第六节 二项分布与正态分布
突破点一 事件的相互独立性及条件概率
[基本知识]
1．条件概率
定义
设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P AB
P A
为在事件A 发生的条件下，事件B
发生的条件概率
性质
①0≤P (B |A )≤1；
②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )
2.事件的相互独立性
定义
设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立
性质
①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (A )P (B )；
②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －
也都相互独立
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )
(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (3)相互独立事件就是互斥事件．( )
(4)在条件概率中，一定有P (AB )＝P (B |A )P (A )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题
1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.
答案：14
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝{第一枚为正面向上}，B ＝{第二枚为正面向上}，则事件C ＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________．
答案：12
3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
答案：
0.72
[全析考法]
考法一 条件概率
[例1] (1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )
A.2
9 B.13 C.49
D.59
(2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A.310
B.29
C.78
D.79
[解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，
即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 4
4＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24， ∴P (A |B )＝
n AB n B ＝24108＝2
9
.
(2)设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝7
30.
则所求概率为P (B |A )＝P AB
P A ＝7
30310
＝79
.
[答案] (1)A (2)D
[方法技巧] 条件概率的3种求法
定义法
先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P AB
P A
求P (B |A )
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n AB
n A
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
考法二 事件的相互独立性
[例2] (2019·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为3
4，假设小明不放
弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．
(1)求小明同学一次测试合格的概率；
(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．
[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件
B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34
(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .
(1)P (C －)＝P (A －1 A －2)＋P (A －1 A 2 B －1 B －2)＋P (A 1B －1 B －2) ＝P (A －1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)P (B －1)P (B －2)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －2)
＝? ????122＋? ????1－12×12×? ????1－342＋12×? ????1－342＝1964
. ∴P (C )＝1－1964＝45
64.
(2)依题意知ξ＝2,3,4，
P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A －1A －
2)
＝P (A 1)P (B 1)＋P (A －1)P (A －
2)＝58
，
P (ξ＝3)＝P (A 1B －1B 2)＋P (A －1A 2B 1)＋P (A 1B －1B －
2)
＝P (A 1)P (B －1)P (B 2)＋P (A －1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －
2)＝516
，
P (ξ＝4)＝P (A －1A 2B －1)＝P (A －1)P (A 2)P (B －
1)＝116
.
故投篮的次数ξ的分布列为：
ξ 2 3 4
P
58 516 116
[方法技巧]
相互独立事件同时发生的概率的2种求法
(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式． (2)间接法：从对立事件入手计算．
[集训冲关]
1.[考法一]已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A.11
27 B.1124 C.
827
D.924
解析：选C 设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B .由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝49×23＝8
27
，所以两次
都取到红球的概率为8
27
.
2.[考法二]为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )
A.1
2 B.1
3 C.14
D.16
解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝1
2
，
P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16
，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12
×13×16＝16
.
3.[考法二]为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，
丙胜甲的概率为3
4，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第
三名的概率为1
10
.
(1)求p 的值；
(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望．
解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为1
10.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概
率为110，∴35×14×(1－p )＝110，∴p ＝13
.
(2)依题意，丙得分X 的所有取值为0,3,6. ∵丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23，
∴P (X ＝0)＝14×13＝1
12
，
P (X ＝3)＝34×13＋14×23＝512
，
P (X ＝6)＝34×23＝12
，
∴X 的分布列为
P
0 3 6
X
112 512 12
∴E (X )＝0×112＋3×512＋6×12＝17
4.
突破点二 独立重复试验与二项分布
[基本知识]
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．
2．二项分布
在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k
(1－p )
n －k
(k ＝0,1,2，…，n )．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)小王通过英语听力测试的概率是1
3
，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得
通过的概率是P ＝C 1
3·? ????131·? ??
??1－133－1＝49.( )
(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n
二项展开式的通项公式，其中a ＝
p ，b ＝1－p .( )
(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k
(1－p )
n －k
，k ＝0,1,2，…，
n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题
1．设随机变量X ～B ? ??
??6，12，则P (X ＝3)等于________．
答案：5
16
2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是
________．
答案：5
16
3．若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为________． 答案：3×2
－10
[全析考法]
考法一 独立重复试验的概率
[例1] (1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A.23
B.12
C.34
D.14
(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p 的取值范围为________．
[解析] (1)设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝ C 23? ????122
×12＋C 33? ??
