAC ABCBA 七年级下册数学 第七章 三角形导学1 7.1.1 三角形的边一、学习目标：1.了解三角形的概念及其基本元素。
2.理解三角形三边之间的关系。
二、自主学习认真阅读课本第63页——64页上面，解决以下问题： 1. 举出几个日常生活中三角形的例子。
2. 由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三角形。
3. 如图，三角形的三边分别是________或______， 三角形的内角分别是__________， 三角形的顶点分别是_______ ，这个三角形记作______，读作____________. （第3题） 4._______________的三角形叫等边三角形，_____________的三角形叫等腰三角形，_______________的三角形叫不等边三角形。
在等腰三角形中，__________都叫腰，______叫底，______________叫底角 ，_____________叫顶角。
如图，在等腰⊿ABC 中，AB=AC, ______________是腰，_____是底边，______是顶角，_______是底角。
（ 第4题）5.按“几条边相等”分类，三角形分为_______、________和__________,等腰三角形又分为_________和_________。
按角的大小分类，三角形分为______、________、___________。
三、合作探究1.课本第64页探究。
2. 课本第64页例题。
3.有2厘米和5厘米的小棒各一根，再配一根8厘米的小棒，能围成一个三角形吗？换成3厘米的呢？要想组成三角形，第三根小棒的长度应在什么范围内？四、巩固提高1.三角形任意两边的和____第三边，任意两边的差_____第三边。
如图，在三角形ABC 中，AB+BC____AC,AC+BC____AB, AB-AC___BC.（ 第1题） 2.课本第65页 3. 课本 第65页 4.课本 第69页FEDC BA导学2 7.1.2三角形的高、中线、角平分线一、学习目标：1、会画三角形的高、中线、角平分线。
2019-2020学年七年级数学下册第七章《三角形》学案（新版）新人教版总复习一、学习目标1.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画三角形的角平分线、中线和高.了解三角形的稳定性.2.掌握三角形内角和以及多边形内角和公式，了解多边形外角和性质.3.会欣赏美丽的平面镶嵌，掌握一些简单的平面镶嵌知识.二、知识网络根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.三、几个定义的区别下边的图表给出了三角形中线、三角形的高、三角形的角平分线的区别与联系，希望大家能够掌握，区分开来.与三角形有关的角一、学习目标1.了解三角形的内角和和外角的定义.2.会用平行线的性质和平角的定义说明三角形的内角和等于180°.3.探索并掌握三角形的外角的性质.4.会用三角形内角和定理和三角形外角的性质进行相关的计算和证明.二、知识概要1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.三角形内角和反映了三角形三个内角之间的关系，是解决任意三角形关于内角的证明和计算问题的重要依据之一，利用它可以解决以下问题：（1）计算角度的大小，以及利用求出的角度来判断三角形的形状和证明直线垂直.解决这样的问题常常需要设未知数列方程求解.（2）证明角相等.（3）证明角的和、差、倍、分关系.（4）证明角之间的不等关系.2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.3.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4.常用辅助线的做法：（1）说明角的关系时，如果没有现存的外角可以使用，通常要延长某个角的一边.（2）在进行角度计算时，为了能使用三角形内角和定理和外角性质，通常要构造三角形，这时需要连结某些线段或延长某些线段.三、重点难点本周的重点是三角形的内角和和外角的性质，难点是三角形外角性质的应用.四、知识链接本周知识是以前学过的三角形的基础知识的拓展，也是以后求角度、证明角度相等的有利工具之一.五、中考视点中考对这部分知识的考察主要体现在以下两方面：1.三角形内角和定理的使用.2.三角形外角的性质的应用.与三角形有关的线段一、学习目标1.掌握三角形的概念.2.掌握并会应用三角形三边关系.3.掌握三角形的高、中线和角平分线.二、知识概要1. 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.3. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，读做“三角形”.如图：图中AB、BC、CA是三角形的边，有时也用a，b，c表示；点A、B、C是三角形的顶点；∠A、∠B、∠C是三角形的角；三角形ABC记作“△ABC”，读做“三角形ABC”.4. 三角形的高：由三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间线段，叫做这个三角形的高.5.三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线.6.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.三、重点难点三角形的高、中线、角平分线的内容和三角形三边关系是本周的重点.三角形的高、中线、角平分线的区别与联系是本周的难点.四、知识链接本周内容是前面学过的三角形的基础知识的拓展，也是以后求面积、求角度有力的工具.五、中考视点本周内容直接考的很少，但是经常与其他知识综合考查，像什么作高求面积，利用角平分线求角度，利用中线求线段等等.多边形内角和镶嵌一、学习目标1.了解多边形有关的概念：边、内角、外角、对角线、正多边形；2.理解并掌握多边形内角和公式与外角和公式；3.通过探索平面图形的镶嵌，知道任何一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能利用这几种图形进行简单的镶嵌设计.二、知识概要1.多边形的有关概念（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（2）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.（3）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（4）连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.2.正多边形：各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.3.n边形内角和：n边形的内角和为（n－2）×180°.4.多边形外角和：多边形的外角和等于360°.5.平面镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行衔接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.三、重点难点多边形内角和与外角和的应用是本周的重点，镶嵌是本周的难点.四、知识链接多边形内角和知识由前面学过的三角形内角和知识拓展而来，是平面镶嵌问题的知识基础.