条件收敛与绝对收敛

第四节 条件收敛与绝对收敛

对于任意项级数∑∞

=1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判

别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛。

定义10.5 对于级数∑∞

=1

n n a ，如果级数∑∞

=1

||n n a 是收敛的，我们称

级数∑∞

=1n n a 绝对收敛。

如果∑∞

=1

||n n a 发散，但∑∞=1

n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞

=1

n n a 条件收

敛。

条件收敛的级数是存在的，如∑∞

=+-11

.)1(n n n

收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。

定理10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然. 证明：设级数∑∞

=1

n n a 收敛，即∑∞

=1

||n n a 收敛，由Cauchy 收敛准

则,对0>?ε, 存在N ，当n >N 时，对一切自然数p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a 于是:

≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a

再由Cauchy 收敛准则知∑∞

=1

n n a 收敛。

由级数∑∞

=+-1

1

)1(n n n 可看出反之不成立。

注：如果正项级数∑∞=1

||n n a 发散，不能推出级数∑∞

=1

n n a 发散。

但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出

∑∞=1

||n n a 发散，则级数∑∞

=1

n n a 必发散，这是因为利用

Cauchy 判

别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞=1

||n n a 为发散时，是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞

=1

n n a 而言，它的一般项也不趋于零，所以级数∑∞

=1

n n a 发

散。

例10.38 讨论级数∑∞

=+++-11

1

12)1(n p n n

n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。

解，当0≤p 时,由于∞

→n lim

,01

12≠++p n n n

所以级数发散. 当2>p 时, 因为

∞

→n lim 1/11

12=++p p

n

n n n 而∑

∞

=1

1n p

n

收敛，所以原级数绝对收敛。

当20≤

p

p

n n n n

n n )

1()2(3)1(2+++-

++

=

2

2

2

22

2)

1()2)(1()34()1)(44(p p p p n n n n n

n n n n n +++++-+++

>

2

2

2

22

2)

1()2)(1()34()44(p p p p n n n n n

n n n n n +++++-++

=0)

1()2)(1(22

2

>+++p p p n n n n n

故{u n }单调减少, 且

∞→n lim 0112=++p n

n n 由Leibniz 判别法知

∑∞

=+++-1

1

1

12)

1(n p n n

n n 收敛，显然∑∞

=++11

12n p n

n n 发散，所以当20≤

设∑∞

=1n n a 是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新

级数记为

∑∞

=1

/n n a ，我们有下列定理: 定理10.18 设级数∑∞

=1

n n a 绝对收敛，则重排的级数∑∞

=1

/

n n a 也是

绝对收敛的，且其和不变。

证明：先设∑∞

=1n n a 是正项收敛的级数，此时有

∑=m

n n

a

1

/

≤∑∞

=1n n a =M , 对m =1,2,…, 均成立

即正项级数∑∞

=1/n n

a 的部分和数列有界，从而∑∞

=1

/

n n a 收敛，

且∑∞

=1/

n n a ≤∑∞

=1

n n

a

而正项级数∑∞

=1

n n a 也可看成是∑∞=1

/

n n a 的重排, 从而也有

∑∞

=1

/

n n

a

≤∑∞

=1

n n

a

所以∑∞=1

/n n a =.

1

∑∞

=n n a

对一般项级数∑∞

=1

n n a ，设∑∞=1

||n n a 收敛

记 u n =

2||n n a a +, v n =2

||n

n a a -, n =1,2,…, 显然有 0||n n a u ≤≤, 0||n n a v ≤≤, ,,2,1 =n

由比较判别法知正项级数∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 均收敛。因而重排后的

级数∑∞=1

/

n n u 与∑∞

=1

n n v 也收敛，且有

∑∞

=1

/n n u =∑∞

=1

n n u

∑∞=1

/n n v =∑∞

=1

n n v

从而，级数∑∞

=1

/

||n n

a =∑∞

=+1

//)(n n

n

v u 也收敛，即∑∞

=1

/

n n a 绝对收敛，且

有

∑∞

=1

/||n n

a

=∑∞=-1

//

)(n n

n

v u =∑∞=-1

/n n

u ∑∞

=1

/

n n v

=∑∞

=1n n u –∑∞

=1

n n v =∑∞

=-1

)

(n n n v u

=∑∞

=1

n n a

下面我们讨论条件收敛级数的重排:

定理10.19（Riemann ）设∑∞

=1

n n a 是条件收敛级数, 则

(1) 对任意给定的一个ξR ∈，必存在∑∞

=1

n n a 的一个重排∑/

n

a

使得∑∞

=1

/

n n a =ξ;

(2) 存在∑∞

=1

n n a 的重排级数∑∞

=1

/n n a 使

∑∞

=1

/n n a =∞+(或∞-)

