《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
3.1.3 空间向量的数量积运算 课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题． 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫 做向量a ，b 的夹角 记法 范围 ,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律 (3) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )
A.7 B.10 C.13 D ．4 4.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－12 5. 如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．144 6．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m 不平行于n ，m 也不垂直于n D ．以上三种情况都有可能 二、填空题 7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10. 如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →
【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
高二数学教学案 一、预习提纲： 1．空间向量的夹角及其表示、异面直线 2．向量的数量积 3．空间向量数量积的性质 4．空间向量数量积运算律 二、预习达标： 1、=++ ，2 =3，4=，则,a b <>r r =______ A 、3π B 、 4π C 、2π D 、32π 2、空间向量a 、b =8，,a b <>r r =3 2π，求 （1）（+2）?=_____________, （2）（+2）?(2?)=__________________ 三、学案导学： 1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ； 若,2 a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b ⊥r r ； ﹡ 异面直线：_______________________________
2．向量的模： 设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r ； 3．向量的数量积： 已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ??<>r r r r 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ?r r ，即a b ?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r r r ． 已知向量AB a =u u u r r 和轴l ，e r 是l 上与l 同方向的单位向 量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r 上的正射影；可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?u u u u r u u u r r r r r ． 4．空间向量数量积的性质： （1）||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r ． （2）0a b a b ⊥??=r r r r ． （3）2||a a a =?r r r ． 5．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ． （2）a b b a ?=?r r r r （交换律）． （3）()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r （分配律）． 四、典例剖析： 例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。 已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥ 求证：l α⊥． 证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ， 在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g r r r r ，∵,m n 相交， ∴向量,m n r r 不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+r r r ， ∴l g xl m yl n ?=?+?r r r r r r ，又∵0,0l m l n ?=?=r r r r ， ∴0l g ?=r r ，∴l g ⊥r r ，∴l g ⊥， 所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥． 例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ?=+?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2AB AC BD AC AB AB BD =?+?--?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0AB AC AB BD AB DC =?--=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． l m n m n g g l
《空间向量的数量积运算》说课案 今天我说课的课题《两个向量的数量积》，本节课是数学选修2-1第三章第三节的第一课时的内容，现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。一、教材分析 本节课是人教A版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础1教材的地位与作用： 空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。 学生已经学习了立体几何，通常都按照传统方法解立体几何题，这就要求我们的学生需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。 整体来看，本节课在整个高中数学中占有重要的地位。 2、学情分析 本节课授课对象是高二年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，学习了平面向量的一些内容，理解了向量的概念，对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。 （二）根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征、及本节课在整个高中数学中的地位，对本节课我设置了如下的三维目标： 知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； （2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； （3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
a ， b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 2 22,,22a b a b == ?=-,则
水平提升20分钟思考： 典例分析 例1 如图3-1-10所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中， AB＝AA1＝2，AD＝4，E为A1B的中点，F为A1D1的 中点．计算： （1）BC → ·ED1 → ；（2）BF → ·AB1 → . 小结1、 应用数量积公式求空间向量数量积的两个关键点 例2 (1)已知空间四边ABCD中， AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为 ________．(填“平行”或“垂直”) (2)如图3-1-11所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD， 求证：PA⊥BD. 交流问 题，给 每一个 学生表 现个人 的机 会。 学生板 演3、 4，注重 步骤。 学生完 成 鼓励学 生先尝 试分 析。 学生 展示 应用整 合，强 化新知 教师补 充知识 点归纳 不同层 次的题 目，层 层递 进，持 续提升 学生的 水平。 不但巩 固新学 的知 识，而 且让不 同层次 的学生 得到不 同的收 获. 通过典 型例题 让学生 理解本 节的知 识点 ) ( , b ) 3 ) ( ) ( ) ( ) 2 ) ( , 1 . 1 b k a k a c b a c b a c b a b b a = = ? ? ? = ? ? = ? = ? 则 则 若 ） 判断真假：
