第二十九周抽屉原理（一）
专题简析：
如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。
本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。
练习1：
1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？
2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？
3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？
练习3：
1、一只袋中装有许多大小相同、颜色不同的手套。颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副各自同色的？
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双各自同色的？
3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子？
练习4：
1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么？
2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？
3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。
练习5：
1、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？
2、证明在8×8的方格表的每个空格中，分别填上3，4，5这三个数中的任一个，在每行、每列及每条对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。
3、在3×9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？
图29-2
第二十九周抽屉原理（一） 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 练习1： 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
练习2： 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？ 练习3： 1、一只袋中装有许多大小相同、颜色不同的手套。颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副各自同色的？ 2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双各自同色的？
六年级下册奥数试题-抽屉原理练习-全国通用（无答案） 抽屉原理 同学们都知道，如果把3个苹果放进2个抽屉里，无论怎么放，都有一个抽屉里面至少放进去了2个苹果。推广一下，如果将多余N个的元素任意放进N个抽屉里，那么至少有一个抽屉至少放进2个或2个以上的元素，这就是抽屉原理。 【难题点拨1】 将8个苹果分给7个小朋友，如果苹果不许切开，无论怎么分，有一个小朋友至少拿到了2个苹果，对吗？ 【点拨】 上述结论是的。将8个苹果看作，7个小朋友看作，根据抽屉原理，将8个元素放进7个抽屉里，因为8＞7，所以无论怎么放，有一个抽屉里面至少 放进去了。 【拓展】 将9名工人分到4个工作小组里面去，无论怎么分，有一个小组至少分进去了3名工人，对吗？【点拨】 上述结论是的。将9名工人看作，4个工作小组看作，因为9=2×4+1，所以无论怎么放，有一个抽屉 里面至少放进去了个元素。 【想一想做一做】 1、判断下面的说法是否正确，并说明为什么？ ①将6个饼子分给5个同学，如果饼子不许掰 开，无论你怎么分，有一个同学至少分到了2个饼子。②将10本书分给9个小朋友，无论怎么分，有 一个小朋友至少拿到了2本书。 ③将13个盘子放到3张桌子上，无论怎么放， 有一张桌子至少放了5个盘子。 2、将20个苹果分给19个小朋友，如果苹果不许切开，无论怎么分，其中有一个小朋友至少分到了几个苹果？ 3、老师将16本作业本分发给5个小学生，无论怎么分，其中有一个小学生至少分到几本作业本？ 【难题点拨2】 盒子里面放了4个黑球，6个花球，如果不许看，一次至少摸出几个球，才能保证有2个颜色不同的球？ 【点拨】 如果运气不好的话，一次摸出6个球，摸出的6个球可能全是，这时，只要再增加1个球，那么增加的那一个球肯定是，就可以保证摸出的球中有2个颜色不同的球。答：一次至少摸出个球，才能保证有 2个颜色不同的球。 【拓展】 一个盒子里有3个黑球，4个红球，5个花球，
=+- (其中符号 B A B A B ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当 ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 B，即阴影 B计算了 、再排除——A B A B +- 次的重叠部分A B减去。 B的元素的个数，可分以下两 的元素个数，然后加起来，即先求A+ B（意思是“排除”了重复计
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数。 用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ 图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。 1.先包含——A B C ++ A B、 B C、 C A重叠了2次，多加了1次。 2.再排除——A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C重叠了3次，但是在进行A B C A B B C A C ++---计算时都被减掉了。 3。再包含——A B C A B B C A C A B C ++---+ 最不利原则 所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。由此得到充分可靠的结论。 抽屉原理又称鸽巢原理或Dirichlet原理 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又
两者容斥： 【例 1】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图形状。把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘 米？ 【分析】被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分。 被覆盖面积4222212=??-?=（平方厘米）。 【例 2】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一 个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 【分析】组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分。 组合图形的面积12810644140=?+?-?=（平方厘米）。 【例 3】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【分析】根据包含排除法直接得：32281842+-=（人）。 【例 4】 （第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75 人懂英 语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【分析】（法1）在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=（人）。 又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=（人）。 从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的831568-=人就是既懂英语又懂俄 C B A