证明：记 u n =

2||n n a a +, v n =2

||n

n a a - n =1,2,…

显然∑∞

=1n n u ,

∑∞

=1

n n v 都是正项级数，且有

∞

→n lim u n =∞

→n lim v n =0

易证得∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 均发散（请读者自行证明）

现考察序列

a 1, a 2,…, a n , …, (*)

用p m 表示数列(*)中第m 个非负项，用Q m 表示其中的第m 个负项的绝对值。显然{p m }是{u n }的子列，{Q m }是{v n }的子列，({p m }为{u n }中删去了一些等于零的项后剩下的数列)，因此 ∞

→n lim p m =∞

→n lim Q m =0

=∑∞=1

n n p +∞=∑∞

=1

n n Q

我们依次考察p 1,p 2,…中的各项，设1m p 为其中第一个满足以下条件的项

p 1+p 2+…+1m p >ξ

再依次考察Q 1,Q 2…中的各项，设1n Q 是其中第一个满足以下条件的项。

p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ

再依次考察 11+m p +21+m p +…中的各项，设2m p 是其中第一个满足以下条件的项。

p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…

–1n Q +11+m p +21+m p +…+2m p >ξ

照此下去，我们得到∑∞

=1

n n a 的一个重排∑∞

=1

/

n n a 如下

p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q

+11+m p +21+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q +12+m p +…

再分别用R k 与L k 表示级数∑∞

=1/n n a 的末项为k m p 的部分和与末项

为k n Q 的部分和，则有 |R k –ξ|≤k m p , k =2,3,… 否则与k m p 的选取有矛盾。 同理有

|L k –ξ|≤k n Q , k =1,2,3,…

因为 ∞

→k lim k m p =∞

→k lim k n Q =0

∴ ∞

→k lim R k =∞

→k lim L k =ξ

因为级数∑∞

=1

/n n a 的任一部分和/n s 必介于某一对L k 与R k 之间，

所以也应有

∞

→n lim /n s =ξ

即 ∑∞

=1

/n n a =ξ

（2）首先，任意选取一个严格单调上升并趋于+∞的实数，列{ξk }（例如, 可选ξk =k ,k =1,2,…）. 其次，用p k 表示序列{n a }中的第k 个非负项，用Q k 表示序列{n a }的第k 个负

项，设

p m 是p 1,p 2,…中第一个满足以下条件的项 p 1+p 2+…+1m p >ξ1

设1n Q 是Q 1,Q 2 ,…中第一个满足以下条件的项 p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ1

再依次考察11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项

p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p >ξ2

再依次考察11+n Q ,21+n Q …中各项，设2n Q 是其中第一个满足以下条件的项，

p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q >ξ2

依次做下去，我们得到∑∞

=1

n n a 的一个重排∑∞

=1

/

n n a , 这个重排级数

满足条件

.1/

+∞=∑∞

=n n a

同样可以得到一个重排，使得.1

/

-∞=∑∞=n n a

下面我们考察两个级数的乘积。

设∑∞

=1

n n a 与∑∞

=1

n n b 是两个级数,将(∑∞

=1

n n a )(∑∞

=1

n n b )定义为下列所有

项的和

443

42

41

4433323134232221241312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

由于级数运算一般不满足交换律与结合律。所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式 对角线排序法和正方形排序法。 定义10.6

a 11 a 12 a 1

b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………

令c 1= a 1b 1, c 2= a 1b 2+ a 2b 1, c 3= a 1b 3+ a 2b 2+ a 3b 1, …… c n =

=∑+=+1

n j i j i b a a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1

…………

我们称∑∞

=1n n c =∑∞=1(n a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1)为级数∑∞=1n n a 与∑∞

=1

n n b 的

Cauchy 乘积。

a 1

b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 …

a 2

b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………

令 d 1= a 1b 1, d 2= a 1b 2+ a 2b 2+ a 2b 1

……………

d n = a 1b n + a 2b n +…+ a n b n + a n b n -1+…+ a n b 1 ……………

则级数∑∞=1

n n d 称为级数∑∞=1n n a 与∑∞

=1n n b 按正方形排列所得的乘积.

定理10.20 如果级数∑∞

=1

n n a 与∑∞

=1

n n b 均收敛，则按正方形排序所

得的乘积级数∑∞=1

n n d 总是收敛的，且∑∞=1

k k d =∑∑∞

=∞=1

1)()(k k k k b a

证明：因为

s n =∑=n

k k d 1

=∑=n

k 1

(a 1b k + a 2b k +…+ a k b k +a 2b k-1+…+a k b 1)

=(∑=n k k a 1

)(∑=n

k k b 1

)

=b

n a n s s

其中{a n

s }与{b n

s }分别为∑∞=1

n n a 与∑∞

=1

n n b 的部分和，

当记∞→n lim a n s =a s ,∞→n lim b

n s =b s 时，有∞

→n lim n d =a s b s

所以级数∑∞

=1

n n d 收敛，且∑∞=1

n n d =(∑∞=1

n n a )(∑∞

=1

n n b ).

