四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试
试题（1）理
第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ?-=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{
}2
(,)|1A x y y x
==-，{}(,)|2B x y y x ==，则A
B 中元素的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，则p 是q 的
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条
件
4．函数2
1()cos 2
f x x x =
+的大致图象是 A ．B ．C ．
D ．
5．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为
A ．12
-
B ．2-
C ．1- 或
12
D ．1 或 12
-
6．5
()(2)x y x y +-的展开式中33
x y 的系数为( ) A ．－30
B ．－40
C ．40
D ．50
7．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为 A ．
12
B ．
35
C ．
25
D ．
310
8．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A ．3πa 2
B ．6πa 2
C ．12πa 2
D ．24πa 2
9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有 A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．64种
10．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最大值为2；
③()f x 在[],ππ-有3个零点；④()f x 在区间0,
4π??
???
单调递增. 其中所有正确结论的编号是 A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．①④
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一
点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范
围是 A ．(]1,2
B ．(]1,4
C ．[)2,+∞
D ．[
)4,+∞ 12．已知函数()ln 1f x x =+，()12
2x g x e -
=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是
A ．1ln 22
+
B ．2e -
C ．1ln 22
-
D
12
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知随机变量ζ服从正态分布(
)2
2,N δ
，则()2P ζ<=___________.
14．已知实数x ，y 满足205
y x x y x y ≥??-≥??+≤?
，则2y
z x =+的最大值为______.
15．已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______．
16．函数32
()sin 3cos ,32f x x x x ππ??
??=+∈-
???????
的值域为_________． 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分
17．（12分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin sin C B A B =+-． (I)求角A 的大小
（II
）若a =
ABC
的面积2
S =
,求△ABC 的周长． 18．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行
一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
x
1 2 3 4 5
6 7
y
5 8 8 10 14 15 17
(I)经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二
乘法求出y 关于x 的线性回归方程???y
bx a =+； （II ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为1
6
，获得“二等奖”的概率为
1
3
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．
参考公式：1
2
21
?n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，??a
y bx =-，71
364i i i x y ==∑，7
21
140i i x ==∑． 19．（12分）如图在直角ABC ?中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ?沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
20．（12分）已知抛物线()2
1:20C x py p =>和圆()2
22:12C x y ++=，倾斜角为45°的
直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （Ⅰ）求p 的值；
（II ）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．
21．（12分）已知函数()()222ln ,2a
f x ax x
g x ax ax x
=
+-=-+ （Ⅰ）若0,a ≥讨论()f x 的单调性;
（II ）当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中
[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.
参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,
23sin x t y t =+??=-+?
（t 为参数），在极坐标系（与
平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，
直线l ()sin 4m m R πθ??
-
=∈ ??
?
. （Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （II ）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|21|f x x =-．
（Ⅰ）解不等式()||3f x x <+；
（II ）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(6
7)f x ≤．
理科数学参考答案
1．B 2．C
3．C
4．C
5．D
6．C
7．D
8．B
9．C
10．D
11．B 12．A
13．12
14．1011
15．1
[,)3
+∞
16
．68??
-?
???
17．（I ）∵A B C π++=，∴()C A B π=-+．
∴sin sin()sin sin()C A B B A B =+=+-，
∴sin ?cos cos ?sin sin sin ?cos cos sin A B A B B A B A B +=+-，
∴2cos ?sin sin A B B =，∴1cos 2A =
，∴3
A π
=． （II
）依题意得：2221·sin {22cos ABC S bc A a b c bc A
?==
=+-∴226{13
bc b c =+=， ∴2
2
2
()225b c b c bc +=++=，∴5b c +=，
∴5a b c ++=+
∴ABC ?
的周长为5
18．（I ）依题意：()1
123456747
x =
++++++=， ()158810141517117y =++++++=，72
1140i i x ==∑，7
1
364i i i x y ==∑，
7
17
2217364741121407167?i i i i i x y xy b x x ==--??===-?-∑∑，11243??a y bx =-=-?=， 则y 关于x 的线性回归方程为?23y
x =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：
()1110224P X ==?=，()111
3002233
P X ==??=，
()11115
6002332618
P X ==?+??=，
()1119002369P X ==??=，()111
12006636
P X ==?=．
所以，总金额X 的分布列如下表：
X
0 300 600 900 1200
P
14 13 518 19 136
总金额X 的数学期望为11511
030060090012004004318936
EX =?
+?+?+?+?=元． 19．证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MN
BC =，1
2
EF BC =，∴ 四边形EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BE
EF E =，∴ EF BDE ⊥平面，
∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥，在DFC ?中，DF FC =， 又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MF
MN M =，∴MF BCD ⊥平面．
解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E =，
∴ DE BEF ⊥平面，
以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
设2BC =，则()000E ，
，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-，
设面EMF 的法向量(),,m x y z =，则0
0m EF y m FM x z ??==??=-+=?
，取1x =，得()1,0,1m =，
同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =，设二面角E MF C --的平面角为θ，
则3cos m n m n
θ?=
=
?，∴ 二面角E MF C -- 20．解：（1）依题意设直线1l 的方程为2
p
y x =+
， 由已知得：圆222:(1)2C
x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =1l 与圆2C 相切，
所以圆心到直线1:
2
p
l y x =
+的距离d
=
=
=6p 或
2p =-（舍去）．
所以6p
；
（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为2
12x y =，
所以2
12
x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，
所以切线2l 的方程为1111
()6
y x x x y =
-+． 令0x =，21111111
1266
y x y y y y =-+=-?+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，
所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，
∴()12,6MN MA MB x m =+=-，∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．设N 点坐标为(,)x y ，则
3y =，
所以点N 在定直线3y =上．
21．解：（1）()222
2122'2a ax x a
f x a x x x --=-+-=
对于函数()2
22,h x ax x a =--21160a ?=+>
当0a =时，则()1
'0,f x x
=-
<()f x ∴在()0,∞+单调递减；
当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a
<<
∴()f x 在? ??
单调递减；
令()0f x '>，解得x >()f x 在14a ??++∞
? ???
单调递增． （2）
0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程
222ln 2a
ax x ax ax x
+-=-+ 即方程2
2ln 0a
ax x x
+
-=在()0,∞+只有一个根 令()2
2ln a F x ax x x =+-，则()32
22'ax x a F x x --= 令()[)3
22,0,x ax x a x ?=--∈+∞，则()2
'61x ax ?=-
()0,a x ?>∴在? ?单调递减，在?+∞???上单调递增，故()min x ??=
注意到()()020,a x ??=-<∴在? ?无零点，在?+∞???
仅有一个变号的零点m ()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>
根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =
200030
02ln 0220
a
ax x x ax x a ?+-=?∴??--=?消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--
令()3
3
2ln 11
H x x x =--
-，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-
=?-<，()292932ln 32 1.00902626
H =-=?-> ()[]002,3,2x x ∴∈∴=
22．（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()2
2
129x y -++=.
πsin 4m θ?
?-= ???，得sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为
0x y m -+=.
（Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2
2
=，解得3m =-±23．（1）由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+，
则12213x x x ?≥???-<+?，或102
123
x x x ?
<
或012 3.x x x ≤??-<-+?， 解得
142x ≤<，或1
02
x <<，或20x -<≤，即24x -<<， 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<.
（2）证明：由1|31|3x y -+≤
，1
|21|6
y -≤， 所以217
()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326
f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤
+=.