小学五年级奥数题及解答：抽屉原理 抽屉原理是五年级奥数的难题之一，多找点练习题能够更好的熟悉这类题目。下面就是小编为大家整理的抽屉原理练习题，希望对大家有所帮助! 习题一 从1，3，5，7，...，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。 首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中，两两之和是52的有12种搭配： {3，49｝，{5，47｝，{7，45｝，{9，43｝， {11,41｝，{13，39｝，{15，37｝，{17，35｝， {19，33｝，{21，31｝，{23，29｝，{25，27｝。 将这12种搭配看成12个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数1，单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽屉被取出2个数，这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。 习题二 把125本书分给五(2)班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人? 这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。 由125÷(4-1)=41......2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。 习题三 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩
游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同? 把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。 因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6(个)抽屉。 2000÷6=333......2， 根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334(件)物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。
六．抽屉原理、奇偶性问题 1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。 这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只） 答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。 2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？ 答案为21 解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法. 当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样: 当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样. 3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？ 解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是： 6*5+3+1＝34（个） 如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是： 6*5+2+1＝33 如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是： 6*5+1+1＝32 4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由） 不可能。 因为总数为1+9+15+31＝56 ＝14 14是一个偶数 而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。七．路程问题 1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 解： 根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
抽屉原理奥数题 1、有一个6位数, 它的个位数字是6, 如果将6移至第一位前面时, 得到的新数是原数的4倍. 求这个数。（答案153846，解答：4xABCDE6=6ABCDE,可知E=4，D=8，C=3， B=5，A=1) 2、今年前5个月,小明每月平均存钱4.2元,从6月起他每月储蓄6元,那么从 哪个月起小明的平均储蓄超过5元? （解答6-4.2=1.8，1.8x5=9，6-5=1， 9÷1=9,9+5+1=15） 3.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数. 23, 26, 30, 33 。A、B、C、D 4个数的平均数是多少？ （23+26+30+33）÷4=27.5 抽屉原理的一种更一般的表述为： “把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。” 至少和最少的意思是一样的，并没有本质的区别。在抽屉原理中，“至少”和“最少”通常要和“保证”联系在一起看。例如： 箱子中有黑白两种棋子，最少要拿多少颗棋子才能有2颗一样的颜色？箱子中有 黑白两种棋子，至少要拿多少颗棋子才能有2颗一样的颜色？两题的答案都是2(因为 没有保证，所以只需要考虑最好的情况就行了) 再例如： 箱子中有黑白两种棋子，最少要拿多少颗棋子才能保证有2颗一样的颜色？箱子 中有黑白两种棋子，至少要拿多少颗棋子才能保证有2颗一样的颜色？两题的答案都 是3(应用抽屉原理) 例如：某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最 低得分169，没有得193分、185分和177分者，并且至少有6人得同一分数，参加测试 的至少人？”这道题的答案应该是27×5+1=136呢？还是27+5=32呢？ 3、同样是上 面这道题，把“至少”改为“最少”？ 4、同样是上面这道题，把最后两句倒一下，改为“参加测试的至少人，才能保证至 少有6人得同一分数”，答案应该可以肯定为136了吧？ 4、在一只箱子里有4中形状相同,颜色不相同的小木块若干个,一次最少要取多少块 才能保证至少有10块的颜色相同? 把四种颜色的木块看做四个抽屉，要保证每个抽屉里至少有10个木块，首先要保证 每个抽
小学五年级上册数学奥数知识点讲解第12课《染色中的抽屉原理》试题附答案 第十三讲染色中的抽屉原理 根据抽屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉.如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等.在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。 例1平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。 例2从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系.请你证明在这个学校的17名校友中,至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。 例3用黑、白两种颜色把一个2X5 （即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色.证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。 例4如果有一个3 Xn的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。 例5对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。例6用黑、白两种颜色将一个5X5的长方形中的小方格随意染色.求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。