但是两个收敛级数的Cauchy 乘积却不一定是收敛的。

例如

∑∞=1

n n a =∑

∞

=+-1

2

11)1(n n n

与∑∞=1

n n b =∑

∞

=+-1

2

11)1(n n n

这两个级数显然都是收敛，但它们的Cauchy 乘积的一般项为

c n =(－1)n+1∑+=+1

1n j i ij

显然 ≤ij 2j i +=2

1

+n 从而∑+=+1

1

n j i ij ≥∑

+=++112n j i n

>n n ?+12

所以∞

→n lim ,0≠n c 故∑∞

=1

n n c 发散.

定理10.21 如果级数∑∞=1

n n a 与∑∞

=1

n n b 都绝对收敛，则它们的

Cauchy 乘积∑∞

=1

n n c 和正方形排列所得的乘积∑∞

=1

n n d 都是绝对收

敛的，且

∑∞=1

n n c =(∑∞=1

n n a )(∑∞

=1

n n b )

证明: 设s n =∑=n

k k c 1

|

|

=∑=n

k 1

|a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1|

≤(∑=n k k a 1

||)(∑=n

k k b 1

||)

≤(∑∞

=1

||k k a )(∑∞

=1

||k k b )

由正项级数∑∞=1

||k k c 的部分和数列有界知∑∞

=1

||k k c 收敛，又因为

绝对收敛级数有交换律和结合律。 同理可证，∑∞

=1n n d 绝对收敛

所以∑∞=1

n n c =∑∞=1n n d =(∑∞=1n n a )(∑∞

=1

n n b ).

我们可以将上定理的条件适当放宽

定理10.22（Mertens ）设级数∑∞

=1

n n a 绝对收敛，级数∑∞

=1

n n b 收敛，

记

∑∞=1

n n a =A, ∑∞

=1

n n b =B

则它们的Cauchy 乘积∑∞=1

n n c 也收敛, 且∑∞

=1

n n c =AB

证明: 记A n =∑=n k k a 1

, B n =∑=n

k k b 1

c n =(a 1b n +a 2b n-1+…+a n b 1)

前n 项部分和s n =∑=n

k 1(a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1)

= a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1

当令n β=B －B n 时, (n =1,2,…) s n = a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1

= a 1(B –n β)+a 2(B –1-n β)+…+a n (B –1β) = A n B –(a 1n β +a 21-n β+…+a n 1β)

= A n B –R n

下面我们估计

R n = a 1n β+a 21-n β+…+a n 1β 因为序列{k β}趋于0，可设 |k β|≤M , ∈?k N 取k 充分大使 |k β|<

D

2ε

这里D>.

||1

∑∞

=n n a 再取m 充分大，使

∑∞

+=1

||m k k a

,

于是当N 充分大时，对上面取定的m 有

|R n |≤(|a 1||n β|+…+|a m ||1+-m n β|)+(|a m +1||m n -β|+…+|a n ||1β|)

2ε

?

+M M

2ε

?

=ε

所以 n n R ∞

→lim =0

从而 AB B A s n n n n ==→∞

→∞lim lim . 证毕. 定理10.23（Abel 定理）设级数∑∞=1

n n a 与∑∞=1

n n b 都收敛，且∑∞

=1

n n a =A,

∑∞=1

n n b =B,

∑∞=1n n c 是它们的Cauchy 乘积，如果∑∞

=1

n n c 收敛，其和

为c ，则必有c B

证明：在数列极限理论中，我们已经证明

如 n n A ∞

→lim =A, n n B ∞

→lim =B,

n n c ∞

→lim =c , 则

AB n

B A B A B A n n n n =+++-∞→1

121lim

当记∑==n

k n n c s 1时，有c s n n =∞

→lim 所以 c =∞→n lim

n

1

∑=n

k n

s

1

=∞

→n lim n

1[ A 1B n +A 2B n-1+…+A n B 1] =AB.

习题10.4

1、设级数∑∞

=1

n n a 与∑∞

=1

n n b 均绝对收敛，则它们的任意排序方法

（除了对角线方法与正方形方法）得到的乘积级数∑n h 也绝对收敛，且∑∞

=1

n n h =(∑∞

=1

n n a )(∑∞

=1

n n b )

2、设|x |<1，|y |<1, 求证:

∑∞

=1

(n x n-1+ x n-2y ++y n -1)=

)

1)(1(1

y x --

3、求证: ∑

∞=0!

n n

n x ∑

∞

=0

!n n n y =∑∞=+0!

