10．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点
为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，)中，“好点”的个数12
为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(?U A )∩B ＝________.
12．函数f (x )＝Error!的值域为________．
13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
14．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)＝________.
15．已知函数f (x )＝x 2＋(x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，a x
则a 的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，求A ∪B .
17．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log 3＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－9.8)0
27(2)如果f (x －)＝(x ＋)2，求f (x ＋1)．1x 1x
18．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．
(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .
(1)求f (log 2)的值；13
(2)求f (x )的解析式．
20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．
(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；
(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.
21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至
少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，1422
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
刘老师辅导·高中数学必修1综合测试题解析
[解析] 先求集合B，再进行交集运算．
∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，
∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．
2．B
[解析] 本题考查复合函数定义域的求法．
f(x)的定义域为(－1,0)
∴－1<2x＋1<0，∴－12
3．B
[解析] 若两个函数表示同一函数，则它们的解析式、定义域必须相同，A中g(x)要求x≠1.C选项定义域不同，D选项对应法则不同．故选B.
4．A
x＋1
[解析] ∵y＝在[－1，＋∞)上是增函数，
x＋1
∴y＝在(0，＋∞)上为增函数．
5．B
[解析] 令f(x)＝ln x＋2x－6，设f(x0)＝0，
∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，
又f(2)＝ln2－2<0，f(2)·f(3)<0，
∴x0∈(2,3)．
6．D
[解析] 由已知得Error!?Error!，
∴x∈(1,2)，故选D.
7．D
[解析] ∵y1＝40.9＝21.8，
y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5，
又∵函数y＝2x是增函数，且1.8>1.5>1.44.
∴y1>y3>y2.
[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式．
由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x 9．D
[解析] 考查函数的奇偶性、单调性和方程的思想．
∵f (x )－g (x )＝e x ，(x ∈R )
①
f (x )为奇函数，
g (x )为偶函数，
∴f (－x )－g (－x )＝e －x .
即－f (x )－g (x )＝e －x ，
②由①、②得f (x )＝(e x －e －x )，12
g (x )＝－(e x ＋e －x )，∴g (0)＝－1.12
又f (x )为增函数，∴0∴g (0)10．C
[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点，
∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可
验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝()x 和对数函数y ＝log x 的交点，点G (2，)在指数函数y ＝(2212
)x 上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C.
2
211． {6,8}
[解析] 本题考查的是集合的运算．
由条件知?U A ＝{6,8}，B ＝{2,6,8}，∴(?U A )∩B ＝{6,8}．
12．(－∞，2)[解析] 可利用指数函数、对数函数的性质求解．当x ≥1时，x ≤1＝0.
log 12log
12
∴当x ≥1时，f (x )≤0
当x <1时，0<2x <21，即0因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．
13． (，1)12
[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4，
显然f (0)>0，f (1)<0，
又f ()＝()3－6×()2＋4>0，121212
∴下一步可断定方程的根所在的区间为(，1)．12
14． 12
[解析] ∵f (x 6)＝log 2x ＝log 2x 6，16
∴f (x )＝log 2x ，16
∴f (8)＝log 28＝log 223＝.161612
15． (－∞，16]
[解析] 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1则f (x 1)－f (x 2)＝x ＋－x －2
1a x 12a x 2
＝[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，(x 1－x 2)x 1x 2要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0，
∴a 又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16，
即a 的取值范围是(－∞，16]．
16.[解析] ∵(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，
∴2∈B,2?A,4∈A,4?B ，根据元素与集合的关系，
可得Error!，解得Error!
∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．∴A ∪B ＝{2,3,4}．
17．[解析] (1)原式＝log 33＋lg(25×4)＋2＋1
32
＝＋2＋3＝.32132
(2)∵f (x －)＝(x ＋)21x 1x
＝x 2＋＋2＝(x 2＋－2)＋41x 21x 2＝(x －)2＋41x
∴f (x )＝x 2＋4
∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4
＝x 2＋2x ＋5.
18．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0，
∴f (1－a )>－f (1－a 2)．
∵f (x )是奇函数，
∴f (1－a )>f (a 2－1)．
又∵f (x )在(－1,1)上为减函数，
∴Error!解得12(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数，
则由g (1－m )又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到
Error!
即Error!
解之得－1≤m <.12
19．[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，
所以f (log 2)＝f (－log 23)＝－f (log 23)13
＝－2log 23＝－3.
(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，
即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ；
又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，
综上可知，f (x )＝Error!.
20．[解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0，∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac
＝4[(a －)2＋c 2]>0，c 234
故两函数的图像交于不同的两点．
(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0，∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0，－＝＝＝1＋<2，2b 2a －b a a ＋c a c a
即有Error!，结合二次函数的图像可知，
方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.
21．[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x (0解得x ＝1－().12110
(2)设经过m 年剩余面积为原来的
，22
则a (1－x )m ＝a ，22
即()＝()，＝，12m 10 1212
m 1012解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为a (1－x )n ，22
令a (1－x )n ≥a ，即(1－x )n ≥，221424()≥()，≤，解得n ≤15.12n 10 1232
n 1032故今后最多还能砍伐15年．