??123＝3×18＋18＝12.故选B.
(2)设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23p 2(1－p )＜C 33p 3.∴3p 2(1－p )＜p 3
.由于0＜p ＜1，∴34
＜p ＜1.
[答案] (1)B (2)? ??
??34，1 [方法技巧]
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，
其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －
事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k
(1－p )
n －k
.因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )
n －k
.
考法二 二项分布的应用
[例2] (2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 定为多少？(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．
[解] (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距
也成等差数列，
设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，
∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米． 应规定w ＝2.5＋0.1
0.15
×0.5≈2.83.
(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，X ～B (3,0.7)，
P (X ＝0)＝C 03×0.33
＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.
∴X 的分布列为
X
0 1 2 3
P
0.027 0.189 0.441 0.343
∴E (X )＝np ＝2.1. [方法技巧]
某随机变量是否服从二项分布的特点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
[集训冲关]
1.[考法一]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率
为P ? ??
??P ≥1516，则n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析：选A 由P ＝1－? ????12n ≥15
16
，解得n ≥4，即n 的最小值为4.
2.[考法二]若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )
A.
125
729
B.80243
C.
665729
D.
100243
解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－? ????1－13×? ????1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ? ??
??3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1
－C 0
3×? ????590×? ????493＝665729
，故选C.
3.[考法二]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列及数学期望．
解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，
B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售
量低于50个”，因此
P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X ～B (3,0.6)，X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.
故X 的分布列为
X
0 1
2 3
P
0.064 0.288 0.432 0.216
E (X )＝3×0.6＝1.8.
突破点三 正态分布
[基本知识]
1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义
函数φ
μ，σ
(x )＝
1σ
2π
e
－
x －μ2σ2
，x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x 轴上方与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值
1σ
2π
；
④曲线与x 轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：
?
??
??
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
2．正态分布
定义
如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a
b φ
μ，σ
(x )d x ，则称随机变
量X 服从正态分布，记作X ～N(μ，σ2
)
三个常用数据
①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P (μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P (μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当x 无穷大时，正态曲线可以与x 轴相交．( ) (2)正态曲线与x 轴之间的面积大小不确定．( )
(3)X 服从正态分布，通常用X ～N(μ，σ2
)表示，其中参数μ和σ2
分别表示X 的均值和方差．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18π
·e
－
－8
，
则这个正态总体的平均数与标准差分别是________．
答案：10 2
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，其中P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，
P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝
________.
答案：2
3．(2019·广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N (10，σ2
)，根据检测结果可知P (9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为________．
解析：∵每袋大米质量服从正态分布ξ～N (10，σ2
)，∴P (ξ＜9.9)＝12[1－P (9.9≤ξ
≤10.1)]＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为2 000×0.02＝40.
答案：40
[典例] (2019·石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x －
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2
)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.
[解] (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x －
＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2
)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55＜Z ＜38.45)＝P (26.5－11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ? ????4，12，P (X ＝0)＝C 04? ????124
＝116
；
P (X ＝1)＝C 14? ????124＝14；P (X ＝2)＝C 24? ????12
4
＝38
；
P (X ＝3)＝C 34? ??
??124＝14
；P (X ＝4)＝C 44? ??
??12
4
＝1
16
. ∴X 的分布列为
X
0 1 2 3 4
P
116 14 38 14 116
∴E (X )＝4×1
2＝2.
[方法技巧]
求正态总体在某个区间内取值概率的关键点
(1)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值；
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． [针对训练]
1．(2019·正阳模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( )
A ．0.682 6
B ．0.341 3
C ．0.460 3
D ．0.920 7
解析：选A ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2＜X ＜4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A.
2．(2018·湘潭二模)某校高三年级有1 000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～
N (127,72)．
(1)求该校此次数学考试平均成绩； (2)计算得分超过141的人数；
(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是1
4，若本学期有4次考试，X 表示进
入前100名的次数，写出X 的分布列，并求期望与方差．
(注：若X ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%)
解：(1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N (127,72
)，可知平均成绩为μ＝127. (2)P (ξ＞141)＝P (ξ＞127＋2×7)＝1
2×[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]＝0.022 8，
故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23.
(3)由题意知X ～B ? ??