五、中考视点多边形内角和与多边形边数的关系；多边形的外角和与多边形边数的关系；平面镶嵌. 第二节、教材解读与三角形有关的角1.三角形的外角必须满足三个条件：（1）顶点与三角形的一个内角的顶点重合（即共顶点）；（2）一边是三角形的一边（即共边）；（3）另一边是三角形一边的延长线（即共线）.如图，∠ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上.2.三角形外角的个数一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角.如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角.3.三角形的外角与相邻的内角是邻补角的关系，与不相邻的内角是不等的关系.如上图，∠1是三角形ABC的外角，∠1与∠A是邻补角.因为∠1＝∠B+∠C，所以∠1与∠B、∠1与∠C都是不等关系.4.三角形的外角和是360°.如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC 的外角和是360°.与三角形有关的线段一、三角形的高及其有关结论1.画出三角形ABC的三条高.三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.3.因为S＝BC×AD=AC×BE=AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.二、三角形的中线及其有关结论1.在三角形ABC中画出所有中线.2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.3.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以S△ACF=S△BCF=S△ABD=S△ADC=S△ABE=S△BCE.三、三角形角平分线及其有关结论1.画出△ABC所有的角平分线.【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.多边形内角和镶嵌理解多边形内角和的推导可以让我们把公式的来龙去脉弄得一清二楚，从而加深对公式的理解与掌握，更重要的是能够从中学到许多重要的思想方法.对于n边形的内角和公式：n边形的内角和＝（n－2）×180°，其推导方法主要有以下几种：课本方法：从一个顶点出发引n边形的（n－3）条对角线，把n边形分割为（n－2）个三角形（如图1），则这（n－2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，从而得到：n边形的内角和＝（n－2）×180°；方法二：在n边形内任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图2），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360°，因此n 边形的内角和＝180°×n－360°＝（n－2）×180°；方法三：在n边形的一边上取一点，把这一点与各顶点连结，把n边形分割为（n－1）个三角形（如图3），这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角，因此，n边形的内角和＝（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°；方法四：在n边形外任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图4），这n 个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形内角和，因此n边形的内角和＝n×180°－2×180°＝（n－2）×180°.第三节、错题剖析【例1】下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题.“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说: “其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°.” 还有一些同学也提出了自己的看法…（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）【思考与解】本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究．当∠A是顶角时，设底角是α，∴30°+α+α=180°，α=75°，∴其余两底角是75°和75°．当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°，∴其余两角是30°和120°．由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误．对于第（2）问应在第（1）问的解答的基础上，可总结出“根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题”，“考虑问题要全面”等．三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的.【例2】如图1，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）.A.高B.角平分线C.中线D.不能确定【错解】选A或B.【思考与分析】有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选 B.其实，因为△ABD与△ACD同高h，又S△ABD=S△ADC，即BD×h=·CD×h，所以，BD=CD，由此可知，AD为三角形ABC中BC边的中线.【正解】：选C.【例3】如图2，已知∠1＝∠2，则AH必为三角形ABC的（）.A.角平分线B.中线C.一角的平分线D.角平分线所在射线【错解】选A或选C.【思考与分析】错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C的同学，实质上与错选A的同学犯的是同一个错误，显然这里“角平分线”与“一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”.【正解】选D.【例4】如图3，AE⊥BC于E，试问AE为哪些三角形的高？【错解】AE为三角形ABC、三角形ADC的高.【思考与分析】错解者错在认为三角形的高一定是在三角形的内部，而忽视了钝角三角形的高可以在外部而漏选三角形ABD，忽视了直角三角形的高可以与边重合而漏选了以AD 为直角边的直角三角形.【正解】以AE为高的三角形有：△ABC、△ADC、△ABD、△ADE、△ACE、△ABE.第四节、思维点拨如图，三角形ABO的边AO、BO分别是三角形DOC的边CO、DO的延长线，则∠A+∠B=∠C+∠D.解：在三角形ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在三角形COD中，∠C+∠D＋∠DOC=180°，所以∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D＋∠DOC.又因为∠AOB＝∠DOC，所以∠A+∠B=∠C+∠D.由此我们得到以下结论：如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等.