平面向量高考题集锦一，选择题
1．如图，正六边形
uuur uuur uuur
）中， BA CD EF （
ABCDEF
（ A）0
uuur （ B） BE
uuur uuur
（ C） AD（ D） CF
2．在集合 {1,2,3,4,5}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点
的向量( a, b) ，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四
边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于 2 的平行四边形的个数为m，则
m
n
（ A）2
（ B）
1
（ C）
4
（ D）
1 155153
3. 已知向量a=（ 1,2 ）， b=（1,0 ）， c=（ 3,4 ）。若为实数，（(a b)∥ c ），则=
A．1
B．
1
C． 1D． 2 42
0 x2
4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域 D 由不等式x 2给定，若M（x， y）为 D
x 2 y
上的动点，点 A 的坐标为(2,1) ，则z=OM·OA的最大值为
A． 3B． 4C． 3 2D． 4 2
uuur r uuur r r r r r uuur 5．ABC中，AB边的高为CD，若CB a ，CA b ，a b0 ，| a |1，| b | 2 ，则 AD
（A）1
r
1
r
（ B）
2
r
2
r
（ C）
3
r
3
r
（ D）
4
r
4
r a b
3
a b a b a b 3335555
6．若向量a1,2 , b1,1 a b
与
a b
的夹角等于
，则 2 +
A．
4B．
6
C．D．
3
44
7．已知向量a( 2,1) ， b(1, k )， a (2a b)0 ，则 k
A．12B．6C． 6D． 12
8．向量 a,b 满足| a | | b |1,a b 1
2b , 则a
2
A．2B．3C．5D．7
uuuuv uuuuv
9．设 A 1， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若 A 1 A 3 A 1 A 2 （λ∈ R ），
uuuuv uuuuv
1
（μ∈ R ），且 1
2 则称 A
3 ， A
4 调和分割
A 1 ， A 2 已知点 （ ， ）
A 1 A 4 A 1 A 2 ,,
C c o ,D
（d ， O ） （ c ，d ∈R ）调和分割点 A （ 0， 0）， B （1， 0），则下面说法正确的是
A ． C 可能是线段 A
B 的中点 B
． D 可能是线段 AB 的中点
C ． C ，
D 可能同时在线段 AB 上
D ． C ，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
10．设 x
r
r
r r r r R ，向量 a
( x,1), b (1, 2), 且 a
b ，则 | a
b |
（ A ） 5 （ B ） 10
（ C ） 2 5
（ D ） 10
11．设 a ，b 是两个非零向量。
A. 若 |a+b|=|a|-|b|
，则 a ⊥b
B. 若 a ⊥ b ，则 |a+b|=|a|-|b|
C. 若 |a+b|=|a|-|b|
，则存在实数λ，使得 b=λ a
D. 若存在实数λ，使得 b=λa ，则 |a+b|=|a|-|b|
r r
r r
a
b
）
12．设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 r
r 成立的充分条件是（
| a |
|b |
r r r r r
r C
r r D
rr
A 、 | a | | b | 且 a // b
B 、 a
b
、 a // b
、 a 2b
13．对任意两个非零的平面向量
和 ，定义
o
. 若两个非零的平面向量
a ，
b 满足 a 与 b 的夹角
, ，且 a ob 和 b oa 都在集合 n
n Z 中，则 a ob
4 2
2
A.
5
B.
3 C. 1
D.
1 2
2
2
二，填空题：
14. 已知向量 a ，b 满足（ a+2b ）·（ a-b ）=-6 ，且 a =1， b =2，则 a 与 b 的夹角为 .
15、在正三角形
ABC 中， D 是 BC 上的点， AB
uuur uuur
3, BD 1 ，则 AB AD
。
r r
r
r
r r
r
16．设向量 a, b 满足 | a | 2 5, b
(2,1), 且 a 与b 的方向相反，
则
a 的坐标为
．
17 ．已知两个单位向量e1， e2的夹角为，若向量 b1e12e2， b2 3e14e2，则
3
b1 b2=___.
18．已知直角梯形ABCD 中， AD // BC ,ADC 900,AD2, BC 1 ,P是腰DC上uuur uuur
的动点，则 PA3PB 的最小值为____________
19．已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量 ka-b垂直，则k=_____________ ．
20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在
(0， 1)，此时圆上一点P 的位置在 (0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动 .
当圆滚动到圆心位于
uuur
(2， 1)时， OP 的坐标为＿＿＿＿ .
21．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为 2、1，若M、N分
uuuur uuur
uuuur uuur
BM CN
别是边 BC 、 CD 上的点，且满足 uuur uuur，则 AM AN 的取值范围是
BC CD
22．已知 O 为坐标原点， F 为椭圆C : x2y2 1 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 - 2
2
uuur uuur uuur
0.