??4，14， 故X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P (X ＝0)＝? ??
??34
4＝
81256
， P (X ＝1)＝C 14? ????141? ????343
＝
27
64
， P (X ＝2)＝C 24? ????142? ????342
＝
27
128
， P (X ＝3)＝C 34? ????143? ????
341
＝
3
64
， P (X ＝4)＝? ??
??14
4＝
1256
， 故X 的分布列为
X
0 1 2 3 4
P
81256 2764 27128 364 1256
期望E (X )＝np ＝4×1
4＝1，
方差D (X )＝np (1－p )＝4×14×34＝3
4.
社会统计学讲义（卢淑华） 第一章社会学研究与统计分析 一、社会调查资料的特点（随时掌握） 随机性、统计规律性； 二、统计学的作用：为社会研究提供数据分析和推论的方法 三、统计分析的作用及其前提。 四、统计分析方法的选择 1、全面调查和抽样调查的分析方法 2、单变量和多变量的统计分析方法 五、不同变量层次的比较；定类、定序、定距、定比 定义、数学特征、运算特性、涵盖关系、等 第二章单变量统计描述分析 一、统计图表，熟悉不同层次变量对应的分析图表，不能混淆。尤其是直方图的意义。 二、标明组限与真实组限的换算，重要。 三、集中趋势测量法 1、定义、优缺点、注意事项； 2、众值：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 3、中位值：定义、计算公式（频数和比例两种公式）、解释、运用，注意事项； 4、均值：定义、计算公式（分组与加权）、解释、运用，注意事项； 5、众值、中位值和均值的关系及其相互比较，会用众值和中位值估算均值； 四、离散趋势测量法 1、定义、优缺点、注意事项，与集中趋势的关系； 2、异众比例：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 3、质异指数：定义、计算公式、解释、运用，注意事项； 4、四分位差：定义、计算公式（频数和比例两种公式）、解释、运用，注意事项；要会举一反三，如求十分位差、以及根据数据求其在总体中的位置。 4、方差及标准差：定义、计算公式（分组与加权）、解释、运用，注意事项； 第三章概率 一、概率：就是指随机现象发生的可能性大小。随机现象具有不确定性和随机性。 二、概率的性质： 1、不可能事件的概率为0； 2、必然事件的概率为1； 3、随机事件的概率在0-1之间； 三、概率的计算方法： 1、古典法：计算等概率事件，P＝有效样本点数/样本空间数； 2、频率法：求随机事件在多次试验后的极限频率。 3、概率是理论值，只有一个，频率是试验值，不同的试验有不同的频率。 四、概率的运算：会画文氏图 1、加法公式：两个或多个随机事件的求和概率‘ 2、乘法公式：两个或多个随机时间共同发生的概率。分为独立事件的乘法和条件概率的乘法公式。 （1）独立：P(AB)=P(A)*P(B) （2）条件：PAB)=P(A)*P(A/B)=P(B)*P(B/A) 3、条件概率：将（2）反过来即可。P(B/A)是指在A发生的条件下B发生的概率。 4、全概公式：互不相容的完备事件组，求任意一个事件的发生 5、逆概公式：与4相反。
高考数学选修 二项分布及其应用 知识点 一、条件概率 1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ； （2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件 1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。 2.条件概率的性质： （1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。 （2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验： 一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布： 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X
题型一 条件概率 【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.2 15 D.1 15 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35 D.4 5 【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间????0，1 3内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在???? 15，1内的概率． 【过关练习】 1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48 D ．0.20 2.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 为1 2 ，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.