知识小结2分钟 布置作业小结2、数量积证明空间垂直的实用性 例3.如图所示，已知P A⊥平面ABC， ∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC 等于. 小结3、求两点间的距离或长度的方法（向量法） 例4 在空间四边形OABC中，连接AC， OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB＝60°，求直线OA与BC所成 角的余弦值． 四、课堂小结 通过学习, 我们能够利用向量数量积解决立体几 何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角. 五、作业 全品P41 1～12题 学生总 结归纳 所学知 识 作业： 将所学 知识进 一步巩 固 培养学 生总结 归纳的 水平 使不同 的学生 得到不 同的锻 炼 作业能 够反映 学生对 本节知 识的掌 握水 准。可 根据作 业情 况，强 化训 练。 O A B C
空间向量的数量积运算 练习题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2 ＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1 4 . 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ， PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.PA →与CD → 【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD
空间向量的数量积运算 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ( ) A.0 B.2错误!未找到引用源。 C.4 D.8 3.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:错误!未找到引用源。·错误!未 找到引用源。>0,错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。>0, 错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。>0,错误!未找到引用源。·错误!未 找到引用源。>0,则该四边形为( ) A.平行四边形 B.梯形 C.平面四边形 D.空间四边形 4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正 方形,则B,D两点间的距离是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.1 D.错误!未找到引用源。 5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=
A.45° B.60° C.90° D.120° 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)= . 7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为. 8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,
空间向量教案 一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示) 考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质 例1：已知向量,,,,,3 6 a b a c b c π π ⊥<>= <>= 且||1,||2,||3a b c ===，求向量a b c ++的模 解：依题意22||()17a b c a b c ++=++=+，所以||176a b c ++=+。 考点二：垂直问题 例1：已知空间四边形OABC 中，M 、N 、P 、Q 分别为BC 、AC 、OA 、OB 的中点,若AB=OC,求证: .PM QN ⊥ 证明:如图,设,,,OA a OB b OC c ===又P 、M 分别为OA 、BC 的中点， 221 [()]. 21 [()].21 [||||] 4 PM OM OP b a c QN b a c PM QN b a c ∴=-=-+=---∴?=---同理， 又AB=OC ，即||||,b a c -= 0,,.PM QN PM QN PM QN ∴?=∴⊥⊥即 考点三：夹角问题 例1：如图，已知E 是正方体111111ABCD A B C D C D -的棱的中点，试求向量11AC 与DE 所成的角。 解:设正方体的棱长为m, 1,,,AB a AD b AA c === ||||||,0a b c m a b b c a c ===?=?=?=则 又111111111 ,2AC A B B C a b DE DD D E C a =+=+=+=+ 221111 115 ,||2,||22AC DE a m AC m DE m ∴?====又 1111111110cos ,10|||| cos 10 AC DE AC DE AC DE AC DE arc ?∴<>= = ?∴与所成的角为 考点四：长度问题 例1：如图（1），在60ABC C CD C ? ?∠∠中，＝，为的平分线，AC=4，BC ＝２.过B 点作,BN CD ⊥ 垂足为N ，BN 的延长线交CA 于点E,将图形沿CD 折起，使120,BNE ? ∠=求折后所得线段AB 的长度。 解：如图（2），s i n 302A A M C D M A M A C ? ⊥= ?=过点作，垂足为，则 4cos302cos302sin301MN MC CN NB ???=-=-=== O P A M B N Q C A B D C A 1 E C 1 B 1 D 1
能力拓展提升 一、选择题 11．若a 、b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 [答案] A [解析] a ·b ＝|a ||b |?cos 〈a ，b 〉＝1?〈a ，b 〉＝0°，即a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 12．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．62 B ．6 C ．12 D ．144 [答案] C [解析] ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →， ∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴|PC → |＝12. 13．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为
( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° [答案] D [解析] ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， ∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉 ＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22. ∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 14．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 [答案] B [解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB → ， BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2