1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
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班级____________姓名___________
学习目标
1 会推导勾股定理的逆定理；
2 会用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形。
学习重点：勾股定理的逆定理推导和应用 学习难点：勾股定理的逆定理应用 学习过程 一 温固知新 1、什么叫勾股定理？
2、怎样判断一个三角形是直角三角形？
3、 一次一队建筑工人上班时只带了一根皮尺，忘记带直角工具了，但是需要需要作一个直角，怎么办呢？有人提出这样作：
在皮尺的3米处，7米处12米处打好结，并用木桩固定然后围成一个三角形，就可以得到一个直角了，你认为它这个方法对吗？
二 合作交流（自主学习）
1 、已知：△ABC 中，AB=c ，BC=a,AC=b ，且222c a b =+， 求证：∠C=90°
分析：直接证明很困难，但可以作一个直角三角形使它的两条直角边分别等于a,b,如果作出的这个直角三角形的斜边等于C ，那么这个三角形就与已知三角形全等，已知三角形也就是直角三角形了。
交流讨论：作出的三角形斜边是否等于c?
归纳：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、尝试应用
1已知△ABC 的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？ （1） a=8,b=15,c=17 , (2) a =10,b=24,c=25 ， （3）a=10,b=6,c=8 （4）7911
,,222
a b c ===
C
A c
b 3米
米
12米b '
B A '
已知三边判断三角形是不是直角三角形的方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、 应用提高
1 、如图，在△ABC 中，已知AB=5,CD=15,AC=17,你能求出DB 的长吗？
2 、 某地有A 、B 、C 三个村庄，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1,0),B(4,0)C(1,4),现在要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等，你能在图中根据这一要求确立学校的地址吗？
3、如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠C ＡＢ＝５５°，求∠B 的大小．
4、如图，四边形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， C D ＝３， ＤＡ＝１， 且∠B ＝９０°，求∠D ＡＢ的度数．
D
C
B
A
y
x
C B
A
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
A C D C 直角三角形的性质和判定 一、知识要点 1、直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，两锐角； （2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半； （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ___________； （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。 2、直角三角形的判定： （1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形； （2）有两个角_____________的三角形是直角三角形； （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识运用典型例题 例1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， CD⊥AB， (1) 若BD=8，求AB的长； (2) 若AB=8，求BD的长。 例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=x°，∠B=2x°求x。 例4、如图，已知AB⊥BC，AE∥BC，∠1=45°，∠E=70°．求∠2，∠3，∠4的度数．
例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。 C 例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。 三、知识运用课堂训练 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，AC=BC，CD⊥AB于D点，则CD=_______cm； 2、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 3、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，它的最大边长为6cm，那么它的最小边长为_________cm； 4、直角三角形中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为12cm，则斜边长为_____________; 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，∠B=30°， 则AC=_____cm A D C B
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
1．2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C 中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2； (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 探究点二：勾股定理
列举直角三角形有哪些性质？ 1两个锐角：2含30度角3斜边上的中线4面积 测试题： 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等腰三 角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4.已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 5.如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上，且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 再练习： 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=_______________ 5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于D,AB于E, 求证AD=2BC.