答案第十三讲染色中的抽屉原理 根据抽屉原理可以解决许多有趣的、可题，关键在于根据不同的问题制造抽屉.如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等.在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。 例1平面上有鼠B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。 分析与解答连彩线的方式很多，如果一一画图验证结论，显然是不可取的.这个问题如果利用抽屉原理去解决，就不是难事了。 我们用虚线表示红色，用实线表示蓝色.从任意一点比如点A出发，要向B.C. D. E、F连5条线段.因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有3条线段同色.不妨设AB、AD、AE三线同红色（如右图）.如果氏D、. \飞 F E E这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三角形.如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就都是蓝色的.这样，三角形BDE就是一个蓝色的三角形,因此，不管如何连彩线，总可以找到一个三边同色的三角形。 如果我们把上面例题中的点换成人，把红蓝两种颜色连线换成人与人之间的关系，又可以解决某些实际问题.如：证明在任意的6个人之间，或者有3个人互相认识，或者有3人互相都不认识。 我们只需把互相认识的两人用红线连接，互相不认识用蓝线连接，那么所要证明的结论就变成证明存在一个红色或蓝色的三角形了。
抽屉原理的综合运用 抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m＋1的物体。 原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。 应用抽屉原理解题的步骤 第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。 第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。 第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。 例1 从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？ 例2 从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？ 例3 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
1 3 7 9 1111333377779999个个个个，，，k k k k L L L L 123142431424314243可整除不合2，5因数的任何整数； 2 4 6 8 2222444466668888个个个个，，，k k k k L L L L 14243142431424314243整除不含因数5(因数2分别只能含1，2，2，3个)的任何整 数； 5 5555个k L 14243整除不含因数2(因数5只能含1个)的任何整数。 上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操。老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例。 从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数。证明： ⑴在这51个数中，一定有两个数互质； ⑵在这51个数中，一定有两个数的差等于50； ⑶在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1。 时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n 个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的n 个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n 的最小值。 例6 例5 例4
十八 抽屉原理(2) 一、填空题 1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书. 2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的. 3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的. 4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出 个,才能保证有2个小球是同色的. 5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出 个,才能保证有6个小球是同色的. 6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同. 7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n 个箱子,则n 的最小值为 . 8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根. 9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的 大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出 只. 10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次) 二、解答题 11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同. 12.从一列数1,5,9,13,…,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102. 13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2. 14.设,,21x x …,12x 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数 ,,21x x …,8x ,使得:)()()()(87654321x x x x x x x x -⨯-⨯-⨯-恰是1155的倍数. ———————————————答 案——————————————————————
组合-组合原理和构造-抽屉原理-5星 题 课程目标 知识提要 抽屉原理 •概述抽屉原理有时也被称为鸽巢原理．它是组合数学中一个重要的原理．抽屉原理又细分为第一抽屉原理和第二抽屉原理． •抽屉原理 1.第一抽屉原理第一抽屉原理又分以下两种不同的表述方式：表述1：多于n+1个的物体放 到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物体不少于2件．表述2：把多于mn+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体． 2.第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物 体（例如，将4×5−1=19个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于4−1=3）． •构造抽屉原理的方法运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉．精选例题 抽屉原理 1. 有足够多的苹果、橘子、香蕉三种水果，最少要分成堆（每堆都有苹果、橘子和香蕉三种 水果），才能保证找得到这样的两堆；把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