)(n n

n y x 4、求证: ∑∞

=0!1n n ∑∞=-0

!)1(n n

n =1

5、求证: (∑∞

=0n n

q )(∑∞

=0

n n

q )=).1|(|)1(1

)1(02<-=

+∑∞

=q q q n n n

7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题

1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ ⑴ 1 1 (1)n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑属于交错级数， 它满足关系1n n u u += >=（1,2,3,n =L ）且lim 0n n n u →∞==， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑收敛， 但 1 1 (1) n n ∞ -=- ∑1n ∞ ==是112p =<的P 级数，发散， 综上知，级数 1 (1)n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑵ 1 11 (1) 3 n n n n ∞ --=-∑； 【解】级数 1 1 1(1)3n n n n ∞ --=-∑属于交错级数， 由于 1 11 (1) 3n n n n ∞ --=-∑1 13n n n ∞ -==∑， 因为111113lim lim lim 1333 n n n n n n n n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<， 由正项级数的比值判别法知，级数 11 3n n n ∞ -=∑收敛， 综上知，级数 1 1 1 (1)3n n n n ∞ --=-∑绝对收敛。 ⑶ 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑属于交错级数，

由于函数ln x y x =有2 1ln '0x y x -=>当x e >时恒成立， 知ln x y x = 当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1 ln lim lim lim 01 n n n n n n u n →∞→∞→∞===， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑收敛， 但由于 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11 n n ∞ =∑为调和级数，发散， 综上知级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑷ 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑； 【解】级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑属于交错级数， 它满足关系111 ln(1)ln(2) n n u u n n += >=++（1,2,3,n =L ） 且1 lim lim 0ln(1) n n n u n →∞ →∞==+， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑收敛， 但由于1lim n n n u u +→∞1 ln(1) lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 1 1 n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞ =+∑21 n n ∞ ==∑为调和级数，发散， 即由比较判别法的极限形式知，级数 1 1 ln(1)n n ∞ =+∑发散， 综上知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑条件收敛。

条件收敛与绝对收敛

第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛。 定义10.5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的，我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 如果∑∞=1 ||n n a 发散，但∑∞=1 n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的，如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然. 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由Cauchy 收敛准 则,对0>?ε, 存在N ，当n >N 时，对一切自然数p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 于是:

≤++++++||21p n n n a a a Λε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立。 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 ||n n a 为发 散时，是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1 n n a 而言，它的一般项也不趋于零，所以级数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-11 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解，当0≤p 时,由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛，所以原级数绝对收敛。 当20≤

条件收敛与绝对收敛

第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数 a n ,我们已经给出了其收敛的一些判 n 1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与 绝对收敛 定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的， n 1 n 1 a n 绝对收敛。 n 1 如果|a n |发散，但 a n 是收敛的，我们称级数 n 1 n 1 敛。 (1)n 1. n 1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。 定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1 n 1 对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立 着丨 a n 1 丨 1 a n 2 1 1 a n p 1 于是： 我们称级数 a n 条件收 n 1 条件收敛的级数是存在的，如

1 a n 1 a n 2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨 再由Cauchy收敛准则知a n收敛。 n 1 由级数(1)可看出反之不成立。 n 1 n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。 n 1 n 1 但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n | n 1 发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或 n 1 D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是 n 1 根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级 数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数 n 1 例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件 n 1 n 1 s'n p 收敛或绝对收敛。 解，当p 0 时，由于W需总0,所以级数发散. 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 n p lim ------- : ---- 1 n 1/ .n p 而1收敛，所以原级数绝对收敛。n 1 叮n p 当o p 2时， a n发散。

条件收敛与绝对收敛

第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判 n =1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。 定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称 n =1n =1 级数v a n绝对收敛。 n d 如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1 敛。 n 1 条件收敛的级数是存在的，如、口 n=1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 Q Q Q Q 证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准 n =1 n=1 则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成 立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —

于是： |a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；

Q Q 再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。 n 丄 n 1 由级数-可看出反之不成立。 n=i n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。 n =1 n=1 但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出 OQ Q Q ； '|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 n =1 n =1 Q Q 别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数 、ja n |为发散 心 时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q Q Q Q 对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发 n =1 n =1 散。 例10.38讨论级数（T 厂1匚2 1 的敛散性，如收敛指明 心 n + 1 J n p 是条件收敛或绝对收敛。 解，当p "时,由于lim n 2 1 - 0,所以级数发散. n T°° n + 1 J n p 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 . n p lim 1 n & 1/ n p