M F E D C B A 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ； 2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 4、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？ 5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF. 6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF C B A E F C B A G E F D C B A
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三 角形的边长． 2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
知识点睛 直角三角形性质梳理： 1.从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2.添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3.特殊的直角三角形
4.垂直（多个）①等面积法 ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ， 分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． 第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ， BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．
第1章直角三角形 1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时直角三角形的性质和判定 1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点) 2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点) 一、情境导入 在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质． 二、合作探究 探究点一：直角三角形两锐角互余 如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等 于() A．110°B．100°C．80°D．70° 解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A. 方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形 如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是直角三 角形． 解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口， 本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12 (180°－∠BCD )，∠F ＝12 (180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证． 证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12 (180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12 (∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12 ×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形． 方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点． (1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分AD . 解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12 AB ，DF ＝AF ＝12 AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可． (1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12 ×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12 ×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18； (2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD . 方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定 第1课时 直角三角形的性质和判定 学习目标 1、熟练掌握直角三角形的性质、判定和运用. 2、在实际的操作中去发现直角三角形的特性，并能自主探究证明方法. 一、自主学习 认真阅读教材P1-4页内容，掌握以下基础知识： 1、三角形的内角和是 . 2、在直角三角形中，两个锐角的和是 . 3、直角三角形的判定定理： . 4、动手操作：如图，画出直角三角形ABC 斜边的中线；猜一猜，量一量；这条中线与斜边在长度上有什么关系？ AB= CD= 探究得出：在直角三角形中，斜边上的中线等于 . 写出证明过程： B D C A 二．合作探究 1、如图，在三角形ABC 中，∠A+∠B=90°,求证：三角形ABC 是一个直角三角形. 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若AB=6cm,求CD 的长；（2）若CD=6cm,求AB 的长. B D C A 3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形. B D C A 4、如图，AB//CD ,∠BAC 和∠ACD 的平分线相交于点H,E 为AC 的中点. A C B
求证：（1）△ACH 是Rt △;（2）AC=2EH. H E D B C A 四、巩固小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 五、当堂测评 1、直角三角形中，到三个顶点的距离相等的点是 . 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若DB=5cm,则CD= ； （2）若CD=12cm,则AB= ; （3）若∠A=40°，则∠BDC= ; (4)若AB+CD=15cm,则AB= ,CD= . B D C A
1．2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】 判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC 中，不是 直角三角形的是( ) A ．∠A ＋∠ B ＝∠ C B ．∠A －∠B ＝∠C C ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 D ．∠A ＝∠B ＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A 中∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∠C ＝90°，为直角三角形，同理，B ，C 中均为直角三角形，D 选项中∠A ＝∠B ＝ 3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】 直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC 中，AD ⊥BC 于 D ，C E ⊥AB 于E . (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A 是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE 都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D ＝∠E ＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，∴∠1＝∠2； (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 探究点二：勾股定理
学生做题前请先回答以下问题 问题1：看到直角，有哪些思考角度？ 问题2：特殊角30°、45°的用法是什么？ 直角三角形性质综合应用（二）（北师版） 一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， 若AC=12cm，则AD=( )cm． A.4 B.8 C.6 D.无法确定 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形 2.如图，等边△DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且DE⊥BC于E．若AB=1，则BD的长为( )
A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形 3.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AB=4，D为直线BC上一点，且AD=2CD，则DB=( ) A. B.
C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形 4.如图，在矩形ABCD中，AB>AD，AB=1，AN平分∠DAB，DM⊥AN，垂足为M，CN⊥AN，垂足为N，则DM+CN的值为( )
A.1 B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形 5.已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④． 其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形 6.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F．已知BD=2，CD=1，∠ABC=30°，有下列结论： ①∠AED=∠ADC；②；③AC·BE=2；④BE=DE．其中正确的有( )
第1章直角三角形 第1课时直角三角形的性质和判定(1) 班级：组名：姓名编号： 【学习目标】 1.知道直角三角形两个锐角互余的性质． 2. 会用判定定理“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形． 3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 【预习导学】 1.看书：教材P2~ P4的内容，认真领会例1后回答下列问题。 2.解答下列问题： ①直角三角形可用符号“______”来表示，直角三角形的两个锐角__________。 ②_____________________________的三角形是直角三角形。 ③直角三角形______ ___边上中线等于_________边的___________。 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，则 CD=_________=___________=______AB；∠ADC=___∠B，∠BDC=___ ∠A。 【自主探究】 1.若∠A=40°，∠B ＝50°，则，△ABC是一个________三角形. 2.若等腰三角形中，有一个底角是45°，则这是一个_____________三角形. 3.如图，CD是R t⊿ABC斜边上的高.则与∠A互余的角有 _____________与∠B互余的角有_____________，图中一共有 __________对互余的角。 4.上图中，∠A =∠___________ ，∠B =∠___________ 5.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线， ①若AB=8cm，则CD=_______，若∠A=35°，那么∠ACD=_________ ②若∠CDB=80°，则∠A=_____ ∠B=_____ 【合作探究】 1.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是三角形。如果三角形的 一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是三角形。 2.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是三角形。在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶8，则△ABC是三角形。 3.△ABC中,若CD是AB的中线，且CD=1 2 AB，则△ABC是三角形， ∠是直角。
