第三章
3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 36
936
2
++=
s s G B 。 试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？
解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。 )/(6
36秒弧度==n ω
（弧度）
秒（弧度72.041.411)
/97.3166
.0175.0292
1
2
2
=?=-==-?==-==
-ζ
ζ
θζωωζ
ωζtg
n d n
上升时间 t r 秒61.097.372
.014.3=-=-=d r t ωθπ 峰值时间t m 秒79.097
.314.3===
d m t ωπ 过度过程时间t s %)2(89.06
75.04
4
秒=?=
=
n
s t ωζ
%)5(70.06
75.03
3
秒=?=
=n
s t ωζ
超调量δ％
%8.2%100%100%66
.075
.012
=?=?=-
--
πζ
π
ζδe
e
3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为 )
1(1
)(+=
s s s G K
试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。
解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为 1
1
)()()(2++==
s s s X s Y s G B 与二阶系统传递函数标准形式2
222n
n n s s ωζωω++相比较可得12,12
==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。
故，单位阶跃响应的性能指标为
秒秒秒
61
5.03
3
%)5(815.04
4
%)2(%4.16%100%63.312
12
=?=
=
=?===?==-?=
--n
s n
s n m t t e
t ζωζωδζ
ωπζπζ
3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间
m t =0.5秒，试确定K 和τ的值。
图1
解：[题意分析]这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,n ω的关系；通过ζ,n ω把%δ,m t 与K,τ联系起来。 由系统结构图可得闭环传递函数为 K
s K s K
s K s s K s X s Y s G B +++=+++==
)1()1()1()()()(2ττ 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得
2
2
1
212;
n
n n n K K ωζωττζωω-=
+==或
由题目给定： %25%100%2
1=?=--ζζ
πδe
即 25.02
1=--ζζ
πe
两边取自然对数可得 3863.125.0ln 12
-==--ζ
πζ
4.03863
.13863
.12
2=+=
πζ
依据给定的峰值时间： 5.012
=-=
ζ
ωπn m t （秒）
所以 85.615.02
=-=ζ
π
ωn （弧度/秒）
故可得
4795.462
≈==n K ω
τ≈0.1
3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ?= 时，试求：
(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。
(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。
图2
解：[题意分析]这是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。关键是求出 n ω,ζ,θ。(2)的求法与例4－3－3相似。
(1) 由结构图可知闭环传递函数为 50
250
)()()(2++==
s s s X s Y s G B 可得 )/(07.750秒弧度==n ω
弧度43.195.811;14.0222
1
=?=-===-ζ
ζ
θωζtg
n
由于s
s X 2
)(=
输出的拉氏变换为 22222)(n
n n
s s Y ωζωω++?=
则拉氏反变换为
[]
%)
2(71.307
.714.04
4
%)
5(78.207
.714.03
3
45.099
.007.714
.3124.099.007.743
.114.31%64%100%100%)
95.817sin(01.112)sin(112)(2
299
.044
.01995.02
2
秒秒秒
秒=?=
=
=?===?=
-==?-=-?-=
=?=?=?+-=??
??????+?--=-
--
--n
s n
s n m n r d t
t t t t e e
t e t e t y n ζωζωζ
ωπζ
ωθπδθωζζ
ζ
ωζ (2) 当τ≠0时，闭环传递函数
50
)5.02(50
)()()(2+++==
s s s X s Y s G B τ )/(07.750秒弧度==n ω
5
.0)
1(25.022-=
+=n n ζωττ
ζω得
由 %20%100%2
1=?=--
ζ
ζπ
δe
2.02
1=--
ζ
ζπ
e
两边取自然对数 61.12.0ln 12
-==--
ζ
ζπ
， 可得
46.061.161.12
2
=+=
π
ζ
故 73.85
.)