高考理科数学复习训练题 (建议用时：60分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为1 5.则甲获第一名且丙 获第二名的概率为( ) A.11 12 B.16 C.130 D.215 D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩–C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩–C )＝P (A )P (B )P (– C )＝23×14×45＝215 .] 2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和1 3，甲、乙两人各射击一次，有下列 说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×1 3；③目标 被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×2 3 ，以上说法正确的是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．②④ D ．①③ C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝1 2，所以①错误，结合选项 可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×1 3，所以③错误，排除 A.故选C.] 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4，两个零件是否加工 为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512
C.14 D.16 B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝3 4 ， 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A － )P (B )＝ 23×? ????1－34＋? ????1－23×34＝5 12.] 4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1 5，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝ P AB P A ＝2 5 ，故选C.] 5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影 响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( ) A.89 B.7381 C.881 D.19 C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为1 3，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3–A 4– A 5)＋P (–A 1A 2A 3A 4–A 5)＋P (–A 1– A 2A 3A 4A 5) ＝? ????233 ×? ????132 ＋13×? ????233 ×13＋? ????132 ×? ????233 ＝881 .] 二、填空题
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
专项- 二项分布及其应用 知识点 一、条件概率 1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。 2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ； （2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P +=Y 二、相互独立事件 1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。 2.条件概率的性质： （1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。 （2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验： 一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2.二项分布： 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(Λ=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X
题型一 条件概率 【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.2 15 D.1 15 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35 D.4 5 【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间????0，1 3内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在???? 15，1内的概率． 【过关练习】 1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48 D ．0.20 2.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 为1 2 ，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数学(理科) 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（） （A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3} （2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （） （A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i （3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3= a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （） （A）（B）- （C）（D）- （4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（） （A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β （C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ= （A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为搞影面，则得到正视图可以为 （8）设ɑ=log36,b=log510,c=log714,则 （A）c＞b＞a （B）b＞c＞a x≥1, x+y≤3, y≥a(x-3). { （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c （10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是 （A）∑xα∈R f(xα)=0 （B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减 （D）若xn是f（x）的极值点，则f1(xα)=0 （11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C 的方程为 （A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x （C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x
第十节 二项分布、超几何分布、正态分布 知识梳理 一、独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 二、二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发 生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k ，其中k ＝0,1，…，n ，q ＝1－p . 为参数，p 叫成功概率． 令k ＝0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为P (ξ＝0)＝C 0n p 0(1－p ) n ＝(1－p )n . 令k ＝n 得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P (ξ＝n )＝C n n p n (1－p )0 ＝p n ., 三、超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件“X ＝k ”发生 的概率为P (X ＝k )＝C k M ·C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N * X 服从超几何分布． 四、正态分布密度函数 φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ2 2σ2 ，σ＞0，x ∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． 正态分布一般记为N (μ，σ2 )． 1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z= 21i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为 （A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P4 4、设F1，F2是椭圆E: 2 2x a + 2 2 y b =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线3 2a x = 上 的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ） 12 （B ） 23 （C ） 34 （D ） 45 5、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=?a a ，则=+101a a （A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和 实数n a a a ?,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ?,,21和 （B ） 2 A B +为n a a a ?,,21的算式平均数
2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ） 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{ } {} 2 |20,|55A x x x B x x =->=-<<，则 ( ) A.A ∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该 地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为52 ，则C 的渐近线方程为 A.14y x =± B.1 3 y x =± C.12y x =± D.y x =± 5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 320483 cm π 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )
实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言 二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概 率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的 值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。 在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近 用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。 联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。 我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图 练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图 根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。 定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。 由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e
§21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布 五年高考 考点一相互独立事件 1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为. 答案0.648 2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望. 解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B1={顾客抽奖1次获一等奖}, B2={顾客抽奖1次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}. 由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 因为P(A1)==,P(A2)==, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2) =×+×=. 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B. 于是P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==,
第五节二项分布与正态分布 考点一条件概率与相互独立事件的概率 1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648. 答案 A 2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析由条件概率可得所求概率为0.6 0.75 ＝0.8，故选A. 答案 A 3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________. (2)P(B|A)＝________.