直角三角形性质应用（讲义） 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 1 30° 2 3 42 1 1 A B A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂 线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A B C D E 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． F E C B A 4 3 2 4 3 2 第3题图 第5题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相 交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 4. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________． 5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角 形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10 B ．C ．10 或 D ．10 或 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若 ∠CBD =30°，则AD DC =_________． 7. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ， ∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________． D C B A
主备人： 盛翠仲 备课组长： 学科组长: 【 学前反馈】 （单号）在ABC Rt ?中，CD 是ABC ?的中线，A ∠=?30，求DCA ∠。 （双号）如图ABC ?的两条高为BE ，CF ，M 是BC 的中点，求证ME= MF 【 学习目标 】 1、阅读教材P 87～P89页，进一步掌握直角三角形的其他性质。 2、通过完成基础演练，初步利用直角三角形的性质。 3、通过完成综合提升，加强分析和解决一些关于直角三角形实际问题的能力。 【 新知探究】 阅读教材P 87～P89页，完成下列问题 1、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90BCA ，如果A ∠=?30，那么BC 与斜边AB 有什么关系呢？ 取线段AB 的中点D ，连接CD ，即CD 为ABC Rt ?斜边AB 上的中线。则有CD= 2 1 _______ =_______。因为?=∠+∠90B A ，且已知?=∠30A ，则B ∠=_____所以CBD ?为等边三角形，于是得BC=CD=BD= 2 1 AB 。由此，我们可得出： ________________________________________________________。 2、如图，在ABC Rt ?中，如果BC= 2 1 AB ，那么A ∠等于多少？ 取线段AB 的中点D ，连接CD ，即CD 为ABC Rt ?斜边上的中线，则CD=2 1 _______=BD 。又已知 BC=2 1 ______，所以CD= ______=BC ，即ABC ?为等边三角形，于是?=∠60B 。而?=∠+∠90B A ， 所以=∠A ______。由此得出：____________________________________________________________ 。 【 基础演练】 1、在ABC ?中，若?=∠120BAC ，?=∠=∠30BAD B ，AD = 3，DC=________ 斗笠山镇中心学校 八 年级 数学 科导学案 备课日期 11、12 课 题 直角三角形的性质与判定（2） 课 型 新授课 小 主 人 姓 名 班 级 D B C A M B C A F E D B C A D B C A C B A D
湘教版八年级下册数学1.2.1直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 勾股定理同步练习 一、选择题(本大题共8小题) 1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米． A．9 B．24 C．45 D．51 2.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（） A．13 B．13或119C．13或15 D．15 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（） A．13 B．8 C．25 D．64 4.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1 5.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（） A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3 6.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A．25 B．7 C．5和7 D．25或7 7.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（） A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm 8.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（） A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
二、填空题(本大题共6小题) 9.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ． 10.如图，正方形B的面积是． 11.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是． 12.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm． 13.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积． 14.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于． 三、计算题(本大题共4小题) 15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
直角三角形的性质 （一） 1．在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线， 若CD=5cm,则AB=_____三角形ABC 的面积=____________ 2. 在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线， 图中有__________等腰三角形. 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点， AB=6，求DE 的长。 4、E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证：EF ⊥BD 直角三角形性质（二） 1、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 2、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 3、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC. 4、 5、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD D A C B A
5.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 直角三角形的性质(三) 1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ； 2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 4、已知：∠ABC=∠ADC=90 度，E 是AC 中点。 求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？ 5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF. 6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF E F C B A M F E D C B A G E F D C B A
初中数学直角三角形性质应用综合题 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,连接AD,G为BC上一点,过点G做GE⊥AB于点E,GF⊥AC 于点F,AD与GF相交于点H,则∠BAD的余角个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 2.如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直 角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2的值为() A.169 B.25 C.19 D.13 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理及其逆定理 3.如图,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,则() A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1与∠2大小关系不能确定 答案：B 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
4.如图所示,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD,2CE=AC,那么CE的长是 () A. B.2 C. D.4 答案：C 试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形 5.直角三角形的一个角是45°,最长的边长是10,这个三角形的面积是(). A.50 B.12.5 C.25 D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：常用直角三角形的三边关系 6.如右下图,等边△ABC外一点P到三边距离分别为h1,h2,h3,且h3+h2-h1=3,其中 PD=h3,PE=h2,PF=h1.则△ABC的面积S△ABC=() A. B. C. D.9 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
直角三角形全等的判定 【知识点总结】 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【典型例题讲解】 例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC. 例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE ： 例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。 【随堂练习】 1．选择： （1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个 ①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等 ③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等 A．0 B．1 C．2 D．3 （2）在下列定理中假命题是（） A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形 C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 （3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（） A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3 （4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（） A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定 （5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（） A．30°B．60°C．120°D．150° 2．解答： （1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC. （2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.