107.746.0(2=-?=o τ
%)2(92.007
.746.03
3
秒=?=
=
n
s t ζω
3-5
(1) 什么叫时间响应
答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
(2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？
答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。
(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？
答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。
(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？
答：延迟时间d t ；上升时间r t ；峰值时间m t ；调节时间s t ；最大超调量%δ.d t ,r t ,m t ,s
t 反映系统的快速性，即灵敏度，%δ反映系统的相对稳定性。
3-6设系统的特征方程式为 06111262
3
4
=++++s s s s
试判别系统的稳定性。
解：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别。
36
)
61(0
455)6(366101166
1210
12
3
4s s s s s 同乘同乘 由于第一列各数均为正数，故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为 0)1)(3)(2(2
=++++s s s s
根2
321,3,24,321j s s s ±-
=-=-=均有负实部，系统稳定。
3-7设系统的特征方程式为 0222
3
=+++s s s
解：列劳斯表
2
12
2
10
1
23ε
s s
s s
将特征方程式因式分解为 0)2)(1(2
=++s s
根为 2,
132,1-=±=s j s
系统等幅振荡，所以系统临界稳定。
3-8 单位反馈系统的开环传递函数为 )
125.0)(11.0()(++=
s s s K
s G k
试求k 的稳定范围。
解：系统的闭环特征方程： 0
35.0025.00)125.0)(11.0(2
3
=+++=+++K s s s K s s s
列劳斯表
K
s K K
s K
s s 0
12
302.035.035.01025.0-
系统稳定的充分必要条件 K>0
0.35-0.025K>0
得 K<14
所以保证系统稳定，K 的取值范围为0 3-9 (1) 系统的稳定性定义是什么？ 答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不 稳定。 (2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？ 答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半部。 (3) 误差及稳态误差的定义是什么？ 答：输出端定义误差e(t)：希望输出与实际输出之差。输入端定义误差e(t)；输入与 主反馈信号之差。稳态误差，误差函数e(t)，当t →∞时的误差值称为稳态误差,即 3-10已知单位反馈随动系统如图3所示。若16=K ，s T 25.0=。试求： （1）典型二阶系统的特征参数ζ和n ω； （2）暂态特性指标p M 和)5(00 s t ； （3）欲使 016=p M ，当T 不变时，K 应取何值。 图3随动系统结构图 解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为 T K s T s T K K s Ts K s Φ++= ++= 1/)(22 与典型二阶系统的传递函数比较 2 22 2s (s)n n n s Φωζωω++= 得 KT T K n 21,== ζω 已知K 、T 值，由上式可得 25.021 ),/(825.016===== KT s rad T K n ζω 于是，可 % 47%100%100%2 2 25.0125.01=?=?=-- -- πζ ζπ e e M p ) %5(5.18 25.03 3 =?=?= ≈ s t n s ζω 为使 016=p M ，由公式可求得5.0=ζ，即应使ζ由0.25增大到0.5，此时 425.025.04141=??=≈ ζT K 即K 值应减小4倍。 3-11控制系统框图如图4所示。要求系统单位阶跃响应的超调量 % 5.9=p M ，且峰值时间 s t p 5.0=。试确定1K 与τ的值，并计算在此情况下系统上升时间r t 和调整时间)2(00 s t 。 图4 控制系统框图 解：由图可得控制系统的闭环传递函数为： 1 2 110)101(10)() (K s s K s R s C +++=τ 系统的特征方程为010)101(12 =+++K s s τ。所以 τξωω1012,102 1+==n n K 由题设条件： 095 .0%1002 1=?=--ξ ξπe M p ， s t n p 5.012 =-= ξ ωπ 可解得854.7,6.0==n ωξ，进而求得 84.0101 2,15.610 21=-= == n n K ζωτω 在 此 情况下 系统上升时间 rad s t n r 9273.01.53)(cos 35.01012 ====--= -ζθζωθπ 调整时间 85 .04 %)2(=≈ n s t ζω 3-12设系统的特征方程式分别为 1．05432234=++++s s s s 2．01222 34=++++s s s s 3．022332 345=+++++s s s s s 试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。 1．列劳斯表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 -6 s0 5 劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1→-6→5，所以系统有两个根在s 平面的右半平面。 2．列劳斯表如下 s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0(ε) 1 s1 2-2/ε s0 1 由于ε是很小的正数，ε行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s 平面的根。 3．列劳斯表如下 s5 1 3 2 s4 1 3 2 s3 0 0 由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为 A(s)= s4+3s2+2s0 将辅助方程式A(s)对s 求导数得 s s ds s dA 64) (3+= 用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为 s5 1 3 2 s4 1 3 2 s3 4 6 s2 3/2 2 s1 2/3 s0 2 从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s 右半平面。但由于辅助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系统有两对共轭虚根s1,2=±j ，s3,4=±j2，因而系统处于临界稳定状态。 3-13已知系统结构图如图5所示，试确定使系统稳定 的K 值范围。 解： 解题的关键是由系统结构图正确求出系统的特征 方程式，然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的K 值范围。 图5控制系统结构图 闭环系统的传递函数为 K s s s K s Φ+++=23)(23 其闭环特征方程式为 s3 + 3s2 + 2s+ K =0
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