【答案】9 【分析】两堆合并后三种水果的个数都是偶数，则合并前，这两堆水果同种水果的个数奇偶性相同，对于一堆水果，按每种水果的奇偶性分类，共有2×2×2=8（种）情况，8+1=9． 2. 证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识． 【答案】见解析． 【分析】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可．从这6个点中随意 选取一点A，从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为 红色，它们另外一个端点分别为B、C、D，那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段 是红色，那么A、B、C三点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D，三点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立． 3. 国王让阿凡提在8×8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒．结果每个格子里至少放一粒米， 无论怎么放都至少有3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒？ 【答案】1055． 【分析】如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有1+ 1+2+2+3+3+⋯+32+32=1056个米粒．如果少于1056个米粒，就必然有三个格子里 的米粒数一样多，因此至多有1055个米粒． 4. “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游 园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 【答案】见解析． 【分析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能： 0,1,2,⋯,n−1 其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n−1个熟人，所以共有n 个“抽屉”．下面分两种情况来讨论： ⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上 n−2个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能： 0,1,2,⋯,n−2 这样，“苹果”数（n个小朋友）超过“抽屉”数（n−1种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两 个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． ⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n−1种可能： 1,2,3,⋯,n−1 这时，“苹果”数（n个小朋友）仍然超过“抽屉”数（n−1种熟人数目），根据抽屉原理，至少 有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人（包括没 遇到熟人），必有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 5. 平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上．证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形 中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边． 【答案】见解析． 【分析】先把题目简化下：一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最小边．在等腰三角形（或等边三角形中），会出现两条边，甚至三条边都是最大边（或最小边）． 我们用染色的办法来解决这个问题．分两步染色： 第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色．
小学六年级奥数题及答案 六年级的奥数学习应该有更强的针对性，从最近的一些的考试可以看出一个趋势，就是题量大，时间短，对于单位时间内的做题效率有很高的要求，即速度和正确率。下面给大家带来关于六年级奥数题及答案，希望对你们有所帮助。 小升初六年级奥数题及答案 1、抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 2、牛吃草：(中等难度)一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完;如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水
这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量(即发现船漏水时船内已有的水量)也是不变的量.对于这 个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为1个单位.那么船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30. 船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即(40-30)÷(8-3)=2(即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量)。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-(2×3)=24。如果这些水(24个单位)要2小时淘完，那么需24÷2=12(人)，但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2=14(人)。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。 3、奇偶性应用：(中等难度)桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转〞.请说明：无论经过多少次这样的“翻转〞，都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：(中等难度) 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少