的直线 l 与C交与A、B两点，点P满足OA OB OP
（Ⅰ）证明：点P 在 C 上；
（ II ）设点 P 关于 O 的对称点为Q，证明： A 、P、 B、 Q 四点在同一圆上。
23、如题（ 21）图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e=2
，一条准线的方程是x 2 2 2
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
uuuv uuuuv uuuv
OM 与 ON （Ⅱ）设动点 P 满足：OP OM2ON ，其中M、N是椭圆上的点，直线
的斜率之积为1
210 的，问：是否存在定点 F，使得PF与点 P 到直线 l ：x
2
距离之比为定值；若存在，求 F 的坐标，若不存在，说明理由。
答案：
1、 D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
解析： BA CD EF CD DE EF CF ，选 D．
2、B解析：∵以原点为起点的向量(a,b) 有(2,1)、 (2,3)、 (2,5) 、(4,1) 、(4,3)、 (4,5)共 6个，可作平行四边形的个数n C6215 个，结合图形进行计算，其中由(2,1) (4,1) 、 (2,1) (4,3)、 (2,3)(4,5) 确定的平行四边形面积为
2，共有 3 个，则m
3
1
，选 B ．n155
3、 C
4、 C
5、 D
6、 C
7、 D
8、B
9、 D10、 B11、 C12、Ｄ 13、 D
14、
15
16、( 4,2)17、 -6.18、519、1 3
15、
2
20、【答案】(2sin 2,1cos 2)
【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA 2 ，即圆心
角PCA2,,则PCA2
2
,所以
PB sin( 2)cos2 ， CB cos(2) sin 2，所以
22
x p2CB2sin 2 ， y p 1PB1cos2，所以 OP (2 sin 2,1cos2) .
x2cos 另解：根据题意可知滚动制圆心为（ 2,1 ）时的圆的参数方程为
1，且
y sin
3x2cos(
3
2)2sin 2
PCD2, 2 ，则点P的坐标为2，即2y132)1cos2
sin(
2
OP(2 sin 2,1cos2) .
21. 【答案】 [1,4].
BM CN
【解析】设=（ 0≤≤ 1），
BC CD
则 BM BC =AD ,DN(1)DC = (1)AB ，
则 AM AN = ( AB BM)( AD DN) =( AB AD )[ AD(1) AB]
= AB AD +(1
22
) AD AB , ) AB +AD + (1
又∵ AB AD =0，
∴ AM AN =4 3 ，
∵0≤≤1，∴ 1≤AM AN ≤4，即 AM AN 的取范是[1,4].
22 、解：（ I ） F （ 0 ， 1 ），l的方程y2x 1 ，代入x2y2 1 并化得
2
4x2 2 2x 10.
A(x1, y1 ), B( x2, y2 ), P(x3, y3 ),
x12
6
, x22 6 , 44
x1 x22
, y1 y22( x1 x2 ) 2 1, 2
2
由意得
x3(x1x2 ), y3( y1y2 ) 1.
2
所以点 P 的坐( 2 ,1).
2
，点 P 的坐( 2 ,1)足方程
2
x2y21,故点P在C上。???? 6 分2
（ II ）由P( 2 ,1) 和知，Q (2 ,1)
22
PQ 的垂直一部分l1的方程y
2
x.①2
AB 的中点 M ，M (21
l 2
21 ,) ，AB的垂直平分的方程 y x. 4224
由①、②得 l1, l2的交点 N (2
,
1
) 。???? 9 分88
| NP |
(
2 2 )2 ( 1 1) 2
3 11 ,
2
8 8
8
| AB |
1 (
2) 2 | x 2 x 1 | 3 2 ,
2 | AM |
3
2 ,
4
| MN |
(
2
2 )2 ( 1 1)2
3 3 ,
4
8
2
8 8
| NA |
| AM |2
| MN |2
3 11 ,
8
故 |NP|=|NA| 。
又 |NP|=|NQ|， |NA|=|NB| ，所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ| ， 由此知 A 、P 、 B 、 Q 四点在以
N 心， NA 半径的 上
???? 12 分
23、解：（ I ）由 e
c 2 , a 2 2 2, a
2 c 解得 a 2, c2, b 2
a 2 c 2 2
，故 的 准方程
x 2
y 2
1.
4 2
（ II ） P( x, y), M (x 1, y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ， 由
uuur uuuur uuur
OP OM 2ON 得
(x, y) (x 1 , y 1 ) 2( x 2 , y 2 ) ( x 1 2 x 2 , y 1 2 y 2 ), 即x x 1 2x 2 , y y 1
2 y 2 .
因 点 M ， N 在 x 2
2 y 2 4 上，所以
x 12 2 y 12 4, x 22 2 y 22
4 ，
故 x 2
2 y 2
(x 12 4x 22
4x 1 x 2 ) 2( y 12 4 y 22 4y 1 y 2 )
( x 2 2 y 2 ) 4(x 2 2 y 2 ) 4( x x 2
2 y y 2)
1
1
2
2
1 1
20 4(x 1 x 2 2 y 1 y 2 ).
k OM ,
k ON 分 直
OM ， ON 的斜率，由 条件知
k OM
y 1 y 2 1 k ON
, 因此 x 1 x 2 2 y 1 y 2 0,
x 1x 2
2
所以 x22y220.
x2y2
1上的点，该椭圆的右焦点为 F ( 10,0) ，离心率所以 P 点是椭圆
2( 10) 2
(2 5)
2
e,直线 l : x 2 10 是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点2
F ( 10,0) ，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。