解析圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2， 扇形面积为π 4 .故P(A)＝ 2 π ， P(B|A)＝P（A∩B） P（A）＝ 1 2 π 2 π ＝ 1 4 . 答案(1)2 π(2) 1 4 4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率． 解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X所有可能的取值为
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷II 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，文1)已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．．{－3，－2，－1} 答案：C 解析：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选C. 2．(2013课标全国Ⅱ，文2)2 1i +＝( )． A ． B ．2 C D ．．1 答案：C 解析：∵ 2 1i +＝1－i ，∴21i +＝|1－i| . 3．(2013课标全国Ⅱ，文3)设x ，y 满足约束条件 10,10,3,x y x y x -+≥?? +-≥??≤? 则z ＝2x －3y 的最小值是( )． A ．－7 B ．－6 C ．－5 D ．－3 答案：B 解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233z y x =-，先画出l 0：y ＝2 3x ，当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点C ，由3,10, x x y =??-+=?可得 C (3,4)，代入目标函数得，z min ＝2×3－3×4＝－ 6. 4．(2013课标全国Ⅱ，文4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2， π6B = ，π 4C =， 则△ABC 的面积为( )． A ． B C ．2 D 1 答案：B
第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0
0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0
2013新课标1卷高考数学理科答案解析 1．【解析】A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R,故选B. 2．【解析】由题知= = = ，故z 的虚部为 ，故选D. 3．【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4．【解析】由题知，，即 = = ，∴ = ，∴= ，∴ 的渐近线方程 为 ，故选 . 5．【解析】有题意知，当时，，当 时， ， ∴输出s 属于[-3,4]，故选 . 6．【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = ，故选A. 7．【解析】有题意知 = =0，∴=－=－（-）=－2， = - =3，∴公差 = - =1，∴3= =－ ，∴ =5，故选C. 8．【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 = ，故选 . 9．【解析】由题知=，=，∴13=7，即=， 解得 =6，故选B. 10．【解析】设 ，则=2，=－2， ① ②
①－②得， ∴===，又==，∴=，又9==，解得 =9，=18，∴椭圆方程为，故选D. 11．【解析】∵||=，∴由||≥得，且， 由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ， 当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D. 12．B 13．【解析】=====0，解得=. 14．【解析】当=1时，==，解得=1， 当≥2时，==－()=，即=， ∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=. 15．【解析】∵== 令=，，则==， 当=，即=时，取最大值，此时=，∴===. 16．【解析】由图像关于直线=－2对称，则 0==，
高中数学人教版选修2-3（理科）第二章随机变量及其分布 2.2.3独立重复试验与 二项分布D卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共19分) 1. （2分） (2016高一下·兰州期中) 从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（） A . 0.62 B . 0.38 C . 0.7 D . 0.68 2. （2分）已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=7，D（ξ）=6，则p等于（） A . B . C . D . 3. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若P（X≥1）= ，则P（Y≥1）为（） A . B . C .
D . 1 4. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）= ，则D（ Y+1）=（） A . 2 B . 3 C . 6 D . 7 5. （2分）设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（） A . 2 B . 3 C . 6 D . 7 6. （2分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（） A . B . 0 C . 1 D . 7. （2分）某人射击一次击中目标的概率为0.6，此人射击3次恰有两次击中目标的概率为（） A . B .
C . D . 8. （2分） (2017高二下·南阳期末) 设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（） A . B . C . 1 D . 9. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 若随机变量X服从二项分布,且 ,则 =________ , =________. 10. （1分） (2018高二下·枣庄期末) 已知随机变量，且，则 ________． 二、填空题 (共2题；共6分) 11. （1分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=40，D（X）=30，则p=________ 12. （5分）(2019·天津) 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 三、解答题 (共2题；共20分) 13. （10分）(2019·大连模拟) 随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9
§１２．５二项分布 １．条件概率 在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝错误!（P（B）>0）． ２．相互独立事件 （１）一般地，对于两个事件A，B，如果有P（AB）＝P（A）P（B），则称A、B相互独立．（２）如果A、B相互独立，则A与错误!、错误!与B、错误!与错误!也相互独立． （３）如果A１，A２，…，A n相互独立，则有：P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： （１）每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”； （２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p； （３）各次试验是相互独立的． 用X表示这n次试验成功的次数，则 P（X＝k）＝C错误!p（１—p）—（k＝0,１,２，…，n） 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）． １．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（×） （２）相互独立事件就是互斥事件．（×） （３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立． （×） （４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝
１—p. （×） ２．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（） Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误! 答案A 解析P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!. ３．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为错误!，那么播下４粒种子恰有２粒发芽的概率是 （）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误! 答案B 解析独立重复试验B（４，错误!）， P（k＝２）＝C错误!（错误!）２（错误!）２＝错误!. ４．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案0．１２8 解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率P＝１×0．２×0．8×0．8＝0．１２8． ５．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是错误!， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为______________． 答案错误! 解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC错误!，且A，C，错误!之间彼此独立，且P（A）＝P（错误!）＝P（C）＝错误!. 所以P（A错误!C）＝P（A）P（错误!）P（C）＝错误!. 题型一条件概率