组合组合原理和构造抽屉原理2星题课程目标 知识提要 抽屉原理 •概述抽屉原理有时也被称为鸽巢原理．它是组合数学中一个重要的原理．抽屉原理又细分为第一抽屉原理和第二抽屉原理． •抽屉原理 1.第一抽屉原理第一抽屉原理又分以下两种不同的表述方式：表述1：多于n+1个的物体放 到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的物体不少于2件．表述2：把多于mn+1〔n不为0〕个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体． 2.第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物 体〔例如，将4×5−1=19个物体放入5个抽屉中，那么必定有一个抽屉中的物体数少于等于4−1=3〕． •构造抽屉原理的方法运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉．精选例题 抽屉原理 1. 袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各15个，每个小朋友从中摸出2个小球， 至少有个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样． 【答案】7 【分析】摸球的不同情况共有红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝6种，所以至少需要7个人，才能保证有两人摸的球一样．
2. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多项选择出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍． 【答案】8 【分析】把这12个数分成6个组： 第1组：{1,2,4,8}； 第2组：{3,6,12}； 第3组：{5,10}； 第4组：{7}； 第5组：{9}； 第6组：{11}． 每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系． 选没有2倍关系的数，第1组最多2个〔1，4或2，8或1，8〕，第2组最多2个〔3，12〕，第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2+2+1+1+1+1=8(个)．如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9−4=5(个)数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系． 3. 某超级市场有128箱苹果．每箱至少有120个，至多有144个，装苹果个数相同的箱子称为一组，其中数量最多一组的箱子个数为n．那么n的最小值是． 【答案】6 【分析】144−120+1=25种情况，128÷25=5⋯⋯3，n的最小值为5+1=6． 4. 一次测验共有10道题，每道题完全答对可以得5分，答对一半可以得3分，答错或不答不得分，至少有人参加比赛才能保证有3人的得分相同． 【答案】91 【分析】最低得分为0分，最高得分为50分，其中1,2,4,7,47,49分得不到，一共可以得到50−0+1−6=45(种)分数，45×2+1=91． 5. 现有211名同学和四种不同的巧克力，每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．假设按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组，那么人数最多的一组至少有名同学． 【答案】7 【分析】根据题意分析可得：一个同学所取的不同种类：不拿有1种，拿1个有4种，拿2个有10种，拿3个有20种，共有 1+4+10+20=35(种); 这35种情况可以看做抽屉， 211÷35=6⋯⋯1, 所以6+1=7(人). 6. 班里有48名同学，运动会过后，为了奖励同学们的优异表现，老师要给同学们发巧克力，老师去超市买了一些巧克力之后，发现无论怎么发给同学们〔每人至少一块巧克力〕，总能找到3个同学分到的巧克力一样多，那么老师最多买了块巧克力． 【答案】598 【分析】先让每个抽屉有2个同学，那么 48÷2=24, 所以有23个抽屉，那么总能找到3个同学在一个抽屉里，那么共有
组合组合原理和构造抽屉原理4星题课程目标 知识提要 抽屉原理 •概述抽屉原理有时也被称为鸽巢原理．它是组合数学中一个重要的原理．抽屉原理又细分为第一抽屉原理和第二抽屉原理． •抽屉原理 1.第一抽屉原理第一抽屉原理又分以下两种不同的表述方式：表述1：多于n+1个的物体放 到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的物体不少于2件．表述2：把多于mn+1〔n不为0〕个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体． 2.第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物 体〔例如，将4×5−1=19个物体放入5个抽屉中，那么必定有一个抽屉中的物体数少于等于4−1=3〕． •构造抽屉原理的方法运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉．精选例题 抽屉原理 1. 图书馆中有科技书、故事书、美术书．让五〔1〕班同学去借书，不能不借，最多借3本．要确保有3个同学借书的类型和数量完全一样，那么五〔1〕班至少有名学生． 【答案】39
【分析】借1本书有3种情况；借2本书有6种情况；借3本书有3+2+2+2+1=10(种)情况；共有3+6+10=19(种)情况，根据抽屉原理，为确保3个同学借书的类型和数量都一样，至 少有19×2+1=39(名)同学． 2. 有足够多的苹果、橘子、香蕉三种水果，最少要分成堆〔每堆都有苹果、橘子和香蕉三种 水果〕，才能保证找得到这样的两堆；把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数． 【答案】9 【分析】两堆合并后三种水果的个数都是偶数，那么合并前，这两堆水果同种水果的个数奇偶 性相同，对于一堆水果，按每种水果的奇偶性分类，共有2×2×2=8〔种〕情况，8+1=9． 3. 班里有48名同学，运动会过后，为了奖励同学们的优异表现，老师要给同学们发巧克力， 老师去超市买了一些巧克力之后，发现无论怎么发给同学们〔每人至少一块巧克力〕，总能找 到3个同学分到的巧克力一样多，那么老师最多买了块巧克力． 【答案】598 【分析】先让每个抽屉有2个同学，那么 48÷2=24, 所以有23个抽屉，那么总能找到3个同学在一个抽屉里，那么共有 (1+2+3+4+5+6+⋯+23)×2+23+23=598. 4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多项选择出个数，使得在选出的数中， 每一个数都不是另一个数的2倍． 【答案】8 【分析】把这12个数分成6个组： 第1组：{1,2,4,8}； 第2组：{3,6,12}； 第3组：{5,10}； 第4组：{7}； 第5组：{9}； 第6组：{11}． 每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系． 选没有2倍关系的数，第1组最多2个〔1，4或2，8或1，8〕，第2组最多2个〔3，12〕，第3 组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2+2+1+1+1+1=8(个)．如果任意取9个数， 因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9−4=5(个)数在2个组中，根据抽 屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系． 5. 一次测验共有10道题，每道题完全答对可以得5分，答对一半可以得3分，答错或不答不得 分，至少有人参加比赛才能保证有3人的得分相同． 【答案】91 【分析】最低得分为0分，最高得分为50分，其中1,2,4,7,47,49分得不到，一共可以得到50− 0+1−6=45(种)分数，45×2+1=91． 6. 现有211名同学和四种不同的巧克力，每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名同学最多 拿三颗巧克力，也可以不拿．假设按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组，那么人数最 多的一组至少有名同学． 【答案】7