综合练习
一、单项选择题
1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB 正确答案：A
2．方程组???
??=+=+=-3
31232121a x x
a x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．
A ．0321=++a a a
B ．0321=-+a a a
C ．0321=+-a a a
D ．0321=++-a a a
正确答案：B
3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式 B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 正确答案：D
4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ． B ． C ．
D ．
正确答案：A 5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．
A ．55-x
B ．5/15
-x
C ．n x /15-
D ．15
-x
正确答案： C
6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立．
A . I AA =-1
B . A A ='
C . 1-='A A
D . A A =-1 正确答案：B
7．=?
?
?
???-1
5473（ ）．
A . ??
????--3547 B . 7453-????
-?? C . 7543-????-?? D . 7543-??
??
-??
正确答案：D
8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．
A .
B . A O ≠
C .
D . A 的行向量线性相关
正确答案：A
9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．
A . ?=A
B 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=
C . ?=AB 且A B U +=
D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P 正确答案：C
10．对来自正态总体
（
未知）的一个样本
，记∑==3
1
31i i X X ，
则下列各式中（ ）不是统计量．
A . X
B .
∑=3
1
i i
X
C . ∑=-312
)(31i i X μ D . ∑=-31
2)(31i i X X
正确答案： C
二、填空题
1．设22112
1
12214
A x x =-+，则0A =的根是 ． 应该填写：1，-1，2，-2
2．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 应该填写：3 3．设互不相容，且，则 ． 应该填写：0
4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ． 应该填写：np
5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n
i i x n x 1
1，则~x ．
应该填写： )1
,0(n
N
6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ．
应该填写：8
7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=
8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ． 应该填写：0.3
9．如果随机变量
的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．
应该填写：20
10．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量
三、计算题
1．设矩阵100111101A ??
??=-??
??-??
，求1()AA -'． 解：由矩阵乘法和转置运算得
100111111111010132101011122AA --??????
??????'=-=-??????
??????----??????
利用初等行变换得
100201001112011101????→????-??100201011101001112??
??→---??
????
即 1201()011112AA -??
??'=??
????
2．求下列线性方程组的通解．
123412341
234245353652548151115
x x x x x x x x x x x x -++=??
-++=??-++=? 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即
245353652548151115-?? ?- ? ?-??→245351201000555-?? ?-- ? ???
→120100055500555--?? ? ? ???→120100011100000--?? ? ? ???
方程组的一般解为：124
3
421x x x x x =+??=-+?，其中2x ，4x 是自由未知量．
令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，
． 方程组的导出组的一般解为：
124
342x x x x x =+??
=
-?，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，
，； 令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1
011)X '=-，，，． 所以方程组的通解为：
22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，
，，，，，，， 其中1k ，2k 是任意实数．
3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9
成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．
解：（1）P （1< X < 7）=)23
723231(-<-<-X P =)22
31(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186
（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)2
3
(-Φa = 0.9 所以 28.12
3
=-a ，a = 3 + 28.12? = 5.56 4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )
解：已知2=σ，n = 625，且n
x u σμ
-= ~ )1,0(N
因为 x = 2.5，01.0=α，995.02
1=-α
，576.22
1=-
α
u
206.0625
2576.22
1=?
=-
n
u
σ
α
所以置信度为99%的μ的置信区间为：
]706.2,294.2[],[2
121=+---n u x n u x σσαα
. 5．设矩阵??
??
?
?????=??????????--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 利用初等行变换得
????
??????--→??????????--102340011110001011100322010121001011 ??
??
??????----→??????????----→146100135010001
011146100011110001011 ??
??
?
?????-----→146100135010134001 即 ??
??
?
?????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得
??
??
?
?????-----=????????????????????-----=-520125151051585000500021461351341B A 6．当取何值时，线性方程组
???
??+=+++=+++-=--+1
4796
372224321
43214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
????
??????+-----→??????????+---19102220105111021211114796371221211λλ ??
??
??????----→??????????-----→100001051110849
0110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。当1=λ时，方程组有解。
此时齐次方程组化为
???+=--=4
324
3151149x x x x x x
分别令及，得齐次方程组的一个基础解系
[][]'
-='-=1054,0111921X X 令
，得非齐次方程组的一个特解
[]'
-=001080X
由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数） 7．设
，试求：(1)
；(2))75(< （已知9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ） 解：(1) (2) 8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm ，若已知这批滚珠直径的方差为206.0，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间． 解：由于已知 ，故选取样本函数 )1,0(~N n x U σμ -= 已知1.15=x ，经计算得 02.0306.09==σ 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为]9 ,9 [975 .0975 .0σ σ u x u x +-，又由已知条件 96.1975 .0=u ，故此置信区间为]1392.15,0608.15[ Gs2-38 四、证明题 1．设B A ,是n 阶对称矩阵，试证：B A +也是对称矩阵． 证明：B A ,是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 B A B A '+'='+)( 已知B A ,是对称矩阵，故有B B A A ='=',，即 B A B A +='+)( 由此可知B A +也是对称矩阵，证毕． 2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵． 证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2 所以，A 为可逆矩阵． 3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。 证明：设0332211=++βββk k k ，即 0)4()23()2(133322211=-++++ααααααk k k 0)42()32()(332221131=++++-αααk k k k k k 因为321,,ααα线性无关，所以 ??? ??=+=+=-0 42032032 2131k k k k k k 解得k 1=0, k 2=0, k 3=0，从而321,,βββ线性无关． 4．设随机事件,相互独立，试证：B A ,也相互独立． 证明： ))(1)(()()()()()()(A P B P B P A P B P AB P B P B A P -=-=-= )()(B P A P = 所以B A ,也相互独立．证毕． 5．设, 为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知 而，故由概率的性质可知 今天的活动就到这里，大家还有什么问题，请随时与我们联系。大家参与这次活动。再见！
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