【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）.【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），所以∠1＝90°－［180°－（∠2＋∠3）］=（∠3+∠2）.又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.所以∠G＝∠1－∠2＝（∠3+∠2）－∠2＝（∠3－∠2）.所以应选C.【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A ＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.又因为∠BDC是三角形CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，你能求出∠A的度数吗？【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.解：延长BO交AC于D.因为∠BOC是三角形ODC的外角，所以∠BOC＝∠ODC+∠C.因为∠BOC=110°，∠C＝20°，所以∠ODC＝110°－20°＝90°.因为∠ODC是三角形ABD的外角，所以∠ODC＝∠A+∠B.因为∠B＝10°，所以∠A＝90°－10°＝80°.【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.解：延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.解：（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.解：当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，所以∠ABD＝90°－45°＝45°.所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.由（1）、（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.解法一：因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A ＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.解法二：设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.（1）∠A=80°，∠B=25°；（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.解：（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.（3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x ＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a，h b，h c，那么三角形的面积S=ah a=bh b=ch c.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=BC·AD=AB·CE，解决十分方便.解：S△ABC=BC·AD=AB·CE×5×3=AB·4，解得AB=（cm）．【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为 .【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm）.（2）因为S三角形ABD＝BD×AE，S三角形ACD＝CD×AE，而BD=CD，所以S三角形ABD＝S三角形ACD.【例14】如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有（）.（1）AD是三角形ABE的角平分线.（2）BE是三角形ABD边AD上的中线.（3）CH为三角形ACD边AD上的高.A.1个B.2个C.3个D.0个【思考与解】由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确.应选A.【例15】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC=12cm，AC=5cm.（1）求三角形ABC的面积.（2）求CD的长.【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S△=ab（a、b为两条直角边的长）；②S△=ch（c为直角三角形斜边的长，h为斜边上的高）.由此可知ab＝ch，在a、b、c、h四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC=12cm，AC=5cm，所以S△ABC＝AC×BC＝30（cm2）.（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC＝AB×CD，即×13×CD＝30.解得CD＝cm.【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD ＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF 中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30°”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为1.5x，第三个内角为x+1.5x+30°，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为1.5x，第三个内角的度数为（x＋1.5x＋30°），列方程可得x+1.5x＋（x+1.5x+30°）＝180°，解得x＝30°.所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.【例19】如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC 的度数.【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，则∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.解：设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，则∠C＝72°.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC＝90°.在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°－72°＝18°.第五节、竞赛数学【例1】如图所示，把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部A′位置时，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，并说明你找出的规律的正确性.。
